4-5含变限积分的极限问题(个性化模块) - 副本
含有变限积分或定积分的极限的求法
含有变限积分或定积分的极限的求法【摘要】通过对变限积分和定积分的学习和研究,认识到处理含积分极限问题需利用被积函数、变限积分的相关性质,根据极限变量的类型需要相应的解决方法。
【关键词】变限积分定积分极限洛必达法则等价无穷小积分中值定理夹逼准则积分估值定理1.含变限积分的极限的求法。
1.1 利用洛必达法则。
洛必达法则则是在求解型或者型未定式极限的一种行之有效的法则,同时也要注意某些技巧,如:等价无穷小因子代换、变量代换法、恒等变形、有确定极限对的因子先求出极限等。
小结:对变限积分施行适当的变量代换,变形成带有型或型的极限问题后,一般用洛必达法则求解。
而对于积分变量不是连续型变量,一般不用洛必达法则求之。
当然,洛必达法则也不是处处可以用的,例如“已知是以T为周期的连续函数,设求”,此题不能用洛必达法则,是因为分子和分母同时求导后得到,其极限不存在。
一个比较直观的解法是令,其中。
利用被积函数的周期性将积分区间分解成和,最终得到1.2 换元法。
积分中使用换元法实质就是对积分实施适当的变量替换,运用积分基本性质和运算法则,推出所要证明的结果,这是积分中经常使用的方法。
例2.设函数可导,且,求例3.设在点x=0的某领域内连续,并且,求解:当时,,令则于是小结:但是要注意的是在使用换元法时要注意积分上下限要跟着变化,在等式两边上下限相同时,要把等式的一边化为另一边时,一般使用换元法来达到目的。
1.3 利用变限积分的等价无穷小代换。
作等价无穷小代换时,如果只对分子或(分母)中的某一项做替换就会出错,必须将分子和分母的整体分别换成它们各自的等价无穷小,但是如果分子或者分母为若干个无穷小因子做替换,这时可以保证所得的新的分子或(分母)的整体与原来的分子或(分母)的整体式等价无穷小。
1.4 使用积分中值定理。
积分中值定理就是:设在上连续,则存在,使得例5.证明证明:设,,则在(0,1)上不变号。
由积分中值定理:=小结:若积分算不出来,或不易算,可先用积分中值定理处理,或者去掉积分号,或者再积分。
定积分专题05：含参数定积分极限与变限积分极限问题求解思路与方法
定积分专题05：含参数定积分极限与变限积分极限问题求解思
路与方法
本系列专题由学友“亭亭小可爱”整理分享，专题内容既适用于课程学习，也适用于竞赛、考研，内容为总结性概括，例题属于提高型典型问题。
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：证明如下等式成立.
练习2：设 ,
(1) 求极限；
(2) 证明单调递减.
练习3：求.练习4：求.练习5：设在上连续，求练习6：设在上连续，求练习7：求.
练习8：求.
练习9：已知，求极限练习10：设在区间上连续，由积分中值公式，有
若存在且非零，求.
练习11：试求正常数，它们由下式确定：
【注】对于例题或练习题，建议自己在草稿纸上动手做完以后再参见下面给出的参考答案！参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
参考解答
更多相关专题可以参见如下列表：
•定积分专题01：定积分关键定义、定理、公式与相关结论总结•定积分专题02：定积分部分结论、公式的证明思路与方法
•定积分专题03：定积分计算常用方法与典型题分析
•定积分专题04：应用定积分定义求部分和极限题型与典型例题解析
•一道积分算一天，你确信积分对了吗？。
积分型极限的几种解法
ｆ 。 。 Ｆ （ 枷ｉ ｎ ｔ ｄ ｔ ＝ Ｏ 。
证 明 ： （ ｉ １ ｘ Ｆ （ ｘ ） ０ ， （ ｉ ｉ ） Ｊ 。Ｆ （ ｔ ） ｓ ｉ ｎ （ ｘ ｔ ） ｄ ｔ ０ 。
证： 我们 只说 明怎样 利用放缩法来证 明（ ｉ ｉ ） 成立 。由（ ｉ ） 知， ｘ Ｆ （ ｘ ） 在 『 Ｏ Ｏ ， Ⅱ ） ， 当ｚ ＞０ 时， 我们有
＝— ｚ ／ （ 一ｔ Ｚ ） ｄ （ ｘ 一 ｔ ２ ） ＝ 可（ ｚ ） ，
ｒ
Ｌ １ 雨 ｃ ａ ｒ＝ ｌ ｎ ２ ｅ 。
ｌ 。 ｍ ｌ＋ （
故 蛾 ＝ ｌ ｉ Ｌ ｍ ￣ ： ｌ ｉ ａ ｒ ： 等 ： ＝ 击
方法 二： 利用 放缩法或夹逼准则 。该方法 的基本思想是 ： 找到一个 适 当的下函数和一个上函数 ， 使得被积 函数处在这两个 函数 之间 ， 从而 达到化简并求解 。 例２ （ ２ ０ １ １ 年 第三届 全 国大学生 数学竞 赛预赛 数学类 试题第 七 题 ） 设 Ｆ（ ｘ ）是 ｌ Ｏ， ＋ 。 。 ）上 的 单 调 递 减 函 数 ， ｌ ｉ ｍ Ｆ（ ｚ ） 一Ｏ， 且
