华东师大初中数学九年级下册《圆》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
九年级下数学圆知识点总结
九年级下数学圆知识点总结在九年级下学期的数学课程中，圆是一个重要的几何形状。
学习圆的相关知识对于理解几何学和进一步解决问题至关重要。
在本文中，将对九年级下数学课程的圆相关知识点进行总结。
一、圆的定义和基本性质1. 圆的定义：圆是由平面上离定点距离相等的所有点组成的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径和直径是圆的基本要素。
- 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
- 半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
- 直径：通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上，通常用字母d表示。
3. 圆的性质：- 圆上任意两点的距离等于半径的长度。
- 圆的直径是半径的两倍。
- 圆的周长等于直径乘以π（圆周率），即C = πd。
- 圆的面积等于半径平方乘以π，即A = πr²。
二、圆的位置关系和判定方法1. 圆的位置关系：- 同心圆：具有相同圆心但半径不同的圆。
- 内切圆：两个圆相交，且较小的圆完全位于较大的圆内部，二者只有一个公共点。
- 外切圆：两个圆相交，且较小的圆完全位于较大的圆外部，二者只有一个公共点。
- 相交圆：两个圆有两个不重叠的公共点。
- 相离圆：两个圆没有公共点。
2. 判定圆的方法：- 已知圆心和半径：根据圆的定义，可以通过圆心和半径确定一个圆。
- 已知圆上的三个点：三点确定一个圆，可以根据圆的性质绘制出圆来。
- 已知直径两端的点：通过两点绘制直径，以直径中点为圆心，直径的一半为半径即可确定圆。
三、圆的相关角度1. 弧度制和角度制：- 弧度制：用圆的弧长与半径的比值表示，一周为2π弧度。
- 角度制：以直角为90度，一周为360度。
2. 弧度和角度之间的转换：- 角度制转弧度制公式：弧度= (π/180) × 角度- 弧度制转角度制公式：角度= (180/π) × 弧度3. 圆心角和弧度：- 圆心角：以圆心为顶点的角。
- 弧度的定义：弧度是圆心角所对应的弧长与半径的比值。
四、圆与直线的位置关系1. 相切关系：- 切线：与圆只有一个交点的直线。
九年级数学下册圆的知识点整理
九年级数学下册圆的知识点整理圆的应用在数学领域中非常的广泛且常见，下面是小编给大家带来的九年级数学下册《圆》知识点整理，希望能够帮助到大家!九年级数学下册《圆》知识点整理第十章圆★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆内容提要☆一、圆的基本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3.三点定圆定理4.垂径定理及其推论5.等对等定理及其推论5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.三种位置及判定与性质：初中数学复习提纲2.切线的性质(重点)3.切线的判定定理(重点)。
圆的切线的判定有⑴⑵4.切线长定理三、圆换圆的位置关系初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段初中数学复习提纲1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲(右图)(解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式初中数学复习提纲4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分圆周：4、8;6、3等分九、基本图形十、重要辅助线1.作半径2.见弦往往作弦心距3.见直径往往作直径上的圆周角4.切点圆心莫忘连5.两圆相切公切线(连心线)6.两圆相交公共弦。
【全版】数学九年级下华东师大版圆的认识课件推荐PPT
劣弧用两个字母表示，优弧用三个 字母表示。如图，以B、C为端点
的劣劣弧弧记记作作⌒ BA⌒BCC。，以B、C为端点的
A
·O
C B
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圆的基本元素
4.等圆：半径相等的两个圆叫做等圆； 同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
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圆的基本元素
5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
A
O
B
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讨论
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小于半圆的弧叫做劣弧；
3弦.：连结圆上在任意两同点的一线段平叫做弦面。 内，一条线段OP绕它的一个端点O
劣弧用两个字母表示，优弧用三个
旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
直径：经过圆心的弦是直径。
圆。 1.
圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
3.
