【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：4.2三角函数的图象与性质(含答案解析)

第17练 三角函数的图象与性质[题型分析·高考展望] 三角函数的图象与性质是高考中对三角函数部分考查的重点和热点，主要包括三个大的方面：三角函数图象的识别，三角函数的简单性质以及三角函数图象的平移、伸缩变换．考查题型既有填空题，也有解答题，难度一般为低中档，在二轮复习中应强化该部分的训练，争取对该类试题会做且不失分．体验高考1．(2015·湖南改编)将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ等于________．答案 π6解析 因为g (x )＝sin2(x －φ)＝sin(2x －2φ)， 所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以sin2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)＝－1，则2x 1＝2k 1π＋π2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－π2，k 2∈Z ，2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1－k 2)∈Z ， 得|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪(k 1－k 2)π＋π2－φ. 因为0<φ<π2，所以0<π2－φ<π2，故当k 1－k 2＝0时，|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π3，则φ＝π6.2．(2016·四川改编)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点向______平移________个单位长度． 答案 右 π6解析 由题可知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位．3．(2016·课标全国乙改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为________． 答案 9解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N)，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9. 4．(2015·浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．答案 π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z 解析 f (x )＝1－cos2x 2＋12sin2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，∴T ＝2π2＝π. 由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z. 5．(2016·天津)已知函数f (x )＝ 4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性． 解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z}．f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin2x ＋3(1－cos2x )－ 3＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z.得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4，B ＝⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－π12，π4. 所以，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减． 高考必会题型题型一 三角函数的图象例1 (2015·课标全国Ⅰ改编)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为____________________．答案 ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.点评 (1)画三角函数图象用“五点法”，由图象求函数解析式逆用“五点法”是比较好的方法． (2)对三角函数图象主要确定下列信息：①周期；②最值；③对称轴；④与坐标轴交点；⑤单调性；⑥与标准曲线的对应关系．变式训练1 若函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(0＜ω＜2)的图象关于直线x ＝π6对称，则f (x )的最小正周期为________． 答案4π3解析 ∵函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(0＜ω＜2)的图象关于直线x ＝π6对称，∴sin(π6ω＋π4)＝±1，∴π6ω＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，解得ω＝6k ＋32，k ∈Z ，∵ω＝6k ＋32∈(0,2)，解得k ∈(－14，112)，k ∈Z ，∴可得k ＝0，解得ω＝32，∴f (x )的周期T ＝2πω＝2π32＝4π3.题型二 三角函数的简单性质例2 (2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性． 解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos2x ) ＝12sin2x －32(1＋cos2x ) ＝12sin2x －32cos2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 点评 解决此类问题首先将已知函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k )的形式，再将ωx ＋φ看成θ，利用y ＝sin θ(或y ＝cos θ)的单调性、对称性等性质解决相关问题．变式训练2 (2016·北京)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间． 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2⎝⎛⎭⎫22sin2ωx ＋22cos2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4， 由ω＞0，f (x )最小正周期为π，得2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z. 题型三 三角函数图象的变换例3 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 的图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z. 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z.由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z ， 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.点评 对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减，上加下减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x ，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx ＋φ写成ω(x ＋φω)，最后确定平移的单位和方向．伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向加以区分．变式训练3 已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n ), 函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2)． (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间． 解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x . 因为y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2)，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即y ＝g (x )图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，所以g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z.高考题型精练1．已知α∈[0，π]，若sin α＞cos α＞12，则α的取值范围是________．答案 (π4，π3)解析 α∈[0，π]，由函数图象可知：sin α＞cos α，∴α＞π4，cos α＞12，∴α＜π3，综上可知，α的取值范围是(π4，π3)．2．(2016·课标全国甲改编)若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为______________． 答案 x ＝k π2＋π6(k ∈Z)解析 由题意，将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)． 3．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于________．答案3解析 由图象知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z.又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.4．先把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4时，函数g (x )的值域为________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－32，1解析 依题意得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6， 当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4时，2x －5π6∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6∈⎝⎛⎦⎤－32，1， 此时g (x )的值域是⎝⎛⎦⎤－32，1. 5．将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为________．答案 38π解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝⎛⎭⎫π4＝±4，得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z)． 6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)其中A ＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，则只需将f (x )的图象向________平移________个单位．答案 右 π6解析 由图知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和点⎝⎛⎭⎫7π12，－1，易得：A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，即ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫7π12，－1代入可得，7π6＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z.又因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.设将函数f (x )的图象向左平移a 个单位得到函数g (x )＝sin2x 的图象，则2(x ＋a )＋π3＝2x ，解得a ＝－π6.所以将函数f (x )的图象向右平移π6个单位得到函数g (x )＝sin2x 的图象．7．(2016·课标全国丙)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移____个单位长度得到． 答案2π3解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到．8．(2015·湖北)函数f (x )＝4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________． 答案 2解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出函数y ＝sin2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示．观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点．9．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案 ±2解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 10．把函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断： ①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6； ②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称； ③该函数在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数； ④若函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为3， 则a ＝2 3.其中，正确判断的序号是________． 答案 ②④解析 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确；y ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝2sinπ＝0，所以函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，所以②正确；由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12，π12，所以③不正确；y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a ＝23，所以④正确．11．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos2x ＋32sin2x －12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14， f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 12．(2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值． 解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos2x )＋sin2x －1＝sin2x －3cos2x ＋3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)． 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象， 再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象， 即g (x )＝2sin x ＋3－1.所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.。