全国高中物理竞赛静电场训练题答案

1、一半圆均匀带电，电荷线密度为>0，试求该半圆圆心处的场强。

解：我们采用微元法，如图所示，设半圆半径为，微元所对圆心角为，在点的场强为

而

则

根据对称性，半圆上各个微元在点场强的y轴方向分量互相抵消。点处场强为各个在x轴上分量的和

也可表为

2、证明：在静电场中没有电荷分布的地方，如果电场线相互平行，则电场强度的大小必处处相等。

解：电场线的性质都可由高斯定理和安培环路定理推

出，故此处，可考虑用这两个定理。

先证明同一场线上不同地方的场强相同。

如图（a），取一圆柱面形高斯面，其轴与平行，长，

截面积足够小，则可认为上各点电场相同。

因空间无电荷，由高斯定理

得

其中，分别为圆柱两端面上的场强。

再证明不同电场线上的场强相同。

如图（b），取安培环路为。、均垂直于电力线，且、的长度足

够小，则可认为、段上的场强为定值，分别为，。由安培环路定理

得

综上，即可得题中所述场确定为匀强场。

注意，若场区有电荷存在，则即使电场线平行，也不会为匀强场。电场线可在电荷处中断。如图（c）。

3、在点电荷的电场中，放入一个半径为的接地导体球，从到导体球球心的距离为，求导体球对的作用力。

解：如图所示，根据对称性，肯定在或其延长线上，设到的距离为，对导体球表面上任意一点A而言，它的电势应该由和

的电势叠加而成，由因为导体接地，所以有

设为原点，为轴，A点的坐标为，则有

因为A点位于球心在原点的球面上，、的一次项及常数项都应该是零，于是有

可解得和

而“电像”和感应电荷是等效的。这样，就可以很容易地用库仑定律求得感应电荷对作用力（即导体球对的作用力）的大小为

方向指向方向。

4、半径分别为和的两个同心半球面相对放置，如图所示。两个半球面均匀带电，电荷面密度分别为和。求大半球面的直径AOB上电势的分布。

解：半径为的均匀带电球壳内部电势为，外部电势为

。这道题目要解决两个问题：（1）半球壳的电势是多少？

（2）两个半球壳的电势如何叠加？

完整的半径为的球壳在AOB上产生的电势为

鉴于对称性，半个球面对的贡献必为1/2，因此，它在AOB上产生的电势应为

完整的半径为的球壳在AOB上离距离小于的范围内（即图中的COD段）的电势为

在AOB上，离的距离大于的范围内的电势为

半球的贡献同样必为和的1/2。最后AOB上电势的分布应为

5、一平行板电容器，电容=300pF，极板接在一个电源的正极，接在另一电源的负极，两电源的电动势均为150V，另外一极均接地。取一厚金属板B，其面积与、

相同，厚度为电容器两极板间距离的三分之一，插入电容器两极板的正中央，如图所示。

（1）取一电动势为50V的电源，负极接地，

正极与金属板B连通。问此时由电源输送到B

的总电荷量是多少？

（2）在上述情况下，左右平移金属板B，改

变它在电容器两极板间的位置，直至B上电荷量

为零。固定B板位置，然后切断所有的电源，再

将B板从电容器中慢慢抽出，求此时电容器两极

板之间的电压。

（3）求抽出B板过程中外力所做的功。

解：（1）金属板B插入电容器后，和

B的左表面形成电容器，和B的右表面形成电容器。由于这两个电容器极板的正对面积与原来电容器相同，极间距离是原来电容器的三分之一，所以、的电容量是原来电容器的3倍。即

接入后，的电压

(V)

板上的电荷量

的电压(V)

板上的电荷量

接入前，B上净电荷为零，因此，输给B的电荷量为

(C)

