2-9变上限定积分
变上限定积分
4cos 2xd2x
6
1 2
4
6
1 4
sin2x
4
6
1 24 4
3. 8
补例 计算 sin x sin3 xdx. 0
解 把被积函数化简.
sin x sin3 xdx sin x(1 sin2 x)dx
0
0
0 sin x | cos x | dx.
2 0
sin x cos xdx
sin x ( cos x)dx
2
2 0
sin xd sin x
sin xd sin x
2
2 3
3
sin2
x
2 0
2 3
3
sin2
x
2
2 ( 2) 4 . 3 33
3
22
4.2.3 定积分的性质
下面各性质中的函数都假设是可积的. 性质 1 (1) 两个函数和的定积分等于它们 定积分的和， 即
b f ( x) g( x)dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx.
a
a
a
性质2 被积函数的常数因子可以提到积分外面，
即
b
b
a kf ( x)dx k a f ( x)dx.
0
得
lim
x sin t 2dt
(
0
lim
x sin t 2dt)'
0
1 lim sin x2
《高等数学》第二节 定积分基本公式
例 1 设f (x) sin 2t d t, 求f (x) 0 x 2 2 解:f (x) sin 2t d t sin 2x 0
2
x
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则 I (x) f (t )dt
a x
是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
或记作
证明
b f ( x ) d x F ( x ) a F (b) F ( a ). b a
b a
F (x)是f (x)的一个原函数， 而I (x) f (t )dt也是f (x)的一个原函数，
a x
F (x) I (x) C.
令x a有 F (a) I (a) C.
1 1 1 x2 1 lim . 2 x 0 1 2
I I' ( x) lim lim f ( ) f (x)， x 0 x x
即
d x I ' (x ) f (t )dt f (x ). dx a
a
结论：变上限积分所确定的函数 x f (t )dt 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限 x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间 变化的，因此常记为
x a
x
f (t )dt.
定理1
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则变上限 I (x) f (t )dt
1 1 dx arctan x 1 2 1 x
1 1
arctan 1 arctan( 1) π π ( ) 4 4 π . 2
定积分基本公式
定积分基本公式定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等.第二节 微积分基本公式一、变上限的定积分设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d xa f x x⎰是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免t ，于是这个积分就写成了()d x af t t⎰.x 值,积分()d xaf t t⎰就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x af t t⎰（ a ≤x ≤b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示.定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分()Φx =()d xa f t t ⎰在[,]ab 上可导，且其导数是d ()()d ()d xaΦx f t t f x x '==⎰（ a ≤x ≤ b ）.推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d xa f t t ⎰即为其原函数.例1 计算()Φx =20sin d xt t⎰在x =0 ,处的导数.解 因为2d sin d d x t t x ⎰=2sin x ,故2(0)sin 00Φ'==；πsin 242Φ'==.例2 求下列函数的导数：(1)e ln ()d (0)x atΦx t a t =>⎰；解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e xu =，所以按复合函数求导法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t xx u t x ===⎰.(2)21()(0)x Φx x θ=>⎰.解 21d d d d x Φxx θ=-⎰22()xx ='=2sin 2sin 2x xx x x =-⋅=-.二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()()b af x x F b F a =-⎰.证 由定理1知，变上限积分()()d xaΦx f t t=⎰也是()f x 的一个原函数，于是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0()d ()x a f t t F x C =+⎰.我们来确定常数 0C 的值，为此，令 x a =，有0()d ()aa f t t F a C =+⎰，得0()C F a =-.因此有 ()d ()()xaf t t F x F a =-⎰.再令x b =，得所求积分为 ()d ()()baf t t F b F a =-⎰.因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x 表示积分变量，即得()d ()()b af x x F b F a =-⎰,其中()()F x f x '=.