高等代数__课后答案__高等教育出版社

高等代数习题答案（一至四章）

第一章 多项式 习题解答

1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262

()99

r x =--

（2）2

()1q x x x =+-，()57r x x =-+

2、（1）2100p m q m ?++=?-=? ， （2）由22

(2)010m p m q p m ?--=?

?+--=??得01m p q =??=+?或212

q p m =??+=?。 3、（1）4

3

2

()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--

4、（1）有综合除法：2

3

4

5

()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）2

3

4

()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++

（3）2

3

4

()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++

5、（1）x+1 （2）1 （3）2

1x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222

()133

v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 3

2

()32v x x x x =+--

7、02u t =??

=?或2

3

u t =-??=?

8、思路：根具定义证明

证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。另设()x ?是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ?。 由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。从而()()x f x ?，()()x g x ?，可得()()x d x ?。即证。

9、证：因为存在多项式u （x ），v （x ）使（f （x ），g （x ））=u （x ）f （x ）+v （x ）g （x ），所以

（f （x ），g （x ））h （x ）= u （x ）f （x ）h （x ）+v （x ）g （x ）h （x ），上式说明（f （x ），g （x ））h （x ）是f （x ）h （x ）与g （x ）h （x ）的一个组合。

另一方面，由((),())()f x g x f x 知((),())()()()f x g x h x f x h x 。同理可得

((),())()()()f x g x h x g x h x 从而((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式，又

因为((),())()f x g x h x 的首相系数为1，所以(()(),())()((),())()f x h x g x h x f x g x h x =。

10. 证 存在u （x ），v （x ）使有因为f （x ），g （x ）不全为0，所以(()())0f x g x ≠，由消去律可得 所以。

11.由上题结论类似可得。

12. 证 由假设，存在使（1） （2），将（1）（2）两式相乘得 所以((),())()1f x g x h x =

13. 证 由于

反复应用第12题结论，可得同理可证 从而可得

14. 证 有题设知(),()1f x g x =，所以存在v （x ），v （x ）使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1从而 u(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=1即[u(x)-v(x)]f(x)+v(x)[f(x)+g(x)]=1所以

((),()())1f x f x g x +=同理((),()())1g x f x g x +=再有12题结论，即证 (()(),()())1f x g x f x g x +=

15、

12

-±。 16、（1）由x-2得三重因式 （2）无重因式。 17、当t=3时有三重根x=1,；当t=154-由二重根1

2

x =。 18、3

2

4270p q +=

19、a=1，b=-2 。

20、证 因为f （x ）的导函数所以于是 从而f （x ）无重根。 21、证 因为，，由于a 是的k 重根，故a 是的k+1重根。代入验算知a 是g （x ）的根。所以s-2=k+1?s=k+3，即证。

22、证 必要性：设0x 是f （x ）的k 重根，从而是的k-1重根，是的k-2重根。。。。。，是的一重根，并且

0x 不是的根。于是，而。

充分性 由而，知0x 是的一重根。又由于，知0x 是的二重根，以此类推，可知0x 是f （x ）的k 重根。

23、解：例如：设1

1()11

m f x x m +=

-+，那么'()m f x x =以0为m 重根。 24、证 要证明，就是要证明f （1）=0（这是因为我们可以把n

x 看做为一个变量。 有题设由，所以也就是f （1）=0，即证。

25、当n 为奇数时，

1121

222

2

2

2

1(1)[()1][()1].....[()1]n n n n n x x x x x x x x εε

εε

ε

ε

-+---=--++--+-++

当n 为偶数时

1121

222

2

2

2

1(1)(1)[()1][()1].....[()1]n n n n n x x x x x x x x x εε

εε

ε

ε-+---=+--++--+-++27、（1）利用

剩余除法试根：有一有理根：2 （2）有两个有理根：12-

，1

2

- （3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。

28、（1）因为±1都不是它的根，所以2

1x +在有理数域里不可约

（2）利用爱森斯坦判别法，取p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。

（3）不可约 （4）不可约 （5）不可约

第二章 行列式 习题解答

1、均为偶排列

2、（1）i=8，k=3 （2）i=3 k=6

3、

4、当n=4k ，4k+1时为偶排列 当n=4k+2,4k+3时为奇排列

5、

(1)