（2）如果移动B的位置，使和面上的电荷量分别为和，B上的净电荷就为零了。设此时由构成的电容器为，由构成的电容器为，则有

即

和并不会因B板移动位置而变化。设此时、的距离为，、的距离为，则

又因为

所以，

此时、板所带电荷量分别为

切断所有电源后，、上电荷量不变，抽出B板后，由、构成的电容器上电压为

（V）

（3）B板抽出前的总能量

B板抽出后电容器的能量

抽出B板的过程中外力做的功

6、右图是一个滴水起电机的原理图，是带小

孔的水槽，水槽中装有食盐水。食盐水与电极间的

电压为，每滴食盐水的质量为。盘状电极位于的下方，相距高度为，、

之间的电容为。当水滴流经的狭窄通道时，与也形成一个电容器，电容量为，

。充电到，使小水滴带上正电，然后离开的狭窄通道滴下。水滴下落的频率很低，、之间不会同时有两滴水存在。已知开始时不带电，上由滴水引起的水位变化可以忽略。试求：

（1）电极可达到的最高电势；

（2）水滴临到达之前的速度与该水滴之前落下的水滴滴数之间的关系。

解：（1）水滴电荷量

设当达到时，水滴受力平衡，即

当水滴下落过程中，消耗的重力势能越大，所能达到的电势越高，这根据能量转换的观点是很容易理解的。

（2）个水滴落下后，的电势便为

此时第个水滴受的电场力

设第个水滴的加速度为

其速度为

7、如图所示，A、B是两块水平放置的互相平行的带电金

属板，其间的电场可视为匀强电场，假设有一带负电的微粒在

点处沿与水平成角方向射出，并从此时刻开始计

时。已知在时，微粒到达其轨迹最高点，在时，微粒的动能为750eV；在以上运动过程中，微粒一直处于匀强电场内，且未与A、B相碰，求微粒的初动能。

解：设微粒的质量为，在点时的初速度为，则初动能为

由于微粒所受的重力和电场力均为恒力，微粒的轨迹为抛物线，如右图所示。在沿水平方向的分运动为匀速运动，分速度为，且保持不变。

竖直方向的速度分量的变化是竖直方向上的合力作用的结果，设微粒在竖直方向上所受合力为，根据动量定理，从到有

①

从到有

②解①②两式可得

在点微粒的动能为

由题设条件知

（eV）

∴（eV）

8、极板相同的两个平板空气电容器充以同样的电荷量，第一个电容器两极板间的距离是第二个电容器的两倍。如果将第二个电容器插在第一个电容器两极板的中央，并使所有极板都互相平行。问：系统的静电场如何变化？

解：因为两个电容器都是带电的，两极板电荷有正、负之分，所以必须讨论两种不同插入方法的不同情况。

（1）两电容器原本带异种电荷的极板相对。

根据电荷守恒和导体内部场强必为零两个原则，插入到第一个电容器内部后，第二个电容器两板上的电荷必然都分布在两板外侧，如图（a）所示，否则无法使四块导体板内部分场强都为零。这样就构成了两个新的电容器，每个电容器电荷量和原来相同。

因为电容器的能量为

所以设原来第二个电容器两极间距离为，则原本两电容

器的能量分别为

现在两个电容器的能量都是

因此

即这种情况电场能减少到原来的三分之一。

（2）两电容器原来带同种电荷的极板相对。

为了解决这个问题，我们须补充一些知识。

①一个无限大带电体表面附近某位置的电场强度和该表面的电荷面密度成正比，和该位置离表面的距离无关。

②一个电容器两极板内表面的电荷面密度必须相同。

以上两个结论根据静电场中的高斯定理都可推出。引用以上两个结论，再结合电荷守恒和导体内部场强必为零，即可知道第（2）种情况的电荷分布情况肯定如图（b）所示。此时静电场的能量是三个电容器的能量之和。

