初一数学 初中数学专题汇编线段和角含解析
【新】七年级 数学 人教版 三角形的有关线段和有关的角 讲义(知识点+练习题)【精编版】
11.1 三角形有关的线段：1.三角形的定义及表示方法：由不在同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形有3个顶点，3个角，三条线段。
三个角对应3个边。
三角形的符号，记为“⊿”。
3.三角形的分类：（1）按角分类；（2）按边分类:（1）按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形 （2）按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩三边都不相等的三角形三角形等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形 三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.三角形三条重要的线段：高，中线，角平分线，都是线段。
高：三角形的高2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩锐角三角形：三角形内（交点在内部）直角三角形：两个直角边，三角形内有一条（交点是直角顶点）钝角三角形：个锐角所对的边上的高在三角形外， 钝角所对的边上的高在三角形内部（交点在外部）中线：交点在三角形内部，一条中线将三角形分成面积相等的2部分，三条中线的 交点，又叫重心。
角平分线：交点在三角形的内部。
5.三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，若将多边形转化为三角形，四边形至少需要订1根木条，五边形需要订2根，六边形需要订3根，、、、、n 边形需要（n —3）（n 为正整数）6.三角形的内角和等于180°。
证明方法：做平行线，裁剪3个角，拼成一个平角。
7.补充讲解外角专题训练一：数三角形的个数：DCBEADECBACDBADE CGFBA训练（1）训练（2）专第2题专第3题专题二：三角形的分类：1.三角形按边分类可分为三角形和三角形，其中等腰三角形又可以分为三角形和三角形；三角形按角分类可分为三角形和三角形，其中斜三角形又可分为三角形和三角形。
2.如图所示，（1）图中共有个三角形，它们是；（2）以AD为边的三角形有；（3）∠C分别为⊿AEC,⊿ADC,⊿ABC中，，边的对角。
（4）∠AED是、的内角。
（5）⊿AED的三条边是，，，三个内角是，，。
线段和角的模型-初中数学常见的模型方法专题
根据前面的结果解答即可．
【详解】解： 分别是 的中点，
分别是 的中点
又
∵ ，
∴ 在点 的右边，
如图示：
分别是 的中点，
又
只要满足点 在线段 所在直线上，点 分别是 的中点．那么 就等于 的一半
【点睛】本题主要是线段中点的运用，熟悉相关性质是解题的关键．
【点睛】考查了两点间的距离，利用了等分点等分线段的性质，线段的和差．
变式8
9.如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长度；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据图示知AM＝ AC，AC＝AB﹣BC；
①图中的点D，P，C，E都是动点；
②AD BE；
③AB=2DE；
④当AC=BC时，点P与点C重合．
其中正确的是____________．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】
【分析】①由题意可知随着C的运动，D、P、E都在动，故正确；
②可以推得当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，AC<BC，故错误；
（2）由2平分两个点组成的线段，得到左边的点为2－距离的一半，从而可求得答案；
（3）设点C表示的数为x，分三种情况讨论：①点C在A的左侧，②点C在A和B之间，③点C在B的右侧．
（4）先求出每两条相邻折痕的距离，进一步得到最左端的折痕和最右端的折痕与数轴的交点表示的数，即可求得答案．
【详解】解：（1）（﹣1+5）÷2=4÷2=2．
③由题意及中点的性质可知正确；
七年级上数学线段和角
线段和角一、知识结构图二、典型问题：（一）数线段——数角——数三角形问题1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？ 分析： 点 线段2 13 3 =1+24 6=1+2+35 10=1+2+3+46 15=1+2+3+4+5 ……n 1+2+3+ … +(n -1)=()21-n n 问题2．如图，在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ，则图中小于平角的角共有（ D ）个(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6拓展：1、 在∠AOB 内部从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？直线线段直线性质射线线段的比较和画法线段的中点线段性质两点间的距离角角的分类角的比较、度量和画法相关角角平分线 平角 直角 锐角 周角钝角余角和补角定义性质同角（或等角） 的补角相等同角（或等角） 的余角相等N射线 角 1 3 =1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 ……n 1+2+3+ … +(n+1)=()()221++n n类比：从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角2 13 3 =1+24 6=1+2+35 10=1+2+3+4 ……n 1+2+3+ … +(n -1)=()21-n n类比联想：如图，可以得到多少三角形？（二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义：文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点图形语言：几何语言： ∵ M 是线段AB 的中点 ∴ 12AM BM AB ==，22AM BM AB == 典型例题：1．由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ D ）（A ）AP=21AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=21AB 2．若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AC AB 21=；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ．其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ A ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如果点C 在线段AB 上,下列表达式①AC=12AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB 中, 能表示C 是AB 中点的有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个4．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ． 分析：据题意画出图形设QN=x ，则PQ=x ，MP=2x ，MQ=3x ，M所以，MR=23x ，则83423==x xMN MR5．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（ ）A 2（a -b ）B 2a -bC a+bD a -b 分析：不妨设CN=ND=x ，AM=MB=y 因为MN=MB+BC+CN 所以a=x+y+b因为AD=AM+MN+ND 所以AD=y+a+x=a -b+a=2a -b （三）与角有关的问题1． 已知：一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=600，∠B OC =200，则∠A OC =____80°或40°________度（分类讨论）2． A 、O 、B 共线，OM 、ON 分别为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线，猜想∠ MON 的度数，试证明你的结论． 猜想：_90°______证明：因为OM 、ON 分别为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线 所以∠MOC=12∠AOC ，∠CON=12∠COB 因为∠MON=∠MOC+∠CON 所以∠MON=12∠AOC +12∠COB=12∠AOB=90°3．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF =∠， 求BOD ∠的度数．分析：因为COE ∠是直角，34COF =∠， 所以∠EOF=56°因为OF 平分AOE ∠所以∠AOF=56°因为∠AOF=∠AOC+∠COF所以∠AOC=22° 因为直线AB 和CD 相交于O 点 所以BOD ∠=∠AOC=22°ADBMCNC N M4．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，（1）若∠A = 60°，求∠O；（2）若∠A =100°，∠O是多少？若∠A =120°，∠O又是多少？（3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）答案：（1）120°；（2）140°、150°（3）∠O=90°+12∠A5．如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有（ B ）对(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 56．互为余角的两个角（ B ）（A）只和位置有关（B）只和数量有关（C）和位置、数量都有关（D）和位置、数量都无关7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ C ）A.12（∠1＋∠2） B.12∠1 C.12（∠1－∠2） D.12∠2分析：因为∠1＋∠2=180°，所以12（∠1＋∠2）=90°90°-∠2=12（∠1＋∠2）-∠2=12（∠1－∠2）。
7年级数学微专题-----线段与角中的动态问题
七上期末专题线段与角中的动态问题一、专题介绍本专题主要包括线段与角的动态变化问题，主要包括线段上点的动态问题，角的边的动态变化问题，时钟问题等.这类问题的综合较强，涉及到的数学思想包括分类讨论思想、数形结合思想、方程思想.二、例题探究类型一：线段上的动态问题例1.如图1，已知线AB = 24 ，点C 为线段AB 上的一点，点D 、E 分别是AC和BC 的中点．（1）若AC = 8 ，则DE 的长为；（2）若BC =a ，求DE 的长；（3）动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，相向而行，点P 以每秒3 个单位长度沿线段AB 向右匀速运动，Q 点以P 点速度的两倍，沿线段AB 向左匀速运动，设运动时间为t 秒，问当t 为多少秒时P ，Q 之间的距离为6？变式1：如图，数轴上A、B两点分别位于原点两侧（点A在原点左侧，点B在原点右侧），AO=2BO，点A 在数轴上对应的数是-800.动点P、Q 同时从原点出发分别向左、向右运动，速度分别为 8 个单位长度/秒、4 个单位长度/秒，同时，动点R 也从点A 出发向右运动，速度为 2 个单位长度/秒.设运动时间为t 秒.（1）填空：①点B 在数轴上对应的数是②点P 在数轴上对应的数是；点Q 在数轴上对应的数是；点R 在数轴上对应的数是（用含t 的代数式表示）.（2）当t 为何值时，动点R 与动点P 之间距离为 200 个单位长度？（3）若点M、N 分别为线段PQ、RP 的中点，当t≤100 秒时，2MN-MB 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求其值.类型二：时钟问题例 2：同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟的问题．（1）九点整时，时针与分针所夹的角是度．（2）1 点20 分，时针与分针所夹的角是度．（3）从1 点15 分到 1 点35 分，时针的分针与时针各转了多大角度？变式 2：在3点和4点之间（包括3点和4点），何时时针和分针成90°？类型三：角的动态问题例 3 如图，已知∠AOB＝120°，OC 是∠AOB 内一条射线．（1）如图①，若OD 平分∠AOB，∠BOC：∠COD＝5：1，求∠AOC 的度数；（2）如图②，如果射线OC 从射线OA 的位置开始以每秒5°的速度绕点O 顺时针旋转，到与OB 重合时停止旋转，那么当射线OC 旋转多少秒时，图中出现直角？（3）如图③，射线OP、OQ 分别从射线OA、OC 位置开始，同时在∠AOC、∠COB 的内部以每秒1°和每秒 3°的速度绕点O 顺时针旋转，当OP 平分∠AOC 时，∠COP＝∠BOQ，求∠AOC 的度数．变式 3：如图1，点O为线段MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边DO 、BO 在线段MN 上，∠COD =∠AOB = 90︒．（1）将图1 中的三角板COD 绕着点O 沿顺时针方向旋转到如图2 所示的位置，若∠AOC = 35︒，则∠BOD =；猜想∠AOC 与∠BOD 的数量关系；（2）将图1 中的三角板COD 绕着点O 沿逆时针方向按每秒15︒的速度旋转一周，三角板AOB 不动，请问几秒后OD 所在的直线平分∠AOB ？（3）将图1 中的三角板COD 绕着点O 沿逆时针方向按每秒15︒的速度旋转两周，同时三角板AOB绕着点O沿逆时针方向按每秒5︒的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后OC所在直线平分∠A ON ．。