2

n n k -- 6、正号

7、11233244a a a a -，12233441a a a a -，14233142a a a a - 8、（1）原式=(1)

2

(1)

!n n n -=-，（2）1

(1)

!n n -=- （3）(1)(2)

2

(1)

!n n n --=-

9、解：行列式展开得一般项可表示为1234512345j j j j j a a a a a ，列标345j j j 只可以在1,2,3,4,5中取不同值，故三个下标中至少有一个要取3,4,5列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式中每一项的乘积必为0，因此行列式只为零。

10、解：含有4

x 的展开项中只能是11223344a a a a ，所以4

x 的系数为2；同理，含有3

x 的张开项中只能是

12213344a a a a ，所以3x 的系数为-1。

11、证：有题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值为1。而行列式的值为0，这说明带正号与带负号的项数相同。根据行列式定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下表排列的逆序数所决定的，即当该乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第二下标所成排列为偶排列时，该项前面所带符号为正，否则为负号。所以，由带正号的项与带符号的项数相等即说明奇偶排列各半。 12、解（1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x ，所以若该行列式的第一行展开时含有1

n x

-的对

应项系数恰为1

(1)

n -- 乘一个范得蒙行列式

22

111222

2222

111

1....1..............

....

........

1

....n n n n n n a a a a a a a a a ------于是，由1231,,....n a a a a -为互不相同

的数即知含有1

n x

-的对应项的系数不为零，因而p （x ）为一个n-1次的多项式。

13、（1）5

29410-? （2）3

3

2()x y -+ （3）48 （4）160 （5）22x y （6）0

14、提示：将第二列，第三列的同时加到第一列。

15、（1）11A =-6，12A =0，13A =0，14A =0，21A =12，22A =6，23A =0，24A =0，31A =15， 32A =-6，33A =-3，

34A =0，41A =7， 42A =0，43A =1，44A =-2

（2）11A =7，12A =-12，13A =3， 21A =6，22A =4，23A =-1， 31A =-5， 32A =5，33A =5，34A =0。 16、 （1）1 （2）1312-

（3）-483 （4）3

8

17、（1）按第一行展开，原式=1

(1)

n

n n x y ++-。

（2）从第二列起个人列减去第一列：

当n ≥3时，原式=0，当n=2时，原式=2121()()a a b b --，当n=1时，原式=11a b -

（3）1

1

(

)()

n

n i i x m m -=--∑

（4） （-2）（n-2）！ （5）各列加到第一列得：1

1

(1)

(1)(1)!2

n n n --+-

18、提示：（1）分别将第i （i=2,3…..n+1）行乘以加到第一行1

1

i a -- （2）从最后一行起，分别将每一行乘以x 后加到起前一行。 （3）导出递推关系式 （4）同（3） （5）解：

19、（1）d =-70，1d =-70，2d =-70，3d =-70，4d =-70

11d x d =

=1 22d x d ==1 33d x d ==1 44d

x d

==1 （2）d =324，1d =324，2d =648，3d =-324，4d =-648

11d x d =

=1 22d x d ==2 33d x d ==1 44d

x d

==-2 （3）d =24，1d =96，2d =-336，3d =-96，4d =-168， 5d =312

11d x d =

=4 22d x d ==-14 33d x d ==-4 44d

x d ==-7 55d x d

==13 （4）d =665，1d =1507，2d =-1145，3d =703，4d =-395， 5d =212

11d x d =

=1057665 22d x d ==229133- 33d x d ==-3735 44d x d ==79133- 55d x d ==212665

20、证明：由得

这是一个关于的线性方程组，且他的系数行列式为一个范得蒙行列式。由已知该行列式不为零，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式时唯一的。

