人教版八年级数学上册金榜名师推荐题组训练11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3三角形的稳定性.doc
人教版八年级上册数学三角形的高、中线与角平分线同步训练
人教版八年级上册数学11.1.2三角形的高、中线与角平分线同步练习一、填空题1．如图，AE是△ABC的中线，BF是△ABE的中线，若△ABC的面积是20cm2，则S△ABF ＝_____cm2．2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△BEF=2cm2，则S△ABC=__________．3．如图，在ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若ABC的面积等于8，则BDE的面积等于______．4．如图，ABC中，D是BC边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段AD的三等分点，记BDF的面积为1S，ACE的面积为2S，若123+=，则ABC的面积为__．S S5．如图，若AD 是ABC 的角平分线，则BAD ∠________12CAD ∠=________或2BAC ∠=________2=________．6．如图，ABC 中，CD AB ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，若2AC AB =，4BE =，则CD =______．7．如图，BD 、CE 是ABC 的高，若AB ＝4，AC ＝6，CE ＝5，则BD 的长度是_________．8．如图，直角三角形ABC 中，△ABC ＝90°，BD △AC 于点D ，AB ＝3，AD ＝1.8，BD ＝2.4，DC ＝3.2，BC ＝4，则点A 到BD 的距离是______．二、单选题1．如图，BE 是某个三角形的高，则这个三角形是（ ）A ．ABE △B ．ABD △C ．CBE △D ．ABC2．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点，且△ABC的面积为8cm2，则△BCF的面积为（）A．0.5cm2B．1cm2C．2cm2D．4cm23．如图，AD是ABC的中线，已知ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则ACD 的周长为（）A．31cm B．25cm C．22cm D．19cm4．下列说法正确的是（）△三角形的角平分线是射线；△三角形的三条角平分线都在三角形内部；△三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分；△三角形的三条高都在三角形内部．A．△△B．△△C．△△D．△△S 5．如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，BE是ABD中AD边上的中线，若ABC =24，则ABE的面积是（）A．4B．12C．6D．86．如图，在ABC中，AB边上的高是（）A ．CDB ．CEC ．BFD ．BG7．如图，在ABC 中，AD ，AE 分别是边CB 上的中线和高，6cm AE =，212cm ABD S =△，则BC 的长是（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm 8．如图，AC △BC ，CD △AB ，DE △AC ，垂足分别为C ，D ，E ，则下列说法正确的是（ ）A ．BC 是△BCD 的高B ．DE ＝12BC C ．△CEB ＝△ABCD ．DE 是△ACD 的高 三、解答题 1．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，△ADC 的周长比△ABD 的周长多3cm ，AB 与AC 的长度和为11cm ，求AC 的长．2．如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，连接EB ，EC ，CF △BE 于点F ．若BE ＝9，CF＝8，求△ACE的面积．3．如图，AD为ABC中线，AB＝12cm，AC＝9cm，ACD的周长为27cm，求ABD的周长．4．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，求线段AE的长．。
人教版八年级上册数学三角形的高、中线与角平分线同步训练
人教版八年级上册数学11.1.2 三角形的高、中线与角平分线同步训练一、单选题1．下列四个图形中，线段BE 是ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 的中点，点F 是BE 的中点，已知△ABC 的面积为8，则△AEF 的面积为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12 3．如图，在ABC 中，BD CD =，2AE BE =，连接AD 、CE 相交于点O ，若ABC 的面积为24，则AOE △与COD △的面积之差为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 4．如图，点D 、E 在ABC 的边上，连接AD 、BE 交于点F ．若BD CD =，13CE AC =，224cm ABC S =，则图中两个阴影面积之差即AEF BDF S S -△△等于（ ）2cm ．A ．