等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；
以O为圆心的圆，定记作点“⊙OO”叫，读做作“圆圆O”心。 ，线段OP叫做圆的半径。以O
为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
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2.圆的集合定义：
圆是到定点的距离Biblioteka 于定长的点 的集合。注意:
1.确定一个圆需要两个要素： ⑴圆心确定圆的位置； ⑵半径确定圆的大小。
2.圆是指“圆周”，而非“圆面”。 3.圆周上的每一个点到圆心的距离都等于半径；
到圆心的距离等于半径的点都在圆周上。 7
圆的基本元素
1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
2.直径：经过圆心的弦是直径。直径等于半径的2倍。
3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符 号“⌒”表示。 圆的直径把圆分成相等的两部分，每一部分叫做半圆； 小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧。
九年级下册华师大版数学圆知识点
九年级下册华师大版数学圆知识点数学是一门抽象而理性的学科，而圆则是数学中非常重要且常见的一个概念。
在九年级下册的华师大版数学教材中，圆的知识点是一个不可忽视的重点内容。
接下来，我们将对九年级下册华师大版数学中关于圆的知识点进行系统地介绍与讨论。
首先，让我们回顾一下圆的基本概念。
在数学中，圆是由平面中所有到定点距离相等的点组成的集合。
圆通常由圆心和半径来描述。
圆心是圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。
了解这些基本概念可以帮助我们更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的周长和面积是圆的基本属性，也是圆的重要应用。
圆的周长可以通过公式C=2πr计算得出，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。
同样，圆的面积可以通过公式A=πr²计算得出，其中A表示圆的面积。
这些公式的应用可以帮助我们计算圆的周长和面积，解决实际问题，如园艺设计、建筑设计等。
二、在九年级下册华师大版数学中，圆与直线的关系也是一个重要的知识点。
首先，我们来讨论直径与弦之间的关系。
直径是通过圆心的一条直线，而弦是圆上任意两点之间的线段。
在任何一个圆中，直径始终等于两个相对的弦之和。
这个关系在解决实际问题中非常有用，特别是在解决圆形活动场地的划分、圆形轮胎等问题时。
三、九年级下册华师大版数学中，圆和角的关系也是重要的一个内容。
在圆的内部或外部，同一个圆心对应的两条弧所对应的角相等。
这个性质被称为圆心角的性质。
在解决圆环编织、风力发电机桨叶运动范围等问题时，这个性质可以帮助我们得出准确的结论。
四、欧拉公式是九年级下册华师大版数学中关于圆的一个高阶概念。
这个公式被认为是数学中最美丽的公式之一。
欧拉公式是通过圆的半径、弧度以及复数等概念而得出的。
以上是九年级下册华师大版数学中关于圆的知识点的重要内容。
通过对这些知识的学习与实践，我们可以更好地理解和应用圆的性质。
圆是数学中一个富有魅力的概念，它在我们日常生活中随处可见。
掌握圆的知识，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以培养我们的抽象思维和数学推理能力。
九年级下册 圆的知识点
九年级下册圆的知识点在九年级下册的数学学习中，圆是一个重要的概念和知识点。
理解和掌握圆的相关性质和定理，对于解决几何问题以及日常生活中的应用具有重要意义。
本文将从圆的定义、圆的要素、圆的性质和圆的定理等方面进行详细介绍。
一、圆的定义圆是由平面中离定点距离相等于定值的所有点组成的集合。
其中，定点称为圆心，定值称为半径。
用符号表示，圆心为O，半径为r，可以表示为圆O(r)。
二、圆的要素圆的要素包括圆心、半径和直径。
1. 圆心：圆心是圆上所有点的中心点，用大写字母O表示。
2. 半径：半径是从圆心到圆上任意一点的距离，用小写字母r 表示。
3. 直径：直径是通过圆心的一条线段，在圆上取两点，用符号d表示。
三、圆的性质1. 圆上任意点到圆心的距离都相等，即圆的半径相等。
2. 圆的直径是圆的特殊半径，直径等于半径的两倍，即d=2r。
3. 圆的周长是圆上所有点的离开路径，周长等于圆的直径乘以π（圆周率），即C=πd或C=2πr。
4. 圆的面积是圆所围成的区域大小，面积等于半径平方乘以π，即A=πr²。
四、圆的定理1. 相等弧定理：圆上两条弧，如果它们所对的圆心角相等，则这两条弧的弧长也相等。
2. 弧长定理：圆上弧对应的圆心角与弧长之间的关系为 l =（θ/360°）× 2πr 。
3. 弦长定理：圆上弦对应的圆心角与弦长之间的关系为 l =2rsin(θ/2) 。
4. 切线定理：切线和半径垂直。
五、圆的应用圆的知识在实际生活中有许多应用。
以下列举几个例子：1. 在建筑设计中，圆的性质和定理可用于确定建筑物的外形，如圆顶和圆柱体等。
2. 在地理学中，圆的知识可用于描述和计算地球的形状和大小。
3. 在物理学中，圆的运动轨迹和相关性质可应用于描述天体运动或者粒子的轨道。