因此

即这种情况电场能增加到原来的倍。

9、如图所示，在真空中有4个半径为的不带电的相同导体球，球心分别位于边长为（）的正方形的四个顶点上。首先，让球1带电量

为（），然后，取一细金属丝，其一端固定于球1

上，另一端分别依次与球2、3、4、大地接触，每次接触时

间都足以使它们达到静电平衡。设分布在细金属丝上的电荷

可以忽略不计。试求流入大地的电量的表达式。

解：当球1和球2接通后，用和分别表示1、2

两球所带的电荷量，可得

球1和球3接通后，由于两球相对球2处于对称位置，它们的电荷量和也应相

等，可得

球1和球4接通后，它们的电势和应该相等，它们的电势都是由4个小球的电势

叠加而成

以上各式中利用了的条件，将、的电荷量代入上边两式，并且有，

，可解得

利用的条件，略去二阶小量，上式可写成

最后将球1和球4断开并把球1接地。设接地后球1所带电荷量为，此时球1的电势肯定为零。

解得

此时球1带负电，故流入大地之电荷量为

10、在真空中有两个点电荷和，相距为，试求：

（1）的中垂面上任意一点的场强，设场点到中点的距离为；

（2）的延长线上任意一点的场强，设场点到中点的距离为；

（3）空间任意一点的场强，设该点到中点的距离为，与之间的夹角为（设

）。

解：（1）中垂面上一点的场强。

中垂面上一点到的距离均为，在

点产生的场强大小为

但、方向不同，在如图（a）所取的坐标中，由对

称性可知，、在轴上的分量大小相等、方向相反。、

在轴上的分量大小相等、方向相同，所以

故点的总场强的绝对值为

方向沿着轴的方向。 当时，和组成一个系统，成为电偶极子。

（2）的延长线上任一点的场强，到中点的距离为，点到的距离分别

为，故在的场强大小分别为

方向为向右，向左，所以总场强大小为

方向向右，如图（b ）。 当

时，

（3）如图（c ）所示，可认为C 点有两个电荷，

和，则空间的电场可视为由两个电偶极子产生。由B 处

与C 处

产生，

由A 处

与C 处

产生。

q

故

11、已知使一原来不带电的导体小球与一带电荷量为的导体大球接触，分开之后，小球获得电荷量。今让小球与大球反复接触，在每次分开后，都给大球补充电荷，使其带电荷量恢复到原来的值。求小球可能获得的最大电荷量。

解：方法（1）：小球与大球每次接触后，两球所带电荷量的比值为一恒量，其数值可由第一次接触后两球的电荷量求出，即

设、、…和、、…分别为1、2…次接触后小球和大球所带的电荷量，则有

由此得

第次接触后，两球所带电荷量之比

当时，，得出

方法（2）：由于两球经过多次接触后，小球的电荷量趋近于最大值，而大球的电荷量趋近于，由于每次接触后两球电荷量比值是相同的，故有

由此可得

12、电荷均匀分布在半球面ACB上，球面的

半径为，CD通过半球面顶点C与球心的轴线，

如图所示。、为CD轴线上在点两侧、离

点距离相等的两点。已知点的电势为，试求点

的电势。

解：利用割补法，设想右半球也是均匀带电的，带电荷量也是，与左半球组成一个完整的均匀带电球面，当静电平衡时，均匀带电球壳内部各处的电势相等。由此再利用电势的

叠加原理即可确定。

将带电的半球面ACB增补为一个完整的、均匀的带电球面后，由对称性可知，右半球在

点的电势等于左半球在的电势。即

所以①

而正是两个半球同时存在时点的电势。均匀带电球壳内部各处的电势相

等，其大小等于，为静电力恒量，所以有

②

由①、②两式得

13、图（a ）中a 为一固定放置的半径为R 的均匀带电球体，O 为其球心。已知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为1000V U =。在离球心O 很远的O '点附近有一质子b ，它以2000eV k E =的动能沿与O O '平行的方向射向a 。以l 表示b 与O O '线之间的垂足距离，要使质子b 能够与带电球体a 的表面相碰，试求l 的最大值。把质子换成电子，再求l 的最大值。

