变上限的定积分
变上限积分的求解技巧
变上限积分的求解技巧要求解一个函数的上限积分，首先需要明确上限积分的定义。
上限积分是通过将函数在一个区间上每一个点的函数值与该点与区间上限的距离的乘积累加得到的。
数学上，上限积分可以表示为下面的积分式：I = ∫[a, b] f(x)dx其中，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数。
下面将介绍三种常用的技巧用于求解上限积分，分别是定积分、换元积分和分部积分。
1. 定积分法：最简单的方法就是直接计算上限积分的定积分。
定积分是求一个函数在一个区间上的累积量。
如果被积函数f(x)是已知的，我们可以使用基本的积分法则来计算上限积分。
首先，我们需要确定被积函数f(x)的原函数F(x)。
然后使用下面的定积分公式来计算上限积分：I = F(b) - F(a)这个方法非常简单，但要求能够找到f(x)的原函数F(x)。
有时候，寻找f(x)的原函数可能非常困难，这时候就需要借助其他的积分技巧。
2. 换元积分法：换元积分法是一种常见的用于简化被积函数的方法。
通过引入一个新的变量，可以将被积函数转化为更容易积分的形式。
使用换元积分法时，我们首先选择一个合适的变量替代原函数中的自变量，然后计算新的积分表达式。
在计算新的积分表达式时，需要注意对被积函数和积分变量的合理处理，以确保换元步骤的正确性。
一般来说，使用换元积分法时，我们选择一个合适的变量替代原函数中的自变量，然后计算新的积分。
最后，将新的积分表达式替换掉原函数中的自变量，得到上限积分的解。
3. 分部积分法：分部积分法是一种适用于求解上限积分的技巧。
它基于积分的乘法法则，将原函数的积分化简为两个函数的乘积的积分。
使用分部积分法时，我们首先将上限积分分解为两个函数的乘积，然后对其中一个函数求导，对另一个函数求积分。
最后，将得到的结果代入积分表达式，得到上限积分的解。
这种方法适用于当被积函数很难求导时。
通过分部积分法，我们可以将原函数化简为两个函数的乘积形式，从而更容易积分。
变上限定积分
4cos 2xd2x
6
1 2
4
6
1 4
sin2x
4
6
1 24 4
3. 8
补例 计算 sin x sin3 xdx. 0
解 把被积函数化简.
sin x sin3 xdx sin x(1 sin2 x)dx
0
0
0 sin x | cos x | dx.
2 0
sin x cos xdx
sin x ( cos x)dx
2
2 0
sin xd sin x
sin xd sin x
2
2 3
3
sin2
x
2 0
2 3
3
sin2
x
2
2 ( 2) 4 . 3 33
3
22
4.2.3 定积分的性质
下面各性质中的函数都假设是可积的. 性质 1 (1) 两个函数和的定积分等于它们 定积分的和， 即
b f ( x) g( x)dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx.
a
a
a
性质2 被积函数的常数因子可以提到积分外面，
即
b
b
a kf ( x)dx k a f ( x)dx.