上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式：()d ()()()b b a af x x F x F b F a ==-⎰.例1 求定积分：(1)2211d ()xx x +⎰；（2）2312⎰；（3）1x-⎰.解 （1）222221111d (2)d ()x x x x x x =+++⎰⎰23115(2)436x x x =+-=. （2）2231122=⎰⎰dx2122=⎰=0.3398.=≈（3x=在[1,1]-上写成分段函数的形式,10,(),01,x x f x x x --≤<⎧=⎨≤≤⎩于是1110()d d x x x x x --=-+⎰⎰⎰220111022x x =-+=-.例2 计算2cos 12e d limx t x tx -→⎰.解 因为 0x →时,cos 1x →,故本题属 00 型未定式,可以用洛必达法则来求.这里2cos 1e d xt t-⎰是 x 的复合函数,其中cos u x =,所以222cos cos cos 1d e d e (cos )'sin e d x t x xt x x x ---==-⎰,于是有222cos cos1cos 200e d sin e sin limlim lim e 22x t xxx x x tx x x xx---→→→-⋅-==⎰111e 22e -=-=-.思考题1.若22()sin d x xf x t t=⎰，()?f x '=2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续. 问当()f x 在[,]a b 区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分？并计算22()d ,f x x -⎰ 其中 22,21,10,1,(),10,21,0 2.x x x f x x x x x ⎧-<<-⎪=-⎪=⎨-<<⎪⎪+≤≤⎩。
变上限积分
变上限积分介绍
---------------------------------------------------------------------- 变上限积分又称积分上限函数。
例如∫f(t)dt，其中上限为某一变量x，下限为某一常量a，假定f(t)的原函数为F(t)，则上述变上限积分就等于F(x)-F(a)，该积分显然是x 的函数，其中F(a)为常数。
现在对变上限积分求导就是对F(x)-F(a)求导，很明显等于f(x)。
如果积分上限为x的某一函数g(x)，则变上限积分就等于F[g(x)]-F(a)，对其求导就得到f[g(x)]g'(x)。
扩展资料：
积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。
上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们只讨论积分变上限函数即可。
积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。
首先，它是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或积
分下限。
变上限定积分函数及其导数教案
变上限定积分函数及其导数教案教学目标：1. 理解变上限定积分的概念及其几何意义；2. 学会计算变上限定积分的函数；3. 掌握变上限定积分函数的导数计算方法。
教学重点：1. 变上限定积分的概念及其几何意义；2. 变上限定积分函数的计算；3. 变上限定积分函数的导数计算。
教学难点：1. 变上限定积分的概念理解；2. 变上限定积分函数的计算；3. 变上限定积分函数的导数计算。
教学准备：1. 教师准备PPT课件；2. 教师准备相关例题和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习定积分的概念及其几何意义；2. 引导学生思考定积分与变上限定积分的关系；3. 引入变上限定积分的概念。
二、变上限定积分的概念及其几何意义（10分钟）1. 讲解变上限定积分的定义；2. 解释变上限定积分的几何意义；3. 举例说明变上限定积分的应用。
三、变上限定积分函数的计算（10分钟）1. 引导学生理解变上限定积分函数的概念；2. 讲解变上限定积分函数的计算方法；3. 举例演示变上限定积分函数的计算过程。
四、变上限定积分函数的导数计算（10分钟）1. 讲解变上限定积分函数的导数计算方法；2. 举例演示变上限定积分函数的导数计算过程；3. 引导学生总结变上限定积分函数的导数计算规律。
五、巩固练习（10分钟）1. 学生独立完成练习题；2. 教师讲解练习题的解题思路和方法；3. 学生总结解题经验。
教学反思：本节课通过讲解和练习，使学生掌握了变上限定积分的概念、几何意义、函数计算和导数计算。
在教学过程中，注意引导学生思考和总结，提高学生的理解能力和解决问题的能力。
注重练习题的设置，使学生巩固所学知识，为后续课程的学习打下基础。
六、变上限定积分的应用举例（10分钟）1. 讲解变上限定积分在几何中的应用，如计算曲线下的面积；2. 讲解变上限定积分在物理学中的应用，如计算物体的体积；3. 引导学生思考变上限定积分在其他领域的应用。
七、变上限定积分的进一步性质（10分钟）1. 讲解变上限定积分的性质，如线性性质、可加性等；2. 举例说明变上限定积分的性质在实际问题中的应用；3. 引导学生探究变上限定积分的其他性质。
变上限的定积分
1．变上限的定积分
设 f ( x) 在[a,b] 上连续，则对x[a,b] ，定积分
x a
f
(t
)dt
存在，这就确定了[a,b]
上的一个函数，记为
(
x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
(
x
)
x a
f (t )dt
,
x[a,b]
。积分
x a
f
(t )dt
称
为变上限的定积分。
2．定理 1 设 f ( x) 在[a,b] 上连续， c[a,b] ，则
x
( x) c f (t)dt
在[a,b] 上可导，且
(
x
)[
x c
f
(t )dt
]
f (x)
，x[a,b]
。
证明：设 x[a,b] ，且 x x[a,b] ，则
( x)( xx)( x)
x Δx
c f (t)dt
x
c f (t)dt
x
x Δx
x
x Δx
c f (t)dt x f (t)dt c f (t)dt x f (t)dt .