总结：通过对九年级下册圆的知识点的介绍，我们可以了解到圆的定义、要素、性质和定理等重要知识。
在学习过程中，要注重理论与实践的结合，通过例题和练习题加深对圆的理解和应用。
华东师大初中数学初三中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(提高)
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（提高）：【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ； 点P 在圆上⇔d ＝r ； 点P 在圆内⇔d ＜r ． 要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).3．圆和圆的位置关系 (1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ． 考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述．(1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P在⊙O外，连接PO交⊙O于A，延长PO交⊙O于B，则在点P与⊙O上各点连接的线段中，PB最长，PA最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P为⊙O内一点，直径过点P，交⊙O于A、B两点，则PB最长、PA最短．2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I是△ABC的内心，则∠BIC1902A =+∠°．(2)如图所示，E是△ABC的两外角平分线的交点，1902BEC A ∠=-∠°．(3)如图所示，E是△ABC内角与外角的平分线的交点，12E A ∠=∠．(4)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，则∠DOE＝180°－∠A．(5)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，1902DFE A ∠=-∠°．(6)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P为DE上一点，则1902 DPE A ∠=+∠°．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，⊙O中，半径OA＝4，弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC＝60°，求弦BC的长．【思路点拨】要用好60°角，构造直角三角形．在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成直角三角形．【答案与解析】解：过O作OM⊥BC于M，连接OC．在Rt△OPM中，∠OPC＝60°，OP12 2OA==，∴PM＝1，OM．在Rt△OMC中，BC＝2MC＝=．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．2．如图所示，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD BC=，连接AC．(1)求证：△MAC是等腰三角形；(2)若AC为⊙O直径，求证：AC2＝2AM·AB．【思路点拨】(1)证明∠MCA＝∠MAC；(2)证明△AOM∽△ABC．【答案与解析】证明：(1) ∵AD CB=，∴∠MCA＝∠MAC．∴△MAC是等腰三角形．(2)连接OM．∵AC为⊙O直径，∴∠ABC＝90°．∵△MAC是等腰三角形，OA＝OC，∴MO⊥AC．∴∠AOM＝∠ABC＝90°．∵∠MAO ＝∠CAB ，∴△AOM ∽△ABC ， ∴AO ABAM AC=，∴AO ·AC ＝AM ·AB ， ∴AC 2＝2AM ·AB ． 【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中． 举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．AB 与2CD 的大小关系无法确定 【答案】解：要比较AB 与2CD 的大小有两种思路． (1)把AB 的一半作出来，比较12AB 与CD 的大小； (2)把2CD 作出来，比较AB 与2CD 的大小．如图所示，作OE ⊥AB ，垂足为E ，交AB 于F ．则AF BF =，且12AE AB =． ∵AB ＝2CD ．∴AE ＝CD ．在Rt △AFE 中，AF ＞AE ＝CD ． ∴AF ＞CD ．∴22AF CD >，即2AB CD >． 答案A.【圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题2】3．已知：如图所示，△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥半径AO 于D ． (1)求证：∠C ＝∠ABD ； (2)若BD ＝4.8，sinC ＝45，求⊙O 的半径．【思路点拨】过O 作OE ⊥AB 于E ，连接BO ，再由垂径定理及三角函数进行证明与求解. 【答案与解析】解法一：(1)过O 作OE ⊥AB 于E ，连接BO(如图所示)，则12C BOA AOE ∠=∠=∠．