0
得
lim
x sin t 2dt
(
0
lim
x sin t 2dt)'
0
1 lim sin x2
变限积分求导公式证明及其推论
变限积分求导公式证明及其推论变限积分求导公式证明及其推论⽬录1.变上限积分若函数f(x)在$[a, b] 上连续,对任意 x∈[a, b]$, 定义变上限定积分：Φ(x)=∫x a f(t)dt，x∈[a,b]2.引理若函数f(x) 在 [a,b]上连续，则变上限定积分Φ(x)=∫x a f(t)dt，x∈[a,b] 在[a,b]上可导 , 且Φ′(x)=f(x).证明：任取x∈[a,b]，改变量△x满⾜x+△x∈[a,b]，对应的改变量△Φ=Φ(x+△x)−Φ(x)满⾜：△Φ=Φ(x+△x)−Φ(x)f(t)dt−∫x a f(t)dt=∫x+△xaf(t)dt=∫x+△xx由积分中值定理：∃ξ∈[x,x+△x]⊂[a,b]f(t)dt=f(ξ)⋅△xs.t.→∫x+△xx∴因为f(x)在[a,b]上连续，所以：\lim_{\triangle x\to0}f(\xi)=f(x)即:f(x)=\lim_{\triangle x\to0}\frac{\int_x^{x+\triangle x}f(t)dt}{\triangle x}=\frac{d}{dx}(\int_a^{x}f(t)dt)3.重要推论若函数f(x)在[a,b]上连续，\phi(x),\varphi(x)在[a,b]上可微，则\frac{d}{dx}(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x)证明：这⾥只给出积分上限为复合函数的情况下的证明，下限同理。
设F(x)是f(x)的⼀个原函数，设：\begin{cases} u=\phi(x)\\ v=\varphi(x) \end{cases}，x\in[a,b]则原式为：\begin{align} \frac{d}{dx}(\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt)=& \frac{d}{dx}(\int_{a}^{u}f(t)dt)\\ （由链式求导法则）=&\frac{du}{dx}\cdot\frac{d}{du} (\int_{a}^{u}f(t)dt)\\ （由引理）=&\frac{du}{dx}\cdot f(u)\\ =&\frac{d}{dx}\phi(x)\cdot f(u)\\ =&f(\phi(x))\cdot\phi'(x) \end{align}下限同理可证，于是可以得出：\frac{d}{dx}(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x)Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js。
《高等数学》第二节 定积分基本公式
例 1 设f (x) sin 2t d t, 求f (x) 0 x 2 2 解:f (x) sin 2t d t sin 2x 0
2
x
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则 I (x) f (t )dt
a x
是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
或记作
证明
b f ( x ) d x F ( x ) a F (b) F ( a ). b a
b a
F (x)是f (x)的一个原函数， 而I (x) f (t )dt也是f (x)的一个原函数，
a x
F (x) I (x) C.
令x a有 F (a) I (a) C.
1 1 1 x2 1 lim . 2 x 0 1 2
I I' ( x) lim lim f ( ) f (x)， x 0 x x
即
d x I ' (x ) f (t )dt f (x ). dx a
a
结论：变上限积分所确定的函数 x f (t )dt 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限 x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间 变化的，因此常记为
x a
x
f (t )dt.
定理1
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则变上限 I (x) f (t )dt
1 1 dx arctan x 1 2 1 x
1 1
arctan 1 arctan( 1) π π ( ) 4 4 π . 2
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用上限定积分导数是微积分中的一个重要概念，它可以用来求解各种实际问题，在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用。
下面将介绍变上限定积分导数的应用，并举例说明。
1. 面积和体积的计算：变上限定积分导数可以用来计算曲线围成的面积和曲线绕轴旋转所形成的体积。
当需要计算函数f(x)在区间[a,b]上的面积时，可以使用定积分∫[a,b]f(x)dx。
而如果需要计算区间[a,b]上由曲线y=f(x)绕x轴旋转所形成的体积时，则可以使用定积分∫[a,b]πf(x)^2dx。
上限定积分导数可以帮助我们求解这些问题。
2. 平均值的计算：利用上限定积分导数，我们可以计算一个函数在某个区间上的平均值。
对于函数f(x)在区间[a,b]上的平均值，可以使用定积分∫[a,b]f(x)d x除以区间长度(b-a)来计算。
上限定积分导数可以帮助我们确定这个平均值。
3. 物理中的速度、加速度和位移：在物理学中，速度v是位移x对时间t的导数，加速度a是速度v对时间t的导数。
