数学教学中应强化的几种数学观念
数学思想方法在数学教学中的应用探究
数学思想方法在数学教学中的应用探究数学思想方法是指数学学习和研究中所使用的思维方式和方法。
在数学教学中，引导学生学会使用数学思想方法是很重要的，因为这可以帮助学生更好地理解数学知识，并能够运用数学知识解决实际问题。
具体来说，在数学教学中可以使用的数学思想方法有很多种，包括推理、归纳、形式化、递归、构造、推广、运用规律、发现规律等。
这些方法可以帮助学生学会使用逻辑推理、归纳思维、形式化表达、递归思维、构造思维、推广应用、寻找规律等能力，从而更好地理解数学知识并运用数学解决实际问题。
在数学教学中，应该注重培养学生的数学思想方法。
具体来说，可以通过以下几种方式来探究数学思想方法的应用：1.通过设计适当的数学问题，让学生使用数学思想方法来解决问题。
这可以帮助学生学会如何使用数学思想方法来分析问题，并学会如何使用这些方法来解决问题。
2.在讲解某一个数学概念或定理时，阐述其中使用的数学思想方法。
这可以帮助学生理解数学思想方法的作用和意义，并学会如何在解决数学问题时使用这些方法。
3.在数学教学中，要让学生参与探究和讨论。
这可以帮助学生学会如何通过与他人的交流来学习数学思想方法。
4.在数学教学中，要让学生体验不同的数学思想方法的应用。
这可以帮助学生学会如何在不同的情况下使用这些方法，并学会如何选择最合适的方法来解决问题。
5.在数学教学中，要注重学生的个体差异。
这可以帮助学生学会如何根据自己的特点和需求来选择最合适的数学思想方法来解决问题。
总之，通过以上几种方式，我们可以在数学教学中探究数学思想方法的应用，帮助学生学会如何使用这些方法来解决问题，并培养学生的数学思维能力。
数学中的数学教学技术与方法
数学中的数学教学技术与方法数学是一门重要且广泛应用的学科，它在培养学生逻辑思维、分析和解决问题的能力方面起着重要作用。
为了有效教授数学知识，教师应该运用合适的数学教学技术与方法。
本文将介绍几种常见的数学教学技术与方法，以帮助教师在数学课堂上取得良好的教学效果。
1. 探索式学习法探索式学习法是一种基于学生主动参与的教学方法。
在数学教学中，教师可以引导学生通过实际问题的观察和分析，来自主发现数学规律和关系。
这种方法可以激发学生的学习兴趣，培养他们独立思考的能力，并提高解决问题的能力。
例如，教师可以设计一些数学游戏或数学实验，让学生亲自动手探索数学概念和公式的应用。
2. 合作学习法合作学习法是指学生在小组中共同合作完成学习任务的方法。
在数学教学中，教师可以组织学生进行小组讨论、合作解决问题。
这样的学习方式可以促进学生之间的互动和合作，培养他们的团队合作意识和沟通能力。
此外，合作学习法还可以帮助学生发现自己的学习差距，并通过小组互助进行纠正。
例如，教师可以将学生分成小组，每个小组负责解答一道数学问题，并互相检查和讨论答案。
3. 认知导图法认知导图法是一种以图形方式展示知识结构和关系的方法。
在数学教学中，教师可以使用认知导图来呈现数学概念、公式和解题方法的相关性。
这种可视化的方法可以帮助学生更好地理解和记忆数学知识，并帮助他们在解决问题时能够更清晰地思考。
教师还可以引导学生使用认知导图来自主总结和复习数学知识，提高他们的学习效果。
4. 情境教学法情境教学法是一种将学习内容与实际情境结合起来的教学方法。
在数学教学中，教师可以通过真实的生活案例或数学问题引导学生学习数学知识。
通过将学习内容与实际应用相结合，学生可以更好地理解数学的实际应用价值，并将所学的数学知识应用到现实生活中。
例如，教师可以组织学生进行数学建模活动，让他们运用所学知识解决实际问题，如商业决策、物理模型等。
5. 多媒体教学法多媒体教学法是一种将多种媒体手段（如图片、音频、视频等）应用于教学过程中的方法。