，在 (a,
b)
内有且只有一个根。
证明：令 F ( x)
x a
f
(t )dt
x b
dt f (t)
，
显然F ( x) C[a, b]，且 f ( x) 0 ,则 f ( x) 0或f ( x) 0，
不妨设 f (x) 0
F (a)
a b
dt 0, f (t)
b
F (b) a f (t)dt0,
定理
1
变上限的定积分应用举偶
dy = 2 sin x = 0 则 x = iπ (i = 1,2,3,LL) , 另易知， y ′ 在驻 dx
点 两 边 异 号 ， 所 以 所 求 极 值 点 为
N i = iπ (i = 1,2,3,LL) .
∫
3 d 0 dt d x dt = + dx x 2 dx 0 4 4 1+ t 1+t 1 + t4
dy dy sin x + sin x = 0, 故 =− . dx dx ey
数,有 e y
∫
x
(证明略)
三、应用举例：1.求函数的导数
例 1 求 y = sin tdt 当x = 0及x =
0
∫
x
π 时的导数. 4
3.求极限
知
cos x x →0 x2
∫e lim
1
−t 2
dt
.
解
:
由
性
x=
质
定
理
可
解: 易知这是一个 则计算.分子可写成 −
0 积分未定式,利用洛必达法 0
e −t dt 故
2
y ' = sin x, y 'x =0 = sin 0 = 0, y ' π = sin
4
π 2 = . 4 2
∫
cos x
1
例 2 求参数方程 x = sin udu, , y = sin udu 所确定
∫
故：
解: 将
∫ e dt + ∫ sin tdt = 0 的两端同时对 x 求导
t 0 0
x
127
2004 年
x
《和田师范专科学校学报》 （汉文综合版）
变上限定积分计算公式
变上限定积分计算公式
变上限定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线下的
面积或者求解相关的问题。
变上限定积分的计算公式如下：
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，定义F(x) = ∫[a, x] f(t) dt，其中t的上限是x，下限是a。
则F(x)在[a, b]上可导，且
F'(x) = f(x)。
这个公式的意义是，如果我们要计算函数f(x)在区间[a, b]上
的定积分，可以先求出F(x) = ∫[a, x] f(t) dt，然后再计算F(b) F(a)，即可得到定积分的值。
另外，变上限定积分还可以用于求解一些相关的问题，比如求
曲线的弧长、求曲线的平均值等。
在实际应用中，变上限定积分的计算可以通过数值积分的方法
进行近似计算，也可以通过微积分的方法进行精确计算。
无论是哪
种方法，都需要对函数的性质和区间进行分析，以确保计算的准确
性和有效性。
总之，变上限定积分是微积分中的重要内容，通过掌握相关的计算公式和方法，可以更好地理解和应用定积分的概念。
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d (x) ∫a f (t) dt = f [(x)]′(x) dx ( x) d ( x) d a f (t) dt = f (t) dt + ∫ f (t) dt a dx ∫ψ ( x) dx ∫ψ (x)
= f [(x)]′(x) f [ψ(x)]ψ′(x)
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�
dF0 (x) 即 |x=x0 = f (x0 ). dx 因x0为 a, b)上任意一点,故将上式 0换成x得到 ( x dF0 (x) 即 = f (x ). 证毕. 证毕 dx
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f (c) → f (x0 ), 因而 F0 (x) F0 (x0 ) lim = f (x0 ). x→x0 x x0
m ≤ f (x) ≤ M, x ∈[a, b]. ∫a mdx ≤ ∫a f (x)dx ≤ ∫a Mdx,
ba 再 连 函 的 值 理 存 c∈[a, b], 使 由 续 数 介 定 , 在 得
a
b
b
b
m(b a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M(b a),
b
∫ m≤
b
a
f (x)dx
≤ M.
x0 ∈(a, b] 及x < x0 , x ∈[a, b),
x→x0 0
同理可证
lim F (x) = F0 (x0 ), (x 0
再结合刚才所得(x) F 0
即F x)在(a, b]中每一点都左连续 ( . 0
在 a, b)上 连 的 论 于是证明了F x)在 a, b]上连续 [ 右 续 结 , ( [ . 0
a x0
x
a
= ∫ f(t)dt = f (c)(x x0 ) →0,
x0
x
当x → x0 + 0时(其中x0 < c < x). 由此推出 lim F0 (x) = F0 (x0 ).