又∵ BD ⊥AO ，∴∠ABD+∠BAD ＝90°．∵∠AOE+∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝∠AOE ＝∠C ． （2）在Rt △ABD 中，sin ADABD AB∠=， ∴4sin 5AD C AB ==． 设AD ＝4k ，则AB ＝5k ，BD ＝3k ＝4.8，k ＝1.6． ∴AB ＝8，AE ＝4．∵sin AE AOE OA ∠=，∴445OA=．∴OA ＝5．解法二：（1）延长AO 交⊙O 于C ′．（如图所示）∴∠C ′＝∠C ．∵AC ′为⊙O 的直径， ∴∠ABC ′＝90°． ∴∠C ′+∠BAD ＝90°． ∵∠BAD+∠ABD ＝90°， ∴∠ABD ＝∠C ′＝∠C ．（2）在Rt △BDC ′中，sin sin BDC C BC '=='， ∴ 4.860.8BC '==． 在Rt △ABC ′中，∵4sin 5AB C AC '=='， ∴设AB ＝4k ，则AC ′＝5k ，BC ′＝3k ＝6． ∴k ＝2． ∴1110522OA AC ==⨯=． 【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．类型二、圆的切线判定与性质的应用4．（2014秋•兴化市月考）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB，交AB 于点F ，连接BE ． （1）求证：AC 平分∠DAB；（2）求证：△PC F 是等腰三角形；（3）若AC=8，BC=6，求线段BE 的长．【思路点拨】（1）根据切线的性质可得结论；（2）连接OE ，根据圆周角定理得∠ACB=90°，进而可推导得出△PCF 是等腰三角形； （3）先在Rt△ACB 中，根据勾股定理计算出AB=10，最终算得BE 的值． 【答案与解析】（1）证明：∵PD 为⊙O 的切线， ∴OC⊥DP， ∵AD⊥DP， ∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：在Rt△ACB中，∵AC=8，BC=6，∴AB==10，∴OB=5，∵∠BOE=90°，∴△BOE为等腰直角三角形，∴BE=OB=5．【总结升华】本题考查了切线的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．举一反三：【变式】（2015•毕节市）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．【答案】（1）证明：连结OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO=90°，∵AC=FC，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CFA=∠DFO，∴∠CAF=∠DFO，而OA=OD，∴∠OAD=∠ODF，∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵圆的半径R=5，EF=3，∴OF=2，在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，∴DF==．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且OF=DCE≌△OCB．解：(1)∵∠ABC ＝30°，∴∠BAC ＝60°．又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是正三角形．∵CD 是切线，∴∠OCD ＝90°．∴∠DCE ＝180°-60°＝90°－30°．∴∠DCE ＝∠DEC 而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED ＝90°－∠BAC ＝30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB ＝2，AC ＝AO ＝1，∴BC12OF =，∴12AF AO OF =+=．又∵∠AEF ＝30°，∴AE ＝2AF 1．∴CE ＝AE －AC ＝BC ．而∠OCB ＝∠ACB －∠ACO ＝30°＝∠ABC ，故△CDE ≌△COB ．【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△AOC 是正三角形．举一反三：【变式】如图所示，PQ ＝3，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q ，则AB ＝________．【答案】解：连接PQ 并延长交AB 于E ，设大圆的圆心为O ，连接OA ．设AB ＝2x ，则AE ＝x ，OB ＝2x-2． 在Rt △OAE 中，OA ＝5，∵OA 2＝OE 2+AE 2，即52＝(2x-2)2+x 2，∴x ＝3．∴AB ＝6．答案：66．如图所示，⊙O 的直径AB ＝4，点P 是AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ．PM 平分∠APC 交AC 于M ．(1)若∠CPA ＝30°，求CP 的长及∠CMP 的度数；(2)若点P 在AB 的延长线上运动，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP 的度数；(3)若点P 在直径BA 的延长线上，PC 切⊙O 于点C ，那么∠CMP 的大小是否变化？