解： 通过初步探讨 ， 该题用洛必达等法则 不能处理。首先我们估计
该 极 限 的 值， 令 ＝ 丁 ， 一∞时 有
Ｔ 。
ｒ 厂 ＿ ｋ ｔ ｆ ＝ 亍 １ Ｊ 。 Ｔ － ， （ 删 ｆ 。
， 又因为 ：
当 ２ ２ Ｃｎ Ｔ 时 ，设 ｚ＝ 丁＋￡ ， ｅ Ｅ（ Ｏ， 丁 则 根 据 周 期 性 知
方法 六 ： 利用 分段技 术处理 。 即 ： 在讨 论积分 型极限 问题时所 需 要的函数性质仅在部 分区域满足， 或它仅是 函数的局部性质 时， 我们可 采用分段技术处理 。
浅谈变上、下限积分函数的有关计算
临沧师范 高等专科学校学报
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｏ ｒ ａ ｆ Ｕ Ｔｅ ｅｅ￣ Ｃ ｌ ｇ ａｈ ｒ＇ ｏｌ ｅ ｅ
Ｖｏ ．２ ． １ ０ Ｎｏ １ Ｍａ ． ０ ０ ｙ２ １
浅谈变上 、下限积分函数 的有关计算
苏有菊 （ 师范 高等专科学校数理系 ，云南 临沧 临沧 ６７０） ７００
因此 ｔ ｄ
＝１ 。 ＋
： １ｍ — ｍ ｉ
ｘ
－ －
＊Ｏ
Ｑ 十 ｘ
．ｉ ｂ—Ｃ Ｓ １ｍ －— Ｘ 一 Ｏ
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ｘ ｅ
一
所 以 ２ （ ＋ｃ ｓ ． （ ￣ ） ｄ ｘ １ ｏ ｔ ｅｘ ’ － ，
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ｘ
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－ － － － －
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、口 ，
。一 ｃ。。
ｄ ｘ ｄ ｘ
ｄ ｔ
：塾 ：ｌ ： ｉ ｍ
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矿 ｘ ｃｓ） （－ｏｘ
＝１ １ ．ｉ ｍ － —ｓｎ ÷ ｏ ｉ
（ｚ （—ｉ ） ） ｘ ｓ ； ｎ
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兰： ！垄 ！ ± ： ： ： ！
（） ｆ
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ｆ（ ） ｔ
Ｕ
（ ６ 数 二考研 ） ９年
解 ：因为 ＝ｆ ｔ） ａ （２ ， ｙ＝４ ＇ ｔ（ ） ｆｔ
ｄｔ ｄｔ
ห้องสมุดไป่ตู้
则： ： 塞
］ ｄｄ ： （） ｙ
：
分 母 的 积分 再去 求 极 限 ，可直 接利 用 洛 比达法
则和 变 限求导 公式求 极 限 。
原式：ｉ ｌ ｍ
‘
要 工具 ，是联 结众 多知 识 点 的纽带 ， 是学 生学
考研数学二(填空题)模拟试卷54(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷54(题后含答案及解析) 题型有：1.1．=______。
正确答案：解析：将分子化简后用等价无穷小因子代换。
易知则原式= 知识模块：函数、极限、连续2．当x＝______时，函数y＝x.2x取得极小值．正确答案：；涉及知识点：一元函数微分学3．＝________．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学4．设函数y=y(x)由e2x+y-cosxy=e一1确定，则曲线y=y(x)在x=0对应点处的法线方程为______．正确答案：解析：当x=0时，y=1，e2x+y一cosxy=e一1两边对x求导得知识模块：高等数学5．若f(x)=2nx(1-x)n，记Mu=Mn=______．正确答案：解析：由f’(x)=2n(1-x)n-2n2x(1-x)n-1=0得x=，当x∈时，f’(x)＞0；当x∈时，f’(x)＜0，则x=为最大点，知识模块：高等数学6．设α1,α2,α3是3维向量空间R3的一组基，则由基到基α1+α2，α2+α3，α3+α1的过渡矩阵为_____________.正确答案：解析：本题考查过渡矩阵的概念和基变换公式，所涉及的知识点是过渡矩阵的概念；基变换公式(β1β2……βn)=(α1,α2……αn)C，其中β1β2……βn 和α1,α2……αn分别是Rn的两组基，C是基α1,α2……αn到基β1β2……βn的过渡矩阵．知识模块：向量7．设y=y(x)是由方程xy+ey=x+1确定的隐函数，则=_________。