小学数学教学中应培养学生具备的几种能力
小学数学教学中应培养学生具备的几种能力在小学数学教学过程中，我们不仅要教会学生如何学习，而且要培养他们解决问题的能力。
如通过数学基础知识的掌握和理解，可使学生学会多种思考方法；通过解答不同层次、不同类型的数学问题，从而培养学生独立思考、耐心细致、自觉检查的良好学习习惯；特别是那些需要经过周密思考、反复研究才能解决的问题，更有利于培养学生的意志品质和克服困难的精神。
新课标的课程基本理念中也提出：应注重对学生诸多能力的培养，其中包括数学阅读能力、数学应用能力和数学探究能力等。
作为一名小学数学教师，在数学课堂教学中，笔者有以下几点体会：一、在解决实际问题时培养学生的分析能力小学生大部分分析实际问题的能力不太令人满意，绝大多数学生遇到实际问题就害怕，看到问题心中想得最多的词就是“放弃”。
对于这种现象，笔者一直在思考的问题是，如何让学生能对解决实际问题产生兴趣、增强自信心？案例一：王老师到商店买了4副羽毛球拍，付了50元，找回3.6元，每副羽毛球拍的售价是多少元？（列方程解答）刚开始笔者让学生尝试着自己解答，在巡视的过程中发现基础好的学生思路清晰，解决这道题没有困难；但是绝大多数学生还是对题目束手无策，不知道从哪儿下手。
很多学生这么列方程：4x=50。
在讲授的过程中，笔者以学生到商店买东西为例，把这道题简单化，如：你们到商店买了三支圆珠笔，付了2元钱，售货员找回你0.5元，你能算出一支圆珠笔多少钱吗？学生会说：能。
那你是怎么算的？把你的算法跟小组里的同学说一说。
接着找学生代表说一说他的算法（学生代表都是后进生），笔者发现他们对这个问题分析得都很透彻：1.先求三支圆珠笔一共要多少钱（拿付出的钱减去找回的钱就是三支圆珠笔的价钱）。
2.再求一支圆珠笔需要多少钱。
通过这个简单的例子，从他们经常经历的买东西的事情出发，学生再回过头看刚才的问题，不用教师讲就会自己动手解答了。
通过把稍微复杂的实际问题简单化，学生就能轻松地学到解题的方法，这个过程笔者感觉学生是轻松的、快乐的。
小学数学教学中估算意识的培养策略
小学数学教学中估算意识的培养策略估算是数学中非常重要的一种技能，它不仅可以用于实际生活中的计算问题，而且还可以促进孩子们对数学的理解和探究。
因此，在小学数学教学中，我们需要培养孩子们的估算意识。
下面是我总结的几种培养估算意识的策略。
一、利用实际问题进行估算让孩子们利用实际生活中的问题进行估算，可以让他们将抽象的数学概念和实际应用结合起来，加深对数学的理解。
例如，可以让孩子估算某一件商品的价格，或者估算两个物体的重量差别。
通过这些实际问题的估算，可以让孩子们更加深刻地理解数学的实际应用。
二、使用近似数进行估算在估算过程中，可以让孩子们使用一些近似数来进行计算。
例如，在计算乘法问题时，可以使用四舍五入的方式来计算。
这样不仅可以减少计算的难度，还可以让孩子们更好地理解数的数量和大小关系。
三、让孩子理解数的估值在交流中，家长或老师可以让孩子们发表他们的看法。
这种方法可以引导孩子们更好的理解数值的应用，以及数位的含义。
例如，问孩子们巧克力蛋糕的重量，他们会感到更自信并掌握更多估算的方式。
四、让孩子进行计算器估算比较让孩子运用计算器进行估算比较，可以帮助他们培养精确估算的能力。
例如，比较两个数谁大谁小。
这种方法可以提高孩子的思维敏捷度，也可以让他们学会更好的思维计算方式。
五、使用游戏和故事激发孩子的学习兴趣在数学的故事中和数学游戏中，家长和老师可以提出估算问题，以引发孩子们的学习兴趣。
例如，让孩子们玩猜数字游戏，鼓励孩子们自己想办法进行估算。
这样，孩子们会感到兴趣，而且会更好地理解数学。
六、鼓励孩子学习数学技巧学习数学技巧是培养估算意识的重要方法，例如交叉相乘法。
