变限积分习题
变限积分题目
变限积分题目1. 题目：计算积分$\int_0^1 x^2 \,dx$解答：积分$\int_0^1 x^2 \,dx$ 表示在区间[0, 1] 上对函数$x^2$ 进行积分。
我们可以使用积分的基本公式来计算这个积分。
具体地，我们可以使用不定积分的性质来计算定积分：$$\int x^2 \,dx = \frac{x^3}{3} + C$$其中，C 为常数。
然后，我们计算上限和下限的积分值，并相减：$$\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$$因此，积分$\int_0^1 x^2 \,dx$ 的结果为$\frac{1}{3}$。
2. 题目：计算积分$\int_1^2 (3x^2 + 2x - 1) \,dx$解答：首先对函数$3x^2 + 2x - 1$ 进行不定积分得到$\int (3x^2 + 2x - 1) \,dx = x^3 + x^2 - x + C$，然后计算上限和下限的积分值并相减：$\left[x^3 + x^2 - x\right]_1^2 = (2^3 + 2^2 - 2) - (1^3 + 1^2 - 1) = 14 - 1 = 13$3. 题目：计算积分$\int_0^{\pi/2} \sin(x) \,dx$解答：积分$\int_0^{\pi/2} \sin(x) \,dx$ 表示在区间[0, π/2] 上对函数$\sin(x)$ 进行积分。
这是一个标准的三角函数的积分，结果为1。
4. 题目：计算积分$\int_1^3 \frac{1}{x} \,dx$解答：积分$\int_1^3 \frac{1}{x} \,dx$ 表示在区间[1, 3] 上对函数$\frac{1}{x}$ 进行积分。
这个积分的结果是$\ln(3)-\ln(1)=\ln(3)$。
习题课8变上限的积分
2. cos x e ( yx)2 ( dy 1) 0 dx
dy 1 cos xe( yx)2 , dx
d 2 y sin xe( yx)2 cos x e( yx)2 2( y x)(dy 1)
dx 2
dx
d2y dx 2
x0
2e y2 (0) y(0)(dy dx
x0 1) 2e 2
1.x
t
u ln udu, y
2 u 2 ln udu,求 dx , d 2 x
1
t
dy dy2
2.设 sin x
yx e t 2 dt 0, 求 d 2 y
1
dx 2
x0 .
3.求常数a, b, c, 使 lim x0
ax sin x x ln(1 t 3 )
c(c 0).
b t dt
( A). d
b
f (x)dx f (x)
dx a
(B). 1 e x dx 1 e x2 dx
0
0
(D).上述三式都不成立
dx
(B). dx a f (x)dx f (x)
b
(C).a f (x)dx f (x)
b
(D).a f (x)dx f (x) c
4.设f (x) C [a,b] ,则由y f (x), x a, x b, y 0所围成的 图形面积为
习题课 八
一.选择题：
1. f (x)在[a, b]上连续,则
b
f (x)dx
b
f (t)dt
a
a
( A). 0
(B). 0
(C). 0
(D).不确定
2.下列结论正确的是
( A). 1 e x dx 1 e x2 dx
变上限的定积分
1．变上限的定积分
设 f ( x) 在[a,b] 上连续，则对x[a,b] ，定积分
x a
f
(t
)dt
存在，这就确定了[a,b]
上的一个函数，记为
(
x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
(
x
)
x a
f (t )dt
,
x[a,b]
。积分
x a
f
(t )dt
称
为变上限的定积分。
2．定理 1 设 f ( x) 在[a,b] 上连续， c[a,b] ，则
x
( x) c f (t)dt
在[a,b] 上可导，且
(
x
)[
x c
f
(t )dt
]
f (x)
，x[a,b]
。
证明：设 x[a,b] ，且 x x[a,b] ，则
( x)( xx)( x)
x Δx
c f (t)dt
x
c f (t)dt
x
x Δx
x
x Δx
c f (t)dt x f (t)dt c f (t)dt x f (t)dt .