专题训练—线段、角度、动角问题北师大版数学七年级上册
线段、角度相关计算及动角问题一、线段的计算（方程思想）例1、如图，C，D是线段AB上的两点，已知M，N分别为AC，DB的中点，AB＝18cm，且AC：CD：DB＝1：2：3，求线段MN的长．变式1-1、如图所示．点C，B是线段AD上的两点，AC：CB：BD＝3：1：4，点E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝14，求AB，CD的长．变式1-2、如图所示，线段AB上有两点M，N，AM：MB＝5：11，AN：NB＝5：7，MN＝1.5，求AB长度．二、线段的计算（分类讨论思想）例1、在直线l 上有A 、B 、C 三个点，已知BC ＝3AB ，点D 是AC 中点，且BD ＝6cm ，求线段BC 的长．变式1-1、画直线l ，并在直线l 上任取三个点A 、B 、C ，使AB ＝10，BC ＝4，分别画线段AB 、BC 的中点E 、F ，求线段EF 的长．变式1-2、已知线段AB ＝14，在AB 上有四个点C ，D ，M ，N ，且AC ：CD ：DB ＝1：2：4，AM =12AC ，DN =16DB ，计算线段MN 的长．三、线段的计算（含参问题）例1、如图1，线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．（2）如图2，若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB＝acm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上的一点，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．变式1-1、已知点C，线段AB．（1）如图，若点C在线段AB上，且AC＝12，BC＝8，点M、N分别是AC、BC的中点，则线段MN的长度是；（2）若把（1）中点C在线段AB上，且AC＝12，BC＝8，改为点C是线段AB上任意一点，且AC＝a，BC＝b，其他条件不变，请求出线段MN的长度（用含a、b的式子表示）；（3）若把（2）中点C是线段AB上任意一点，改为点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．变式1-2、已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC 上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．（1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝；（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ 与1的大小关系，并说明理由．四、线段的计算（动点问题）【例8】如图，AB＝10cm，C是线段AB上一个动点，沿A→B→A以2cm/s的速度往返运动一次，D是线段BC的中点，设点C的运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t＝2时，求线段CD的长．（2）当t＝6时，求线段AC的长．（3）求运动过程中线段AC的长．（用含t的代数式表示）（4）在运动过程中，设AC的中点为E，线段DE的长是否发生变化？若不变，直接写出DE的长；若发生变化，请说明理由．变式1-1、（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）已知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设BC﹣AC＝a，请根据题意画出图形并求MN的长度；（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？变式1-2、如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）OA＝cm，OB＝cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）；五、钟面角的计算分针：1小时转（ ）度 1分钟转（ ）度时针：1小时转（ ）度 1分钟转（ ）度例1、如图，八点三十分时针与分针所成的角是（）A．75°B．65°C．55°D．45°变式1-1、11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（）A．140°B．130°C．120°D．110°变式1-2、当时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是多少度（）A．115°B．120°C．105°D．90°变式1-3、下列时刻中的时针与分针所成的角最大的是（）A．1：00B．3：03C．5：05D．10：10六、度分秒的换算度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．将高级单位转化为低级单位时，乘以60，将低级单位转化为高级单位时，除以60．例1、35.48°＝度分秒．变式1-1、35.15°＝°′″；12°15′36″＝°．变式1-2、计算：65°19′48″+35°17′6″＝（将计算结果换算成度）．变式1-3、计算：18°13′×5﹣49°28′52″÷4。
人教版七年级上数学几何初步--线段与角的经典题(含答案)
几何初步--线段与角的经典题一．解答题（共45小题）1．如图，已知线段AB（1）请用尺规按下列要求作图：①延长线段AB到C，使BC=AB，②延长线段BA到D，使AD=AC（不写画法，当要保留画图痕迹）（2）请直接回答线段BD与线段AC长度之间的大小关系（3）如果AB=2cm，请求出线段BD和CD的长度．2．已知线段MN=3cm，在线段MN上取一点P，使PM=PN；延长线段MN到点A，使AN=MN；延长线段NM到点B，使BN=3BM．（1）根据题意，画出图形；（2）求线段AB的长；（3）试说明点P是哪些线段的中点．3．如图（1），线段上有3个点时，线段共有3 条；如图（2）线段上有4个点时，线段共有6条；如图（3）线段上有5个点时，线段共有10条．（1）当线段上有6个点时，线段共有条；（2）当线段上有n个点时，线段共有条；（用n的代数式表示）（3）当n=100时，线段共有条．4．已知，如图B，C两点把线段AD分成3：5：4三部分，M为AD的中点，BM=9cm，求CM和AD的长5．如图，已知线段AB=16 cm，点M在AB上，AM：BM=1：3，P、Q分别以AM，AB的中点，求PQ的值．6．在数轴上点A表示的数是8，B是数轴上一点，且AB=12，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）①写出数轴上点B表示的数，②写出点P表示的数（用含t的代数式表示）（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速前进，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）在（2）的情况下，若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请画出图形，并求出线段MN的长．．7．已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使BC=2AB，在BA的延长线上取一点D，使DA=AB，取AB中点E，若DE=7.5cm，求DC的长．8．如图，已知线段AB的长为x，延长线段AB至点C，使BC=AB．（1）用含x的代数式表示线段BC的长和AC的长；（2）取线段AC的中点D，若DB=3，求x的值．9．如图，点C是线段AB上一点，点M，N，P分别是线段AC，BC，AB的中点．（1）若AB=12cm，则MN的长度是；（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长度．10．已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．11．如图，延长线段AB到点F，延长线BA到点E，点M、N分别是线段AE、BF 的中点，若AE：AB：BF=1：2：3，且EF=18cm，求线段MN的长．12．如图，线段AC=20cm，BC=3AB，N线段BC的中点，M是线段BN上的一点，且BM：MN=2：3．求线段MN的长度．13．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD 的中点，AD=10cm，设点B运动时间为t秒．（1）当t=2时，①AB=cm．②求线段CD的长度．（2）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．14．如图，已知线段AB和CD的公共部分为BD，且BD=AB=CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是20，求AB、CD的长．15．如图，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=b cm，M、N分别为AC、BC 的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；16．如图所示，点A在线段CB上，AC=AB，点D是线段BC的中点．若CD=3，求线段AD的长．17．（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．18．如图，点A、M、B、N、C在同一直线上顺次排列，点M是线段AB的中点，点N是线段MC的中点，点N在点B的右边．（1）填空：图中共有线段条；（2）若AB=6，MC=7，求线段BN的长；（3）若AB=a，MC=7，将线段BN的长用含a的代数式表示出来．19．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB=2：1，则点C 是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE=15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB=15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．20．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）填空：①A、B两点间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ=AB；（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．21．已知数轴上有三点A、B、C，其位置如图1所示，数轴上点B表示的数为﹣40，AB=120，AC=2AB（1）图1中点C在数轴上对应的数是（2）如图2，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒，点P在点Q左侧运动时，经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度（3）如图3，若T点是A点右侧一点，点T在数轴上所表示的数为n，TB的中点为M，N为TA的4等分点且靠近于T点，若TM=2AN，求n的值．22．如图，线段AB=12，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．（1）出发多少秒后，PB=2AM？（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．23．