家长和老师可以给孩子们提供一些学习数学技巧的机会，以帮助他们更好地理解数学。
总之，培养估算意识是小学数学教育中非常重要的任务。
通过充分利用实际问题和数学技巧，鼓励孩子们学习和发展自己的估算技能，可以帮助他们更好地理解和掌握数学。
(研究课总结)数形结合思想在小学数学教学中的应用
数形结合思想在小学数学教学中的应用数形结合思想是一种在小学数学教学中常用的数学思想，数形结合思想有利于学生对知识的记忆，可使学生很好地理解知识的含义。
小学数学从一开始就是采用数、图、形呈现教学内容的，而且贯穿在整个小学数学的始终，从这一侧面强调了数形结合思想的重要性，也要求老师们在教学中去对这一思想方法的渗透，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题。
小学生的数学学习过程也是思想形成的过程，数学思想的形成离不开数学方法的应用，著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
”可见数形结合在数学中的地位。
对于小学生来说，对“数”的认识只是处于初级阶段，对“形”的认识受到思维的局限而无法拓展，教师应加以引导，以加强学生对题意的理解和数学思想的培养，本文通过以下几个方面进行了论述。
当我们步入数学这个充满生机、瑰丽多姿的大千世界时，其内容的丰富与深刻、方法的优美与奇特等，无不给人以美的享受。
数形结合不仅可以关注美育，给枯燥的数学注入美的价值与活力，更能有效激发学生的兴趣。
这样就让孩子对数有了兴趣，有效地突破了教学中的难点。
利用数形结合，引导学生领略数学的美，使学生对数学产生强烈的情感、浓厚的兴趣和探讨的欲望，从而克服数学学习的困难。
二、数形结合思想有助于提高学生的理解能力小学生的数学学习是从形象到抽象的过程，也就是学生把日常生活中接触的问题转化成数学问题进行探究，再把探究所得到的结论应用于生活，最终培养一种数学品质，而这一过程离不开理解能力和解题能力的提高，如何提高学生的理解能力和解题能力？“数形结合”是一种行之有效的方法。
我们教学分数中，数形结合这种思想会体现得尤为重要。
由于分数的概念比较抽象，只根据字面的意思根本不能很好地掌握，因而这堂课我以“长方形”和“圆形”纸片为道具，让学生通过观察、比较去发现数学知识。
思维品质是指一个人在思维活动中智力体质的表现，是区分一个人智力高低的重要指标，研究表明，学生良好的思维品质都是通过适当的教育逐步形成和培养起来的，小学数学教学，表面看是让学生理解、掌握和运用数学知识的过程，而实际上却是培养学生的思维能力，让学生形成良好思维品质的过程，学生具有良好的思维品质，智力才会有较大的发展，人的潜能才会得到充分的开发，因此，培养学生良好的数学思维品质，一直也是数学教学最基本、最重要的目的。
数学教学应重视知识之间的联系与综合
数学教学应重视知识之间的联系与综合作者：纪波平来源：《新课程·教师》2009年第12期摘要:新课程理念深入当代数学教学,为数学教学指明了由“注重结果”向“过程与结果并重”的发展方向,提出了为学生构建“发展性学习”的平台的目标。
因此数学教学,势必注重对学生自我学习能力、拓展创新能力、综合运用能力的培养,让学生多渠道获取新知,多角度分析问题、多领域运用创新,让新课程改革收到显著效果。
关键词:发展性学习多领域综合能力教育资源初中数学课程标准,倡导数学教学要体现数学的基础性、普及性和发展性。
鼓励教师在教学过程中体现灵活性和选择性,根据学生的学习愿望和发展的可能性,实现因材施教,并且安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合运用”四个学习领域,以发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识和推理能力。