请直接写出你的结论．解:(1)连接OC ，则∠OCP ＝90°．∵ OA ＝OC ，∴ ∠COP ＝2∠CAP ＝60°．∴ CP ＝OC ·tan60°＝12AB ·tan60°＝∴ CP ＝∵ PM 平分∠CPA ，∴ 111(90)(9060)15222MPA CPA COP ∠=∠=-∠=-=°°°°．∴∠CMP ＝30°+15°=45°.(2)设∠CPA ＝α，∵ PM 平分∠CPA ，∴∠MPA＝12∠CPA12α=．∵∠OCP＝90°，∴∠COP＝90°-α．又∵ OA＝OC，∴∠CAP＝1(90) 2α-°．∴∠CMP＝∠CAP+∠MPA11(90)45αα=-+=°°．解第(2)小题时，引用“设∠CPA＝α”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度．本题主要考查切线的性质及对直角三角形性质的运用．举一反三：【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是EA的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．【答案】证明：(1)如图所示，连接CE，延长CD交⊙O于G，连接AG．∵AB是⊙O直径，CD⊥AB，∴AC AG=．∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠1，∴△AFC∽△ACE．∴AC AE AF AC=．∴ AC2＝AF·AE．(2)由(1)得AC AG=．又∵C是AE的中点，∴AC AG CE==．∴∠2＝∠1．∴AF＝CF．。
九年级数学下册《圆》知识点整理
九年级数学下册《圆》知识点整理第十章圆★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆内容提要☆一、圆的基本性质．圆的定义（两种）2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3．“三点定圆”定理4．垂径定理及其推论．“等对等”定理及其推论．与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）⑶弦切角定义（弦切角定理）二、直线和圆的位置关系三种位置及判定与性质：初中数学复习提纲2切线的性质（重点）3切线的判定定理（重点）。
圆的切线的判定有⑴…⑵…4．切线长定理三、圆换圆的位置关系初中数学复习提纲1五种位置关系及判定与性质：2相切（交）两圆连心线的性质定理3两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段初中数学复习提纲1相交弦定理2切割线定理五、与和正多边形圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）2三角形的外接圆、内切圆及性质3圆的外切四边形、内接四边形的性质4正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲（解Rt△A可求出相关元素,初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等）六、一组计算公式圆周长公式2圆面积公式3扇形面积公式初中数学复习提纲4弧长公式弓形面积的计算方法6圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图作三角形的外接圆、内切圆2平分已知弧3作已知两线段的比例中项4等分圆周：4、8;6、3等分九、基本图形十、重要辅助线作半径2见弦往往作弦心距3见直径往往作直径上的圆周角4切点圆心莫忘连两圆相切公切线（连心线）6两圆相交公共弦。
九年级数学下圆的知识点
九年级数学下圆的知识点圆是我们数学中的一个基本几何图形，它在我们的日常生活中随处可见，如车轮、水池、钟表等。
在九年级数学学习中，我们会接触到圆的相关知识点。
通过学习这些知识点，我们可以更好地理解和应用圆的属性和性质。
本文将为大家详细介绍九年级数学下的圆的知识点。
第一部分：圆的基本定义和性质圆是由平面上的一点向平面上距离恒定的一切点构成的集合。
我们把这个固定距离称为半径，用字母r表示。
圆心是圆上的一个特殊点，它可以用字母O表示。
圆上的所有点到圆心的距离都等于半径的长度。
圆的关键性质包括直径、弦、切线和弧。
直径是通过圆心且两端点都在圆上的线段，它的长度是半径长度的两倍。
弦是圆上的两个点之间的线段。
切线是与圆相切于一点的直线。
弧是圆上的一段曲线。
第二部分：圆的周长和面积圆的周长是指圆上所有点到圆心的距离之和。
如果把周长称为L，半径称为r，那么我们可以利用公式L = 2πr来计算圆的周长。
圆的面积是指圆内的所有点围成的区域。
如果把面积称为A，半径称为r，那么我们可以利用公式A = πr²来计算圆的面积。
第三部分：圆的相交和切线当两个圆相交时，它们的交点会形成弦。
如果两个圆的交点只有一个，那么这个弦就是它们的公共切线。
如果两个圆的交点有两个，那么这两个弦就是它们的公共切线。
当一条直线刚好与圆相切时，我们称这条直线为切线。
切线与半径垂直，切点在直线上和圆上的弧之间的长度相等。
第四部分：圆与多边形的关系正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形。