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？25．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB=12cm，点C是线段AB的巧点，则AC=cm；【解决问题】（3）如图②，已知AB=12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B 匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由26．如图，C是线段AB上一点，AB=20cm，BC=8cm，点P从A出发，以2cm/s 的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA 向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点P运动时间为xs．（1）AC=cm；（2）当x=s时，P、Q重合；（3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．27．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，A、B两点之间的距离是90米．甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发到终点C，乙机器人始终以50米/分的速度行走，乙行走9分钟到达C点．设两机器人出发时间为t（分钟），当t=3分钟时，甲追上乙．前4分钟甲机器人的速度保持不变，在4≤t≤6分钟时，甲的速度变为另一数值，且甲、乙两机器人之间的距离保持不变．请解答下面问题：（1）B、C两点之间的距离是米．在4≤t≤6分钟时，甲机器人的速度为米/分．（2）求甲机器人前3分钟的速度为多少米/分？（3）求两机器人前6分钟内出发多长时间相距28米？（4）若6分钟后，甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，直接写出当t ＞6时，甲、乙两机器人之间的距离S．（用含t的代数式表示）28．如图，∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，∠BOD=3∠DOE．试求∠COE的度数．29．已知∠AOB=130°，∠COD=80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．（1）如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，如图1，求∠MON的度数；（2）如果将图1中的∠COD绕点O点顺时针旋转n°（0＜n＜155），如图2，①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时，∠MON为直角？（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD 的大小；将图1中的OA绕着O点顺时针旋转m°（0＜m＜100），如图3，∠MON与旋转度数m°有怎样的数量关系？说明理由．24．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=60°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE=90°）（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=°；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD=∠AOE，求∠BOD的度数？30．已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．（1）如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC．①求∠BOD的度数；②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．（2）如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．31．如图①，已知线段AB=20cm，CD=2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F 分别是AC、BD的中点．（1）若AC=4cm，则EF=cm．（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，则∠EOF、∠AOB和∠COD有何关系，请直接写出．32．点O 是直线AB上一点，∠COD 是直角，OE平分∠BOC．（1）①如图1，若∠DOE=25°，求∠AOC 的度数；②如图2，若∠DOE=α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）；（2）将图1中的∠COD 绕点O按顺时针方向旋转至图 2 所示位置．探究∠DOE 与∠AOC 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．33．探究题：如图①，已知线段AB=14cm，点C为AB上的一个动点，点D、E 分别是AC和BC的中点．（1）若点C恰好是AB中点，则DE=cm；（2）若AC=4cm，求DE的长；（3）试利用“字母代替数”的方法，设AC=a cm请说明不论a取何值（a不超过14cm），DE的长不变；（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关．34．如图①，∠AOB=∠COD=90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．（1）已知∠BOC=20°，且∠AOD小于平角，求∠MON的度数；（2）若（1）中∠BOC=α，其它条件不变，求∠MON的度数；（3）如图②，若∠BOC=α，且∠AOD大于平角，其它条件不变，求∠MON的度数．35．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．初步尝试：（1）如图1，若∠AOC=30°．求∠DOE的度数；类比探究：（2）在图1中，若∠AOC=a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；解决问题：（3）如图2时，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系．直接写出你的结论．36．如图，∠AOB=100°，∠AOC为锐角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．（1）如果∠AOC=40°，求∠MON的度数；（2）如果∠AOC为任意一个锐角，你能求出∠MON的度数吗？若能，请求出来；若不能，说明为什么？37．已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．则∠MON的大小为；（2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．38．如图，∠AOB=20°，∠AOE=110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE=30°？39．如图，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，OE平分∠AOD．（1）若∠COE=20°，则∠BOD=；若∠COE=α，则∠BOD=（用含α的代数式表示）（2）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测∠COE 与∠BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由．40．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN=30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．41．阅读解答过程，回答问题：如图，OC在∠AOB内，∠AOB和∠COD都是直角，且∠BOC=30°，求∠AOD的度数．解：过O作射线OM，使点M，O，A在同一直线上，因为∠MOD+∠BOD=90°，∠BOC+∠BOD=90°，所以∠BOC=∠MOD，所以∠AOD=180°﹣∠MOD=180°﹣∠BOC=180°﹣30°=150°．（1）如果∠BOC=60°，那么∠AOD等于多少度？如果∠BOC=n°，那么∠AOD等于多少度？（2）如果∠AOB=∠DOC=x°，∠AOD=y°，求∠BOC的度数．42．已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；（2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O 在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．43．如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB=；若∠ACB=130°，则∠DCE=；（2）猜想∠ACB与∠DCE大大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB 与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O 重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．44．如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON（与射线OD重合）绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均指小于平角的角）（1）图中一定有个直角；当t=2时，∠MON的度数为，∠BON 的度数为，∠MOC的度数为．（2）当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON﹣60°，试求出t的值；（3）当0＜t＜6时，探究的值，在t满足怎样的条件是定值，在t满足怎样的条件不是定值．45．已知，如图（1），∠AOB和∠COD共顶点O，OB和OD重合，OM为∠AOD 的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB=α，∠COD=β（1）如图（2），若α=90°，β=30°，则，∠MON=（2）若将∠COD绕O逆时针旋转至图（3）的位置，求∠MON（用α、β表示）（3）如图（4），若α=2β，∠COD绕O逆时针旋转，转速为3°/秒，∠AOB绕O 同时逆时针旋转，转速为1°/秒（转到OC与OA共线时停止运动），且OE平分∠BOD，请判断∠COE与∠AOD的数量关系并说明理由．线段与角的经典题一．解答题（共45小题）1．【解答】解：（1）如图所示，BC、AD即为所求；（2）由图可得，BD＞AC；（3）∵AB=2cm，∴AC=2AB=4cm，∴AD=4cm，∴BD=4+2=6cm，∴CD=2AD=8cm．2．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵MN=3cm，AN=MN，∴AN=1.5cm，∵BN=3BM，∴BM=MN=1.5cm，∴AB=BM+MN+AN=6cm；（3）∵点P在线段MN上，PM=PN，∴点P是线段MN 的中点，∵BM=AN=1.5cm，PM=PN=1.5cm，∴BP=AP=3cm，∴点P是线段AB 的中点．3．【解答】解：（1）当线段上有6个点时，线段共有=15条；（2）当线段（3）当n=100时，线段共有=4950上有n个点时，线段共有条；条；故答案为：15，，4950．4．【解答】解：设AB=3xcm，BC=5xcm，CD=4xcm，∴AD=AB+BC+CD=12xcm，∵M是AD的中点，∴AM=MD=AD=6xcm，∴BM=AM﹣AB=6x﹣3x=3xcm，∵BM=9 cm，∴3x=9，解得，x=3，∴CM=MD﹣CD=6x﹣4x=2x=2×3=6（cm），AD=12x=12×3=36（cm）．5．【解答】解：∵AB=16cm，AM：BM=1：3，∴AM=4cm．BM=12cm，∵P，Q 分别为AM，AB的中点，∴AP=AM=2cm，AQ=AB=8cm，∴PQ=AQ﹣AP=6cm．6．【解答】解：（1）①8﹣12=﹣4，8=12=20，∴数轴上点B表示的数﹣4或20，②动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，则点P表示的数8﹣6t；（2）分两种情况：当点B在点A的左侧时，点P运动追上点Q，即8﹣6t=﹣4﹣4t，解得t=6；当点B在点A的右侧时，点P运动追上点Q，即8﹣6t=20﹣4t，解得t=﹣6（舍去），∴点P运动6秒追上点Q；（3）∵M为AP的中点，∴M点表示的数为（8+8﹣6t）÷2=8﹣3t，∵N为PB的中点，∴N点表示的数为（﹣4+8﹣6t）÷2=2﹣3t，∴MN=8﹣3t﹣（2﹣3t）=6，∴点P在运动的过程中，MN的长度不会发生变化．