这些重要思想对数学的教育方法起到了指导作用。
但我认为教师在数学教学中,要重视知识之间的联系,展现整个数学的知识结构,并注意四大学习领域的综合,使学生获得的数学知识成为一个有机的整体,从而拓展学生的思维,构建起“发展性学习”的平台。
一、注重同一领域内容之间的相互联系,体现知识的形成与应用过程数学教学应体现从具体的问题中抽象出数学问题,并用各种数学语言表达问题,建立数学关系式,获得数学知识产生的清晰过程,通过这一过程,不仅可以让学生理解和掌握知识,更能使学生掌握基本的数学探究方法,为有需要的学生提供进一步开拓的途径。
例如对“勾股定理”的讲解,华东师大版的教材只是让学生通过在网格中画图的方式来得出勾股定理,这个方法虽然直观,容易理解,但由于可以画的图都相当特殊,并不具有普遍性,没有严格的论证推理过程,学生理解起来要死记硬背。
老师可以利用一些简单的图形,清楚地说明定理的形成过程。
教师可以准备几个如图1的直角三角形,先拼成图2,很容易得出:(a+b)2=2ab+c2,化简就得到了a2+b2=c2。
在教学中如何发展学生的数学核心素养
在教学中如何发展学生的数学核心素养摘要：数学与人类发展和社会进步息息相关。
随着经济的发展，“信息化”时代已经到来，越来越多的人们开始认识到数学文化在生活中起着至关重要的作用。
而小学阶段又是学生学习数学的萌芽阶段，因此在日常的课堂教学中要注重渗透数学核心素养的培养。
在教学中教师要创设教学情境，激发探究欲望；结合问题启发数学思考，培养数学意识。
还要重视活动体验，提升思维品质；增强合作意识，深化情感体验；从而发展学生的数学核心素养。
关键词：数学核心素养；数学思考；数学意识；情感体验随着时代的变化，数学核心素养已是当下的一个“热词”。
《数学课程标准》指出“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养”。
数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养”。
[]在小学阶段就要逐步培养学生具备数学核心素养，才能利于个人发展，适应社会的需求。
史宁中教授认为：基于核心素养的教学，要求教师要抓住知识的本质，创设合适的教学情境，启发学生思考，让学生在掌握所学知识技能的同时，感悟数学思想，积累思维经验，形成和发展核心素养。
[]如何在数学课堂中发展学生的数学核心素养呢？笔者结合自身的教学经验，主要从以下方面入手：一、创设教学情境，激发探究欲望俗话说“兴趣是最好的老师”，传统的数学课堂让学生觉得数学这门学科是抽象难懂、枯燥乏味的，缺乏学习的主动性。
因此，课堂教学应该创设有趣的教学情境，激发学生学习数学的兴趣，调动学生探究数学问题的欲望。
引导学生体验解决问题的乐趣，获得成功的体验，促进思维的发展。
例如在教学《简单的排列问题》这节课时，我创设参观数学广角的教学情境贯穿整节课的教学，通过打开密码锁，密码是由1、2、3三个数字组成的不同的两位数，学生想要进入智慧乐园玩游戏就得先把所有的密码的可能性都写下来，孩子们在交流中知道了有序思考的重要性。
最终公布密码时，兴趣高涨，十分愉悦，内心充满期待，迫切地想要玩智慧乐园的游戏。
数学教学中如何培养学生的抽象概括能力
数学教学中如何培养学生的抽象概括能力——冯永霞在数学学习中，学生既要能抓住问题的特征，又要能自觉地排除一些非本质因素的干扰，由此及彼、由表及里地进行分析和综合的能力。
还要有发现问题中条件的细微变化的能力，抓住问题的关键点和切入点，从而进行尝试和突破。
然而由于数学本身的抽象性，导致一些学生理解上的偏差，因此教师在教学中要善于引导学生进行抽象概括，培养学生的抽象概括能力。