在一个正多边形内，可以作一个内切圆，也可以作一个外接圆。
内切圆是指正多边形的每条边都切到圆上，而外接圆则是指正多边形的每个顶点都在圆上。
当正多边形的边数越多时，内切圆和外接圆的半径都越接近正多边形边长的一半。
第五部分：圆的应用圆是很多实际问题和数学模型中的重要元素。
例如，在测量地球上某一点到地球表面上某个地点的距离时，我们使用大圆距离来计算。
在工程和建筑设计中，圆的性质被广泛应用于设计曲线、造型和建筑结构。
华师大版九年级下册数学(圆)专题分类复习课件
解：连结BC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＋ ∠CAB＝90°，∵C为 ︵ AE 的中点，∴∠ABC＝∠EAC，又
∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠EAC，∴ AF＝CF
15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使 DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长． 解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵
解：作点B关于MN的对称点B′，因为圆是轴对称图形，所以点 B′在圆上，连结AB′，与MN的交点为P点，此时PA＋PB最短， ︵′ 所对的圆心角为90°，连结OB′，则∠AOB′＝90°，∴AB′ ABB ＝ AO2＋OB2 ＝ 2，∴PA＋PB＝AB′＝ 2 ，即PA＋PB的最小值为 2
︵ 上 17．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，K为 AC 一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连结CK，KD. (1)求证：∠AKD＝∠CKF； (2)若AB＝10，CD＝6，求tan∠CKF的值．
D )
D
)
A．50° B．80° C．100° D．130°
5．如图，在⊙O中，半径OD垂直弦AB于点C，连结AO并延长交 ⊙O于点E，连结EC，若AB＝8，CD＝2，则EC的长度为( A．2 5 C．2 10 B．8 D．2 13
D
)
6．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上一点，在以下判断 中，不正确的是(
解：(1)连结AD，∵四边形ADCK内接于⊙O，∴∠ADC＋ ∠AKC＝180°，∵∠AKC＋∠CKF＝180°，∴∠ADC＝ ︵ ＝ AC ︵ ，∴∠ADC＝∠AKD，∴∠AKD ∠CKF，∵AB⊥CD，∴ AD ＝∠CKF (2)tan∠CKF＝3
九年级下圆-知识点总结
九年级下圆-知识点总结九年级下圆—知识点总结九年级下学期，我们学习了许多有关圆的知识，包括圆的定义、性质、相关定理等。
下面就九年级下圆的知识点进行总结。
一、圆的定义与性质圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。
圆的性质有以下几点：1. 圆上任意两点之间的距离相等。
2. 圆心到圆上任意一点的距离相等，这个距离称为圆的半径。
3. 圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍。
二、圆的相关定理1. 圆的直径是圆的最长的一条弦, 而圆的半径是最短的一条弦。
2. 圆的弧是两个端点在圆上的弦所对应的一段圆的长度。
3. 两条相交弦的乘积等于它们各自所分割的弧的乘积。
即，当AB和CD两条弦相交于点E时，有AE * BE = CE * DE。
4. 切线和半径垂直，切线是与圆相切于一点的直线。
切线和切线之间的夹角等于两条切线所对应的弧所夹的圆心角的一半。
5. 圆内接四边形的两条对角线之和等于常量。
即，当一个四边形的四个顶点都在同一个圆上时，它的两条对角线的和保持不变。
三、圆的面积与周长圆的周长是圆上任意一点到圆心的距离，也就是圆的半径乘以2π，即周长 = 2πr。
圆的面积是圆内的所有点构成的平面图形的大小，圆的面积公式为S = πr²，其中S表示面积，r表示半径。
四、圆锥与圆柱圆锥是由一个底面为圆的曲面和一个顶点所组成的立体图形。
圆柱是由两个平行的底面为圆的曲面和连接两个底面的侧面所组成的立体图形。
五、圆的应用1. 圆的运动：我们生活中有许多与圆相关的物体或现象，比如车轮的旋转、地球的公转等，这些都是圆的运动。
2. 圆的建筑与装饰：许多建筑物和装饰品中都用到了圆的形状，如钟楼、建筑的圆顶、圆形花坛等。
3. 圆的测量与制作：在工程测量和制图中经常用到圆的测量与制作，例如圆柱的体积计算、圆形图形的绘制等。
以上就是九年级下圆的知识点总结。
通过学习这些知识，我们对圆的性质和应用有了更深入的了解，也能更好地应用于实际生活中。
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《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）