8B ．4C ．2D ．15．如图，在ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且224cm ABC S =，则阴影部分AEF 的面积为（ ）2cm ．A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5 6．如图，ABC 中，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，则AB 边上的高是（ ）A ．ADB ．CEC ．DCD ．AE 7．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C A B C →→→的路径运动，且速度为每秒2cm ．设运动的时间为t 秒，当t =（ ）秒时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分．A ．4B ．6C ．6.5D ．7 8．如图，D 、E 分别是ABC 边BC 、AB 边上的中点，F 是AD 上一点且3AF FD =，若阴影部分的面积为9，则ABC 的面积是（ ）A ．18B ．16C ．15D ．14二、填空题9．如图，BD 是△ABC 的中线，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，那么△ABD 的周长比△CBD 的周长多_____．10．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，P 是BC 上任意一点，PE △AB 于点E ，PF △AC 于点F ，若S △ABC ＝3，则PE +PF ＝__________．11．如图，AB CD ∥，BC AB ⊥，若4cm AB =，212cm ABC S =△，求ABD △中AB 边上的高等于______．12．如图，△ABC 的面积是12，点D ，E ，F ，G 分别为BC ，AD ，BE ，CE 的中点，则△AFG 的面积是_____．13．如图，在三角形ABC 中，CD △AB 于点D ，DE △BC 于点E ，DE ＝8，AC ＝10，且CD 的长为整数，则CD 的长为________．14．如图，线段AD ，CE 分别是△ABC 中边BC ，AB 上的高．若AD ＝10，CE ＝9，AB ＝12，则BC 的长是________15．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，如果2AD BC =，那么:BC AB 的值是________．16．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，若210cm ABD S =△，则ACD S =______2cm ．三、解答题17．如图，ABC 中，AD 是角平分线，AF 是高线，36,74B C ∠=︒∠=︒，求DAF ∠的度数．18．如图，BD和CE是△ABC的中线，AE=3cm，CD=2cm，若△ABC周长为15cm，求BC边的长．，AC边上的中线BD把三角形的周长分为10和18两部19．在ABC中，AB AC分，求腰长AB．20．如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上，将△ABC向上平移4格．(1)请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；(2)在图中画出三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)△ABC的面积是．参考答案：1．D2．C3．B4．B5．C6．B7．C8．B9．2cm10．311．6cm12．9 213．9 14．10.815．1 416．10 17．19°18．5cm 19．12 20．(3)8。
人教版数学八年级上册11.1.2 三角形的高、中线与角平分线课件(共24张PPT)
11.1.2 三角形的高、 中线与角平分线
学习目标
1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念及画法. 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的简单应用.
新课引入
小明拿着零花钱去买了一块三角形的蛋糕，如图，将三角形蛋糕表面记 为△ABC，若已知BC的长度,求蛋糕的面积还要知道什么条件呢？
∴ S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
课堂小结
角平分线
三角形中,一个角的平分 线与这个角对边相交,顶 点与 交点之间的线段叫做 三角形的角平分线
三角形中几 条重要线段
中线
三角形中, 连接一 个顶点与它对边中点的线段叫做三 角形的中线
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做
A
B
D
C
新知学习 一、三角形的高
从△ABC的顶点A向它所对的边BC 所在直线画垂线，垂足为D，所得 线段AD叫做△ABC的边BC上的高. 注意：标明垂直的记号和垂足的字母. B
A
D
C
符号语言 ∵AD 是△ABC 的高，( 已知 ) ∴AD ⊥ BC ( 或∠BDA = 90°或∠ADC=90° ). ( 三角形的高线定义 )
探究
画出钝角三角形三边上的高线.你发现了什么？
钝角三角形的三条高不相交.三条高所在直
A
线交于一点，并且这个点在三角形外部.