7．【解答】解：∵E是AB中点，∴AE=EB，设AE=x，则AB=2x，又∵DA=AB，∴DA=2x，∵BC=2AB，∴BC=4x，∵DE=7.5cm，∴3x=7.5，解得：x=2.5，∴DC=DA+AB+BC=2x+2x+4x=8x=8×2.5=20（cm）．8．【解答】解：（1）∵AB=x，BC=AB，∴BC=x，∵AC=AB+BC，∴AC=x+x= x．（2）∵AD=DC=AC，AC=x，∴DC=x，∵DB=3，BC=x，∵DB=DC﹣BC，∴3=x﹣x，∴x=12．9．【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC=AC，CN=BC，∴MN=MC+CN=AC+BC=（AC+BC）=AB=6cm．故答案为6cm；（2）∵AC=3cm，CP=1cm，∴AP=AC+CP=4cm，∵P是线段AB的中点，∴AB=2AP=8cm．∴CB=AB ﹣AC=5cm，∵N是线段CB的中点，CN=CB=2.5cm，∴PN=CN﹣CP=1.5cm．10．【解答】解：如图1所示，∵AP=2PB，AB=6，∴PB=AB=×6=2，AP=AB=×6=4；∵点Q为PB的中点，∴PQ=QB=PB=×2=1；∴AQ=AP+PQ=4+1=5．如图2所示，∵AP=2PB，AB=6，∴AB=BP=6，∵点Q为PB的中点，∴BQ=3，∴AQ=AB+BQ=6+3=9．故AQ的长度为5或9．11．【解答】解：设EA=xcm，则AB=2xcm，BF=3xcm，EF=6xcm．∵点M，N分别是线段EA，BF的中点，∴EM=MA=xcm，BN=NF=xcm．∵AB=2xcm，∴MN=MA+AB+BN=4xcm．∵EF=18cm，∴6x=18，解得：x=3，∴MN=4x=12cm．12．【解答】解：∵AC=20cm，BC=3AB，∴BC=×20=15cm，∴AB=5cm，∵N为BC的中点，∴BN=CN=7.5cm，∵BM：MN=2：3，∴MN=×7.5=4.5cm．13．【解答】解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，∴当t=2时，AB=2×2=4cm．故答案为：4；②∵AD=10cm，AB=4cm，∴BD=10﹣4=6cm，∵C是线段BD的中点，∴CD=BD=×6=3cm；（2）不变；∵AB 中点为E，C是线段BD的中点，∴EB=AB，BC=BD，∴EC=EB+BC=（AB+BD）=AD=×10=5cm．14．【解答】解：设BD=x，则AB=3x，CD=4x．∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE=AB=1.5x，CF=CD=2x，AC=AB+CD﹣BD=3x+4x﹣x=6x．∴EF=AC﹣AE﹣CF=6x﹣1.5x﹣2x=2.5x．∵EF=20，∴2.5x=20，解得：x=8．∴AB=3x=24，CD=4x=32．15．【解答】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，AC=8cm，CB=6cm，∴CM=AC=4cm，CN=BC=3cm，∴MN=CM+CN=4+3=7cm，即线段MN的长是7cm；（2）∵点M、N分别是AC、BC的中点，AC+CB=acm，∴CM=AC，CN= BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=（AC+BC）=acm，即线段MN的长是acm；（3）如图：MN=b，理由是：∵点M、N分别是AC、BC的中点，AC﹣CB=bcm，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM ﹣CN=AC﹣BC=（AC﹣BC）=bcm，即线段MN的长是bcm．16．【解答】解：∵点D是线段BC的中点，CD=3，∴BC=2CD=6，∵AC=AB，AC+AB=CB，∴AC=2，AB=4，∴AD=CD﹣AC=3﹣2=1，即线段AD的长是1．17．【解答】解：（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段；（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴倒序排列有x=1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x=mm+m+…+m=m（m﹣1），∴x=m（m ﹣1）；（3）把45位同学看作直线上的45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段，直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，因此一共要进行×45×（45﹣1）=990次握手．18．【解答】解：（1）图中共有线段1+2+3+4=10条；故答案为：10；（2）∵AB=6，点M是线段AB的中点，∴BM=AB=3，∵MC=7，点N是线段MC的中点，∴NC=MC=3.5，BC=MC﹣BM=7﹣3=4，∴BN=BC﹣NC=4﹣3.5=0.5；（3）∵AB=a，点M是线段AB的中点，∴BM=AB=a，∵MC=7，点N是线段MC的中点，∴NC=MC=3.5，BC=MC﹣BM=7﹣a，∴BN=BC﹣NC=7﹣a﹣3.5=3.5﹣a．19．【解答】解：（1）当DP=2PE时，DP=DE=10cm；当2DP=PE时，DP=DE=5cm．综（2）①根据题意得：（1+2）t=15，解得：t=5．答：上所述：DP的长为5cm或10cm．当t=5秒时，点P与点Q重合．②（I）点P、Q重合前：当2AP=PQ时，有t+2t+2t=15，解得：t=3；当AP=2PQ时，有t+t+2t=15，解得：t=；（II）点P、Q重合后，当AP=2PQ时，有t=2（t﹣5），解得：t=10；当2AP=PQ时，有2t=（t﹣5），解得：t=﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t=3秒、秒或10秒时，点P是线段AQ的三等分点．20．【解答】解：（1）①10，3；②﹣2+3t，8﹣2t；（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等∴﹣2+3t=8﹣2t，解得：t=2，∴当t=2时，P、Q相遇，此时，﹣2+3t=﹣2+3×2=4，∴相遇点表示的数为4；（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，∴PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，又PQ=AB=×10=5，∴|5t﹣10|=5，解得：t=1或3，∴当：t=1或3时，PQ=AB；（4）∵点M表示的数为=﹣2，点N表示的数为=+3，∴MN=|（﹣2）﹣（+3）|=|﹣2﹣﹣3|=5．21．【解答】解：（1）∵AB=120，点B表示的数为﹣40，∴点A表示的数为80．∵AC=2AB，∴点C表示的数为80﹣120×2=﹣160．（2）设点R的速度为x个单位长度/秒，则点P的速度为3x个单位长度/秒，点Q的速度为（2x﹣5）个单位长度/秒，当点P在点Q左边时，P、R相遇时QP=QR，5（3x+x）=AC=240，解得x=12，2x﹣5=24﹣5=19，∴点Q的速度为19个单位长度/秒，（3）设AT=y，∵TB的中点为M，∴TM=TB=（120+y）=60+y，∵N为TA的4等分点且靠近于T点，∴AN=y，∵TM=2AN，∴60+y=y，解得x=60，∴n=80+60=140．故答案为：﹣160．22．【解答】解：（1）如图1，由题意得：AP=2t，则PB=12﹣2t，∵M为AP的中点，∴AM=t，由PB=2AM得：12﹣2t=2t，t=3，答：出发3秒后，PB=2AM；（2）如图1，当P在线段AB上运动时，BM=12﹣t，2BM﹣BP=2×（12﹣t）﹣（12﹣2t）=24﹣2t﹣12+2t=12，∴当P在线段AB上运动时，2BM﹣BP为定值12；（3）选①；如图2，由题意得：MA=t，PB=2t﹣12，∵N为BP的中点，∴PN=BP=（2t﹣12）=t﹣6，①MN=PA﹣MA﹣PN=2t﹣t﹣（t﹣6）=6，∴当P在AB延长线上运动时，MN长度不变；所以选项①叙述正确；②MA+PN=t+（t﹣6）=2t﹣6，∴当P在AB延长线上运动时，MA+PN的值会改变．所以选项②叙述不正确．23．【解答】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC 的中点，∴CM=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，∴MN=CM+CN=8厘米；（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN= AC+BC=a；（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10﹣2t=6﹣t，解得t=4；②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t﹣10=16﹣3t，解得t=；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t=3t﹣16，解得t=；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10=t﹣6，解得t=4（舍），综上所述：t=4或或．24．【解答】解：（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，又∵∠COB=60°，∴∠COE=30°，故答案为：30；（2）∵OE 平分∠AOC，∴∠COE=∠AOE=COA，∵∠EOD=90°，∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，∴∠COD=∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD=x°，则∠AOE=5x°，∵∠DOE=90°，∠BOC=60°，∴6x=30或5x+90﹣x=120∴x=5或7.5，即∠COD=5°或7.5°∴∠BOD=65°或52.5°．25．【解答】解：（1）∵线段的长是线段中线长度的2倍，∴线段的中点是这条线段的“巧点”．故答案为：是；（2）∵AB=12cm，点C是线段AB的巧点，∴AC=12×=4cm或AC=12×=6cm或AC=12×=8cm；故答案为：4或6或8；（3）t秒后，AP=2t，AQ=12﹣t（0≤t≤6）①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除．②当P为A、Q的巧点时，Ⅰ．AP=AQ，即，解得s；Ⅱ．AP=AQ，即，解得s；Ⅲ．AP=AQ，即，解得t=3s；③当Q为A、P的巧点时，Ⅰ．AQ=AP，即，解得s（舍去）；Ⅱ．AQ=AP，即，解得t=6s；Ⅲ．AQ=AP，即，解得s．26．【解答】解：（1）AC=AB﹣BC=20﹣8=12（cm），（2）20÷（2+1）=（s）．故当x=s时，P、Q重合；（3）存在，①C是线段PQ的中点，得2x+20﹣x=2×12，解得x=4；②P为线段CQ的中点，得12+20﹣x=2×2x，解得x=；③Q为线段PC的中点，得2x+10=2×（20﹣x），解得x=7；综上所述：x=4或x=或x=7．故答案为：12；．27．【解答】解：（1）∵乙机器人从B点出发，以50米/分的速度行走9分钟到达C点，∴B、C两点之间的距离是50×9=450（米）．∵在4≤t≤6分钟时，甲、乙两机器人之间的距离保持不变，∴在4≤t≤6分钟时，甲机器人的速度为50米/分．（2）设甲机器人前3分钟的速度为x米/分，则3x﹣50×3=90，解得x=80．答：甲机器人前3分钟的速度为80米/分．（3）当t=4时，两人相距80﹣50=30米，且4≤t≤6时，两人相距总是30米．分三种情况说明：①甲在AB间时，90﹣80t+50t=28，解得t=＞，此情形不存在．②甲乙均在B右侧，且甲在乙后时，90+50t﹣80t=28，解得t=．③甲乙均在B右侧，且乙在甲后时，80t﹣90﹣50t=28，解得t=．答：两机器人前6分钟内出发分钟或分钟相距28米．（4）S=．故答案为：450，50；28．【解答】解：∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB，∴∠COB=∠AOB=45°，∵∠COD=90°，∴∠BOD=45°，∵∠BOD=3∠DOE，∴∠DOE=15°，∴∠BOE=30°，∴∠COE=∠COB+∠BOE=45°+30°=75°．29．