最高考系列高考数学总复习课时训练基础过关+能力训练第九章平面解析几何第4课时圆的方程含答案
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系练习(含
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第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系［基础达标］1．已知集合A＝{（x，y）｜x，y为实数,且x2＋y2＝1}，B＝｛（x，y）｜x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为（）A．4 B．3C．2 D．1解析：选C.（直接法）集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心（0，0）到直线x＋y＝1的距离d＝错误!＝错误!〈1＝r，所以直线与圆相交．2．直线l：x－y＋m＝0与圆C:x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点,则m的取值范围是( ) A．[－错误!，错误!］B．［－2错误!，2错误!］C．[－错误!－1，错误!－1］D．［－2错误!－1,2错误!－1]解析:选D。
圆C的标准方程为(x－2)2＋（y－1）2＝4，圆心为(2，1）,半径为2，圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!，若直线l与圆C恒有公共点，则错误!≤2，解得－2错误!－1≤m≤2错误!－1，故选D。
3．若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2错误!,则a的值为( )A．±2 B．2C．－2 D．无解解析：选A。
圆x2＋y2＝a2的圆心为原点O，半径r＝|a｜.将x2＋y2＝a2与x2＋y2＋ay－6＝0左右分别相减，可得a2＋ay－6＝0,即得两圆的公共弦所在直线的方程为a2＋ay－6＝0。
(课标通用版)2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 若 直 线 与 圆 组 成 的 方 程 组 有 解 ， 则 直 线 与 圆 相 交 或 相 切．( ) (2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系 为外切．( ) (3)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的必要 不充分条件．( ) (4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程 是两圆的公共弦所在的直线方程．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
解析：选
B.因为圆心(0，0)到直线
y＝2
22，
而 0< 22<1，所以直线和圆相交，但不过圆心．
圆 Q：x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为( )
d＝|r1－r2| (r1≠r2)
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
___一__组__实__数__解____ __无__解___
常用知识拓展 1．过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y ＝r2. 2．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 3．过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切 点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2. 4．直线与圆相交时，弦心距 d，半径 r，弦长的一半12l 满足关 系式 r2＝d2＋12l2.
d
＝
|cos θ－1－cos θ| sin2θ＋cos2θ
高三数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系课件理
2
=4,所以圆的面积S=πr2=4π.
2
2
方法技巧
(1)求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求切
线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,
则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.
(2)求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑构造直角三角形,利用勾股定
解析 (1)解法一:由 mx2x消(去yyy11,整)2m理5得0,(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,
则Δ=4m4-4(1+m2)(m2-5)=16m2+20>0, 所以直线l与圆C相交.故选A.
解法二:因为圆心(0,1)到直线l的距离d= | <m1|< ,故直5 线l与圆相交, m2 1
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/10
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
知 | a +221 =| (2a-1)2,解得a=3或a=-1,又因为圆心在x轴的正半轴上,所以
a=3,故圆心坐标为(3,0).因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以3+0+m=0,即 m=-3,故所求的直线方程为x+y-3=0.
考点三 圆与圆的位置关系 典例3 已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0. (1)求证:圆C1和圆C2相交; (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 解析 (1)证明:圆C1的圆心为C1(1,3),半径r1= 1,圆1 C2的圆心为C2(5,6), 半径r2=4,两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2= 1+1 4,|r1-r2|=4- ,∴1 1 |r1-r2|<d<r1+r 2,∴圆C1和C2相交. (2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减,得4x+3y-23=0, ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系课件
1
PART ONE
基础知识整合
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r)
相离
相切
相交
图形
方程观点 Δ □01 < 0 Δ □02 ＝ 0 Δ □03 > 0 量化
几何观点 d □04 > r d □05 ＝ r d □06 < r
2．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2 的半径分别为 r1，r2，d＝|O1O2|)
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切
答案 B
解析 易得圆 C1 的圆心为 C1(－2,2)，半径 r1＝2，圆 C2 的圆心为 C2(2,5)，
半径 r2＝4，圆心距|C1C2|＝ [2－－2]2＋5－22＝5<2＋4＝r1＋r2，又
|C1C2|>4－2，所以两圆相交．
5．圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0 的公共弦所在的直线方 程为___x_－__y_＋__2_＝_0___．
所以圆心到直线 AB 的距离为 d＝ 2 32－ 32＝3，又由点到直线的
距离公式可得
|3m－ 3| d＝ m2＋1 ＝3，解得
m＝－
33，所以直线
l
的斜率
k＝－m
＝ 33，即直线 l 的倾斜角为 30°.如图，过点 C 作 CH⊥BD，垂足为 H，所以
|CH|＝2 3，在 Rt△CHD 中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝co2s330°＝4.