D
F
B
C
E
归纳
三角形的三条高的特征
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点
的位置
3 相交 相交
三角形 内部
初中数学人教版八年级上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线
还能得到什么结论？
二、三角形的中线
1、概念
连接三角形的一个顶点和它对边 中点的线段叫做三角形的中线．
B
A
E
C
2、性质
图形
三角形的中线
2 表达 位置关系
数量关系
A
B
E
AE是 △ABC的边 E是BC的 BC上的中线 中点
C
BE=CE BE=CE=1/2 BC BC=2BE=2CE
三角形的高
ห้องสมุดไป่ตู้
图形
表达 位置关系
数量关系
A BD
AD是 △ABC的边 AD⊥BC ∠ADB = ∠ADC = 90° C BC上的高
每个三角形有几条高？ 分别画出下面三个三角形的所有高。
三角形三条高所在的直线交于一点
3 锐角三角形的三条高都在三角形的内部，交于三角
形内一点；
直角三角形的两条高分别与两条边重合，三条高 交于直角顶点；
分线，则：
∠1 = ∠2 ；
A
∠3 =
1 2
∠ABC
；
12
F
E
∠ACB = 2 ∠4 .
B
3
D
2、P8 第4题
4
C
拓展提升
P9 第8题
2
3
还能得到什么结论？
SABD BD SACD CD
DD
三角形的基本要素有哪些？
要素： 属性：
顶点 边
角
点 线段 角
11.1.2 与三角形相关的重要线段
---------- 三角形的高、中线与角平分线
一、三角形的高
如图，你能画出△ABC中BC边上的高吗？
人教版八年级数学上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线 教学课件(共68张PPT)
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高线定义
(________________)
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高.
三角形的高
定义
垂线 ，
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____
顶点 垂足
线段
_____和_____之间的_____叫做三角形的高线，简称
三角形的高
符号语言
∵ 是△ 的高，（已知）
三角形的高线定义
新人教版八年级数学上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线及稳定性课时同步习题(含答案)
11.1.2三角形的高、中线、角平分线及稳定性一、选择题1.画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列说法正确的是（）A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的角平分线是射线3.如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD 的周长的差是（）A．2 B．3 C．6 D．不能确定（第3题）（第4题）（第6题）（第7题）4.如图，△AB C中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条5．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC ．正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．②③6.（2011•绵阳）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）A．0根B．1根C．2根D．3根7.（2006•绵阳）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间线段最短B．矩形的对称性C．矩形的四个角都是直角D．三角形的稳定性8.三角形的高线是（）A．直线B．线段C．射线D．三种情况都可能二、填空题9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：①点A与点B的距离是线段AB的长；②点A到直线CD的距离是线段AD的长；③线段CD是△ABC边AB上的高；④线段CD是△BCD边BD上的高．上述说法中，正确的个数为_________个10.如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有_________.11．（2004•新疆）如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______________________．12.如图所示，CD是△ABC的中线，AC=9cm，BC=3cm，那么△ACD和△BCD的周长差是___________cm．13.AD是△ABC的一条高，如果∠BAD=65°，∠CAD=30°，则∠BAC=______．14.如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D．则图中共有_____个直角三角形．15.如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，若AC=24cm，则AE=cm，若∠ABC=72°，则∠ABD=_____度．16.如图所示：（1）在△ABC中，BC边上的高是_____；（2）在△AEC中，AE边上的高是_____．17.三角形一边上的中线把三角形分成的两个三角形的面积关系为_____.18.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC，DC∥EF，则与∠ACD相等角有_____个．