含有变限积分或定积分的极限的求法
求极限的方法总结
学号：0 学年论文求极限的方法总结Method of Limit学院理学院专业班级学生指导教师（职称）完成时间年月日至年月日摘要极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。
许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。
因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。
但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。
本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。
关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理AbstractThe concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference.Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem引言极限时分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。
求极限的12种方法
求极限的方法
1、利用极限的四则运算和幂指数的运算法则
2、利用函数的连续性
3、利用变量替换
4、利用等价无穷小
5、利用洛必达法则
6、分别求左右极限
7、把数列极限转化为函数极限
8、利用夹逼定理（极限存在两定理之一）
1）利用简单的放大、缩小函数法
2）利用不等式的性质进行放大或缩小【根据定义不等式求极限】
3）对积分的极限可以利用积分的性质进行放大缩小
9、利用递归数列先证明极限的存在（常用单调数列必有界），
再利用递归关系求出极限。
10、利用定积分求和式求极限
11、利用泰勒公式
12、利用导数定义求极限
附加：
1、 利用函数极限求数列极限 Example:
(1) n n
n ln lim +∞
→ 解：记：x x
n n x n ln ln lim lim +∞→+∞→= =0。
考研数学求数列极限的方法总结
考研数学求数列极限的方法总结有关考研数学求数列极限的方法总结总结是事后对某一阶段的学习或工作情况作加以回顾检查并分析评价的书面材料，它可以提升我们发现问题的能力，不如静下心来好好写写总结吧。
以下是店铺整理的有关考研数学求数列极限的方法总结，希望对大家有所帮助。
考研高数求极限的方法指南1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x)，没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa，展开ln1+x，对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法，取大头原则最大项除分子分母看上去复杂，处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法，面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
极限的常用求法及技巧
极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。
极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。
极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。
极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。
函数的极限等等。
本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通。
1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。
数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。
1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。
若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有ε<-a a n则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a n a =∞→或)(,∞→∞→n a n读作当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于a 或n a 趋于a 例证明2322n lim -∞→n n 解 由于)3n 93n 9323222≥≤-=--（nn n 因此，对于任给的ε>0,只要ε<n9，便有 ε<--33322n n即当n ε9>时，（2）试成立。
考研数学利用变限积分求导计算函数极限的方法
考研数学：利用变限积分求导计算函数极限的方法在考研数学中，利用变限积分求导来计算定积分、函数极限和证明积分等式或不等式是常考的题型，事实上，变限积分是与微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）紧密联系在一起的，其重要性不言而喻。
在上一篇文章中，文都考研数学辅导老师向大家介绍了利用变限积分求导来计算定积分的技巧，下面对利用变限积分求导来计算函数极限这类题的解题方法进行分析介绍，供各位考生参考，希望对大家有所裨益。
变限积分求导的基本公式： 公式1：若()f x 连续，则()()xad f t dt f x dx =⎰； 公式2：若()f x 连续，12(),()x x ϕϕ可导，则21()2211()()(())()(())()x x d f t dt f x x f x x dx ϕϕϕϕϕϕ''=-⎰ 利用变限积分求导计算函数极限的基本方法：1）如果函数是含变限积分的分式，可以考虑使用变限积分求导法计算极限； 2）通常是对00型和∞∞型不定式积分使用，并结合洛必达法则使用； 3）如果被积函数中含参数x ，应该先将参数x 分离出来，提到积分号前面去。