如果我们知道加速度函数a(t)在某个时间区间内的变化情况，可以通过上限定积分导数求解速度和位移函数。
速度函数v(t)可以通过定积分∫[t1,t2]a(t)dt求解，位移函数x(t)可以通过定积分∫[t1,t2]v(t)dt求解。
4. 经济学中的边际效应：在经济学中，边际效应是指某个变量增加一个单位所引起的效应变化。
边际效应可以通过上限定积分导数求解。
假设某个企业的生产函数为y=f(x)，其中y表示产出，x表示投入。
那么边际产出的变化可以通过上限定积分导数dy/dx求解，即求生产函数f(x)的导数。
5. 优化问题的求解：变上限定积分导数在求解优化问题中也有重要应用。
对于函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，可以通过上限定积分导数求得。
最大值可以通过上限定积分导数f'(x)在[a,b]上为零的点求得，最小值可以通过上限定积分导数f'(x)在[a,b]上不存在的点求得。
定积分基本公式
定积分基本公式定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等.第二节 微积分基本公式一、变上限的定积分设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d xa f x x⎰是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免t ，于是这个积分就写成了()d x af t t⎰.x 值,积分()d xaf t t⎰就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x af t t⎰（ a ≤x ≤b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示.定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分()Φx =()d xa f t t ⎰在[,]ab 上可导，且其导数是d ()()d ()d xaΦx f t t f x x '==⎰（ a ≤x ≤ b ）.推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d xa f t t ⎰即为其原函数.例1 计算()Φx =20sin d xt t⎰在x =0 ,处的导数.解 因为2d sin d d x t t x ⎰=2sin x ,故2(0)sin 00Φ'==；πsin 242Φ'==.例2 求下列函数的导数：(1)e ln ()d (0)x atΦx t a t =>⎰；解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e xu =，所以按复合函数求导法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t xx u t x ===⎰.(2)21()(0)x Φx x θ=>⎰.解 21d d d d x Φxx θ=-⎰22()xx ='=2sin 2sin 2x xx x x =-⋅=-.二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()()b af x x F b F a =-⎰.证 由定理1知，变上限积分()()d xaΦx f t t=⎰也是()f x 的一个原函数，于是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0()d ()x a f t t F x C =+⎰.我们来确定常数 0C 的值，为此，令 x a =，有0()d ()aa f t t F a C =+⎰，得0()C F a =-.因此有 ()d ()()xaf t t F x F a =-⎰.再令x b =，得所求积分为 ()d ()()baf t t F b F a =-⎰.因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x 表示积分变量，即得()d ()()b af x x F b F a =-⎰,其中()()F x f x '=.上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式：()d ()()()b b a af x x F x F b F a ==-⎰.例1 求定积分：(1)2211d ()xx x +⎰；（2）2312⎰；（3）1x-⎰.解 （1）222221111d (2)d ()x x x x x x =+++⎰⎰23115(2)436x x x =+-=. （2）2231122=⎰⎰dx2122=⎰=0.3398.=≈（3x=在[1,1]-上写成分段函数的形式,10,(),01,x x f x x x --≤<⎧=⎨≤≤⎩于是1110()d d x x x x x --=-+⎰⎰⎰220111022x x =-+=-.例2 计算2cos 12e d limx t x tx -→⎰.解 因为 0x →时,cos 1x →,故本题属 00 型未定式,可以用洛必达法则来求.这里2cos 1e d xt t-⎰是 x 的复合函数,其中cos u x =,所以222cos cos cos 1d e d e (cos )'sin e d x t x xt x x x ---==-⎰,于是有222cos cos1cos 200e d sin e sin limlim lim e 22x t xxx x x tx x x xx---→→→-⋅-==⎰111e 22e -=-=-.思考题1.若22()sin d x xf x t t=⎰，()?f x '=2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续. 问当()f x 在[,]a b 区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分？并计算22()d ,f x x -⎰ 其中 22,21,10,1,(),10,21,0 2.x x x f x x x x x ⎧-<<-⎪=-⎪=⎨-<<⎪⎪+≤≤⎩。