x→x0 +0
以上证明了F0 (x)在x0处右连续 由于x0是 a, b)上的任意一点, . [ 也即证明了F x)在 a, b)中每一点都右连续 ( [ . 0
t
y
若 (x) ∈C[a, b], f
则
d x ∫b f (t)dt = f (x). dx
(∵∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt)
x b
b
x
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结束
例2
设
求 ′(x). F 解 F(x) =
F(x) = ∫ 2 1+ tdt
x
x
∫
x
2
x
1+ tdt = ∫ 1+ tdt + ∫ 2 1+ t dt
d x 即 F ′ (x) = ∫ f (t)dt = f (x) x ∈( a, b) . 0 dx a 证 由积分中值定理, x0 ∈[a, b) 及x > x0 , x ∈(a, b], 有
F (x) F0 (x0 ) = 0
∫ f(t)dt ∫
axBiblioteka x0af(t)dt = ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt
2-9 变上限定积分
在区间[a,b]上连续,则对于任意的 上连续, 设 f(x) 在区间 上连续 则对于任意的x ( a ≤ x ≤ b ),积分 ∫a ,
x
f ( x)dx
存在, 存在, 是上限x的函数 是上限 的函数. 的函数
∫
x
a
f ( x)dx
a≤ x≤b
注意:积分上限x与被积表达式 与被积表达式f(x)dx中的积分变量 是 中的积分变量x是 注意:积分上限 与被积表达式 中的积分变量 两个不同的概念,在求积时 或说积分过程中 上限x是 或说积分过程中)上限 两个不同的概念,在求积时(或说积分过程中 上限 是 固定不变的,而积分变量 是在下限与上限之间变化的 固定不变的,而积分变量x是在下限与上限之间变化的 ,因此常记为
∫
b
a
f (x) dx ba
y
= f (c)
y = f (x)
因
oa
c
b x
故它是有限个数的平均值概念的推广.
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定理2 定理 设f 在 a, b]上连续,则其变上限积分的积分 [
F (x) = ∫ f (t)dt 0
a x
(a ≤ x ≤ b)
是 a, b]上的 [ 连续函数 在( a, b)内可 ,且 导,且 F′(x) = f (x) , 0 x ∈ ( a, b) .
0 x
x
x
0
F′(x) = (∫ 1+ tdt)′ + (∫ 2 1+ tdt)′ 0
0 x
= 1+ x 1+ x2 (x2 )′
= 1+ x 2x 1+ x2 .
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结束
说明: 说明
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 变限积分求导:
∫
x
a
f (t )dt.
定理1 积分中值定理 积分中值定理) 在闭区间[ ] 定理1(积分中值定理) 若函数 f(x) 在闭区间[a,b]
连续,则在[ ] 至少存在一个点c 上 连续,则在[a,b]内至少存在一个点 ,使得
∫
最小值m.则
b
a
f (x)dx = f (c) (b a) .
证 因 f (x)在 a, b]上 续 它 [a, b]上 最 值 和 为 [ 连 , 在 有 大 M
a x
例1 设
求 ′(x) =? F 解 令 y = 2x +1,
0
F(x) = ∫
2x+1
et sin 5tdt
则 F(x) = 2x+1et sin 5tdt ∫
0
由
g( y) = ∫ e sin 5tdt 和 y = 2x +1 复合而成的复合函数. 复合而成的复合函数 0 F′(x) = G′( y) y′ = ey sin 5y 2 = 2e2x+1 sin 5(2x +1).
设x0 ∈(a, b)及x ∈(a, b), 则由积分中值定理可知存在一点 c在 与 0之 , 有 x x 间 且
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F (x) F0 (x0 )= 0
由此推出
∫
x
x0
f(t)dt = f (c)(x x0 )
F0 (x) F0 (x0 ) = f (c), x x0
当x → x0时 c → x0 ,于是由函数f的连续性可知x → x0时 ,
∫ f (c) =
b
a
f (x)dx ba
, 即
∫
b
a
f (x)dx = f (c) (b a) .
几何意义: 几何意义: 在 [a , b] 上至少存在一点 ξ , 使得曲边梯形的面积等于同 一底边而高为 面积. 面积
f (ξ ) 的矩形的
a
ξ
b
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结束
说明: 说明
积分中值定理对 可把
定理2也称作原函数存在定理 定理 也称作原函数存在定理 也称作
如果函数f (x)在区间 [a, b]上连续,则 Φ(x) = ∫ f (t)dt 是f (x)在( a, b) 上的一个原函数 .
由上述结论可知: 由上述结论可知:尽管不定积分与定积分概念的引入 完全不同,但彼此有着密切的联系,因此我们可以通 完全不同,但彼此有着密切的联系,因此我们可以通 过求原函数来计算定积分.