2．直线与圆的位置关系的常用结论 (1)当直线与圆相交时，弦心距(圆心到直线的距离)，半弦长及半径构成 一个直角三角形． (2)弦长公式|AB|＝ 1＋k2|xA－xB| ＝ 1＋k2[xA＋xB2－4xAxB].
(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练第九章 平面解析几何9-4 Word版含解析
组专项基础训练(时间：分钟)．(·湖南)若圆：＋＝与圆：＋－－＋＝外切，则等于( )．．．．－【解析】圆的标准方程为(－)＋(－)＝－.又圆：＋＝，∴＝.又∵两圆外切，∴＝＋，解得＝.【答案】．(·重庆)已知直线：＋－＝(∈)是圆：＋－－＋＝的对称轴．过点(－，)作圆的一条切线，切点为，则＝( ) ．．．．【解析】根据直线与圆的位置关系求解．由于直线＋－＝是圆：＋－－＋＝的对称轴，∴圆心(，)在直线＋－＝上，∴＋－＝，∴＝－，∴(－，－)．∴＝＋＝.又＝，∴＝－＝.∴＝.【答案】．(·南昌二模)若圆：＋－＋－＝(∈)与圆：＋＋＋－＝(∈)内切，则的最大值为( )．．．【解析】圆：＋－＋－＝(∈)．化为：(－)＋＝，圆心坐标为(，)，半径为.圆：＋＋＋－＝(∈)，化为＋(＋)＝，圆心坐标为(，－)，半径为，∵圆：＋－＋－＝(∈)与圆：＋＋＋－＝(∈)内切，∴＝－，即＋＝，≤(＋)＝.∴的最大值为.【答案】．(·山东)一条光线从点(－，－)射出，经轴反射后与圆(＋)＋(－)＝相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) ．－或－．－或－．－或－．－或－【解析】利用直线与圆的位置关系建立等式求解．由已知，得点(－，－)关于轴的对称点为(，－)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(，－)．设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为＋＝(－)，即－－－＝.由反射光线与圆相切，则有＝＝，解得＝－或＝－，故选.【答案】．(·广东)平行于直线＋＋＝且与圆＋＝相切的直线的方程是( )．＋＋＝或＋－＝．＋＋＝或＋－＝．－＋＝或－－＝．－＋＝或－－＝【解析】根据两直线平行和直线与圆相切的特点求解．∵所求直线与直线＋＋＝平行，∴设所求的直线方程为＋＋＝.∵所求直线与圆＋＝相切，∴＝，∴＝±.。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教学案 理 新人教A版-新
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.能判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的X 围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，难度中等，但有时也会在解答题中出现.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系.(最重要)d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解概念方法微思考1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( √ ) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ ) 题组二 教材改编2.若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值X 围是( ) A.[－3，－1] B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－12≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.外离 答案 B解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交.4.圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题组三 易错自纠5.若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值X 围是( ) A.[－2，2]B.[－22，22]C.[－2－1，2－1]D.[－22－1，22－1] 答案 D解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.6.过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________. 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2， ∵|OA |＝3－12＋5－22＝13>2，∴点A (3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1，2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，即|3－2k |＝2k 2＋1， ∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.直线与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例1 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定 答案 B解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交.命题点2 弦长问题例2 若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12B.1C.22D. 2 答案 D解析 因为圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，由勾股定理得，弦长的一半就等于12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 命题点3 切线问题例3 (2020·某某部分重点中学联考)点P 为射线x ＝2(y ≥0)上一点，过P 作圆x 2＋y 2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P 的坐标为( ) A.(2，1) B.(2，2) C.(2，2) D.(2，0) 答案 C 解析 如图所示.设切点为A ，B ，则OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OA ＝OB ，AP ＝BP ，AP ⊥BP ， 故四边形OAPB 为正方形， 则|OP |＝6，又x P ＝2，则P (2，2).命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题例4 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，则最短弦所在的直线方程为________. 答案 x －y －2＝0解析 设P (3，1)，圆心C (2，2)， 则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短弦过P (3，1)且与PC 垂直，k PC ＝－1，所以所求直线方程为y －1＝x －3，即x －y －2＝0. 思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题. 跟踪训练1 (1)(2020·某某江淮十校联考)已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交，则r 的取值X 围是 ( )A.0<r ≤1B.0<r <1C.r ≥1D.r >1 答案 D解析 圆心到直线的距离d ＝1cos 2α＋sin 2α＝1，故r >1. (2)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A.－2B.－4C.－6D.－8 答案 B解析 由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝2，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.(3)(2019·某某)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r ，若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________. 答案 －25解析 根据题意画出图形，可知A (－2，－1)，C (0，m )，B (0，3)，∵k AB ＝2，∴k AC ＝－12，∴直线AC 的方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，令x ＝0，得y ＝－2， ∴圆心C (0，－2)，∴m ＝－2. ∴r ＝|AC |＝4＋－2＋12＝ 5.(4)从直线l ：x ＋y ＝1上一点P 向圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________. 答案462解析 方法一 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1. 设直线l 上任意一点P (x ，y )， 则由x ＋y ＝1，得y ＝1－x . 则|PC |＝x ＋22＋y ＋22＝x ＋22＋1－x ＋22＝2x 2－2x ＋13.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ .故|PQ |2＝|PC |2－r 2＝(2x 2－2x ＋13)－1＝2x 2－2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋232，所以当x ＝12时，|PQ |2取得最小值，最小值为232，此时切线长为|PQ |＝232＝462. 