计算方法最小二乘法

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计算方法最小二乘法

最小二乘法二多项式拟合 ),(ix(i=0, 1, , m) ，为所有次数不超过假设给定数据点iy)(mnn的多项式构成的函数类，现求一=k=nkknxaxp0)(,使得[]min)(00202===i =i==mmnkikikiinyxayxpI (1) )(xpn当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的拟合多项式。

特别地，当 n=1 时，称为线性拟合或直线拟合。

显然称为最小二乘 =i0==mnkikikyxaI20)( =为由多元函数求极值的必要条件，得 I20 =n aaa,,10的多元函数，因此上述问题即为求),,(10n aaaII的极值问题。

njxyxaamijinkikikj,, 1 , 0, 0)(0==== (2) 即njyxaxnk=miijikmikji,, 1 , 0,)(000====+ (3) （3）是关于n aaa ,,10的线性方程组，用矩阵表示为mniixx00=

+=i =i=m=i=i=i=i=i=i=m=m++miniiimiinmnimnimniniimiimiyxyxyaaaxx xxxxm0001002010010201 (4) 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。

可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。

从式（4）中解出k a(k=0, 1, ， n) ，从而可得多项式

1/ 2

naxp0=k=kknx)( (5) pn可以证明，式（5）中的mxp0)(xpn满足式（1），即)(x为所求的拟合多项式。

我们把[]=iiiny2)(称为最小二乘拟合多项式)(xpn的平方误差，记作[]=i=miinyxpr0222)( 由式(2) 可得

=i=k=i=mnmikikiyxayr000222)( (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：

(1) 由已知数据画出函数粗略的图形散点图，确定拟合多项式的次数 n； mjinjx0和aa,,10(2) 列表计算==i)2 ,, 1 , 0(==miijinjyx0)2 ,, 1 , 0(； (3) 写出正规方程组，求出n a； (4) 写出拟合多项式 =k=nkknxaxp0)(。

例子：

已知实验数据如下表 xi 0.2 0.5 0.7 0.85 1 yi 1.221 1.649 2.014 2.340 2.718 已知实验数据如下表 i 0 1 2 3 4 5 6 iT(℃) 19. 1 25. 0 30. 1 36. 0 40. 0 45. 1 50. 0 )(ΩiR 76. 30 77. 80 79. 25 80. 80 82. 35 83. 90 85. 10