学会把本质的和非本质的东西区分开，把具体问题抽象概括为数学问题，进而提高学生的数学能力。
我个人认为应从以下几方面入手：（一）在创设问题情境中，培养学生的抽象概括能力。
所谓问题情境，就是教师通过设立一系列有难度的问题活跃学生的思维，激发学生的求知欲望，从而营造一种强烈的课堂求知气氛。
在教学中，应根据教材内容，根据学生实际情况，不失时机地结合学生的认知需要，把握各部分的内在联系，运用综合、联系、分析、比较的方法，捕捉每个机会，提出发人深思的问题，创设问题情境，激起学生更深层次的认识兴趣和求知欲望，引导学生想象、探讨，发展学生积极思考。
它与问题不同，问题指的是个人不能理解的事物与确定的客观世界的矛盾。
问题与情境是两个不同的概念，但又有联系。
问题情境的产生必须依赖于问题。
没有了问题，学生也就不会产生心理困境。
因此问题情境应该具备三要素：第一，新的、未知的事物（目的），这是产生问题情境的核心要素。
第二，思维动机（如何达到），即对未知事物的需要。
第三，学生的知识能力水平（察觉到问题），包括学生的创造能力和学生已达到的知识水平。
1、创设的问题情境，要有趣味性，激发学习兴趣。
学生学习的积极主动性对科学学习有着重要的影响。
因此，在创设问题情境时，一定要保证所设情境能诱发学生的认知冲突，造成学生心理上的悬念，从而唤起学生的求知欲望，激发学习兴趣，把学生带入一种与问题有关的情境中去，进行有效的学习。
也就是说教师可根据学生认知的“最近发展区”为学生提供丰富的背景材料，采用猜谜、讲故事、竞赛等形式，创设一个个富有儿童情趣的问题情境，使学生产生学习兴趣，主动参与学习。
幼儿园数学核心经验内容
幼儿园数学核心经验内容1. 数字与数量在幼儿园数学教学中，数字与数量是非常重要的核心内容。
通过数字的引入和数量的概念，幼儿可以逐渐建立起对数字的认知和理解。
在幼儿园数学教学中，可以通过以下几种方式帮助幼儿掌握数字与数量的关系：•认识数字：幼儿可以通过数数的游戏和玩具，认识1到10这些数字。
教师可以设计各种有趣的数数游戏，帮助幼儿逐渐掌握数字的概念。
•比较大小：通过比较不同数量的物体大小，幼儿可以逐渐理解数字的大小关系。
教师可以引导幼儿进行比较，并提供不同数量的物体，让幼儿判断哪个数量更多或更少。
•排序与分类：幼儿可以通过将物体按照大小、颜色等属性进行排序和分类，进一步理解数量的概念。
教师可以组织各种排序和分类的活动，让幼儿动手参与，并引导他们思考归纳规律。
2. 形状与空间形状与空间是数学中另一个重要的核心经验内容。
通过形状和空间的学习，幼儿可以培养空间认知和几何思维能力。
以下是一些帮助幼儿学习形状和空间的方法：•认识常见几何形状：教师可以通过感官体验、画画和游戏等方式，引导幼儿认识常见的几何形状，如正方形、圆形、三角形等。
可以利用玩具、图片和实物等辅助工具，让幼儿触摸、感知和探索不同的形状。
•比较与分类：幼儿被鼓励将拥有相似形状的物体放在一起，以及将相同大小和形状的物体放在一起。
这样的活动可以帮助幼儿理解形状的特征，并培养他们的分类能力。
•建立空间关系：教师可以通过游戏和实际操作指导幼儿理解空间关系，如上下、前后、左右等。
幼儿可以进行堆叠、搭建和拆卸等活动，从而培养空间感知和操作能力。
3. 数量与运算数量与运算是幼儿园数学教育的核心内容。
通过数量和运算的学习，幼儿可以培养解决问题和思考的能力。
以下是一些帮助幼儿学习数量与运算的方法：•数量的组合与分解：通过将一定数量的物体组合起来或分解开，幼儿可以理解加法和减法的概念。
教师可以利用计数棒、玩具和图片等教具，引导幼儿进行组合与分解的活动，培养他们的数量思维能力。
数学老师应注意的教学要点
数学老师应注意的教学要点数学教师在教学过程中需要注意一些要点，以保证学生的学习效果和兴趣。
本文将就数学教师应注意的教学要点进行探讨。