方法二 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ . 故|PQ |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1. 故当|PC |取得最小值时，切线长最小.显然，|PC |的最小值为圆心C 到直线l 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝522， 所以切线长的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫5222－1＝462. 圆与圆的位置关系例5 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1，3)，N (5，6)， 半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值.故有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. 因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪43×1＋3－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝11.解得b ＝133±5311.容易验证，当b ＝133＋5311时，直线与圆x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相交，舍去.故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×112－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27. 思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到. (3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解.跟踪训练2 (1)(2020·某某模拟)圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16的位置关系是( ) A.外离B.相交 C.内切D.外切 答案 B解析 易得圆C 1的圆心为C 1(－2，2)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心为C 2(2，5)，半径r 2＝4，圆心距|C 1C 2|＝[2－－2]2＋5－22＝5<2＋4＝r 1＋r 2且5>r 2－r 1，所以两圆相交.(2)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a .∵公共弦长为23，∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.1.已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2≠0，则直线l ：ax ＋by ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定 答案 B解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，圆心到直线ax ＋by ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2×a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2×b a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，所以直线与圆相切.2.直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定 答案 A解析 方法一 由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.方法二 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1，1)， 因为点(1，1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部， 所以直线l 与圆相交.3.若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值X 围是( ) A.(－∞，1) B.(121，＋∞) C.[1，121] D.(1，121) 答案 C解析 x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36. 圆心距为d ＝0＋32＋0－42＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ， 所以1≤m ≤121.故选C.4.(2019·某某八市重点高中联考)已知圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0截直线x ＋y －4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值X 围为( ) A.(2－17，2＋17) B.(2－17，2) C.(－15，＋∞) D.(－15，2) 答案 D解析 圆心(1，－1)，半径r ＝2－a ，2－a >0，∴a <2， 圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.则弦长为22－a2－222＝2－a －6<6.解得a >－15，故－15<a <2.5.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A.m ∥l ，且l 与圆相交 B.m ⊥l ，且l 与圆相切 C.m ∥l ，且l 与圆相离 D.m ⊥l ，且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2. ∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0，0)，故由题意得OP ⊥m ， 又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离.故选C.6.(2020·某某华附、省实、广雅、深中四校联考)过点A (a ，0)(a >0)，且倾斜角为30°的直线与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点B ，且|AB |＝3，则△OAB 的面积是( ) A.12B.32C.1D.2答案 B解析 由切线的性质可得△ABO 是以点B 为直角顶点的直角三角形，在Rt△ABO 中，∠OAB ＝30°，AB ＝3，则OB ＝1，OA ＝2，△OAB 的面积是12×1×3＝32.7.已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.6或－6B.5或－5C.6D. 5 答案 B解析 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝± 5.8.(2020·西南地区名师联盟调研)以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝9 解析 圆心到直线的距离为|3×2－4×－1＋5|5＝3，则所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.9.(2020·某某“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知圆C 经过直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点，且圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆C 的方程为________.答案 (x －3)2＋(y －3)2＝34解析 方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y 2＝4，解得交点坐标为A (－2，0)，B (0，－2).弦AB 的垂直平分线方程为y ＋1＝x ＋1即x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.弦AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为(3，3)， 半径r ＝[3－－2]2＋32＝34， 故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝34.方法二 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－4)＋a (x ＋y ＋2)＝0， 即x 2＋y 2＋ax ＋ay －4＋2a ＝0，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a2，∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴－a ＋a2－3＝0，∴a ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y －16＝0， 即(x －3)2＋(y －3)2＝34.10.若过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝______. 答案 32解析 由题意，得圆心为O (0，0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3. ∵△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3， 则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos60°＝32.11.