解：令m 表示质子的重量，0v 和v 分别表示质

子的初速度和达到a 球球面处的速度，e 表示电荷，由能量守恒可知

22

01122

mv mv eU =+ ① 因为a 不动，可取其球心O 为原点。由于质子所受的a 球对它的静电库仑力总是通过a 球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对O 点的角动量守恒。所求l 的最大值对应于质子到达a 球表面处时，其速度方向刚好与该处

球面相切，如图（b ）所示。以max l 表示l 的最大值，由角动量守恒有

0max mv l mvR = ② 由式①、②可得

max 2

012

eU

l R mv =- ③ 代入数据，可得 max

2

2

l R = ④ 若把质子换成电子，则如图（c ）所示，此时①式中e 改为e -。同理可求得

max

6

2

l R '= ⑤

14、考虑一个原子序数为Z 的经典原子模型，忽略电子间相互作用。设原子中某一电子1e 在离核0r 处作平面匀速圆周运动。突然，由于某个过程，外面的另一个电子被俘获进

l a R

O '

b O

图（a ）

图（b ）

m ax l b

O '

R

O

图（c ）

m

ax l ' R

O '

b

O

原子核，假定这俘获过程进行得如此之快，以至电子1e 的速度未受任何影响，且仍然留在原子系统中。试把描述电子1e 在这种情况下运动的量（能量、轨道参数、周期）都用0r 、电子质量m 、电子电荷绝对值e 、原子序数Z 表达出来，并与原来的运动作比较。

解：电子绕核运动的向心力由库仑吸引力提供，即

2

20

200

mv kZe r r =

（1） 故原子核未俘获电子以前，轨道电子的速度0v 和动能0F 可分别写为

200kZe v mr =，2

200

122K kZe E mv r == （2）

轨道电子的静电势能为

2

()P kZe E U r r ==- （3）

轨道电子总能量

2

02K P kZe U E E r =+=-< （4）

电子轨道运动周期为 32

0002

022r m

T r v kZe

ππ=

= （5） 设轨道电子运动到A 点时，原子核恰好俘获另一电子，现讨论轨道电子以后的运动情况。由于轨道电子运动速度A v 不变（即0A v v =），其动能不变，即

K K E E '= （6） 其中K E 由（2）式表示。但原子核电荷变为(1)Z e -，故电势能为

2

(1)P Z e

E k r -'=- （7）

利用（6）、（7）式可知总能量

2

(2)2K P k Z e

U E E U r -'''=+=>- （8）

因为电子仍被原子核束缚而不能运动到无穷远处，故0U '<。由（8）式知3Z ≥，而俘获后电子速度未变，维持圆周运动所需向心力未变，但库仑引力的大小却变为

220(1)k Z e r -。由（1）式知静电力不能提供足够的向心力，电子将偏离圆轨道，它离原子

核距离将越来越大，但它与原子核之间作用力仍满足平方反比律，这与行星绕恒星运动的情况很类似，故电子的轨道应为椭圆，且A 点应是椭圆轨道的近日点（因为电子在A 点时的速度垂直于A 点与原子核所在处的连线，且A 点是离原子核距离最近的点）。设其远日点为B ，B 与核的距离为B r ，

电子在B 点的速度为B v ，则根据开普勒第二定律——行星运动时，以太阳为中心的矢径在相同时间内扫过的面积相等，利用（2）式可知

20

00111222B B kZe r r v r v m

== （9）

由能量守恒知，电子在B 点时总能量应等于（8）式，即

22

20

1(1)(2)22B B k Z e k Z e mv r r ---=-

（10） （注意：这里P E '的表示中0r 已改为B r ）（9）、（10）式联立可解得 02

B Z

r r Z =

- （11） 0B r r = （12）

因为00[(2)]Z Z r r ->，故（11）式表示的是远日点的矢径大小，（12）式表示的是近日点的矢径大小。因A 点离核距离为0r ，则A 点就是近日点，这与前面的假设是一致的。下面求轨道参数：

