2-9变上限定积分

dF0 (x) 即 |x=x0 = f (x0 ). dx 因x0为 a, b)上任意一点,故将上式 0换成x得到 ( x dF0 (x) 即 = f (x ). 证毕. 证毕 dx
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f (c) → f (x0 ), 因而 F0 (x) F0 (x0 ) lim = f (x0 ). x→x0 x x0
d (x) ∫a f (t) dt = f [(x)]′(x) dx ( x) d ( x) d a f (t) dt = f (t) dt + ∫ f (t) dt a dx ∫ψ ( x) dx ∫ψ (x)
= f [(x)]′(x) f [ψ(x)]ψ′(x)
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�
a x0
x
a
= ∫ f(t)dt = f (c)(x x0 ) →0,
x0
x
当x → x0 + 0时(其中x0 < c < x). 由此推出 lim F0 (x) = F0 (x0 ).
x→x0 +0
以上证明了F0 (x)在x0处右连续 由于x0是 a, b)上的任意一点, . [ 也即证明了F x)在 a, b)中每一点都右连续 ( [ . 0
d x 即 F ′ (x) = ∫ f (t)dt = f (x) x ∈( a, b) . 0 dx a 证 由积分中值定理, x0 ∈[a, b) 及x > x0 , x ∈(a, b], 有
F (x) F0 (x0 ) = 0
∫ f(t)dt ∫
a
x
x0
a
f(t)dt = ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt
x0 ∈(a, b] 及x < x0 , x ∈[a, b),
x→x0 0
同理可证
lim F (x) = F0 (x0 ), (x 0
再结合刚才所得(x) F 0
即F x)在(a, b]中每一点都左连续 ( . 0
在 a, b)上 连 的 论 于是证明了F x)在 a, b]上连续 [ 右 续 结 , ( [ . 0
∫
x
a
f (t )dt.
定理1 积分中值定理 积分中值定理) 在闭区间[ ] 定理1(积分中值定理) 若函数 f(x) 在闭区间[a,b]
连续,则在[ ] 至少存在一个点c 上 连续,则在[a,b]内至少存在一个点 ,使得
∫
最小值m.则
b
a
f (x)dx = f (c) (b a) .
证 因 f (x)在 a, b]上 续 它 [a, b]上 最 值 和 为 [ 连 , 在 有 大 M
m ≤ f (x) ≤ M, x ∈[a, b]. ∫a mdx ≤ ∫a f (x)dx ≤ ∫a Mdx,
ba 再 连 函 的 值 理 存 c∈[a, b], 使 由 续 数 介 定 , 在 得
a
b
b
b
m(b a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M(b a),
b
∫ m≤
b
a
f (x)dx
≤ M.
2-9 变上限定积分
在区间[a,b]上连续,则对于任意的 上连续, 设 f(x) 在区间 上连续 则对于任意的x ( a ≤ x ≤ b ),积分 ∫a ,
x
f ( x)dx
存在, 存在, 是上限x的函数 是上限 的函数. 的函数
∫
x
a
f ( x)dx
a≤ x≤b
注意:积分上限x与被积表达式 与被积表达式f(x)dx中的积分变量 是 中的积分变量x是 注意:积分上限 与被积表达式 中的积分变量 两个不同的概念,在求积时 或说积分过程中 上限x是 或说积分过程中)上限 两个不同的概念,在求积时(或说积分过程中 上限 是 固定不变的,而积分变量 是在下限与上限之间变化的 固定不变的,而积分变量x是在下限与上限之间变化的 ,因此常记为
设x0 ∈(a, b)及x ∈(a, b), 则由积分中值定理可知存在一点 c在 与 0之 , 有 x x 间 且
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F (x) F0 (x0 )= 0
由此推出
∫
x
x0
f(t)dt = f (c)(x x0 )
F0 (x) F0 (x0 ) = f (c), x x0
当x → x0时 c → x0 ,于是由函数f的连续性可知x → x0时 ,
0 x
x
x
0
F′(x) = (∫ 1+ tdt)′ + (∫ 2 1+ tdt)′ 0
0 x
Hale Waihona Puke Baidu
= 1+ x 1+ x2 (x2 )′
= 1+ x 2x 1+ x2 .
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说明: 说明
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 变限积分求导:
a x
例1 设
求 ′(x) =? F 解 令 y = 2x +1,
0
F(x) = ∫
2x+1
et sin 5tdt
则 F(x) = 2x+1et sin 5tdt ∫
0
由
g( y) = ∫ e sin 5tdt 和 y = 2x +1 复合而成的复合函数. 复合而成的复合函数 0 F′(x) = G′( y) y′ = ey sin 5y 2 = 2e2x+1 sin 5(2x +1).
t
y
若 (x) ∈C[a, b], f
则
d x ∫b f (t)dt = f (x). dx
(∵∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt)
x b
b
x
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例2
设
求 ′(x). F 解 F(x) =
F(x) = ∫ 2 1+ tdt
x
x
∫
x
2
x
1+ tdt = ∫ 1+ tdt + ∫ 2 1+ t dt
∫ f (c) =
b
a
f (x)dx ba
, 即
∫
b
a
f (x)dx = f (c) (b a) .
几何意义: 几何意义: 在 [a , b] 上至少存在一点 ξ , 使得曲边梯形的面积等于同 一底边而高为 面积. 面积
f (ξ ) 的矩形的
a
ξ
b
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说明: 说明
积分中值定理对 可把
定理2也称作原函数存在定理 定理 也称作原函数存在定理 也称作
如果函数f (x)在区间 [a, b]上连续,则 Φ(x) = ∫ f (t)dt 是f (x)在( a, b) 上的一个原函数 .
由上述结论可知: 由上述结论可知:尽管不定积分与定积分概念的引入 完全不同,但彼此有着密切的联系,因此我们可以通 完全不同,但彼此有着密切的联系,因此我们可以通 过求原函数来计算定积分.
∫
b
a
f (x) dx ba
y
= f (c)
y = f (x)
因
oa
c
b x
故它是有限个数的平均值概念的推广.
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定理2 定理 设f 在 a, b]上连续,则其变上限积分的积分 [
F (x) = ∫ f (t)dt 0
a x
(a ≤ x ≤ b)
是 a, b]上的 [ 连续函数 在( a, b)内可 ,且 导,且 F′(x) = f (x) , 0 x ∈ ( a, b) .