一元非线性回归分析

案例 目标函数可线性化的曲线回归建模与分析

1 曲线回归常用的非线性目标函数及其线性化的方法

在一些实际问题中，变量间的关系并不都是线性的，那时就应该用曲线去进行拟合. 用曲线去拟合数据首先要解决的问题是回归方程中的参数如何估计? 解决这一问题的基本思路是：

对于曲线回归建模的非线性目标函数)(x f y =，通过某种数学变换⎩⎨⎧==)

()

(x u u y v v 使之

“线性化”化为一元线性函数bu a v +=的形式，继而利用线性最小二乘估计的方法估计

出参数a 和b ，用一元线性回归方程u b a v

ˆˆˆ+=来描述v 与u 间的统计规律性，然后再用逆变换⎩⎨⎧==--)

()

(1

1u u x v v y 还原为目标函数形式的非线性回归方程. 下面给出常用的非线性函数及其线性化的方法.

⑴ 倒幂函数x b a y 1

+=

令x

u y v 1

,== ，则bu a v +=.

⑵ 双曲线函数 1b

a y x

=+

b<0 b>0

线性化方法

令x

u y v 1

,1== ，则bu a v +=.

⑶ 幂函数b

y ax =

b<0 01 线性化方法

令ln v y =，ln u x =，则bu a v +=.

⑷ 指数函数bx

y ae =

函数图象

b>0 b<0

线性化方法

令ln v y =，u x =，则bu a v +=. ⑸ 倒指数函数b

x

y ae =

b>0 b<0

线性化方法 令ln v y =，1

u x

=

，则bu a v +=. ⑹ 对数函数ln y a b x =+ 函数图象

b>0 b<0

线性化方法

令v y =，ln u x =，则bu a v +=. ⑺ S 型曲线 1

x

y a be -=+

函数图象

令1v y

=

，x

u e -=，则bu a v +=. 2 曲线回归方程的评价方法

对于可选用回归方程形式，需要加以比较以选出较好的方程，常用的准则有： ⑴ 决定系数2R 定义

SST

SSE

R -

=12， 称为决定系数. 显然21R ≤.2R 大表示观测值i y 与拟合值ˆi y

比较靠近，也就意味着从整体上看，n 个点的散布离曲线较近.因此选2R 大的方程为好. ⑵ 剩余标准差s 定义

)2/(-=n SSE s

称为剩余标准差.s 类似于一元线性回归方程中对σ的估计. 可以将s 看成是平均残差平方和的算术根，自然其值小的方程为好.

其实上面两个准则所选方程总是一致的，因为s 小必有残差平方和小，从而2R 必定大.不过，这两个量从两个角度给出我们定量的概念.2R 的大小给出了总体上拟合程度的好坏，s 给出了观测点与回归曲线偏离的一个量值.所以，通常在实际问题中两者都求出，供使用者从不同角度去认识所拟合的曲线回归. ⑶ F 检验（类似与一元线性回归中的F 检验）

)

2/(1

/-=n SSE SSR F ,

其中

∑=-=n

i i y y SST 1

2

)(，∑=-=n

i i i y

y SSE 1

2)ˆ(，SSE SST SSR -=. 3 范例与MATLAB 实现

【例6.2】 为了解百货商店销售额x 与流通率（这是反映商业活动的一个质量指标，

指每元商品流转额所分摊的流通费用）y 之间的关系，收集了九个商店的有关数据（见下表）.

表 销售额与流通费率数据

绘制散点图

x=[1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];

y=[7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];

sdt(x,y)

nlin1(x,y)

拟合曲线方程是y=2.2254+7.6213/x

剩余标准误差Sy=0.42851

可决系数R=0.96733

'方差来源' '偏差平方和' '自由度' '方差' ' F值' 'F临界值' '显著性' '回归' [18.7146] [ 1] [18.7146] [101.9186] [ 5.5914] '* *'

'剩余' [ 1.2854] [ 7] [ 0.1836] [] [12.2464] [] '总和' [ 20] [ 8] [] [] [] []

拟合幂函数曲线

nlin3(x,y)

拟合曲线方程是y=8.5173x^-0.42589

剩余标准误差Sy=0.146

可决系数R=0.99626

'方差来源' '偏差平方和' '自由度' '方差' ' F值' ' F临界值' '显著性' '回归' [19.8508] [ 1] [19.8508] [931.2285] [ 5.5914] '* *'

'剩余' [ 0.1492] [ 7] [ 0.0213] [] [12.2464] []

拟合指数函数曲线

nlin5(x,y)

拟合曲线方程是y=2.3957exp(1.7808/x)

剩余标准误差Sy=0.6497

可决系数R=0.92318

'方差来源' '偏差平方和' '自由度' '方差' 'F值' ' F临界值' '显著性' '回归' [17.0452] [ 1] [17.0452] [40.3812] [ 5.5914] '* *' ' [ 2.9548] [ 7] [ 0.4221] [] [12.2464] []

'剩余