【解答】解：（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB=130°，∴∠AOM=∠AOB=×130°=65°，∵ON平分∠COD，∠COD=80°，∴∠AON=∠COD=×80°=40°，∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=65°﹣40°=25°；（2）①如图2中，∠MON=∠COM﹣∠NOC=65°+n°﹣40°=n°+25°．②当∠MON=90°时，n°+25°=90°，∴n=65°．（3）如图3中，∠MON=∠COM﹣∠CON=65°+m°﹣（80°+m°）=m°+25°．30．【解答】解：（1）①∵OD平分∠AOC，∠AOC=130°，∴∠AOD=∠DOC=∠AOC=×130°=65°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣65°=115°；②∵∠DOE=90°，又∵∠DOC=65°，∴∠COE=∠DOE﹣∠DOC=90°﹣65°=25°，∵∠BOD=115°，∠DOE=90°，∴∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=115°﹣90°=25°，∴∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC．（2）若∠BOE：∠AOE=2：7，设∠BOE=2x，则∠AOE=7x，又∵∠BOE+∠AOE=180°，∴2x+7x=180°，∴x=20°，∠BOE=2x=40°，∵∠DOE=90°，∴∠AOD=90°﹣40°=50°．31．【解答】解：（1）∵AB=20cm，CD=2cm，AC=4cm，∴DB=14cm，∵E、F分别是AC、BD的中点，∴CE=AC=2cm，DF=DB=7cm，∴EF=2+2+7=11cm，故答案为：11；（2）EF的长度不变．∵E、F分别是AC、BD的中点，∴EC= AC，DF=DB，∴EF=EC+CD+DF=AC+CD+DB===，∵AB=20cm，CD=2cm，∴EF==11cm；（3）．理由：∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠COE=∠AOC，∠DOF=∠BOD，∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=∠AOC+∠COD+∠BOD=（∠AOC+∠BOD）+∠COD=（∠AOB﹣∠COD）+∠COD=（∠AOB+∠COD）．故答案为：．32．【解答】解：（1）①∵∠COD=90°，∠DOE=25°，∴∠COE=∠COD﹣∠DOE=90°﹣25°=65°，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COE=130°，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣130°=50°；②∵∠COD=90°，∠DOE=α，∴∠COE=∠COD﹣∠DOE=90°﹣α，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COE=180°﹣2α，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣（180°﹣2α）=2α；（2）∠DOE=∠AOC，理由如下：如图2，∵∠BOC=180°﹣∠AOC，又∵OE平分∠BOC∴∠COE=∠BOC=（180°﹣∠AOC）=90°﹣∠AOC，又∵∠COD=90°，∴∠DOE=90°﹣∠COE=90°﹣（90°﹣∠AOC）=∠AOC．33．【解答】解：（1）∵AB=14cm，点D、E分别是AC和BC的中点，∴DE=DC+EC= AC+BC=AB=7cm故答案为：7；（2）∵AC=4cm，AB=14cm，∴BC=AB﹣AC=10cm，又∵D为AC中点，E为BC中点，∴CD=2cm，CE=5cm，∴DE=CD+CE=7cm；（3）∵AC=acm，∴BC=AB﹣AC=（14﹣a）cm，又∵D为AC 中点，E为BC中点，∴CD=acm，CE=（14﹣a）cm，∴DE=CD+CE=a+（14﹣a）=7cm，∴无论a取何值（不超过14）DE的长不变；（4）设∠AOC=α，∠BOC=120﹣α，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠COD=，∠COE=（120°﹣α），∴∠DOE=∠COD+∠COE=+（120°﹣α）=60°，∴∠DOE=60°，与OC位置无关．34．【解答】解：（1）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，∴∠AOC=∠BOD=90°﹣20°=70°．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=35°，∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=35°+20°+35°=90°；（2）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，∴∠AOC=∠BOD=90°﹣α．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=45°﹣α，∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=45°﹣α+α+45°﹣=90°；（3）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，∴∠AOC=∠BOD=90°+α．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=45°+α，∴∠MON=∠MOC﹣∠COB+∠BON=45°+α﹣α+45°+=90°．35．【解答】解：（1）由已知得∠BOC=180°﹣∠AOC=150°，又∠COD是直角，OE 平分∠BOC，∴∠DOE=∠COD﹣∠BOC=90°﹣×150°=15°．（2）由（1）知∠DOE=∠COD﹣∠BOC，∴∠DOE=90°﹣（180°﹣∠AOC）=90°﹣90°+∠AOC=∠AOC=α．（3）∠AOC=2∠DOE．理由如下：∵∠COD是直角，OE 平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE，∠COB=2∠COE，∴∠AOC=180°﹣∠COB=180°﹣2∠COE=2（90°﹣∠COE），∵∠DOE=90°﹣∠COE，∴∠AOC=2∠DOE．36．【解答】解：（1）因为OM平分∠BOC，ON平分∠AOC所以∠MOC=∠BOC，∠NOC=∠AOC 所以∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠BOC﹣∠AOC）=（100°+40°﹣40°）=50°．（2）可以．同理，∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠BOC﹣∠AOC）=（∠BOA+∠AOC﹣∠AOC）=∠BOA=50°．37．【解答】解：（1）因为∠AOD=160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，所以∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD，即∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°，故答案为：80°；（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，所以∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，即∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC=（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC=×180°﹣20°=70°；（3）∵射线OB从OA 逆时针以2°每秒的旋转t秒，∠COB=20°，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=2t°+10°+20°=2t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=t°+15°．∵∠BOD=∠AOD﹣∠BOA，∠AOD=160°，∴∠BOD=150°﹣2t．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON=∠BOD=75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON=2：3，∴（t+15）：（75﹣t）=2：3，解得t=21．38．【解答】解：（1）因为OB平分∠AOC，∠AOB=20°，所以∠AOC=40°，因为OD平分∠AOE，∠AOE=110°，所以∠AOD=55°，因为∠COD=∠AOD﹣∠AOC，所以∠COD=55°﹣40°=15°；（2）因为90°﹣55°=35°，所以射线OD的方位角是北偏东35°；（3）设经过x秒时，∠AOE=30°，①如图1所示，当OA未追上OE时，依题意，得5x﹣110=3x﹣30，解得，x=40；②如图2所示，当OA超过OE时，依题意，得5x﹣110=3x﹣305x﹣110=3x+30，解得，x=70．39．【解答】解：（1）若∠COE=20°，∵∠COD=90°，∴∠EOD=90°﹣20°=70°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠EOD=140°，∴∠BOD=180°﹣140°=40°；若∠COE=α，∴∠EOD=90﹣α，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠EOD=2（90﹣α）=180﹣2α，∴∠BOD=180°﹣（180﹣2α）=2α；故答案为：40°；2α；（2）如图2，∠BOD=2∠COE，理由是：设∠BOD=β，则∠AOD=180°﹣β，∵OE平分∠AOD，∴∠EOD=∠AOD==90°﹣，∵∠COD=90°，∴∠COE=90°﹣（90°﹣）=，即∠BOD=2∠COE．40．【解答】解：（1）如图2，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC=∠MOB，又∵∠BOC=110°，∴∠MOB=55°，∵∠MON=90°，∴∠BON=∠MON﹣∠MOB=35°；（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC=110°∴∠AOC=70°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC 时，∠AOD=∠COD=35°，∴∠BON=35°，∠BOM=55°，即逆时针旋转的角度为55°，由题意得，5t=55°解得t=11（s）；②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA=35°，∴∠AOM=55°，即逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，由题意得，5t=235°，解得t=47（s），综上所述，t=11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；（3）∠AOM﹣∠NOC=20°．理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，故答案为：11或47；∴∠AOM=90°﹣∠AON，∠NOC=70°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）=20°，∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC=20°．41．【解答】解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=60°．∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=30°．∴∠AOD=∠AOC+∠COD=30°+90°=120°．若∠BOC=n°，则∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=（90﹣n）°．∴∠AOD=∠AOC+∠COD=（90﹣n）°+90°=（180﹣n）°．（2）∵∠AOB=x°，∠AOD=y°．∴∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=（y﹣x）°．∴∠BOC=∠DOC ﹣∠BOD=x°﹣（y﹣x）°=（2x﹣y）°．42．