三、解答题19．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作直线DF∥BA，交△ABC的外角平分线AF于点F，DF与AC交于点E．求证：DE=EF．20.若等腰三角形一腰上的中线分周长为１２cm和１５cm两部分，求这个等腰三角形的底边和腰的长.21. 如图：（1）画出△ABC的BC边上的高线AD；（2）画出△ABC的角平分线CE．22.△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．第21题（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C-∠B是否相等？若相等，请说明理由．23.已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．第23题11.1.2三角形的高、中线、角平分线及稳定性一、选择题1.C2.B3.A4.B5.D6.B7.D8.B二、填空题9.4 10.2 11.利用三角形的稳定性使门板不变形． 12..6 13.95°或35° 14.3 15.12,36 16.AB,CD 17.相等 18.4三、解答题19.证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，AF 平分△ABC 的外角，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DF∥BA，∴∠4=∠ADE，∠1=∠F ∴∠3=∠ADE，∠2=∠F∴DE=EA EF=EA∴DE=EF20.在ＡＢＣ∆中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ是中线，设ＡＢ＝x,BC=y.(1)当AB+AD=12时，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+15211221x y x x ，解得,118⎩⎨⎧==y x ∴三角形三边的长为８，８，１１； （２）当AB+AD=1５时，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12211521x y x x ，解得,y x ⎩⎨⎧==710∴三角形三边的长为１０，１０，７； 经检验，两种情况均符合三角形的三边关系.∴三角形三边的长分别为８，８，１１或１０，１０，７.21. 解：（1）如图所示：AD 即为所求；（2）如图所示：CE 即为所求．22.解：（1）∵∠B=30°，∠C=70°∴∠BAC=180°-∠B -∠C=80°∵AE 是角平分线， ∴∠EAC=21∠BAC=40°∵AD 是高，∠C=70°∴∠DAC=90°-∠C=20°∴∠EAD=∠EAC -∠DAC=40°-20°=20°；（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC -∠DAC=21∠BAC -（90°-∠C）① 把∠BAC=180°-∠B -∠C 代入①，整理得∠EAD=21∠C -21∠B，∴2∠EAD=∠C -∠B．23.证明： ∵∠ACB=90°， ∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE 平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．。
人教版数学八年级上册11.1.2 三角形的高、中线和角平分线 同步课时训练
人教版数学八年级上册同步课时训练第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.2三角形的高、中线与角平分线自主预习基础达标要点1三角形的高1. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，叫做三角形的高.2. 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高没有交点，但三条高的延长线交于三角形一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，它们的交点是三角形的.要点2三角形的中线1. 在三角形中，连接一个，叫做这个三角形这边上的中线.2. 三角形的三条中线相交于一点，三角形三条的交点叫做三角形的重心.要点3三角形的角平分线1. 在三角形中，一个内角的角平分线与它所对边相交，这个角的，叫做三角形的角平分线.2. 三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的.课后集训巩固提升1. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定2. 小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )A BC D3. 下列说法不正确的是( )A. 三角形的中线在三角形的内部B. 三角形的角平分线在三角形的内部C. 三角形的高在三角形的内部D. 三角形必有一高线在三角形的内部 4. 以下关于三角形中线的说法正确的是( )A. 三角形三条中线的交点在三角形的内部、外部或一边上B. 若BE 是△ABC 的一条中线，则BE ＝12ACC. 若AD 是△ABC 的一条中线，则△ABD 和△ADC 的面积一定相等D. 若CF 是△ABC 的一条中线，则AB ＝12AF5. △ABC 的角平分线AD 是( )A. 射线ADB. 射线DAC. 直线ADD. 线段AD 6. 如图所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD ＋CE ＝9，则线段DE 的长为( )A. 9B. 8C. 7D. 6第6题 第7题7. 