21、

第三章 线性方程组 习题解答

1、（1）无穷多解 （2）无解 （3）（-8,3,6,0） （4）无穷多解 （5）无解 （6）无穷多解

2、（1）12345111

4444

βαααα=

+-- （2）13βαα=- 3、证 有题设，可以找到不全为零的数使显然。事实上，若，而不全为0，使成立，这与线性无关的假设成立，即证。故即向量β可由线性表出。

4、证 设有线性关系带入分量，可得方程组

由于，故齐次线性方程组只有零解，从而12,,....n ααα线性无关。

5、证：设有线性关系则

当r=n 时方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即 由定理得：方程组有唯一解，就是说线性无关。 当r

则由上面（1）的证明可知是线性无关的。而是的延长向量所以也线性无关。 6、证：由线性关系，则

。再由题设知线性无关，所以 解得，所以线性无关 7、

证：设是中任意r 个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量 都可由线性表出就可以了。

事实上，向量组是线性无关的，否则原向量组的秩大于r ，矛盾。这说明 ，再由得任意性，即证。 8、证：有题设知所以

，且等于r 。又因为线性无关，故而的一个极大线性无关组。 9、

证： 将所给向量组用（1）表示，它的一个极大线性五官向量组用（2）表示。

若向量组（1）中每一个向量都可以由向量组（2）线性表出，那么向量组（2）就是向量组（1）的极大线性无关组。否则，向量组（1）至少有一个向量α不能由向量组（2）线性表出，此时将α添加到向量组（2）中去，得到向量组（3），且向量组（3）是线性无关的。

进而，再检查向量组（1）中向量是否皆可由向量组（3）线性表出。若还不能，再把不能由向量组（3）线性表出的向量添加到向量组（3）中去，得到向量组（4）。继续这样下去，因为向量组（1）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（1）的一个极大线性无关组。 10、

证（1）由于的对应分量不成比例，因而线性无关。 （2）因为且由可解得所以 线性无关。

再令带入已知向量后，由于相应的其次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次方程组存在非零解，即线性相关，所以可由线性表出。 11、解（1）

对矩阵A 做初等行变换，可得：

所以的秩为3，且即为所求极大线性无关组。

（2）同理可得为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3.

13、设12,,....n ααα的秩为r ≤n ，因而的秩为n ，有题设和上题知n ≤r 从而r=n 。故12,,....n ααα线性无关。

14、证：必要性。设12,,....n ααα线性无关，但是n+1个n 维向量必线性相关，于是对于任意n 维向量β，他必可由12,,....n ααα线性表出。

充分性：任意n 维向量12,,....n ααα可由线性表出，特别的单位向量可由12,,....n ααα线性表出，于是有上题结果即证12,,....n ααα线性无关。 15、

证:充分性:有克莱姆法则即证. 必要性:记,则原方程组可表示成

,有题设知,任意向量β都可由12,,....n ααα表出,因此由上题结果可知12,,....n ααα线性无关.

进而,下述线性关系, ,仅有唯一零解,故必修有,即证.

16.

由于与有相同的秩，因此他们的最大线性无关组所含向量个数必定相等，这样的最大线性无关组也必为的极大线性无关组，从而他们有相同的最大线性无关组。 17、

证：只要证明向量组等价即可。有题设，知可由线性表出。

现在把这些等式统统加起来，可得于是， （i=1,2，。。。r ）即证也可由线性表出，从而向量组与 等价。 18、（1）4 （2）3 （3）2 （4）3 （5）5 19、（1）λ=1时 无穷多解 λ=-2时无解

λ≠1且λ≠-2时方程组解唯一，2

12311(1),,222

x x x λλλλλ++=-

==+++

λ≠0且λ≠1时方程组解唯一 ：32332123222315912943129

,,(1)(1)(1)

x x x λλλλλλλλλλλλλλ+-+-++--+=

==--- （3）当行列式D ≠0时，即a ≠1且b ≠0时，方程组有唯一解，且为 123211124,,(1)(1)

b ab b

x x x b a b b a -+-=

==--

当D=0时若b=0无解 若a=1时无解 当a=1，b=

1

2

时方程有无穷多解。 20、（1）无穷多解123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)ηηη=-=-=- （2）无穷多解1275