【解答】解：（1）因为∠AOD=160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD所以∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD即∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°；（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD所以∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD即∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC=（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC=×180°﹣20°=70°；（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的旋转t秒，∠COB=20°，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=2t°+10°+20°=2t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=t°+15°．∵∠BOD=∠AOD﹣∠BOA，∠AOD=160°，∴∠BOD=150°﹣2t．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON=∠BOD=75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON=2：3，∴（t+15）：（75﹣t）=2：3，解得t=21．答：t为21秒．43．【解答】解：（1）∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案为：155°，50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．44．【解答】解：（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC=∠AOD，∴∠AOC=∠AOD=90°，∴∠BOC=∠BOD=90°，∴图中一定有4个直角；当t=2时，∠BOM=30°，∠NON=24°，∴∠MON=30°+90°+24°=144°，∠BON=90°+24°=114°，∠MOC=90°﹣30°=60°；故答案为：4；144°，114°，60°；（2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s），当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s），如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°﹣12t°，∠AOM=180°﹣15t°，由∠AOM=3∠AON﹣60°，可得180°﹣15t°=3（90°﹣12t°）﹣60°，解得t=；如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°﹣90°，∠AOM=180°﹣15t°，由∠AOM=3∠AON﹣60°，可得180°﹣15t°=3（12t°﹣90°）﹣60°，解得t=10；综上所述，当∠AOM=3∠AON﹣60°时，t的值为s或10s；（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t°+90°+12t°=180°，解得t=，①如图所示，当0＜t＜时，∠COM=90°﹣15t°，∠BON=90°+12t°，∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，∴==（不是定值），。
七年级线段 角知识点
七年级线段角知识点
作为初中数学的重要组成部分，线段与角的知识点对于七年级同学来说尤其重要。
下面将从线段、角两个方面，对七年级应掌握的知识点进行详细的讲解。
线段
一、定义
线段是由两个端点和它们之间的所有点组成的有限部分。
记作AB。
二、线段的性质
1. 线段的长度
根据数轴上两点坐标差的绝对值求出两点之间距离即为线段长度。
2. 线段的中点
线段中垂线的交点称为线段中点，线段中点即为线段两端点的中点，它把线段分成两段长度相等的线段。
3. 线段的延长线
线段外部向两侧延伸得到的直线，叫做线段的延长线。
4. 线段的夹角
当两条线段在同一个平面内且拥有共同端点时，它们形成的角叫做该线段的夹角。
角
一、角的定义
由一个平面内的两条有公共端点的线段及它们所围成的两个部分所组成的图形，叫做角。
二、角的基本概念
1. 角的顶点
角的公共端点称为角的顶点。
2. 角的边
角的两条边就是角的两条有公共端点的线段，叫做角的边。
3. 角的度数
角所对应的圆心角的度数，就是该角的度数。
三、角的种类
1.锐角：夹角的角度小于90度。
2.直角：夹角的角度等于90度。
3.钝角：夹角的角度大于90度。
综上所述，线段和角都是初中数学中重要的基础知识，七年级同学应该掌握这些知识点的定义、性质、基本概念以及种类等相关内容。
只有通过充分的学习和实践，才能在未来的数学学习中更加顺利。
【2024秋】最新人教版七年级上册数学《线段与角的有关计算》专项练习(含答案)
【2024秋】最新人教版七年级上册数学《线段与角的有关计算》专项练习（含答案）类型一有关线段的计算1．如图，AB＝2，AC＝6，延长BC到点D，使BD＝4BC，求AD的长．2．如图，已知点A、B、C、D、E在同一直线上且AC＝BD，E是线段BC的中点，AD＝10，AB＝3．（1）求线段BD的长度；（2）求线段BE的长度．3.画线段AB，并延长AB至C，使BC＝2AB，取AC的中点D．若线段CD＝9，求BD的长．4.已知线段AB，延长AB到C，使BC＝AB，D为AC的中点，若BD＝3 cm，求AB的长．5．如图，点B、C把线段MN分成三部分，其比是MB∶BC∶CN＝2∶3∶4，P是MN的中点，且MN＝18 cm，求PC的长．6. 如图，B在线段AC上，E在线段BC上，D是线段AB的中点若BC＝3AB，BE＝2EC，且DE＝7.5．求AC的长．7. 如图，C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB＝30 cm，AC＝4CD．（1）求AC的长；（2）若点E在直线AB上，且EA＝5 cm，求BE的长．类型二有关角的计算8.如图，已知O是直线CD上的点，OA平分∠BOC，∠AOC＝35°，则∠BOD的度数．9．如图，OC是∠AOB的平分线，且∠AOD＝90°，∠COD＝27°19′．求∠BOD的度数．10.如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．11.如图，点O在直线AB上，∠AOC与∠COD互补，OE平分∠AOC．（1）若∠BOC＝40°，则∠DOE的度数为；（2）若∠DOE＝48°，求∠BOD的度数．12.如图，∠AOB∶∠BOC＝3∶2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝12°，求∠DOE的度数．13．已知∠AOB＝37°，∠AOC＝2∠AOB，求∠BOC的度数．14. 如图，已知∠AOB＝108°，OE是∠AOB的平分线，OC在∠AOE内．（1）若∠COE＝∠AOE，求∠AOC的度数；（2）若∠BOC﹣∠AOC＝72°，则OB与OC有怎样的位置关系？为什么？参考答案1．解：∵AB＝2，AC＝6，∴BC＝AC﹣AB＝4．∵BD＝4BC＝16，∴AD＝AB+BD＝18．2．解：（1）∵AD＝10，AB＝3，∴BD＝AD﹣AB＝10﹣3＝7.（2）∵AC＝BD，∴AB＝CD．∵AD＝10，AB＝3，∴BC＝AD﹣2AB＝10﹣2×3＝4．∵E 是线段BC的中点，∴BE＝BC＝×4＝2．AC=12. 3．解：如图，∵点D是AC的中点，CD＝9，∴AC＝2CD＝18.∵BC＝2AB，∴BC＝23∴BD＝BC﹣CD＝12﹣9＝3．4．解：设BC＝x cm，则AB＝4x，AC＝4x+x＝5x，由图可得5x﹣x﹣x＝3，解得x＝2，则4x＝2×4＝8，即AB的长为8 cm．5.解：设MB＝2x，则BC＝3x，CN＝4x，因为P是MN中点，所以MP＝MN＝×（2x+3x+4x）＝x＝9．解得x＝2.∴PC＝MC﹣MP＝2x+3x﹣x＝0.5x＝1．6. 解：∵D是线段AB的中点，∴BD＝AB，∵BC＝3AB，BE＝2EC，∴BE＝BC＝2AB，∴DE＝BD+BE＝AB+2AB＝AB＝7.5，∴AB＝3，∴BE＝2AB＝6，CE＝BE＝3，∴AC ＝AB+BE+CE＝12．7. 解：（1）由点D为BC的中点，得BC＝2CD＝2BD，由线段的和差，得AB＝AC+BC，即4CD+2CD＝30，解得CD＝5，AC＝4CD＝5×4＝20（cm）；（2）①当点E在线段AB上时，由线段的和差，得BE＝AB﹣AE＝30﹣5＝28（cm）；②当点E在线段BA的延长线上，由线段的和差，得BE＝AB+AE＝30+5＝35（cm）．综上所述：BE的长为28 cm或35 cm．8. 解：∵O是直线CD上的点，OA平分∠BOC，∠AOC＝35°，∴∠BOC＝2∠AOC＝70°，∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝110°．9．解：∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝90°﹣27°19′＝62°41′，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOB＝2∠AOC＝125°22′．所以∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝125°22′﹣90°＝35°22′．10. 解：∵∠COE是直角，∠COF＝34°，∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°．又∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝56°．∵∠COF＝34°，∴∠AOC＝56°﹣34°＝22°．则∠BOD＝∠AOC ＝22°．11．解：（1）30°（2）∵点O在直线AB上，∴∠AOC与∠BOC互补，∵∠AOC与∠COD互补，∴∠BOC ＝∠COD，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠EOC，设∠BOC为x，可得2（48°+x）+x＝180°，解得x＝28°，∴∠BOD＝2∠BOC＝56°．12. 解：设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x．则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x．∵OE是∠AOC的平分线，∴∠AOE═，∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝，∵∠BOE＝12°，∴，解得，x＝24°，∵OD是∠BOC的平分线，∴，∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝24°+12°＝36°．13．解：∵∠AOB＝37°，∠AOC＝2∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOB＝2×37°＝74°．分以下两种情况：①射线OB在∠AOC的外部，如图1，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝37°+74°＝111°；②射线OC在∠AOB的内部，如图2，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝74°﹣37°＝37°．14. 解：（1）∵∠COE＝∠AOE，∴∠AOE＝3∠COE，∵OE是∠AOB的平分线，∴∠AOB＝2∠AOE＝6∠COE，∵∠AOB＝108°，∴∠COE＝18°，∴∠AOC＝2∠COE＝2×18°＝36°；（2）OB⊥OC.理由如下：设∠BOC＝x°，则∠AOC＝108°﹣x°. ∵∠BOC﹣∠AOC＝72°，∴x﹣（108﹣x）＝72，解得x＝90. ∴∠BOC＝90°，即OB⊥OC．。
完整七年级期末复习专题训练系列线段与角的计算及解题方法归纳
线段与角的计算及解题方法七年级期末复习专题训练系列3:一、求线段长度的几种常用方法：1.利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系例1. 如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11，若CD＝10cm，求AB。
图1分析：观察图形可知，DC＝AC－AD，根据已知的比例关系，AC、AD均可用所求量AB表示，这样通过已知量DC，即可求出AB。
