复数的加减和乘除运算
小学数学十年级认识复数的加减乘除运算
小学数学十年级认识复数的加减乘除运算复数在数学中是一个非常重要的概念，它扩展了实数概念，使得数学的运算更加广泛和灵活。
小学数学十年级，学生需要开始认识复数以及复数的加减乘除运算。
本文将详细介绍小学数学十年级认识复数的加减乘除运算。
1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
在复数中，a 称为实部，b称为虚部。
2. 复数的加减运算复数的加减运算与实数的加减运算类似。
当两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加；当两个复数相减时，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如，(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
3. 复数的乘法运算复数的乘法运算也可以采用分配律来进行计算。
当两个复数相乘时，实部与实部相乘减去虚部与虚部相乘的结果，再加上实部与虚部相乘的结果。
例如，(a+bi) * (c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 复数的除法运算复数的除法运算和乘法运算类似，也可以用分配律进行计算。
首先，将被除数和除数都乘以除数的共轭复数，然后按照乘法运算的规则进行计算。
最后，用除数的实部的平方加上虚部的平方作为分母进行约分。
例如，(a+bi) / (c+di) = ((ac+bd) / (c^2+d^2)) + ((bc-ad) / (c^2+d^2))i。
在小学数学十年级，学生需要掌握复数的加减乘除运算，并能熟练地应用到各种实际问题中。
通过多做练习，学生可以逐渐提高对复数运算的理解和运用能力，进一步拓宽数学思维和解决问题的能力。
总结起来，小学数学十年级认识复数的加减乘除运算，包括复数的定义、加减运算、乘法运算和除法运算。
掌握这些运算规则，并能够熟练地应用到实际问题中，对学生的数学学习和发展都具有重要的促进作用。
简化算式复数运算
简化算式复数运算复数运算是数学中的一部分，也是代数学中的基础内容之一。
在复数运算中，我们常常需要对复数进行加减乘除等操作，并通过简化算式将复杂的计算结果变得更加清晰和易于理解。
本文将介绍一些常见的方法和技巧来简化算式复数运算。
一、复数的加法和减法复数的加法和减法遵循实部相加（减）、虚部相加（减）的原则。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数。
则它们的和是(a+c)+(b+d)i，差是(a-c)+(b-d)i。
例如，要计算(3+4i)+(2-5i)的结果，我们可以将实部和虚部分别相加，得到(3+2)+(4-5)i=5-i。
二、复数的乘法复数的乘法使用分配律和虚数单位i的平方等于-1的性质。
设有两个复数a+bi和c+di，它们的乘积可以通过以下步骤来计算：1. 先将a和c相乘，得到实部的部分；2. 然后将bi和di相乘，得到虚部的部分；3. 最后将实部和虚部相加。
例如，要计算(2+3i)(4+5i)的结果，按照上述步骤进行计算：实部：(2)(4)+(3)(5)=8+15=23；虚部：(2)(5i)+(3i)(4)=10i+12i=22i；结果：23+22i。
三、复数的除法复数的除法需要先将除号转化为乘号，然后利用分母的共轭形式对分子和分母进行有理化处理。
设有两个复数a+bi和c+di，要将它们除以一起，可以按照以下步骤进行计算：1. 将除号转化为乘号，即将除数的共轭复数作为分子的一部分；2. 有理化分子和分母；3. 进行分子和分母的复数乘法运算，得到结果。
例如，要计算(2+3i)/(4+5i)的结果，按照上述步骤进行计算：共轭形式：(2+3i)(4-5i)=8+12i-10i-15i^2=23-2i；有理化：(2+3i)/(4+5i)=[(2+3i)(4-5i)]/[(4+5i)(4-5i)]；分子：(2+3i)(4-5i)=23-2i；分母：(4+5i)(4-5i)=16+25=41；结果：(23-2i)/41。
复数的运算与复数方程的解法
复数的运算与复数方程的解法复数是由实数和虚数组成的数，包含实部和虚部。
在复数的运算中，可以进行加法、减法、乘法和除法操作。