正确答案：一3解析：方程两边对x求导可得，y+xy’+y’ey=1，解得y’=。
再次求导可得，2y’+xy’’+y’’ey+(y’)ey=0，整理得y’’= (*)当x=0时，y=0，y’(0)=1，代入(*)得，y’’(0)==一(2+1)=一3。
知识模块：一元函数微分学8．当χ→0时，3χ－4sinχ＋sinχcosχ与χn为同阶无穷小，则n＝_______．正确答案：5解析：于是3χ－4sinχ＋sincosχ～，则n＝5．知识模块：函数、极限、连续9．微分方程的通解为__________。
变限积分的性质
变限积分的性质摘要变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。
本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。
通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。
关键词:变限积分;连续性;可微性;奇偶性;单调性;周期性;应用引言随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。
下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。
1. 变限积分的概念与理解1.1变限积分的定义[,]abxab,[,]ff[,]ax设在上可积，根据定积分的性质，对任何，在也可积，于是，由x,,,()(),[,]xftdtxab (1) ,a定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上x 限函数.类似地，又可定义变下限的定积分:b,,,(),(),[,].xftdtxab (2) ,x与统称为变限积分; 变量复合函数定义为: ,,uxbux()()ftdtftdtftdt(),(),(), ,,,avxvx()()[,],,,[,]abux()vx()ux()vx() 其中、是定义在上的函数且，.xfxdx() 注:在变限积分(1)与(2)中，不可再把积分变量写成(例如)，x,a 以免与积分上、下限的混淆。
考研数学一(一元函数积分学)模拟试卷15(题后含答案及解析)
考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设，则F(x) ( )A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：因esinxsinx是以2π为周期的周期函数，所以又esinxcos2x≥0，故选(A)．知识模块：一元函数积分学2．设f(x)是以l为周期的周期函数，则之值( )A．仅与a有关B．仅与a无关C．与a及k都无关D．与a及k都有关正确答案：C解析：因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以故此积分与a及k都无关．知识模块：一元函数积分学3．设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：当g(x+T)=g(x)时，因为因为f(x)是以T为周期的函数，所以4个选项中的被积函数都是以T为周期的周期函数，但是仅是以T为周期的函数．知识模块：一元函数积分学4．下列反常积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：选项(A)中，知识模块：一元函数积分学5．以下4个命题正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：A解析：设f(x)=x，则f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，且.但是故f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．设f(x)=x，g(x)=-x，由上面讨论可知g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题．故应选(A)．知识模块：一元函数积分学填空题6．设f(x)是连续函数，且f(t)dt=x，则f(7)=________正确答案：解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导．