例1. 求极限222limx t x x te dtx e→∞⎰解析：这是一个∞∞型不定式极限，可以运用洛必达法则，而分子是一个变上限积分函数，因此可如下计算：2222220232limlim22x t x x x xx x te dtx e x x exe x e →∞→∞⋅==+⎰22lim11x x x →∞=+ 例2. 0()()(0)0,lim()xx x tf x t dtf x f x f t dt→-≠⎰⎰若连续，求解析：这是一个型不定式极限，可以运用洛必达法则，但分子中的被积函数含参数x ，需要先将x 分离出来，提到积分号外面去，这可以通过积分换元法实现，具体过程如下：1.()()()()()()()x t uxxxxxtf x t dt x u f u du x t f t dt x f t dt -=-=--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰()()()()2.limlimlim()()()()()xxxxxx xx x x f t dtx f t dt tf t dtf t dtx I x f t dtf t dt xf x f t dt f x x→→→-===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()(0)13.limlim ()(0),(0)(0)2xx x f t dt f f x f I xf f →→==∴==+⎰例3. 224000()()()lim 2,()(),lim x x x f x F x f x F x tf x t dt xx →→==-⎰设连续，求 22220222222001111.()()()()(222x t u xx x x F x tf x t dt f x t d x t f u du f -==-=---=-=⎰⎰⎰⎰解：（）22204432000011()()2()1()1222.lim lim lim lim 442x x x x x f u du f x x F x f x x x x x →→→→⋅⋅====⎰ 上面就是对考研数学中利用变限积分求导来计算函数极限这种题型的基本解题方法，在以后的时间里，文都考研数学辅导老师还会向考生们介绍利用变限积分求导来证明积分等式或不等式的解题技巧，以及考研数学中其它常考题型和相应的解题方法，希望各位考生留意查看。
求函数极限的八种方法
求函数极限的八种方法
下面我们来讲解一下具体求极限方法
1.利用函数的连续性求函数的极限（直接带入即可）
如果是初等函数，且点在的定义区间内，那么，因此计算当时的极限，只要计算对应的函数值就可以了。
2.利用有理化分子或分母求函数的极限
a.若含有，一般利用去根号
b.若含有，一般利用，去根号
3.利用两个重要极限求函数的极限
（）
4.利用无穷小的性质求函数的极限
性质1：有界函数与无穷小的乘积是无穷小
性质2：常数与无穷小的乘积是无穷小
性质3：有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小
5.分段函数的极限
求分段函数的极限的充要条件是:
6.利用抓大头准则求函数的极限
其中为非负整数.
7.利用洛必达法则求函数的极限
（可向，转换）
对于未定式“ ”型，“ ”型的极限计算，洛必达法则是比较简单快捷的方法。
8.利用定积分的定义求函数的极限利用公式：
以上就求函数极限的方法。
求定积分的方法总结
求定积分的方法总结1. 引言在微积分中，定积分是一个重要的概念。
它可以用来计算曲线下的面积、求解曲线的弧长、重心以及解决一系列与变化率相关的问题。
本文将总结几种常用的方法，帮助读者更好地理解和应用定积分的求解过程。
2. 几何法几何法是定积分求解的最直观方法之一。
通过几何图形来理解定积分的意义和求解过程，可以更好地把握其基本思想。
例如，若要求解函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分：∫[a,b] f(x) dx可以将 f(x) 的图像和 x 轴围成的区域视为一个几何图形，通过求解这个图形的面积来得到定积分的值。
常见的几何图形可以是长方形、梯形、圆形等。
根据具体情况，选择合适的图形进行面积计算。
3. 微元法微元法是定积分求解的一种基本方法。
它基于函数的微分和积分之间的关系，将区间 [a, b] 分割为无穷多的微小区间，然后在每个微小区间上进行求和，最后通过取极限的方式得到定积分的值。
微元法的关键是确定微小区间的宽度，即将区间 [a, b] 分割成若干个小区间的长度。
常用的分割方法有等分法、等差数列法和等比数列法。
一般情况下，分割的区间越小，计算结果越准确。
在微元法中，需要确定每个微小区间上的函数值，可以通过函数曲线上的点来确定。
例如，可以取每个小区间的左端点、右端点或中点来表示该区间上的函数值。
通过求和并取极限，最终可以得到定积分的值。
4. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分求解的一种重要工具。
它建立了定积分和不定积分之间的关系，可以通过求解不定积分来得到定积分的值。
牛顿-莱布尼茨公式的表达式为：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x) 是 f(x) 的一个原函数。
通过求解 f(x) 的不定积分，可以得到一个原函数 F(x)，再根据公式将上下限值代入，即可得到定积分的值。
牛顿-莱布尼茨公式的优点是可以直接得到定积分的值，无需进行复杂的计算。
但前提是需要知道 f(x) 的一个原函数。
8定积分应用(求极限,变上限求导,面积,体积,不等式)
y
o
x
4.设 y ax与 y x 2 围成图形的面积为s1 , 它们与x 1 围成图形的面积为s2 , 且 0 a 1 (1) 求 a , 使 s1 s2 最小
(2) 求此最小值对应的平面 图形绕 x 轴旋转而得的旋转 体体积. 解 (1) 0 a 1 时, s s1 s2
例
x sin( xt ) f ( x) . lim 2 ，其中 f ( x) 2 dt x x 0 x t
例 : 设f ( x )连续, 且f ( 0 ) 0
求 lim
x0
x
0
( x t ) f (t )dt
x 0
x f ( x t )dt
1 ( ) 2
例.