一、灵活运用教学方法在数学教学中，灵活运用多种教学方法是非常重要的。
教师可以采用讲授法、讨论法、实践法等不同的教学方法，根据具体的教学内容和学生的实际情况进行选择和应用。
通过多种教学方法的灵活运用，可以激发学生的学习兴趣，提高他们的数学思维能力。
二、注重知识的系统性和层次性数学知识具有很强的系统性和层次性，数学教师在教学过程中应注重将知识进行系统归纳和分类。
在讲解新的数学知识之前，可以通过复习已学知识或提前启发学生思考的方式，帮助学生建立起知识之间的联系和内在的逻辑关系。
这样有助于学生更好地理解和掌握数学知识。
三、引导学生进行数学思维与解决问题数学教学应重视培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教师可以通过引导学生进行问题的分析、抽象、推理、归纳等思维活动，培养他们的逻辑思维和创新意识。
同时，教师还应注重培养学生的问题解决能力，通过提供不同难度的问题和解决方法，引导学生主动思考和探索。
四、设计合理的课堂活动在数学教学中，设计合理的课堂活动是非常重要的。
教师可以结合学生的实际情况和教材内容，设计出生动有趣的实践活动、小组合作、讨论论文等活动，激发学生的学习热情和积极性。
此外，教师还可以通过布置作业、组织竞赛等方式，培养学生的自主学习和合作学习能力。
五、关注学生的个性化需求每个学生都有自己独特的学习方式和需求，数学教师应该关注学生的个性化需求，采取不同的教育手段和方法，帮助学生充分发挥自己的优势和潜力。
教师可以通过个性化差异化教学、定期反馈评估等方式，了解学生的学习情况和困难，及时给予指导和帮助。
六、充分利用教具和技术手段在数学教学中，充分利用教具和技术手段可以提高教学效果。
教师可以使用多媒体教具、计算机软件、互联网资源等，丰富教学内容和形式，提供直观明了的学习材料和案例。
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数学教学中应强化的几种数学观念 山东沂南县教育局（276399） 李树臣 【中学数学杂志2014年6期】 《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标2011年版》）在“课程的总目标”中指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”这实际上是在强调数学教育要重视对数学观念的培养问题.所谓数学观念，就是指运用数学的观点、方法去观察、认识问题的自觉意识和思维方式.我们常说某人有没有“数学头脑”，实际上就是指他能否运用数学方法来解难答疑.归根结底是指他数学观念的有、无、强、弱的问题.在义务教育阶段，我们应要求学生在学习数学基础知识，形成基本技能的过程中，不断形成和强化至少下面八种最基本的数学观念： 1 本质结构观念 我们知道，任何事物都有质和形两个方面，“质”是一事物成为它自身并区别于另一事物的内在规定性，是事物存在的根据，是事物的根本性质.“形”是外在的表现.事物的质也是一种事物——区别于事物本身的另一层次的理想事物，因而也有自己的形.数学所研究的形，正是事物的这种形.从这个意义上讲，数学的全部内容都是关于客观事物本质结构的表述.因此，数学教育必须培养学生看问题要从本质结构出发，努力形成明确的本质结构观念. 案例1：一元二次方程概念的建立过程. 笔者在引入一元二次方程的概念时，首先给出以下三个实际问题，引导学生去思考与探索： （1）教室的面积为54m2，长比宽的2倍少3m，如果设教室的宽为xm，则长为 m，所列方程为 . （2）直角三角形斜边的长为11cm，两条直角边长的差为7cm，如果设较短直角边的长为ycm，则较长直角边的长为 cm，所列方程为 .