【学习目标】 1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系； 2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 3．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 4．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积； 6．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质 (1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P是否在⊙O上 设⊙O的半径为，OP=，则有 点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 要点诠释： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点12nAAA、、在同一个圆上的方法
当时，在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. (1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. (3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 5．圆和圆的位置关系 设的半径为，圆心距. (1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离 . (2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含 (3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切. (4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切. (5)和有两个公共点相交.
两圆的五种位置关系可以概括为三类：
要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. (4)垂心：是三角形三边高线的交点. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积
的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 2．圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
要点四、圆中有关计算 1．圆中有关计算 圆的面积公式：，周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为. 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即
； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【典型例题】 类型一、圆的有关概念及性质 【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】
1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为 ．
【答案】13； 【解析】由已知得BC∥x轴，则BC中垂线为2412x 那么，△ABC外接圆圆心在直线x=1上， 设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r得到：PA2=PB2 即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2 化简得 4+a2-6a+9=9+a2+4a+4 解得 a=0 即△ABC外接圆圆心为P(1,0)
则 22(11)(03)13rPA 【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心P（设△ABC的外心为P）必在直线x=1上；由图知：BC的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P（1，0）；连接PA、PB，由勾股定理即可求得⊙P的半径长．
类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理 2．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°， 求CD的长．
【思路点拨】
作OF⊥CD于F，构造Rt△OEF，求半径和OF的长；连接OD，构造Rt△OFD，求CD的长． 【答案与解析】 作OF⊥CD于F，连接OD．∵ AE＝1，EB＝5，∴ AB＝6．
∵ 32ABOA，∴ OE＝OA-AE＝3-1＝2． 在Rt△OEF中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°， ∴ 112EFOE，∴ 223OFOEEF． 在Rt△DFO中，OF＝3，OD＝OA＝3， ∴ 22223(3)6DFODOF(cm)． ∵ OF⊥CD，∴ DF＝CF，∴ CD＝2DF＝26cm．
【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦
组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．