关于积分上限函数的小结.doc

关于积分上限函数

积分上限函数(或变上限定积分)F(x)= 的自变量是上限变量兀，

Ja

在求导时，是关于兀求导，但在求积分时，则把兀看作常数，积分变量r在积分区间上变动。弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。

1.关于积分上限函数的理论

定理1如果/(X)在［。,饲上可积，则F(X)= ( 在［a,h］上连续.

定理2如果/⑴在［a.b］±连续，则F(x)=［f(t)dt在⑷切上可导，且r(x) = £［f/(r)t/z］= /(%).

注：(I)从以上两个定理可看出，对门力作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数/(兀)经过求导后，其导函数广(兀)甚至不一定是连续的。

(n)定理(2)也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理(2)把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

推论1 = -/(%)

推论2 f I=川0⑴］0(0

dx 4

推论3 ⑴如=⑴］0⑴一/"⑴］0(兀)

2.积分限函数的几种变式

(1)比如F(x) = ^(x-t)f(t)dt

(被积函数中含X,但X可提到积分号外面来.)

在求”(兀)时，先将右端化为f xf^dt -［=⑴刃的形式，再对尢求导。

(2)比如F(x)= ^tf(t-x)dt

(f的自变量中含X,可通过变量代换将X置换到f的外面来)

在求F(力时，先对右端的定积分做变量代换u=t-x(把兀看作常数)，此时, dt = du , / = 0时，w = -x ; t = x时，w = 0 ,这样，FO)就化成了以”作为积分变量的积分下限函数：F(x) = f (x + u)f(u)du = x f(u)du + uf(u)du ,然后再对x求导。

J-x J-x 丄JV

(3)比如F(x) = ^f(xt)dt

(这是含参数x的定积分，可通过变量代换将x变换到积分限的位置上去) 在求F(力时，先对右端的定积分做变量代换u = xt(把兀看作常数)，此时, dt = —y t = 0时,w = 0 ; t = 1时,u = x ,于是，F(x)就化成了以“作为积

x

分变量的积分上限函数：F(兀) = £(/(u)du ,然后再对x求导。

3.有积分限函数参与的题型举例

(1)极限问题：

.2 3

f sin 2 tdt

例1 lini ------------------ (答：12)

' >0 £ t(t - sin t)dt

9

求。答：-)

71 例3已知极限既£不(法心，试确定其中的非零常数讪c.

(答：a - 一l,b - l,c = 1.)

求导问题

x=](l-COS«)dfdy

sinVF 、 厂 来•(合• r / y = sin udu. x 2vr(l-cosr)

已知〔必+「\。加20.求殳(答：一心⑴))

J) 」) dx e- +xcos(xy)

例 6 求—£sin(x-Z )2rfr

(答：sinx 2)

r tf (t )dt

例7设几兀)在(-0+8)内连续且/(%) > 0,求证(p(x)= ----- 在(0,+8)

[f^dt 内单调增加.

⑶最大最小值问题 例8在区间［I,可上求一点歹，使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.f|sin^r lim -¥->+00 (提示：本题用洛必达法则求不出结果，可用夹逼准则

dx

(提示：先将面积表达为两个变限定积分之和:A(x) = f lnM+] (l-lnf)df,然 后求出A'(x),再求出其驻点.答:"石・)

例9设x>0, n 为正整数•证明f(x) = ^t-t 1 2)sin 2n tdt 的最大值不超过

(提示:先求出函数的最大值点，然后估计函数最大值的上

界•)

(4) 积分问题

例1()计算[xf{x)dx,其中/(兀)=『千加.

(提示：当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时，总是用分部积分

法求解，且取"⑴为积分上限函数.答：-(cos 1-1).)

2

例11设/0)在(-00,+00)内连续，证明

£ f (w)U 一 u)du = p£/(r)t/r \du.

(提示：对右端的积分施行分部积分法

.)

⑵ 2 + 2)(2〃 + 3)

x 0 < x < 1,

例12设f(x) = <2-x 1 < x < 2,

求①(无)=(于⑴df 在(_oo,+oo)内的表达

0 x < 0, x > 2.

式. (说明：这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到.求表达式

时，注意对任一取定的.积分变量f 在［0,力内变动.

⑸ 含有未知函数的变上限定积分的方程(称为积分方程)的求解问题 例13设函数e(x)连续，且满足

(p(x) = e x + J t (p(t)dt 一 x

俗:(p(x) = + (cos x + sin 兀 + /))

(说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然

后求解.注意初值条件隐含在积分方程内.答：0(x) = cosx + sinx)

例14设/(x)为正值连续函数，/(0) = 1,且对任一兀>0,曲线y = f(x)

在区间［0,兀］上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积，求此曲线方程.

(说明：根据题设列出的方程将含有/(兀)的积分上限函数.

答：/(心 2 2°))

(6)利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等.

例15设f(x),g(x)均在［讪上连续，证明以下的Cauchy-Swartz 不等式: (打⑴8(兀)如 < £ f 2

答：0(%)= 2 匕(R x < 0,

0 < X < 1,

•)

1 < x < 2,

x > 2