（3）如图1，点C是线段AB上的一点，且CBACACAB，如果要求ABAC的值，怎样根据问题中的数量关系列出方程？ 设AB=1，AC=z，则根据AC+CB=AB，可得CB的长为 .由CBACACAB，即AC2=AB·CB，可得方程 .
学生思考后不难得到下面三个方程： x（2x-3）=54；y2+（y+7）2=112；z2=1-z. 为了概括方便，我们将其整理成下面的形式： 2x2-3x-54=0；y2+7y-36=0；z2+z-1=0. 然后，引导学生分析这三个方程的属性，学生会发现很多：如它们分别是从计算教室的长和宽，求直角三角形的直角边以及线段的比值得到的，含有不同的未知数，两边都是整式，最高项的次数都是2等等. 这时，引导学生针对上面的众多属性进行分析与综合，在学生相互交流的基础上，得到三个本质属性：（1）方程两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2.这就是一元二次方程的本质属性，至于用什么字母作为未知数，是从怎样的实际问题抽象出来的等，这些属性都是非本质的，数学教学关注的是本质属性.
图1 A C B · · · 有了上面的认识，给出一元二次方程概念的时机已经成熟.我们将一元二次方程定义为：“只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.”一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式. 在以上一元二次方程概念的形成过程中，我们是时刻抓住它的本质属性进行教学的.在数学教学中，我们应对每一个概念都能从它的本质结构出发，进行重点讲解和各种有益的训练.久而久之，学生就能树立起在观察、分析任何事物时都能从本质结构出发的数学观念.只有这样，才能实现《课标2011年版》提出的“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”的要求. 2 空间观念 空间观念是一个人对周围环境和实物的直接感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面.《课标2011年版》指出“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等.”空间观念至少反映了如下5个方面的要求：（1）由形状简单的实物抽取出空间图形；（2）由空间图形反映出实物；（3）由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；（4）由基本的图形中寻找基本元素及其关系；（5）由文字或符号作出图形.可见，形成学生空间观念的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析的过程，它贯穿在图形与几何学习的全过程之中，无论是图形的认识，图形的运动，图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务. 例如，通过学习数轴这一概念，让学生在头脑中形成如下的一些认识：任何一个有理数在数轴上都对应着一个点；互为相反的两个数位于原点的两边，到原点的距离相等；在数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大；借助于数轴可以直观的理解绝对值的概念等等.通过进一步的学习，要让学生明白在一维直线空间里“实数和点是一一对应的”.在二维平面空间里，要准确地描述一个点的位置，要用两个实数（x，y）才能完成，而且要从本质上理解A（3，4）和B（4，3）为什么是两个不同的点及这两个点的位置关系是怎样的.在此基础上，可以进行如下拓宽：如果学生杜雨笑在沂南四中七年级六班三组，可以写成（7，6，3），启发学生思考（7，1，5），（8，3，6）代表什么意义？通过交流得出，这些数字的顺序是不可交换的，它们是有严格的先后顺序的，其本质是对应的关系. 学生有了上面的知识基础，进一步可以得到下面的认识：在我们生活的空间，任何事物均处于一定的空间之中，均在其空间中与其它相关事物保持一定的联系.事物的空间位置以及它与其相关事物之间的联系是客观的，一般保持稳定状态，不可轻易强行改变，否则，事物便会在其空间中失去平衡，空间也便会出现紊乱无序状态. 案例2：画一条直线，将图2所示的正方形分为两个相同的部分（或全等的部分）. 对这个问题绝大多数学生都能画出四条符合要求的直线，如图3所示.