变上限定积分函数及其导数教案
变上限定积分函数及其导数教案教学目标：1. 理解变上限定积分的概念及其几何意义；2. 学会计算变上限定积分的函数；3. 掌握变上限定积分函数的导数计算方法。
教学重点：1. 变上限定积分的概念及其几何意义；2. 变上限定积分函数的计算；3. 变上限定积分函数的导数计算。
教学难点：1. 变上限定积分的概念理解；2. 变上限定积分函数的计算；3. 变上限定积分函数的导数计算。
教学准备：1. 教师准备PPT课件；2. 教师准备相关例题和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习定积分的概念及其几何意义；2. 引导学生思考定积分与变上限定积分的关系；3. 引入变上限定积分的概念。
二、变上限定积分的概念及其几何意义（10分钟）1. 讲解变上限定积分的定义；2. 解释变上限定积分的几何意义；3. 举例说明变上限定积分的应用。
三、变上限定积分函数的计算（10分钟）1. 引导学生理解变上限定积分函数的概念；2. 讲解变上限定积分函数的计算方法；3. 举例演示变上限定积分函数的计算过程。
四、变上限定积分函数的导数计算（10分钟）1. 讲解变上限定积分函数的导数计算方法；2. 举例演示变上限定积分函数的导数计算过程；3. 引导学生总结变上限定积分函数的导数计算规律。
五、巩固练习（10分钟）1. 学生独立完成练习题；2. 教师讲解练习题的解题思路和方法；3. 学生总结解题经验。
教学反思：本节课通过讲解和练习，使学生掌握了变上限定积分的概念、几何意义、函数计算和导数计算。
在教学过程中，注意引导学生思考和总结，提高学生的理解能力和解决问题的能力。
注重练习题的设置，使学生巩固所学知识，为后续课程的学习打下基础。
六、变上限定积分的应用举例（10分钟）1. 讲解变上限定积分在几何中的应用，如计算曲线下的面积；2. 讲解变上限定积分在物理学中的应用，如计算物体的体积；3. 引导学生思考变上限定积分在其他领域的应用。
七、变上限定积分的进一步性质（10分钟）1. 讲解变上限定积分的性质，如线性性质、可加性等；2. 举例说明变上限定积分的性质在实际问题中的应用；3. 引导学生探究变上限定积分的其他性质。
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用1. 引言1.1 什么是变上限定积分导数变上限定积分导数是微积分中的一个重要概念，是对定积分上限的函数关于变上限的导数。
在数学上，定积分的上限是一个常数，而变上限定积分导数是将上限看作一个变量，对其求导数的过程。
通常用符号F(x,t)表示，其中x为积分上限，t为变量。
变上限定积分导数的定义为\frac{d}{dt}\left(\int_{a}^{t}f(x)dx\right)=f(t)变上限定积分导数的计算方法上，主要利用导数的性质和积分的换元法。
在应用上，变上限定积分导数具有广泛的应用价值。
在数学分析中，可以用于证明一些定理和推论，如黎曼黎曼积分定理。
在经济学中，变上限定积分导数可以用于求解边际效用，生产函数等问题。
在物理学中，可以用于求解一些变化过程的速率，如速度、加速度等。
变上限定积分导数的应用前景广阔，将会在更多领域得到应用和拓展。
1.2 变上限定积分导数的应用变上限定积分导数是微积分中的一个重要概念，它在数学、经济学和物理学等领域都有着广泛的应用。
通过对变上限定积分导数的研究和运用，我们可以更好地理解和解决实际问题，从而推动这些领域的发展。
在经济学中，变上限定积分导数被广泛应用于描述市场供需关系、生产函数和效用函数等经济模型。
通过对变上限定积分导数的计算，经济学家可以更好地理解经济现象的发展规律，为经济政策的制定提供科学依据。
在物理学中，变上限定积分导数常常被用来描述物体的运动、力的作用和能量的转化等物理现象。
通过运用变上限定积分导数，物理学家可以更精确地描述和预测物体的运动状态，为物理学理论的建立和实验的设计提供重要参考。
变上限定积分导数在各个领域的应用都具有重要意义，它不仅推动了科学技术的发展，也为我们更深入地认识和理解世界提供了重要工具和方法。
随着研究的深入和技术的不断进步，相信变上限定积分导数的应用前景会更加广阔，为我们带来更多的惊喜和启发。
2. 正文2.1 变上限定积分导数的计算方法变上限定积分导数的计算方法是数学分析中的重要内容，它主要涉及对函数的变上限定积分进行求导。
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1．变上限的定积分
设 f ( x) 在[a,b] 上连续，则对x[a,b] ，定积分
x a
f
(t
)dt
存在，这就确定了[a,b]
上的一个函数，记为
(
x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
(
x
)
x a
f (t )dt
,
x[a,b]
。积分
x a
f
(t )dt
称
为变上限的定积分。
2．定理 1 设 f ( x) 在[a,b] 上连续， c[a,b] ，则
x
( x) c f (t)dt
在[a,b] 上可导，且
(
x
)[
x c
f
(t )dt
]
f (x)
，x[a,b]
。
证明：设 x[a,b] ，且 x x[a,b] ，则
( x)( xx)( x)
x Δx
c f (t)dt
x
c f (t)dt
x
x Δx
x
x Δx
c f (t)dt x f (t)dt c f (t)dt x f (t)dt .