，在 (a,
b)
内有且只有一个根。
证明：令 F ( x)
x a
f
(t )dt
x b
dt f (t)
，
显然F ( x) C[a, b]，且 f ( x) 0 ,则 f ( x) 0或f ( x) 0，
不妨设 f (x) 0
F (a)
a b
dt 0, f (t)
b
F (b) a f (t)dt0,
定理
1
变限积分的形式
变限积分的形式（原创版）目录1.变限积分的定义2.变限积分的性质3.变限积分的计算方法4.变限积分的应用实例正文1.变限积分的定义变限积分，又称为非定限积分，是指在积分区间上，将一个函数在某一特定区间内进行积分，而积分区间在函数的定义域内变化。
变限积分是定限积分的一种推广，它在实际问题中有广泛的应用。
2.变限积分的性质变限积分具有以下性质：（1）线性性质：若 f(x) 和 g(x) 都是关于 x 的可积函数，那么(f(x)+g(x)) 的变限积分等于 f(x) 的变限积分与 g(x) 的变限积分之和，即∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx。
（2）保号性：若 f(x) 是关于 x 的可积函数，且在区间 [a,b] 上非负，那么 f(x) 的变限积分在 a 到 b 的区间内非负，即∫[a,b]f(x)dx >= 0。
（3）可积函数的有界性：若 f(x) 是关于 x 的可积函数，那么 f(x) 在区间 [a,b] 上有界，即存在 M>0，使得|f(x)|<=M，对 x∈[a,b] 成立。
3.变限积分的计算方法计算变限积分的方法主要有以下两种：（1）分部积分法：将变限积分转化为定限积分，然后利用分部积分法进行求解。
（2）替换法：通过替换变量，将变限积分转化为定限积分，然后进行求解。
4.变限积分的应用实例变限积分在实际问题中有广泛的应用，例如在物理、化学、经济等领域都有涉及。
下面举一个简单的例子：求函数 f(x)=x^2 在区间 [0,t] 上的变限积分，其中 t 为变量。
∫[0,t]x^2dx = (1/3)x^3|[0,t] = (1/3)t^3。
变上限定积分精选试题和答案
变上限定积分1、函数⎰+-=23211)(x dt tx x f ，但减区间为 。
2、若⎰+-=2324)(x dt t t x f ，则的单增区间为 )(x f，3、设函数)(x f 连续，在0=x 处可导，且0)0(=f ，3)0(='f ，若函数[]⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=⎰0,0,5sin )()(2x A x x dtt t f x F x ，在0=x 处连续，则A= 4 。
4、若当0→x 时，无穷小量⎰-=sin 02)1()(x tdt e x f 与)1ln()(3xx g α-=等价，则α5、设连续)(x f '，0)0(=f ，0)0(≠'f ，dt t f t x x F x)()()(022⎰-=，若当时0→x ，是同阶无穷小与k x x F )('，=k 则（ B ） （A ）4； （B ）3； （C ）2； （D ）1。
6、设函数)(x y y =是由方程确定x dt e y x t =⎰+-12，则==0x dxdy（ C ）（A ）1+e ； （B ）e -1； （C ）1-e ； （D ）e 2。
7. 设()t u u x f xtd d 10sin 14⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,则()=''0f 1 . 8. 设函数()()01d 23>+=⎰x t t x f x x,则当x ,取得最大值. 9、设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21,210,)(2x x x x x f ，记)20()()(0≤≤=⎰x dt t f x F x ，则)(x F 等于（ B ）（A ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤21,223110,323x x x x x （B ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤21,226710,323x x x x x （C ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤21,22310,3233x x x x x x （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤21,2210,323x x x x x 10. 求()()32d cos ln limx tt t xx ⎰+→ 11.求xx dte xt x sin )1(lim202⎰-→. (31=). 12.求xdttt x xx 202sin )3ln()(lim ⎰+-→； (23ln =)。
高数D5_2变限积分导数、牛莱公式、定积分换元分布(1)
～
1. c ,得 2
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
0
x
f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
x
2
0 f (t ) d t
而
I0
0
2
dx
, 2
I1 2 sin x dx 1
0
故所证结论成立 .