例
3
设隐函数y y( x )由
o
x
1 3 1 2 （ ） (1 y 2 y) dy ( y y y ) . 1 S 0 3 3 0 2 2 1 2 2 （2） V ( x) dx ( x 1) dx 0 1 6 2
1 2
1
(3)绕直线 x 2 旋转所得旋转体的体积.
例
.设f ( x)为奇函数，且当 0时，f ( x) 0 x
sin( xt ) f ( x) 0, 其中 f ( x) 2 dt，令 x t
x
F ( x) f ( xt)dt tf (t 2 x 2 )dt,
1 0
1
x
判别F (x)在 ， 上的凹凸性
3 2 2
2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f ( x)在2,4上可导, 且
f (2) ( x 1) f ( x)dx 。
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含有变限积分或定积分的极限的求法
【摘要】通过对变限积分和定积分的学习和研究,认识到处理含积分极限问题需利用被积函数、变限积分的相关性质,根据极限变量的类型需要相应的解决方法。
【关键词】变限积分定积分极限洛必达法则等价无穷小积分中值定理夹逼准则积分估值定理
1.含变限积分的极限的求法。
1.1 利用洛必达法则。
洛必达法则则是在求解型或者型未定式极限的一种行之有效的法则,同时也要注意某些技巧,如:等价无穷小因子代换、变量代换法、恒等变形、有确定极限对的因子先求出极限等。
小结:对变限积分施行适当的变量代换,变形成带有型或型的极限问题后,一般用洛必达法则求解。
而对于积分变量不是连续型变量,一般不用洛必达法则求之。
当然,洛必达法则也不是处处可以用的,例如“已知是以T为周期的连续函数,设求”,此题不能用洛必达法则,是因为分子和分母同时求导后得到,其极限不存在。
一个比较直观的解法是令,其中。
利用被积函数的周期性将积分区间分解成和,最终得到
1.2 换元法。
积分中使用换元法实质就是对积分实施适当的变量替换,运用积分基本性质和运算法则,推出所要证明的结果,这是积分中经常使用的方法。
例2.设函数可导,且,求
例3.设在点x=0的某领域内连续,并且,求
解:当时,,令则于是
小结:但是要注意的是在使用换元法时要注意积分上下限要跟着变化,在等式两边上下限相同时,要把等式的一边化为另一边时,一般使用换元法来达到目的。
1.3 利用变限积分的等价无穷小代换。
作等价无穷小代换时,如果只对分子或(分母)中的某一项做替换就会出错,必须将分子和分母的整体分别换成它们各自的等价无穷小,但是如果分子或者分母为若干个无穷小因子做替换,这时可以保证所得的新的分子或(分母)的整体与原来的分子或(分母)的整体式等价无穷
小。
1.4 使用积分中值定理。
积分中值定理就是:设在上连续,则存在,使得
例5.证明
证明:设,,则在(0,1)上不变号。
由积分中值定理:
=
小结:若积分算不出来,或不易算,可先用积分中值定理处理,或者去掉积分号,或者再积分。
但值得注意的是积分中值定理或推广的积分中值定理中的可能取在区间的两个端点,这与微分中值定理是不同的。
2.极限变量仅含在被积函数中的定积分极限的求法。
有时被积函数的原函数不能用初等函数表示,此时就无法先积分,再求极限。
实际上也不需要,只要仔细分析已知条件,利用函数的性质及微积分中值定理,设法去掉积分号,就能灵活处理。
2.1 先求定积分,再求极限。
例6.设在上有连续导数,试求:
从而
小结:在处理含积分的极限问题时,若将积分计算出来再求极限,这是可行的方法之一。
2.2 利用夹逼准则。
夹逼准则,顾名思义就是寻找一个适当的下限函数和一个上限函数,使得被积函数处于这两者之间,进而简化求解的复杂性。
例7.证明
证明:用夹逼准则证之。
因当时,有,故,
00时,在上连续,恒成立,故由推广的积分中值定理得到:
小结:由于极限变量不是连续型变量,一般不用洛必达法则求之。
常用积分中值定理、积分估值定理去掉积分号,再(用夹逼准则)求极限。
参考文献
1 雷发社.高等数学重点难点100讲[M].陕西:陕西科学技术出版社,2003
2 毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳上册[M].华中科技大学出版社,2001
3 同济大学数学系.高等数学.上册[M].北京高等教育出版社,2007。