解：因为点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11所以又因为CD＝10cm，所以AB＝96cm2.利用线段中点性质，进行线段长度变换例2. 如图2，已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB＝14cm，求PA的长。
图2分析：从图形可以看出，线段AP等于线段AM与MP的和，也等于线段AB与PB的差，所以，欲求线段PA的长，只要能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可。
解：因为N是PB的中点，NB＝14所以PB＝2NB＝2×14＝28又因为AP＝AB－PB，AB＝80所以AP＝80－28＝52（cm）说明：在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有根据。
3.根据图形及已知条件，利用解方程的方法求解例3. 如图，一条直线上顺次有A、B、C、D四点，且C为AD的中点，，求BC是AB 的多少倍？的中点，ADC为的一个方程，又、分析：题中已给出线段BCAB、AD即，观察图形可知，，可得到BC、AB、AD又一个方程，从而可用AD分别表示AB、BC。
解：因为C为AD的中点，所以1，即因为又3AB＝、<2>BC可得：即由<1>的中点，、DE、EB分别是P、Q、NAC、CD四部分，分成，. 如图4C、D、E将线段AB2：3：4：5M、4例 21，求PQ的长。
且MN＝的代数式表示。
观察AB上每一条短线段都可以用x分析：根据比例关系及中点性质，若设AC＝2x，则 PQ。
初中数学 几何初步模块4-2 线段和角讲义(含答案解析)
线段和角题型练概念：直线：一条向两端无限延伸的笔直的线，射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，线段：直线上两点和他们之间的部分叫作线段，这两个点叫线段的端点．性质：1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线．2.两点确定一条直线．3.两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．题型一：直线射线线段的性质例1.下列说法正确的是（），则P是线段AB的中点A.射线PA和射线AP是同一条射线B.若AP BPC.直线ab，cd相交于点PD.两点确定一条直线【详解】解：A、射线PA和射线AP不是同一条射线，故本选项错误；B、如果P、A、B三点不在同一直线上，那么P不是线段AB的中点，故本选项错误；C、直线ab，cd的写法不对，故本选项错误；D、两点确定一条直线，故本选项正确；故选D．变式11.下列说法中，错误的是（）A.射线AB和射线BA是同一条射段B.经过两点只能作一条直线C.经过一点可以作无数条直线D.两点之间，线段最短【答案】A【解析】【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．【详解】解：A、射线AB和射线BA不是同一条射线，故此选项错误，符合题意；B、经过两点只能作一条直线，正确，不合题意；C、经过一点可以作无数条直线，正确，不合题意；D、两点之间，线段最短，正确，不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了线段的性质以及直线的性质，正确把握相关性质是解题关键．题型二：直线交点个数问题n条直线相交，最多有1＋2＋3＋…＋（n﹣1）＝(1)2n n个交点，然后计算求解即可．例2.平面上有,,,A B C D四点，经过任意两点画一条直线，最多能画（）条直线．A.3B.4C.5D.6【详解】解：如图，平面上有,,,A B C D四点，经过任意两点画一条直线，所有直线有：直线AB、直线AC、直线AD、直线BC、直线BD、直线CD，共六条，即最多能画6条直线，故选：D．变式22.如图，两条直线相交，有一个交点．三条直线相交，最多有三个交点，四条直线相交，最多有六个交点，当有10条直线相交时，最多有多少个交点（）A.60B.50C.45D.40【答案】C 【解析】【分析】根据交点个数的变化规律：n条直线相交，最多有1+2+3+…+(n﹣1)=(1)2n n-个交点，然后计算求解即可．【详解】解：两条直线相交，最多一个交点，三条直线相交，最多有三个交点，1+2=3=3(31)2-，四条直线相交，最多有六个交点，1+2+3=6=4(41)2-，……∴n条直线相交，最多有1+2+3+…+(n﹣1)=(1)2n n-个交点，故10条直线相交，最多有1+2+3+…+9=10(101)2-=5×9=45个交点，故选：C．【点睛】本题考查了图形的变化规律探究，在相交线的基础上，着重培养学生的观察，猜想归纳的能力，掌握从特殊到一般的方法，找出变化规律是解答的关键．题型三：线段的和差当几条线段是首尾相连且位于同一直线上的线段时，线段的和差结果也是一条线段，此时可以利用延长法和截补法进行计算．例3.如图，线段AB＝5.C，D，E分别为线段AB（端点A，B除外）上顺次三个不同的点，图中所有的线段和等于26，则CE＝_____．【详解】解：由已知得：AC＋AD＋AE＋AB＋CD＋CE＋CB＋DE＋DB＋EB＝26，即（AC＋CB）＋（AD＋DB）＋（AE＋EB）＋AB＋（CD＋DE）＋CE＝AB＋AB＋AB＋AB ＋CE＋CE＝4AB＋2CE＝26，∵AB＝5，∴4×5＋2CE＝26，∴CE＝3，故答案为：3变式33.已知：如图，点,C D 在线段AB 上，点D 是AB 中点，1,123AC AB AB ==．求线段CD 长【答案】2【解析】【分析】根据中点的定义以及题意，分别求出线段AD 与线段AC 的长度，即可得出结论．【详解】∵D 为线段AB 的中点，∴AD =12AB =12×12=6，∵AC =13AB ，∴AC =13×12=4，∴CD =AD -AC =6-4=2．【点睛】本题考查线段中点相关的计算，理解中点的定义，掌握线段中的计算法则是解题关键．题型四：线段的中点和n 等分点点M 将线段AB 分成相等的两条线段AM 与MB ，点M 叫做线段AB 的中点．类似的还有线段的三等分点、四等分点等．①线段的中点例4.1如图，已知AB ＝10cm ，点E 、C 、D 在线段AB 上，且AC ＝6cm ，点E 是线段AC 的中点，点D 是线段BC 的中点．（1）求BD 的长；（2）求DE 的长．【详解】解：（1）∵AB ＝10cm ，且AC ＝6cm ．∴BC ＝AB ﹣AC ＝4cm ．∵点D 是线段BC 的中点．∴BD ＝CD ＝12BC ＝2cm ．（2）∵点E 是线段AC 的中点．∴EC ＝12AC ＝3cm ．∴DE ＝EC ＋CD ＝5cm ．变式4.14.如图，C 是线段AB 上的一点，且13,5AB CB ==，M 、N 分别是AB 、CB 的中点，则线段MN 的长是_____________．【答案】4【解析】【分析】根据中点定义可得到AM =BM =12AB ，CN =BN =12CB ，再根据图形可得NM =BM -BN ，即可得到答案．【详解】解：∵M 是AB 的中点，∴AM =BM =12AB =6.5，∵N 是CB 的中点，∴CN =BN =12CB =2.5，∴MN =BM -BN =6.5-2.5=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了求两点间的距离，解题的关键是根据条件理清线段之间的关系．②线段的n 等分点例4.2若线段AB ＝12cm ，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的三等分点，则线段BD 的长为（）A .2cm 或4cmB .8cmC .10cmD .8cm 或10cm【详解】解：∵C 是线段AB 的中点，AB ＝12cm ，∴AC ＝BC ＝12AB ＝12×12＝6（cm ），点D 是线段AC 的三等分点，①当AD ＝13AC 时，如图，BD ＝BC ＋CD ＝BC ＋23AC ＝6＋4＝10（cm ）；②当AD ＝23AC 时，如图，BD ＝BC ＋CD ′＝BC ＋13AC ＝6＋2＝8（cm ）．所以线段BD 的长为10cm 或8cm ，故选：D ．变式4.25.已知线段20AB =，14AM BM =，点P 、Q 分别是AM 、AB 的中点．（1）如图，当点M 在线段AB 上时，则PQ 的长为___________．（2）当点M 在直线AB 上时，则PQ 的长为__________．【答案】(1).8(2).8或403【解析】【分析】（1）根据AB 的长度以及AM 、BM 之间的关系，可得出AM 和BM 的长度，再由P 、Q 分别为AM 、AB 的中点，即可得出AP 、AQ 的长，再利用PQ=AQ-AP 即可得出答案；（2）由（1）可得当M 在线段AB 上时PQ 的值，当M 在线段AB 外时，根据AM 和BM 的关系可得出两者的长度，再由P 、Q 分别为AM 、AB 的中点，即可得出AP 、AQ 的长，再利用PQ=AQ+AP 即可得出答案.【详解】解：（1）如图，当点M 在线段AB 上时20AB = ,14AM BM =,145AM AB ∴==,4165BM AB ==, 点P 、Q 分别是AM 、AB 的中点,122AP AM ∴==,1102AQ AB ==,1028PQ AQ AP ∴=-=-=,故答案为：8.（2）由（1）得：当点M 在线段AB 上时，8PQ =；当点M 在线段AB 外时，如图：20AB = ,14AM BM =,132044AB BM AM BM BM BM ∴=-=-==,803BM ∴=,203AM = 点P 、Q 分别是AM 、AB 的中点,11023AP AM ∴==,1102AQ AB ==,10401033PQ AQ AP ∴=+=+=,故答案为：8，403.【点睛】本题考查线段长度的计算以及中点的应用，解题时注意“数形结合”数学思想的应用，考虑多种情况分析.题型五：角的四则运算角也是一种基本的几何图形．度、分、秒是常用的角的度量单位．把一个周角360°等分，每一份就是一度的角，记作1°；把1度的角60等分，每份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每份叫做1秒的角，记作1″．例5.计算：（1）用度表示30936'''︒=________________．（2）计算901840292139'''︒-︒-︒=_______________．（结果用度、分、秒表示）【详解】解：（1）30936309.630.16''''︒=︒=︒；（2）901840292139'''︒-︒-︒＝49492139''︒-︒＝2810'︒变式56.计算：70281529'''︒+︒=_______．183627326''''''︒-︒=__________．【答案】(1).852829'''︒(2).11356'''︒【解析】【分析】根据角度运算法则求解即可，注意角度的运算中，进率为60．【详解】70281529852829''''''︒+︒=︒；183627326183562732611356'''''''''''''''︒-︒=︒-︒=︒；故答案为：852829'''︒；11356'''︒．【点睛】本题考查角度的运算，注意运算法则以及进率是解题关键．题型六：角的比较角的大小与边的长短没有关系．角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小．常用角的比较方法1、测量法：即用量角器量两个角的度数，角的度数越大，角越大．2、叠合法：移动一个角使它的顶点和一条边与另一个角的顶点和一边重合，而其余的边在重合边的同侧，通过不重合两边的位置来判断两个角的大小．例6.如图所示，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是（）A.∠AOB＜∠CODB.∠AOB＞∠CODC.∠AOB＝∠CODD.∠AOB与∠COD的大小关系不能确定【详解】解：因为∠AOD与∠BOC中都包含∠BOD，所以都减去它，不等式仍成立，∵∠AOD＞∠BOC，∴∠AOD－∠BOD＞∠BOC－∠BOD，即∠AOB＞∠COD．故选B．变式67.如图，下列各式中错误的是（）A.∠AOC＝∠1＋∠2B.∠AOC＝∠AOD－∠3C.∠1＋∠2＝∠3D.∠AOD－∠1－∠3＝∠2【答案】C【解析】【分析】结合图形根据角的和差关系逐项作出判断即可求解．【详解】解：A.∠AOC＝∠1＋∠2，判断正确，不合题意；B.∠AOC＝∠AOD－∠3，判断正确，不合题意；C.∠1＋∠2＝∠AOC，∠AOC与∠3不一定相等，判断错误，符合题意；D.∠AOD－∠1－∠3＝∠2判断正确，不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了根据图形确定角的和差关系，理解题意并结合图形作出判断是解题关键．题型七：三角板中的角度直角三角板一共只有两种：一种是内角为30°，60°，90°的三角板，另一种是内角为45°，45°，90°的三角板．在没有做特殊说明的情况下，默认所有三角板均符合以上特征．例7.