如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，BG 的延长线交AC 于点E ，F 为AB 上的一点，CF 与AD 垂直，交AD 于点H ，则下面判断正确的是( )①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有个.第8题第9题9. 如图，AD为△ABC的中线，AE⊥BC，若BC＝4cm，AB＝3cm，AE＝2cm，则点D到直线AB的距离为.10. 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，点F，E是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积为.11. 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，S△ABC＝24cm2，求S△ABE.12. 如图所示，△ABC的高AD，BE，CF相交于点H，过F作FG⊥AC交AC于点G，请说出△ABH，△BCH，△ACH，△ACF中各边上的高.13. 如图，在△ABC中(AB>BC)，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长.14. 有一块肥沃的三角形土地ABC，其中一边与灌渠相邻，如图，政府要将这块地按人口数分给甲、乙、丙三家，若甲家有3口人，乙家有3口人，丙家有6口人，且每家所分土地与灌渠相邻，请你帮助设计一个合理的分配方案.15. 如图所示，网格小正方形的边长都为1，在△ABC中，试分别画出△ABC三条边的中线，然后探究三条中线的位置及其有关线段之间的关系，你发现了什么？16. 在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，作BC边上的高AD，图中出现三个不同的直角三角形(3＝2×1＋1)，又在△ABD中作AB边上的高DD1，这时图中便出现五个不同的直角三角形(5＝2×2＋1)；按同样的方法作D1D2，D2D3，D3D4，…，D k－1D k，当作出D k－1D k时，图中有多少个不同的直角三角形？参考答案自主预习基础达标要点1 1. 顶点和垂足之间的线段 2. 内部外直角顶点要点2 1. 顶点与它对边中点的线段 2. 中线要点3 1. 顶点与交点之间的线段 2. 内部课后集训巩固提升1. B2. C3. C4. C5. D6. A7. B8. 69. 43cm10. 6cm211. 解：由D，E分别是BC，AD的中点，且等底同高的三角形面积相等，得S△ABD＝S△ADC＝12S△ABC＝12×24＝12(cm2).同理，S△ABE＝S△DBE＝12S△ABD＝12×12＝6(cm2).12. 解：在△ABH中，HF是AB边上的高，AE是BH边上的高，BD是AH边上的高；在△BCH中，HD是BC边上的高，CE是BH边上的高，BF是CH边上的高；在△ACH中，HE是AC边上的高，CD是AH边上的高，AF是CH边上的高；在△ACF中，FG是AC边上的高，CF是AF边上的高，AF是CF边上的高.13. 解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.设BD＝CD＝x，AB＝y.∵AC＝2BC，∴AC＝4x.分为两种情况：①AC＋CD＝60，AB＋BD＝40，则4x＋x＝60，x＋y＝40，解得x＝12，y＝28，即AC＝4x ＝48，AB＝28；②AC＋CD＝40，AB＋BD＝60，则4x＋x＝40，x＋y＝60，解得x＝8，y＝52，即AC ＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系.综上所述，AC＝48，AB＝28.14. 解：因为人口数分别为3，3，6，且3＋3＝6，所以先找△ABC的边BC上的中线AD，AD将△ABC 分成面积相等的两部分：△ABD和△ADC.若将△ADC分给丙家，则将△ABD分给甲、乙两家，由于甲、乙两家人口数相等，因此找△ABD的边BD上的中线AE，AE将△ABD分成面积相等的两部分：△ABE和△AED，可将△ABE分给甲家，△AED分给乙家.如图所示.15. 解：如图所示，由图中的信息可知：①三角形ABC的三条中线相交于一点；②三条中线交点到对边中点的距离等于它到对应顶点距离的一半.16. 解：作出AD时，有2×1＋1＝3(个)不同的直角三角形；作出DD1时，有2×2＋1＝5(个)不同的直角三角形；作出D1D2时，有2×3＋1＝7(个)不同的直角三角形；作出D2D3时，有2×4＋1＝9(个) 不同的直角三角形;…. 作出D k-1D k时，有2(k+1)＋1＝2k+3(个)不同的直角三角形。
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提技能·题组训练
三角形的三种重要线段
1.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各
式中错误的是 ( )
A.AB=2BF B.∠ACE=∠ACB
C.AE=BE D.CD⊥BE
【解析】选C.∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE=∠ACB，AB=2BF，根据图形知AE≠BE.
2.把三角形的面积分为相等的两部分的是 ( )
A.三角形的角平分线 B.三角形的中线
C.三角形的高 D.以上都不对
【解析】选B.三角形的中线把三角形分成两个三角形，这两个三角
形等底、同高，所以这两个三角形的面积相等.
【互动探究】若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是 ( )
A.AD平分∠BAC B.BD=DC
C.AD平分BC D.BC=2DC
【解析】选A.AD平分∠BAC，则AD是△ABC的角平分线，故A错误；
AD是△ABC的中线，则有BD=DC，AD平分BC，BC=2DC，故B，C，D
正确.