同时，复数也可用于解决复数方程。
一、复数的加减法运算复数的加减法运算可以通过实部和虚部的相加减来完成。
假设有两个复数z1和z2，分别表示为z1=a1+bi，z2=a2+bi，其中a1和a2为实部，b为虚部。
1. 加法运算z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i2. 减法运算z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i通过以上公式，我们可以利用实部和虚部对复数进行相加减运算。
二、复数的乘法运算复数的乘法运算可以通过公式(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i来完成。
1. 将两个复数展开并按照实部和虚部分别相乘，得到的结果相加即可。
例如，有复数z1=3+2i，z2=4-5i，我们可以将它们进行乘法运算：z1*z2=(3+2i)(4-5i)=(3*4-2*5)+(3*(-5)+2*4)i=(12-10)+(-15+8)i=2-7i三、复数的除法运算复数的除法运算可以通过乘法的逆运算-相乘数的倒数来完成。
假设有两个复数z1和z2，分别表示为z1=a1+bi，z2=a2+bi，其中a1和a2为实部，b为虚部。
1. 将复数z2的共轭复数(实部相同，虚部取相反数)作为除数，即z2的共轭复数为a2-bi。
2. 将z1乘以z2的共轭复数。
3. 将结果的实部除以z2和z2的共轭复数的模的平方，虚部除以模的平方，得到的商即为除法运算结果。
四、复数方程的解法复数方程是指方程中未知数是复数的方程，一般形式为az + b = 0，其中a和b为已知复数。
1. 将方程转化为标准形式：az = -b。
2. 计算方程中的变量z，得到复数解。
例如，解复数方程2z + 3i = 0：2z = -3iz = -3i/2通过以上步骤，我们可以求解复数方程的解。
总结：复数的运算可以通过实部和虚部的加减乘除运算完成，运算的结果仍然是一个复数。
复数的加减乘除教案
复数的加减乘除教案教案概述：本教案旨在帮助学生理解和掌握复数的加减乘除运算。
教案将依次介绍复数的定义和表示、复数的加减法、复数的乘法以及复数的除法。
通过清晰的解释、例题演示和练习题，激发学生对复数运算的兴趣，并提高他们的计算能力和问题解决能力。
教学目标：1. 理解复数的定义和表示方法；2. 掌握复数的加减法运算规则；3. 掌握复数的乘法运算规则；4. 了解复数的除法运算规则；5. 能够运用所学知识解决相关问题。
教学准备：1. 多媒体教学设备；2. 教学投影幻灯片或黑板；3. 打印或复制教材相关内容。
教学过程：Step 1: 引入复数概念（约10分钟）1. 利用多媒体设备或黑板展示复数的定义和表示方法；2. 解释什么是实数、虚数和复数，并给出示例；3. 解释虚数单位i的含义和性质。
Step 2: 复数的加减法（约20分钟）1. 解释复数的加法和减法运算规则，并给出示例；2. 执行示例运算，确保学生理解；3. 给出练习题，让学生进行实操。
Step 3: 复数的乘法（约25分钟）1. 解释复数的乘法运算规则，并给出示例；2. 执行示例运算，确保学生理解；3. 强调乘积的实部和虚部的计算方法，并进行实例演示；4. 给出练习题，让学生进行实操。
Step 4: 复数的除法（约25分钟）1. 了解复数的除法运算规则，并给出示例；2. 执行示例运算，确保学生理解；3. 强调商的实部和虚部的计算方法，并进行实例演示；4. 提醒学生注意除法中分母不能为零的情况；5. 给出练习题，让学生进行实操。
Step 5: 总结和拓展（约10分钟）1. 小结复数的加减乘除运算规则；2. 鼓励学生进行课堂互动，提出问题并讨论；3. 提供一些拓展问题，激发学生对复数运算的深入思考。
教学反思：通过本节课的教学，学生对复数的加减乘除运算有了更深入的理解。
教师在讲解环节中要注重例题的演示和练习题的巩固，确保学生能够熟练运用所学知识解决实际问题。
复数的乘除运算
( a bi )( c di ) ( c di )( c di )
ac bd ( bc ad ) i
2 2
c d ac bd bc ad 2 2 i 2 2 c d c d
——分母实数化
先把除式写成分式的形式,再把分子与分 母同时乘以分母的共轭复数,(分母实数化) 化简后写成代数形式.