(1,1,1,0,0),(,,0,1,3)22

ηη=-=- （3）无穷多解12131

(,1,,

,)23124

η= （4）无穷多解1215(1,1,1,2,0),(,0,0,,1)4

4

ηη=--=

21、（1） （4） 其中k 为任意常数。其中为任意常数。 （6）

其中k 为任意常数。

22、解：对方程的增广矩阵做行初等表换：

于是，只有a=0且b=2时，增广矩阵的秩与系数的秩都为2，此时原方程组有解；当a ≠0且b ≠2时，原方程组都无解。当a=0，b=2时原方程组与方程组同解。且其一般解为 其中为任意常数。

23、证：对方程组的增广矩阵做行初等变换，有

此时A 的秩为4，A 的秩为4的充分必要条件是，因此，原方程组有解的充分必要条件是，其次，当时，原方程组与方程组

同解，所以他的一般解为其中k 为任意常数。

24、证：由于两个等价的线性无关组所含向量个数是相等的，不妨设是齐次线性方程组的一个基础解系，且与他等价，则i a （i=1,2，。。。r ）可由线性表出，从而i a （i=1,2，。。。r ）也是其次线性方程组的解。

又由题设知线性无关，且可由线性表出，从而其次线性方程组的任意一个解 也可以由线性表出，即证也是方程组的一个基础解系。

25、证：由于方程组的系数矩阵的秩为r，所以它的基础解系所含线性无关解向量的个数为n-r。

设是方程组的一个基础解系，是方程组的任意n-r线性无关的解向量，则向量组的秩仍为n-r，且是他的一个极大线性无关组，同理也是他的一个极大线性无关组，所以与等价，再由上题即证。

26、证：线性方程组为有题设，是该方程组的t个解，现将代入方程组，得

，所以仍是方程组的一个解。即证。

第四章矩阵

1、解：（1）

（2）

其中

，

2、

（3）采用数学归纳法，可证

事实上，当n=2时有结论成立。

当n=k-1时归纳假设结论成立，即

当n=k时，有

即证成立。

（4）采用数学归纳法：可证

事实上，当n=2时，有

结论成立。

当n=k-1时，有数学归纳法成立，即

于是当n=k时有

其中，同理可得

，因而有

，

（8）采用数学归纳法可证

事实上当n=1时，结论显然成立，现在归纳法假设

于是

结论成立

3、

（2）

4、

于是，所以故c=0，a=d，b任意，从而所有与A可交换的矩阵为其中，a，b为任意常数。

（2）同理记

并设

于是

所以

比较对应的（i，j）元，可得

，

于是所有与A可交换的矩阵为

于是

故得

其中a，b，c为任意常数。

5、

有

于是与A可交换的矩阵B只能是对角矩阵。

6、证设

于是与A可交换的矩阵B只能是准对角矩阵。

7、

所以，

得

因此A时数量矩阵。

8、

9、

，

即，

10、证设

则

因而必有，即证A=0。

11、证 AB=BA时有，所以AB是对称矩阵。反之当时有

12、

13、

14、只要取

即可。

。

15、有题设知n维向量空间中的所有向量都是其次线性方程组AX=0的解，故方程组的基础解析含有n个线性无关的解向量，所以r（A）=0，即证A=0。

16、

，由BC=0得

因为其次线性方程组的系数行列式不为零，故他只有唯一零解，即

因而B=0

（2）若BC=C，则BC-EC=(B-E)C=0,由（1）知B-E=0，因此B=E。

17、

于是

18、

故有，

19、证

，即证

20、

所以。

所以

所以

所以

所以

，

，

所以

21、解：

因此，

又由于，故

22、解：则而

故

23、解：

（2）

（3）（4）

24、

25、假定其中

26、

即证。

27、于是即证。

28、1

1111

1111 1

1111 4

1111

A-

??

?

--

?=

?

--

?

--

??

方法一：初等行变换。方法二：按A的列分利用分块乘法的初等变换。