等式两边对x 求导得f(x3-1).3x2=1，f(x3-1)=令x=2，即得f(7)= 知识模块：一元函数积分学7．设=________正确答案：解析：令3x+1=t，x= 知识模块：一元函数积分学8．设，则a=_________正确答案：2解析：知识模块：一元函数积分学9．设=_______正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学10．=_______正确答案：ln3解析：因知识模块：一元函数积分学11．=_______正确答案：，其中C为任意常数解析：知识模块：一元函数积分学12．设f’(sinx2)=cos2x+tan2x(0＜x＜1)，则f(x)=________正确答案：-ln(1-x)-x2+C，其中C为任意常数解析：知识模块：一元函数积分学13．设y=y’(x)，若，且x→+∞时，y→0，则y=_______正确答案：e-x解析：由已知得，分离变量，两边积分，再由已知条件得结果y=e-x．知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
通项含有变限积分的数列极限问题
定理２ 设数列｛ ｝ 的通项为％ ＝Ｊ
ＪＶｎ
）ｘ其中ｌ ｖ ＝ ∞，ｍ 一 ） ｄ， ｉ 一 ｌ ｕ ＝ ∞ ｍ ｉ 在区间（ ∞， 一
ｂ 上连续， ］ 若无穷限积分Ｊ 收敛，ｌｍ ＝０ ￣ｌ ａ Ｊ ｉ 。
通 项 含有 变限 积分 的数 列 极限 问题
刘俊 先
（ 台学院 数学系 ， 邢 河北 邢 台 ０ ４０ ） ５０ １ ［ 摘 要］ 对于数 列通项含有变限积分的极 限问题 ，以定理形式总结概括 出几类数列极限存在的充分
条 件 ， 附 以实例 。 并
［ 关键词］ 积分 ； 数列 ； 极限问题 ［ 中图分类号】 ０ ７ ［ １ １ 文献标识码 ］ Ａ ［ 文章编号 ］ １０ ４ ５ （００ ０ ０ ４ 一 ２ ０８－ ６ ７ ２ １ ）５— ｏ－ ｏ ４
０。 敛 ， 由定理 １ 上 亟 ： ｚｒ 得 ｍ
ｎ— ・∞ Ｊ
注： 参考文献 ［ ］的解答 中用到积分第一 中值定理 、 ２ 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量及迫敛性 。
应 上 定 易 一 列 论如 岬 ＝， 岬 ＝， 用 述理 得 系结 ， 。 。 ｒ ｒ
例 １ 】 证明 ｆ
— ∞ Ｊｎ
ｓ 了ｘ ｉ ｎ
０， Ｐ为某 实数 。
，
证 明 因ｌ ｉ ｍｎ＝ ｌ （ ｉ ｎ ａ ｒ
ｎ—＋∞ 了 ｎ １
＋ ） 续而 狄 克 判 法 Ｊ ｓ 。 连 ，由 利 雷 别 知＝ ｉ 收 。 ｎ ｘ
注： 定理 ２与定理 ３的证明类似定理 １ 略。 ， ［ 收稿 日期］２ １ ０ ｏ ００— ２一 ８
［ 基金项 目】河北省教育学会“ 十一五 ” 规划课题 ： 新建本科 院校 数学分析、 教学改革模式探究与 实践（ Ｈ Ｘ Ｘ项 目编
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原式= .
练习 求极限 .
例2求极限 .
解：
练习 求极限 .
2、换元法和洛必达法则相结合
例3若 连续， ，求 .
解析：这是一个 型不定式极限，可以运用洛必达法则，但分子
中的被积函数含参数x，需要先将x分离出来，提到积分号外面去，这可以通过积分换元法实现，具体过程如下：
则原式
因为 ，所以原式= .
练习 求 .
3、结合等价无穷小求变限积分的极限
例4求 .
解
(等价无穷小代换)
(洛必达法则)
(变量代换)
(洛必达法则)
.
练习 求 .
三、能力反馈部分（考查学生对变限积分函数求极限的理解）
（1）求 .
（2）设 连续， ， ，求 .
（3）求
模块基本信息
一级模块名称
积分学
二级模块名称
应用模块三级模ຫໍສະໝຸດ 名称含变限积分的极限问题模块编号
4-5
先行知识
变上限积分函数及其导数
模块编号
4-4
3-2
洛必达法则
模块编号
知识内容
教学要求
掌握程度
变上限积分函数的导数求极限
会利用变上限积分函数的导数求极限
一般掌握
能力目标
1、培养学生理解问题的能力
2、培养学生的计算能力
时间分配
0分钟
编撰
秦小娜
校对
方玲玲
审核
危子青
修订人
张云霞
二审
危子青
一、正文编写思路及特点
思路：复习变上限积分函数定义及其求导，同时利用变上限积分函数的导数求极限,采用讲练结合来强化重点.
二、授课部分
（一）旧课复习
1、积分变上限函数的定义
2、积分变上限函数的导数
（二）新课讲授
1、直接利用洛必达法则
例1求极限 .