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复 数叫做互为共轭复数. 复数 z=a+bi 的共轭复数 记作 z , 即 z a bi
写出下列复数z的共轭复数
z
并求出
zz
的值
1) 2) 3) 4)
Z=1+i Z=2+5i Z=i Z=3
学
以 致
用
例3.计算(a+bi)(a-bi)
说明：此题的结论具有应用性。它说明 复数与其共轭复数的积是一个实数，它等 于其中一个复数的模的平方。即
2
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在 运算过程中把 2换成－1，然后实、虚部分别合并. (3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律
i
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z 2 z 2 z1 ,
( z 1 z 2 ) z 3 z 1 ( z 2 z 3 ),
复数的乘除运算
知识回顾
复数的加、减法法则：
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任 意两个复数，则：
（a+bi) (c+di)=(a+c) (b+d)i
说明:两个复数的和差仍然是一个复数。
复数的四则运算
复数乘法运算法则的应用 复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将 i2 换成 －1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍 适用于复数，如(a＋bi)2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，(a＋bi)3＝ a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i.
复数的乘法运算
(1)(1－i)－12＋ 23i(1＋i)＝(
)
A．1＋ 3i
B．－1＋ 3i
C． 3＋i
D．－ 3＋i
(2)已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数，
则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i
B．5＋4i
C．3－4i
D．3＋4i
(3)把复数 z 的共轭复数记作－z ，已知(1＋2i) －z ＝4＋3i，求 z.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个虚数的和或差可能是实数．(√ ) (2)若复数 z1，z2 满足 z1－z2＞0，则 z1＞z2.( × ) (3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加 得虚部．(√ ) (4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的z2＋z3)可能不成 立．(× )
复数的除法运算
计算：
(1)（1＋2i）22＋＋i3（1－i）；
（1－4i）（1＋i）＋2＋4i
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 A.复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋ 3)i＝9＋i，其对应的点为(9，1)，在第一象限．
复数加、减法的几何意义
已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O，A，C 对应的复数分别为 0，3＋2i，－2＋4i. (1)求A→O表示的复数； (2)求C→A表示的复数．
复数的乘除法运算
D.3
解： z 1 i,
原式 (1 1 i )(1 i ) ( 2 i )(1 i )
2 2i i i 2 2 i 1 3i
例2
求证：
2
2
证明：设 a bi, 则 a bi, 于是
2
2
1.复数的乘法 两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只 是在遇到 i 时，要把 i 换 成 -1 ，并把最后的结果写成
2 2
a bi (a, b R) 的形式。
易知，复数运算满足交换律、结合律、 分配律。
1 2 2 1
（1 2） 3 1 2 3） （
(1 i) 1 i 1 i 解：z2 z1 1 i (1 i)(1 i) 2i i 2
2
1 i 8 思考( ). 1 i
2 2 2.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C .1 i D.1 i
关键分母实数化 作业：P62 A组5,8
i
4n
1 ,
i
4n 1
i ,
4n 2
1
, i
4n 3
i
练习：P61 第3题
2.复数的除法
满足 (c di)( x yi) (a bi) 的复数
x yi( x, y R) 叫复数 a bi 除以复数
c di 的商.
a bi 记作：(a bi) (c di) 或 (c di 0). c di 1 注： 叫做复数z的倒数 z
2 2 2 解：原式 (1 i ) 2i 1 i 1 i 2(1 i ) 2(1 i ) 2i 2i (1 i )(1 i ) 2
复数的代数运算乘除ppt课件
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
ห้องสมุดไป่ตู้
2a
2bi
a2 b2
另外不难证明:
引例：化简 1 2 (1 2)(2 3) 2 3 (2 3)(2 3)
复数除法的法则:
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
复数的乘法与多项式的乘法是类似的.
例3设 Z 1 2 3i, Z 2 3 2i, 计算：
（1）Z 1
•
Z
; ( 2)
2
2
Z1
练习．计算：
（1） (1 4i) (1 4i)
（2） (1 4i) (7 2i) (1 4i)
（3） (3 2i)2
共轭复数：两复数 a bi与a bi 叫做互为共轭复数，当 b 0时
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z2 z2 z1 , (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ), z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3.