设a 、b 、c 分别为此椭圆轨道的半长轴、半短轴和半焦距（显然原子核所在处为焦点），则

0r a c =-，0

2

Zr a c Z =+- （13） 由此求得 01

2

Z a r Z -=

-，02Z b r Z =-，012

c r Z =- （14） 因椭圆面积S ab π=，而（9）式已表示了椭圆运动的面积速度，故电子运动的周期 320322

002(1)1(2)2

ab

Z m

T r Z ke

v r ππ-'=

=

??- （15） 将（15）式与（5）式作比较，由于

3232000

3222

2

03

2(1)2(2)(1)

[

1]

(2)Z m m T T r r Z ke kZe Z Z T Z ππ-'-=

??-?--=--

而由（8）式知3Z ≥，故2

3

(1)1(2)

Z Z Z ->-，说明0T T '>。

15、（第26届全国中学生物理竞赛复赛题） 惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的。负电荷中心与原子核重合。但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用。下面我们采用一种简化模型来研究此问题。

当负电中心与原子核不重合时，若以x 表示负电中心相对正电荷（原子核）的位移，当x 为正时，负电中心在正电荷的右侧，当x 为负时，负

电中心在正电荷的左侧，如图1所示。这时，原子核的正电荷对荷外负电荷的作用力f 相当于一个劲度系数为k 的弹簧的弹性力，即f =－kx ，力的方向指向原子核，核外负电荷的质量全部集中在负电中心，此原子可用一弹簧振子来模拟。

今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，相距为R ，原子核正电荷的电荷量为q ，核外负电荷的质量为m 。因原子间的静电相互作用，负电中心相对各自原子核的位移分别为x 1和x 2，且|x 1|和|x 2|都远小于R ，如图2所示。此时每个原子的负电荷除受到自己核的正电荷作用外，还受到另一原子的正、负电荷的作用。

众所周知，孤立谐振子的能量E =mv 2/2+kx 2/2是守恒的，式中v 为质量m 的振子运动的速度，x 为振子相对平衡位置的位移。量子力学证明，在绝对零度时，谐振子的能量为hω/2，称为零点振动能，π2/h = ，h 为普朗克常量，m k /=

ω为振子的固有角频率。试计算

在绝对零度时上述两个有范德瓦尔斯相互作用的惰性气体原子构成的体系的能量，与两个相距足够远的（可视为孤立的、没有范德瓦尔斯相互作用的）惰性气体原子的能量差，并从结果判定范德瓦尔斯相互作用是吸引还是排斥。可利用当|x |<<1时的近似式(1+x )1/2≈1+x /2-x 2/8，(1+x )-1≈1-x +x 2。

解： 两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量包括以下几部分：每个原子的负电中心振动的动能，每个原子的负电中心因受各自原子核“弹性力”作用的弹性势能，一个原子的正、负电荷与另一原子的正、负电荷的静电相互作用能.以1v 和2v

分别表示两个原子的负电

＋

－

x 2

图

2

＋

－

x

1

R

＋ － x

图1

中心振动速度，1x 和2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，则体系的能量

2222

121211112222

E m m kx kx U =

++++v v ， (1) (1)式中U 为静电相互作用能

2

C 12121111U k q R R x x R x R x ??

=+--

?+-+-??

， (2) C k 为静电力常量．因12121x x R x x R R -??+-=+ ???，111x R x R R ?

?+=+ ???，

221x R x R R ??

-=- ??

?，利用()1211x x x -+≈-+，可将(2)式化为

2C 12

3

2k q x x U R =-，

(3)

因此体系总能量可近似表为

222C 12123

111122222k q x x E m kx m kx R

=+++-v v 2

212. (4)

注意到

()()2

2222a b a b a b ++-+=

和 ()()

22

22

a b a b ab +--=，可将(4)式改写为

22222

2C C 1122331121122222k q k q E m k y m k y R R ????=+-+++ ? ?????

u u .