(2019·某某青山区模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.解 (1)根据题意，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－34. (2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即2＋d 2＝4，解得d ＝2，则有d ＝|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－1或－7，则直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.12.已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求该圆的方程.解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝a －b22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F ).② 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.13.(2019·某某师大附中月考)已知圆x 2＋(y －1)2＝2上任一点P (x ，y )，其坐标均使得不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A.[1，＋∞) B .(－∞，1] C.[－3，＋∞) D .(－∞，－3] 答案 A解析 如图，圆应在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，圆心C (0，1)到直线l 的距离为|1＋m |2，切线l 0应满足|1＋m |2＝2，∴|1＋m |＝2，m ＝1或m ＝－3(舍去)，从而－m ≤－1，∴m ≥1.14.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为_______. 答案7解析 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3，0)，则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， |PQ |＝|PM |2－1＝222－1＝7.15.已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89B.⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49C.(1，2) D.(9，0) 答案 C解析 因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为PA ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，易知圆C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝9－2m2＋m24，①又x 2＋y 2＝9，②②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0， 即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋9＝0得x ＝1，y ＝2.所以直线AB 恒过定点(1，2)，故选C.16.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. (1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程. 解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋4－b 2＝r 2，1－a 2＋3－b2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →为定值.过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ， 易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos0°＝|AT |2＝7， ∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k1＋k2＋8＝12， 即4k1＋k1＋k2＝4，解得k ＝1， 又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.。
2021年高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系课时跟踪检测理
2021年高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系课时跟踪检测理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________． 解析：由两圆心距离d ＝2＋22＋12＝17，又R ＋r ＝2＋3＝5，∴d ＜R ＋r ，∴两圆相交． 答案：相交2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为________．解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2.答案：23．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为________．解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0. 答案：x －y ＋5＝04．若圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与直线y ＝－1相切，其圆心在y 轴的左侧，则m ＝________.解析：圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋122，圆心到直线y ＝－1的距离m 2＋12＝|0－(－1)|，解得m ＝±3，因为圆心在y 轴的左侧，所以m ＝ 3.答案：35．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，则满足题意的点P 有2个．答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(xx·苏州模拟)对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是________．解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2＜3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．答案：相交2．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝________.解析：由题意知，圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4.较短弧所对圆周角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x ＋y －k ＝0的距离为22r ＝ 2.即|1＋k |2＝2，解得k ＝1或－3.答案：1或－33．直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则a 的值为________．解析：法一：联立⎩⎨⎧y ＝x ＋4，x －a 2＋y －32＝8，消去y 可得，2x 2－(2a －2)x ＋a 2－7＝0，则由题意可得Δ＝[－(2a －2)]2－4×2×(a 2－7)＝0，整理可得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或－5.法二：因为(x －a )2＋(y －3)2＝8的圆心为(a,3)，半径为22，所以由直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，知圆心到直线的距离等于半径，所以|a －3＋4|12＋－12＝22，即|a ＋1|＝4，解得a ＝3或－5.答案：3或－54．在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是________． 解析：由题意知，圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，即倾斜角是π4.答案：π45．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝________.解析：由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.答案：66．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r2－d2＝2×25－5＝220＝4 5.答案：457．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是____________．解析：依题意得知，当∠ACB最小时，圆心C到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为1，因此所求的直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝08．(xx·南京名校联考)已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P 作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为________．