如果只得到上面的结果，即认为只有上面的四条直线符合要求.说明学生具有一定的空间观念，但不够强.事实上，我们可以将上述四条直线分成两组，每组的两条是“对称”的，均通过正方形中心O这个特殊点.考虑到这一特点，同学们马上就能看出还有很多符合要求的直线.通过讨论不难发现，过正方形中心的任一条直线都符合要求.得到这个结果，其空间观念将比前者有较大的提高. 3 依存关系观念 任何事物均处于某种（些）关系之中，联系地、发展地观察事物，在各种可能的依存关系中去认识事
图2 O 图3 物，充分运用数学语言来反映事物的这种普遍性，就是所谓的依存关系观念.“数学就是研究关系的”，例如，我们可将“三角形”按角进行如下的分类：
三角形钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形. 在三角形的这个概念系统中，就存在着整体和部分之间的关系（整分关系），这是一个比逻辑关系更为一般的关系.从这个关系中可看出，组成三角形（整体）的任何一种成分（部分），均与整体概念“三角形”共处于三角形概念系统的整分关系中.从系统论的观点来看，整体和部分的关系就是系统论最关注的关系. 4 数据分析观念 《课标2011年版》指出，数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律. 案例3：究竟谁能被录用. 某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：
根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如上面的图4所示，每得一票记作1分. (l）请算出三人的民主评议得分； (2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用（精确到0.01)? (3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4:3:3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 这是我们现实生活中的一个实际问题，它首先用两种形式（表格和扇形统计图）给出数据，然后让学生根据这些数据解答问题.主要考查平均数的概念及利用加权平均数解决实际问题的能力.同学们很容易给出解答：（1）甲、乙、丙的民主评议得分分别为：50分，80分，70分.（2）候选人乙将被录用.（3）候选人丙将被录用. 仅仅给出上述答案不是目的，这道题的意图有两个：其一是让学生体会分析数据的必要性；其二是体验权数的差异对结果的影响，从而加深对加权平均数意义的认识.这两点对同学们统计观念的形成是很有必要的. 5 量化测度观念 《课标2011年版》指出，学生通过数学学习能“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.”这一要求，体现了量化测度的观念.所谓量化测度观念，就是要让人们形成这样一种观念：在发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的整
测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试 93 70 68
甲：25%
乙：40% 丙：35%
图4 个过程中，能自觉地的运用定量分析思想和量化手段，通过“质”的“数量界限”来反映事物的状态及其变换.俗话说的“心中有数”，就是量化测度观念在日常思维中的明确反应.相反，办事总觉得“心中无数”，就意味着量化测度观念太淡漠了. 案例4：分牛的道理.
传说古代印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把19头牛分给三个儿子.老大分总数的21；老二分总
数的41；老三分总数的51.老人死后，三兄弟为分牛一事而绞尽脑汁，无计可施，最后决定诉诸官府.官府面对此事一筹莫展，便以“清官难断家务事”为由，一推了之！后来，一位老人说：“这好办！我有一头牛借给你们.这样，总共就有20头牛.老大分21可得10头；老二分41可得5头；老三分51可得4头.你等三人共分去19头牛，剩下的一头牛还给我！” 真是妙绝了！一个曾经使人绞尽脑汁的难题，竟如此轻松巧妙地得以解决.这自然引起了当时人们的热议，并一时传为佳话，以至流传至今.不过，后来人们在钦佩之余总带有一丝怀疑.老大似乎只该分9.5头，最后他怎么竟得了10头呢？ 没过多久，有人对这位老人的“动机”提出了疑议，认为他的做法充其量只是“瞎猫碰上死老鼠”而
已.并举例说，倘若老人留下的是39头牛，而不是19头牛，按遗嘱规定的是老大分21头牛，老二分41头
牛，老三分51头牛，那么结果又将怎样呢？ 设想老人牵来一头牛，添成40头.按遗嘱：老大分20头，老二分10头，老三分8头.三人共分去38头牛.那么，这位有智慧的长者是否要把剩下的两头牛都牵回去？谁敢保证他没有“渔利”之嫌？！说的不无道理！我们终于明白了——这位长者的办法确实带有某种盲目性！问题的症结不在于他是否牵牛来，或牵几头牛来又牵几头回去，而在于按遗嘱三兄弟所获牛数的比：