，在 (a,
b)
内有且只有一个根。
证明：令 F ( x)
x a
f
(t )dt
x b
dt f (t)
，
显然F ( x) C[a, b]，且 f ( x) 0 ,则 f ( x) 0或f ( x) 0，
不妨设 f (x) 0
F (a)
a b
dt 0, f (t)
b
F (b) a f (t)dt0,
定理
1
说明当
f
(
x)C[a,b]
时，(
x)
x a
f
(t )dt
是f
(
x)
在[a,b] 上的一个原函数，从而可知连续函数必存在原函数，
故定理 1 也称为原函数存在定理。
3.变限求导公式
（1）[
x a
f
(t )dt]
f
(
x)
；
（2）[
b x
f
(t )dt]
f
( x)
；
（3）[ (x) f (t )dt] f [( x)]( x) ； a
故由零点定理可知，至少存在一点(a, b) ，
使得 F ()0, 即方程F ( x)0 在(a, b) 内至少有一个根。
∵ F ( x) f ( x) 1 2 ， f (x)
∴ F ( x) 在[a,b] 上严格单增，
∴方程 F ( x)0 在(a, b) 内只有一个根。
当 f ( x)0 时，可类似证得结论。
（4）[ b f (t )dt] f [( x)]( x) ； ψ( x)
（5）[ ( x) f (t)dt] f [( x)]( x) f [( x)]( x) 。 ( x)
例 1．求下列函数的导数dy 。 dx
（1） y
x
e
t
2
dt.
0
（2）
y
0
cos(
x
3t
1
)dt
.
（3） y 0 x sin(t 2 )dt.
（4） y
lnx 1
f
(t )dt
，求dy
。
x
dx
（5） y
x2
sinx
1t 2 dt
0
x
2
sin
3 2
tdt
例 2．求 lim
x0
0 x
t(t sint )dt
0
例 3．设 f ( x) 是以 T 为周期的连续函数，试证：对任意 x有
xT
T
( 1 ) x f (t)dt 0 f (t)dt,
a nT
T
( 2 ) a f (t)dtn 0 f (t)dt.
例 4．设 f ( x) 是[0, ) 上的单调减少的连续函数。
证明：当 x0 时，
x
(
x
2
3t
2
)
f
(t
)dt
0
。
0
例 5．设 f ( x) 在[a,b] 上连续，且 f ( x)0 。证明方程
x a
f
(t )dt
x b
dt 0 f (t)
由积分中值定理知，在 x与xx 之间至少存在一点 ，
使
Φ( x)
x Δx
f (t)dt f ()x,
x
∵ f ( x)C[a,b] ，
∴当 x0 时，有 x ， f () f ( x) ，
∴ ( x) lim Φ( x) lim f () f ( x) ， x0 x x
即 ( x) f ( x) 。
故方程
x a
f
(t
)dt
x b
dt f (t
0 )
在(a,
b)
内有且只有一个根。