解析：过O作OP垂直于直线x－2y＋5＝0，过P作圆O的切线PA，连结OA，易知此时|PA|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA|＝1，所以|PA |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：29．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程． 解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.10.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．即kx －y ＋2k ＝0. 连结AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1，则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34， ∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(xx·苏州调研)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．解析：圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a ，0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以－2a －02＋0－b2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.答案：92．(xx·江阴一中检测)若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为________．解析：连结OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25，∴OO 1＝5，∴AC ＝5×255＝2，∴AB ＝4. 答案：43．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.(1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)，由题意知⎩⎨⎧|3a ＋7|32＋42＝r ，a 2＋3＝r ，解得a ＝1或a ＝138， 又S ＝πr 2＜13，∴a ＝1，r ＝2， ∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又l 与圆C 相交于不同的两点，联立得⎩⎨⎧y ＝kx ＋3，x －12＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0，∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20＞0， 解得k ＜1－263或k ＞1＋263.x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k 2， ＝＋＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，＝(1，－3)， 假设∥，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2， ∴3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k 2，解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，假设不成立，∴不存在这样的直线l .。
高考备考课件 数学 第9章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
平面解析几何
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
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高考要求
考情分析
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位 直线与圆的位置关系经常与圆锥 置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位
曲线结合在一起考查，圆与圆的 置关系．
位置关系常常以选择题的形式出 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 现，考查直观想象的核心素养 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想
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第九章 平面解析几何
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01 基础整合 自测纠偏 02 重难突破 能力提升
03 追踪命题 直击高考 04
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第九章 平面解析几何
基础整合 自测纠偏
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1．直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系：___相__交_____、____相__切____、____相__离____.
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第九章 平面解析几何
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判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)： (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( ) (4)圆x2＋y2－2x－8＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－ y＋1＝0.( ) (5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝栏r目2.索(引 ) (6)过点P(1,2)且与圆x2＋y2＝5相切的直线方程是x＋2y－5＝0.( ) 【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件
12/13/2021
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角度三 由弦长及切线问题求参数
已知点 P(x，y)是直线 kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，
PB 是圆 C：x2＋y2－2y＝0 的两条切线，A，B 是切点，若四
边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为( )
A．3 C．2 2
B．
21 2
方法 几何法：圆心距 d 代数法：两圆方程联立组
位置关系 外离 外切
与 r1，r2 的关系 _d_>_r_1_＋__r_2 __ _d_＝__r_1_＋__r_2 _
成方程组的解的情况 _无__解__
一组实数解
12/13/2021
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方法 几何法：圆心距 d 与 代数法：两圆方程联立
12/13/2021
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【解析】 (1)因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外， 所以 a2＋b2＞1，从而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝ |a·0＋a2b＋·0b－2 1|＝ a21＋b2＜1， 所以直线与圆相交． (2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0， 直线与圆没有公共点的充要条件是 Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解 得 k∈(－ 3， 3)．
而 S△PBC＝12r·|PB|，即|PB|的最小值为 2， 此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线 kx＋y＋4＝0 的距离 d， 此时 d＝ k|25＋| 1＝ 12＋22＝ 5， 即 k2＝4， 因为 k>0，所以 k＝2.
【答案】 D
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(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法 ①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一 半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2 r2－d2. ②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得 一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其 公式为|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|.