(5)

式中， ()2121v v +=u ， (6) ()

221v v -=2u ，

(7) ()1122y x x =+， (8)

()

2122y x x =-．

(9)

(5)式表明体系的能量相当于两个独立谐振子的能量和，而这两个振子的固有角频率分

别为

23

C 12k k q R m ω-=

， (10)

23

C 22k k q R m

ω+=

. (11)

在绝对零度，零点能为

()01212

E ωω=

+，

(12)

两个孤立惰性气体原子在绝对零度的能量分别表示为10E 和20E ，有 102001

2E E ω==

， (13)

式中

0k m

ω=

(14)

为孤立振子的固有角频率．由此得绝对零度时，所考察的两个惰性气体原子组成的体系的能量与两个孤立惰性气体原子能量和的差为

()01020E E E E ?=-+．

(15)

利用()

12

21128x x x +≈+-，可得

24C 32126

2k q

E k m R

?=-． (16)

0E ?<，表明范德瓦尔斯相互作用为相互吸引．

16、（第23届全国中学生物理竞赛预赛试题） 如图所示，电荷量为 q 1 的正点电荷固定在坐标原点 O 处，电荷量为 q 2 的正点电荷固定在 x 轴上，两电荷相距 l 。已知 q 2＝2q 1。

（ⅰ）求在 x 轴上场强为零的 P 点的坐标。

（ⅱ）若把一电荷量为 q 0 的点电荷放在 P 点，试讨论它的稳定性（只考虑q 0 被限制在沿 x 轴运动和被限制在沿垂直于 x 轴方向运动这两种情况）。 解：

（ⅰ）通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的 P 点只可能位于两点电荷之间。设 P 点的坐标为 x 0，则有

12

2200()

q q k k x l x =- （1） 已知

212q q = （2）

O

x

1q

2q l

?

?

O x

1q 2q 0x

? ?

? 0x l -

P

由（1）、（2）两式解得

0(21)x l =- （3） （ⅱ）先考察点电荷 q 0 被限制在沿 x 轴运动的情况。q 1、q 2 两点电荷在 P 点处产生的场强的大小分别为

11020q E k

x = 2

2020()

q E k l x =-

且有 E 10＝E 20

二者方向相反。点电荷 q 0 在 P 点受到的合力为零，故 P 点是 q 0 的平衡位置。在 x 轴上 P 点右侧 0x x x +?= 处，q 1、q 2 产生的场强的大小分别为

1

1

102

0()

q E k E x x '=<+? 方向沿 x 轴正方向 2

2

202

0()q E k E l x x '=>--? 方向沿 x 轴负方向

由于 21E E ''>，0x x x +?= 处合场强沿 x 轴的负方向，即指向 P 点。在x 轴上 P 点

左侧0x x x -?= 处 q 1、q 2 的场强的大小分别为

1

1

102

0()q E k E x x ''=>-? 方向沿 x 轴正方向

2

2

202

0()

q E k E l x x ''=<-+? 方向沿 x 轴负方向 由于 2

1E E ''''<，0x x x =-? 处合场强的方向沿 x 轴的正方向，即指向 P 点。 由以上的讨论可知，在 x 轴上，在 P 点的两侧，点电荷 q 1 和q 2 产生的电场的合场强的方向都指向 P 点，带正电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点，所以当 q 0＞0 时，P 点是 q 0 的稳定平衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都背离 P 点，所以当 q 0＜0 时，P 点是 q 0 的不稳定平衡位置。

再考虑 q 0 被限制在沿垂直于 x 轴的方向运动的情况。沿垂直于 x 轴的方向，在 P 点两侧附近，点电荷q 1 和q 2 产生的电场的合场强沿垂直 x 轴分量的方向都背离 P 点，因而带正电的点电荷在 P 点附近受到沿垂直 x 轴的的分量的电场力都背离 P 点，所以，当q 0＞0 时，P 点是 q 0 的不稳定平衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点，所以当q 0＜0 时，P 点是 q 0 的稳定平衡位置。