例 2．计算：
（1） (1 4i)(7 2i)
（2）(7 2i)(1 4i)
（3）[(3 2i)(4 3i)](5 i) （4）(3 2i)[(4 3i)(5 i)]
(a+bi)÷(c+di)=
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
2.共轭复数
两复数 a bi与a bi 叫做互为共轭复数；两复数互为共轭 复数，则它们的乘积为实数。
四、正本作业：课本 68 页习题 1（3）（4）（5）（6）
1 i2 i
补充：（1）
i3
（2） i i2 i3 i4 i5
复数与复数运算的详细解读
复数与复数运算的详细解读复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数和虚数两部分。
复数的表示形式为a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部，i是虚数单位。
复数运算是对复数进行加减乘除等数学运算的过程。
本文将详细解读复数及其运算规则。
一、复数的定义与表示复数是由实数和虚数构成的数，它的表示形式为a+bi。
其中，a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
实部和虚部都是实数。
二、复数的加法与减法复数的加法是将实部和虚部分别相加。
例如，(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
减法的运算规则与加法类似。
三、复数的乘法复数的乘法是按照分配律进行计算。
例如，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
其中，ac-bd是新的实部，ad+bc是新的虚部。
四、复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即将除数的虚部乘以-1，然后按照乘法的规则进行计算。
例如，(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)/(c²+d²))+((bc-ad)/(c²+d²))i。
五、复数的共轭复数的共轭是将虚部的符号取反，即a+bi的共轭是a-bi。
共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。
六、复数的模与幅角复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
模的计算公式为|a+bi|=√(a²+b²)。
复数的幅角表示复数与正实轴之间的夹角，可以用反三角函数计算。
幅角的计算公式为θ=arctan(b/a)。
七、复数的指数形式复数可以用指数形式表示，即a+bi=r*e^(iθ)，其中r为模，θ为幅角，e为自然对数的底。
指数形式可以方便地进行复数的乘除运算。
八、复数运算的性质复数运算满足交换律、结合律和分配律。
即对于任意的复数a、b和c，有：- 加法满足交换律和结合律：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)；- 乘法满足交换律和结合律：ab=ba，(ab)c=a(bc)；- 加法对乘法满足分配律：a(b+c)=ab+ac。
高中数学-5.2复数的四则运算
2、复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的 分配律。 （1）z1z2=z2z1 (交换律) （2）(z1z2)z3=z1(z2z3) (结合律) （3）z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (分配律)
3、复数中正整数指数幂的运算律(其中m,n为正整数)
5.2 复数的四则运算
知识回顾
我们一起来回顾一下上一节课所学知识: i2 1
数
复数代数式 Z a bi(a,b R)
系 的
数
复数分类条件 b 0和b 0
扩 充
复数相等条件
与 复
实部 实部且虚部 虚部
数 的
形
复数的模长(绝对值)的计算
引
入
Z a bi a2 b2
两个复数能比较大小,则一定均为实数
新课讲解
三、复数的除法
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数
a+bi 除以复数c+di的商,
记做(a bi) (c
di
)或
a
bi
.
c di
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
4 i2 2
25
i 2i2
i 1i
2 2
31 2i
2 3i 1 2i 2 3i
2 3i 2 3i
1
2i2
4 9i2
3i
2 7i 6i2 13
4 7i 4 7 i
13
13 13
试一试
(1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义(一)
学习目标：
1. 掌握复数的加法和减法运算及意义
2. 理解复数加减法运算的几何意义 学习过程：
1.复数的加法和减法的运算 （1）复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则________________21=+z z （2）复数的减法法则：12
z a bi Z c di =+=+与，则________________
21=-z z
(3) 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.
(4)复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)
例1．计算：
（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++ （3）[(32)(43)](5)i i i --++++
（4）(14)(72)i i +-- （5）(52)(14)(23)i i i --+--+ （6）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[
2．复数加法和减法的几何意义：
例2 已知四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，且A,B,C 三点对应的复数分别是1+3i,
-i,2+i,求点D 对应的复数。
练习：
1. 计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____.
2. 计算(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi =________(x 、y ∈R ).
3. (1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )
4.复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
5. 已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限
§3.2.2复数代数形式的乘除运算（二）
学习目标：
1.掌握复数的代数形式的乘、除运算。
2.理解共轭复数的概念 学习过程：
1. 复数的乘法法则：
),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+= 则_________________21=z z
2. 复数乘法的运算律： 交换律： 结合律：
乘法对加法的分配律：
例1、计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+
（3）(2-i)(-1+5i)(3-4i)
例2：（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +
3共轭复数：
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
3. 复数的除法：)0(,21≠++=+=di c di c z bi a z
=
+÷+)()(di c bi a
例3 计算（1）)43()21(i i -÷+ （2）(12)(32)i i +÷-+
（3）i
i 2131++- （4）(32)(23)i i -÷+
(5)已知i z i z 43,2121+=-=，求满足2
1
111z z z +=的复数z。