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第九章 平面解析几何第4课时 圆 的 方 程
1. 已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的
方程是__．
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝13
解析：由题意可知一条直径的两个端点分别为(4，0)和(0，－6)，则直径长为42＋62＝
213，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
2. 圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)、B(0，－2)两点，则圆C
的方程为____．
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
解析：圆心既在线段AB的垂直平分线即y＝－3上，又在2x－y－7＝0上，即圆心坐
标为(2，－3)，r＝5.
3. 已知点A是Rt△ABC的直角顶点，且A(a，2)，B(－4，a)，C(a＋1，1)，则△ABC
的外接圆的方程是__．
答案：(x＋2)2＋y2＝5
解析：kAB＝a－2－4－a，kAC＝－1.∵ AB⊥AC，∴ kAB·kAC＝a－2－4－a·(－1)＝－1，解得
a＝－1.∴ △ABC的外接圆是以B(－4，－1)，C(0，1)为直径的圆，∴ 所求圆的方程是(x
＋2)2＋y2＝5.
4. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆
的标准方程是__．
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1
解析：依题意设圆心C(a，1)(a＞0)，由圆C与直线4x－3y＝0相切，得|4a－3|5＝1，解
得a＝2，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.
5. 如果三角形三个顶点分别是O(0，0)，A(0，15)，B(－8，0)，则它的内切圆方程为
____________．
答案：(x＋3)2＋(y－3)2＝9
解析：因为△AOB是直角三角形，所以内切圆半径为r＝OA＋OB－AB2＝15＋8－172＝
3，圆心坐标为(－3，3)，故内切圆方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝9.
6. 已知x、y满足x2＋y2＝1，则y－2x－1的最小值为________．
答案：34
解析：y－2x－1表示圆上的点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率，所以y－2x－1的最小值是直线
PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)即kx－y＋2－k＝0.由|2－k|k2＋1＝1
得k＝34，结合图形可知，y－2x－1≥34，故最小值为34.
7. 由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当PT
最小时，点P的坐标是________．
答案：(0，2)
解析：根据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系，可知PT＝PC2－1，故PT
最小时，即PC最小，此时PC垂直于直线y＝x＋2，则直线PC的方程为y＋2＝－(x－4)，
即y＝－x＋2，联立方程y＝x＋2，y＝－x＋2，解得点P的坐标为(0，2)．
8. 在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四
边形ABCD的面积为________．
答案：102
解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3)，半径是10，且点E(0，1)位于该圆内，故
过点E(0，1)的最短弦长BD＝210－（12＋22）＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该
点为中点的弦)，过点E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即AC＝210，且AC⊥BD，因
此四边形ABCD的面积为12AC×BD＝12×210×25＝102.
9. 已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P
于点C和D，且CD＝410.
(1) 求直线CD的方程；
(2) 求圆P的方程．
解：(1) 直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
(2) 设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①
又∵ 直径CD＝410，∴ PA＝210，
∴ (a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得a＝－3，b＝6或a＝5，b＝－2.
∴ 圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
∴ 圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
10. 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点．
(1) 求线段AP中点的轨迹方程；
(2) 若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1) 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2) 设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，PN＝BN，设O为坐标原点，连接ON，
则ON⊥PQ，所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
11. 已知以点Ct，2t(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于O、A两点，与y轴交于O、
B两点，其中O为原点．
(1) 求证：△OAB的面积为定值；
(2) 设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程．
(1) 证明：∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋4t2.设圆C的方程是(x－t)2＋y－2t2＝t2＋4t2 .
令x＝0，得y1＝0，y2＝4t；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，∴S△OAB＝12OA×OB＝12×4t×|2t|
＝4，即△OAB的面积为定值．
(2) 解：∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段是MN.∵kMN＝－2，∴koc＝12，
∴直线OC的方程是y＝12x .
∴2t＝12t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC＝5，此时C到
直线y＝－2x＋4的距离d＝15<5，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时，
圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝95>5，圆C
与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意故舍去．
∴圆C的方程为 (x－2)2＋(y－1)2＝5 .