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有
a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
0
I n (n 1) 2 sin n 2 x cos 2 x dx
0
(n 1) 2 sin n 2 x (1 sin 2 x) dx
(n 1) I n 2
1 I 由此得递推公式 I n nn n2
0
于是
m 1 I 2 m 3 I 3 1 I I 2 m 22 2 m 2 4 2 0 m 2 m 2 2 m4 m 2 m2 42 I I 2 m1 22 I I 2 m 3 m 1 m 1 22 m 1 5 3 1
d x , 因此
所以
其中
I n I n 1
备用题
3. 证明 是以 为周期的函数.
关于变限积分问题(1)
3
高等数学研究
2
2010 年 11 月
解
d x sin( x - t) 2 dt . dx 0 不妨令 t - x = u, 那么,
0 -x
d x sin( x - t) 2 dt = d dx 0 dx 3. 3 最值问题
sinu2 du = sinx 2 .
例 6 在区间 [ 1, e] 上求一点 , 使得图 1 中所示 的阴影部分的面积为最小.
b
数的因子时, 总是用分部积分法求解 , 且取积分上限 函数为分部积分公式中的 u( x ) . 例 9 试求 ∀( x ) =
x
f ( t) dt 0 0 ∋ x ∋ 1, 1 < x ∋ 2, x < 0, x > 2.
在(- & , + & ) 内的表达式. 其中 x, f (x) = 2- x, 0,
t
f ( x) = 的最大值不超过 解
0
( t - t 2 ) sin 2nt dt
1 . ( 2n + 2) ( 2 n+ 3) 先求出函数的最大值点 , 然后估计作为函
c = 1.
数最大值的定积分的上界. 由 f ( x ) = ( x - x 2 ) sin2nx = 0, ( x # 0) 解出驻点 x = 1, k ! ( k = 1, 2 , ∃) , 由于当 x % ( 0, 1) 时, f ( x ) > 0, 而当 x % ( 1, + & ) 时, f ( x ) ∋ 0 ( 等号仅在 x = k! 处成立) , 故 f ( 1) 是 f ( x ) 在区间 [ 0, + & ) 上的最大值.
变限积分函数求导
变限积分函数求导变限积分函数求导，是微积分中的重要内容之一。
在求导的过程中，我们需要运用一系列的导数运算法则，灵活运用规则和技巧。
一、基本的变限积分函数求导法则1. 若$f(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} g(t)dt$，其中$a(x)$和$b(x)$是$x$的函数，$g(t)$是$t$的函数，则$f'(x)=b'(x)g(b(x))-a'(x)g(a(x))$。
具体而言，我们可以把这个式子看作：求$b(x)$在$x$处的导数，并用$b'(x)$乘以积分上限的函数值$g(b(x))$；再求$a(x)$在$x$处的导数，并用$a'(x)$乘以积分下限的函数值$g(a(x))$；最后将两项相减得到的结果即为函数$f(x)$在$x$处的导数。
2. 若$f(x)=\int_{a}^{b} g(x,t)dt$，其中$g(x,t)$是$x$和$t$的函数，则$f'(x)=\int_{a}^{b} \frac{\partial g(x,t)}{\partial x}dt$。
这个式子的核心思想是：先对$g(x,t)$关于变量$x$求偏导数，然后再将$t$视为常数，将结果与积分区间$[a,b]$进行积分。
二、使用链式法则当我们需要对复合函数进行变限积分求导时，可以运用链式法则。
具体步骤如下：1. 将复合函数拆分为两部分：$y=f(u)$和$u=g(x)$。
2. 对$y=f(u)$求导：$y'=f'(u)u'$。
3. 对$u=g(x)$进行变限积分求导：$f(u)'=\int_{a(u)}^{b(u)} g'(x,t)dt$。
4. 将两部分的导数相乘：$(f(g(x)))'=\int_{a(g(x))}^{b(g(x))}f'(g(x))g'(x,t)dt$。
三、实际例子下面通过一些实际例子来更好地理解变限积分函数求导的方法。