现代数学发展及数学发展意义

现代数学发展及研究数学发展的意义学习和研究数学的发展，就是要从数学的发展历史中获得借鉴，汲取教益，从而促进现实的科学研究，通俗地说就是“古为今用”。吴文俊对此有精辟的论述，他说：“假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和发展，对一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等许多历史因素都弄清了，我想，对数学就会了解得更多，对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还可以对数学的未来起一种指导作用，也就是说，可以知道数学究竟应该按怎样的方向发展可以收到最大的收益”。

一、现代数学的产生

现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学的主体部分。

19世纪前半叶，数学上出现了两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的，但也是正确的几何——非欧几何。罗巴契夫斯基提出的非欧几何改变了人们认为欧氏几何唯一的存在是天经地义的观点。1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨、研究，可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。

1843年，哈密顿发现了一种乘法交换率不成立的代数——四元数代数。不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。它的革命思想打开了近代代数的大门。另一方面，由于一元方程根式求解条件的研究，引进了群的概念。近代代数是相对古典代数来说的，古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的。群论之后，多种代数系统（环、域、布尔代数、线性空间等）被建立。这时，代数学的研究对象扩大为向量、矩阵等等，并逐渐转向代数系统结构本身的研究。拓扑学开始是几何学的一个分支，但是直到20世纪的第二个1/4世纪，它才得到了推广。拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。科学家们认识到：任何事物的集合，不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集合或非数字对象的集合，都能在某种意义上构成拓扑空间。拓扑学理论已成功应用于电磁学和物理学的研究。泛函分析进一步发展由波兰数学家绍德尔，法国数学家靳雷，匈牙利——美国数学家冯·诺伊曼等人作出。其中前两人用不动点理论证明了微分方程解的存在性定理，成为现代非线性泛函分析的出发点。冯·诺伊曼则把希尔伯特空间公理化，将量子力学的数学基础建立在泛函上，建立算子代数，现称为冯·诺伊曼代数。

二、新兴数学分支

20世纪的数学呈现“爆炸式”增长，新学科不断出现，新分支层出不穷。“大”的分支近百种，“小”的分支则上千。首先是与计算机有关的分支。例如，计算数学，数值计算，理论计算机科学，

离散数学等。还有计算统计学，计算力学，计算物理学，计算化学，计算考古学，历史计量学，数理语言学，数量经济学等。近年来兴起的“数学实验”也颇有代表性。他不仅堂而皇之走进大学课堂，成为日益重要的一门课程，而且在数学研究中也占据一席之地。例如，几何定理证明的“例证法”和代数恒等式证明的举例。验证一个高次恒等式，只要用一个足够大的数代入检验是否相等即可。

突变理论、系统论、信息论、控制论、运筹学等起源于20世纪上半叶的分支经过半个多世纪的发展已成为重要的应用数学方法。模糊数学、分形几何学、混沌数学、小波分析等创立于20世纪下半叶的新分支显示出前所未有的成长态势。数学哲学、数学美学、数学文化学、数学教育学等展示了数学的新面貌。数学使人们既熟悉又陌生，数学大厦巍峨高耸，数学大树枝繁叶茂。

三、现代数学发展趋势

现代数学所面临的问题很多。例如，数学基础中数学研究对象问题，数学理论的评价标准问题等都涉及数学的本质；数学在解决实际生产生活中的问题时常显得力不从心，如天气预报，自然灾害预报不尽如人意，实质上是其中的数学工具有待于提高。每一次数学的突破都引起人们的欢呼，但未知领域永远比已知领域广阔；数学与公众的隔阂比较严重，物理学、生物学等领域的每一项新成果通过新闻媒体立刻传遍世界，克隆、黑洞、dna、不管多么深奥，很快出现在教科书中。而数学的新成果很少见于报刊，象连续统假设、抽象代数学等只能在数学界内部谈论。一般人视数学为畏途，

数学得不到广泛理解。但是，数学在这种矛盾的环境中依然快速前进，数学的发展势如破竹。

我认为：现代数学发展的趋势有以下几方面：（1）数学与其它科学的关系日益密切；（2）数学理论的发展出现数值化、算法化、离散化、组合化势头；（3）数学基础与前沿理论同时发展；（4）数学向更抽象的层次发展，表现为高维，多变量，非线性，由局部到整体。

四、研究数学发展的意义

向学生介绍一些数学进展的曲折历程，以及数学发展历史上的真实“问题”，还可以激发学生的学习兴趣，促进专业课程教学。一段精彩的“新课引入”，一个数学家的故事，都能激起学生的学习热情和良好的学习动机，从而掀起课堂思维的高潮，使学生在惊奇、赞叹、佩服中迸发灵感，享受数学。如学习“格林公式”时，可介绍19世纪英国数学家格林的生平：格林童年辍学，青年时代没有机会受高等教育。他汲取法国学者用数学分析研究电磁获得成功的理论，写成《论数学分析在电磁学理论中的应用》的论文。格林在他人的资助下，勉强印了100份，分寄给一些学者，可却没引起任何人的重视。后来，经过他的努力，由他培养了一批精通数学的物理学家，形成了独具风格的剑桥学派。当学生了解定理、原理诞生的时代背景、艰难历程，以及科学家为此付出的心血汗水后，再去学习定理的内涵，感觉会大不一样，从而激励他们更加自觉地掌握前人经过奋斗而来的知识。

了解数学发展过程可对数学问题、概念、理论和方法的来龙去脉有一定的认识，对引入他们的动机与产生的后果更加明白。举例来说，对虚无缥缈的ⅰ，用较现代的数学术语来说，ⅰ是虚单位，它满足关系ⅰ?=-1。它的发展过程：12世纪印度数学家塔斯卡拉在解一元二次方程时发现了负数开平方。可惜他并不承认负数有平方根。16世纪中叶，意大利数学家卡丹在研究三次方程的解法时，公开了他从数学家塔尔塔里亚那里得来的著名求根公式，其中含有负数开平方，并承认负数的平方根仍然是数。18世纪70年代，瑞士数学家欧拉引进了ⅰ，并且发现了著名的欧拉公式。19世纪初，高斯道出了ⅰ的真谛：假如人们最初不是将-1，1，ⅰ说成正、负和虚单位，而称其为正、反和侧单位的话，那么就会很自然的接受复数了。