【知识拓展】三角形的中线的特性
1.线段：三角形的中线是一条线段.
2.位置：任何三角形都有三条中线，三条中线都在三角形内部，并且
三条中线相交于一点.
3.平分：三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形.
3.(2014·德州英才质检)下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的
图是 ( )
【解析】选A.根据三角形高的定义，过顶点作对边的垂线，顶点与
垂足之间的线段叫做这个三角形的高，对各选项分析判断后利用排除
法求解.只有A选项中的BE符合.
【易错提醒】三角形高BE一个端点是三角形的顶点B，另一个端点
要落在AC所在的直线上，同时线段BE应与AC垂直.
【知识归纳】用直角三角板画高的三步骤
一靠：让直角三角板的一条直角边和指定的对应边重合，让另一条直
角边经过选定的顶点.
二画：用铅笔沿着直角边从顶点开始到对应边画垂线段.
三标：标上垂直符号和垂足.
4.如图，∠1=∠2=∠3=∠4，则 是△ABD的角平分线；
是△ADC的角平分线；AD是△ 的角平分线.
【解析】因为∠1=∠2，所以AE是△ABD的角平分线；因为∠3=∠4，
所以AF是△ADC的角平分线；因为∠1=∠2=∠3=∠4，所以∠BAD=∠
CAD，所以AD是△ABC或△AEF的角平分线.
答案：AE AF ABC(AEF)
5.如图所示，(1)AD⊥BC，垂足为D，则AD是
BC边上的 .
(2)AE平分∠DAC，AH是△ 的角平分
线，AE是△ 的角平分线.
(3)AF=FC，则△ABC的中线是 .
【解析】由图知(1)AD是BC边上的高.(2)AH是△AGF的角平分线，
AE是△ADC的角平分线.(3)△ABC的中线是BF.
答案：(1)高 (2)AGF ADC (3)BF
6.如图所示，在△ABC中，BC边上的高是 ；在△BCE中，
BE边上的高是 ；在△ACD中，AC边上的高是 .
【解析】根据三角形的高的定义：三角形的一个顶点向它的对边所在
的直线作垂线，这点和垂足之间的线段是三角形的这边上的高，得出：
在△ABC中，BC边上的高是AF；在△BCE中，BE边上的高是CE；在
△ACD中，AC边上的高是CD.
答案：AF CE CD
7.画出图中每个三角形的三条高，然后总结三角形高所在直线交点的
位置与三角形形状的关系.
【解析】锐角三角形三条高的交点在三角形的内部；直角三角形三条
高的交点是直角顶点；钝角三角形三条高所在直线交于三角形外一
点.
三角形的稳定性
1.下列图形具有稳定性的是 ( )
A.正方形 B.长方形
C.直角三角形 D.平行四边形
【解析】选C.因为三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.
2.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，
要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条?
( )
A.0根 B.1根
C.2根 D.3根
【解析】选B.从四边形的一个顶点作对角线，将四边形分割成两个
三角形.
3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几
何原理是
( )
A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短
C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
【解析】选A.构成了△OAB，根据三角形的稳定性，用窗钩AB可将
窗户固定.
4.人站在晃动的公共汽车上，若你分开两腿站立，则需伸出一只手抓
住扶手才能站稳，这是利用了 .
【解析】把两脚和手与扶手的接触点看作三个点，组成一个三角形.
答案：三角形的稳定性
5.(2014·邮亭中学质检)(1)下列图形中具有稳定性的是
(只填图形序号).
(2)对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性.
【解析】(1)具有稳定性的是①④⑥.
(2)答案不唯一.如图所示：
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm
与15cm两部分，求△ABC各边长.
(1)错因：
__________________________________________________________.
(2)纠错：
__________________________________________________________
___________________________________________________________
________
答案：(1)本题错在漏了当x+2x=15时的情况.
(2)当x+2x=15时，BC+x=12，解得x=5，BC=7(cm)，此时△ABC的三
边长分别为AB=AC=10(cm)，BC=7(cm).