将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45︒角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则1∠的度数为（）A .75︒B .60︒C .45︒D .85︒【详解】解：如图，由题意可得：245∠=︒，360∠=︒根据三角形的内角和为180︒可得：123180∠+∠+∠=︒∴118023180456075=︒--=︒-︒-︒=︒∠∠∠故答案选：A变式78.如图，将一副三角板的直角顶点重合，按如图所示摆放，则AOD BOC ∠+∠=______．【答案】180︒【解析】【分析】利用角的和差转化运算即可．【详解】解：∵AOD BOC∠+∠()AOB BOD COD BOD =++-∠∠∠∠AOB BOD COD BOD =∠+∠+∠-∠AOB COD =∠+∠9090180=︒+︒=︒故答案为：180︒【点睛】本题主要考查了三角板角度的计算，熟悉掌握三角板的度数是解题的关键．题型八：角平分线与角的n 等分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．类似的，还有角的三等分线……①角平分线例8.1如图，∠AOB ＝12∠BOD ，OC 平分∠AOD ，下列四个等式中正确的是（）①∠BOC ＝13∠AOB ；②∠DOC ＝2∠BOC ；③∠COB ＝12∠BOA ；④∠COD ＝3∠COB ．A .①②B .②③C .③④D .①④【详解】解：因为∠AOB ＝12∠BOD ，所以∠AOB ＝13∠AOD ，因为OC 平分∠AOD ，所以∠AOC ＝∠DOC ＝12∠AOD ，所以∠BOC ＝∠AOC －∠AOB ＝12∠AOD －13∠AOD ＝16∠AOD ＝12∠AOB ，故①错误，③正确；因为∠DOC ＝12∠AOD ，∠BOC ＝16∠AOD ，所以∠DOC ＝3∠BOC 故②错误，④正确．变式8.19.如图，射线OE ，OA ，OD 均在BOC ∠内部，且0180BOC ︒<∠<︒．OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠．请从A ，B 两题中任选一题作答．我选择______．A ．若30AOC ∠=︒，130BOC ∠=︒，则DOE ∠的度数为______︒．B ．若AOB α∠=︒，则DOE ∠的度数为______︒．（用含α的式子表示）【答案】(1).A 或B (2).50°(3).2α︒【解析】【分析】A ：根据角平分线的定义得到∠COE ，∠COD 的度数，再利用角的和差计算结果；B ：根据角平分线的定义得到∠COE =12∠BOC ，∠COD =12∠AOC ，再利用角的和差计算结果．【详解】解：A 题：∵OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∴∠BOE =∠COE =12∠BOC ，∠AOD =∠COD =12∠AOC ，又∵∠AOC =30°，∠BOC =130°，∴∠DOE =∠COE -∠COD=12∠BOC -12∠AOC =12（∠BOC -∠AOC ）=12×（130°-30°）=50°；B 题：∵OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∴∠BOE =∠COE =12∠BOC ，∠AOD =∠COD =12∠AOC ，又∵∠AOB =∠BOC -∠AOC ，∴∠DOE =∠COE -∠COD=12∠BOC -12∠AOC =12（∠BOC -∠AOC ）=12∠AOB =2α︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．②角的n 等分线例8.2如图，OC 平分∠AOB ，OD 为∠BOC 内一条射线，且∠AOD ＝2∠BOD ．（1）若已知∠AOB ＝120°，试求∠COD 的度数；（2）若已知∠COD ＝18°，试求∠AOB 的度数；【详解】解：（1）∵∠AOB ＝120°，OC 平分∠AOB ，∴∠AOC ＝∠COB ＝60°，又∵∠AOD ＝2∠BOD ，∵∠AOD ＋∠BOD ＝120°，∴2∠BOD＋∠BOD＝120°，∴∠BOD＝40°，∴∠COD＝∠BOC－∠BOD＝60°－40°＝20°，（2）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠COB＝1AOB 2∠，∵∠AOD＝2∠BOD，∴∠AOD＋∠BOD＝∠AOB，∴∠BOD＝1AOB 3∠，∵∠COD＝∠BOC－∠BOD＝1AOB2∠－1AOB3∠＝18°，∴∠AOB＝6×18°＝108°．变式8.210.如图，AB是一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE=13∠BOD，∠COE=72°，则∠EOB=（）A.36°B.72°C.108°D.120°【答案】B【解析】【分析】设∠DOE=x，根据题意得到∠BOE=2x，∠AOC=∠COD=72°﹣x，再根据平角为180度，得到2×（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，即可得到∠BOE的度数．【详解】解：如图，设∠DOE=x，∵∠DOE=13∠BOD，∴∠BOE=2x，又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE=72°，∴∠AOC=∠COD=72°﹣x；∴2×（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，∴∠BOE=2x=2×36°=72°．故选B ．题型九：余角和补角的性质如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．等角（同角）的补角（余角）相等．例9.如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，12740'∠=︒，则2∠的余角是（）A .1720'︒B .3220︒'C .3320'︒D .5820︒'【详解】解：由题意可得：∠2＋∠EAC ＝90°∴∠2的余角是∠EAC∴∠EAC ＝601602740'3220'︒-∠=︒-︒=︒故选：B ．变式911.已知∠AOB ＝50°，∠BOC 与∠AOB 互为余角，则∠AOC 的度数等于__．【答案】90°或10°【解析】【分析】根据互余的两个角的和为90°解得40BOC ∠=︒，再分两种情况讨论解题即可．【详解】解： ∠BOC 与∠AOB 互为余角，90BOC AOB ∴∠+∠=︒ ∠AOB ＝50°，90905040BOC AOB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒分两种情况讨论，如图：1190AOC AOB BOC ∴∠=∠+∠=︒，22504010AOC AOB BOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：90°或10°．【点睛】本题考查余角的性质，涉及分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．实战练12.下列语句正确的有（）（1）线段AB 就是A 、B 两点间的距离；（2）画射线10cm AB =；（3）A ，B 两点之间的所有连线中，线段AB 最短；（4）如果AB BC =，那么B 是AC 的中点．A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】A 【解析】【分析】根据两点间的距离，射线的定义与性质，线段的中点的定义，对各小题分析判断即可得解．【详解】解：因为线段AB 的长度是A 、B 两点间的距离，所以（1）错误；因为射线没有长度，所以（2）错误；因为两点之间，线段最短．即A ，B 两点之间的所有连线中，最短的是A ，B 两点间的距离，所以（3）正确；因为点A 、B 、C 不一定共线，所以（4）错误．综上所述，正确的有1个．故选：A ．【点睛】本题考查的是线段、射线的定义与性质，线段的中点，两点间的距离，要求学生准确把握概念与性质是解决本题的关键．13.如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，n （n ≥2，且n 是整数）条直线相交最多能有（）A.()23n -个交点B.()36n -个交点C.()410n -个交点D.()112n n -个交点【答案】D 【解析】【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：()112n n -【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2=3个交点；4条直线相交有1+2+3=6个交点；5条直线相交有1+2+3+4=10个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5=15个交点；…n 条直线相交有1+2+3+4+…+（n-1）=()112n n -故选：D【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有()112n n -个交点．14.在开会前，工作人员进行会场布置在主席台上由两人拉着一条绳子然后以“准绳”为基准摆放茶杯这样做的理由是（）A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线C.两点之间，直线最短D.过一点可以作无数条直线【答案】B 【解析】【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案．【详解】解：由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是两点确定一条直线，故选：B ．【点睛】此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线．15.在锐角AOB ∠内部由O 点引出3种射线，第1种是将AOB ∠分成10等份；第2种是将AOB ∠分成12等份；第3种是将AOB ∠分成15等份，所有这些射线连同OA ､OB 可组成的角的个数是（）A.595B.406C.35D.666【答案】B 【解析】【分析】设锐角=AOB α∠，第1种中间由9条射线，每个小角为10α，第2种中间由11条射线，每个小角为12α，第3种中间由14条射线，每个小角为15α，利用AOB∠内部的三种射线与OA 形成的角相等求出重合的射线，第一种第m 被倍小角为10m α，第二种n 倍小角12n α，与第三种p 倍小角15p α相同，则=101215m n p =，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种,第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在AOB ∠中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．【详解】设锐角=AOB α∠第1种是将AOB ∠分成10等份；中间由9条射线，每个小角为10α，第2种是将AOB ∠分成12等份；中间由11条射线，每个小角为12α，第3种是将AOB ∠分成15等份，中间由14条射线，每个小角为15α，设第1种,第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，第一种第m 倍小角为10m α，第二种n 倍小角12n α，与第三种p 倍小角15p α相同则=101215m n p=，先看三种分法中同时重合情况::10:12:15m n p =除OA ，OB 外没有重合的，再看每两种分法重合情况第1种,第2种,:5:6m n =，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，第1种,第3种，:2:3m p =，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，第2种,第3种,:4:5n p =,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，在AOB ∠中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=()12828+1=4062⨯⨯个角．故选择：B ．【点睛】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键．16.下列说法中，正确的有（）①两条射线组成的图形叫角；②两点之间，直线最短；③同角（或等角）的余角相等；④连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】由角的概念判断①，由线段的性质判断②，由补角与余角的性质判断③，由两点间的距离概念判断④，从而可得答案．【详解】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，故①说法错误，不符合题意，两点之间，线段最短，故②说法错误，不符合题意；同角（或等角）的余角相等，故③说法正确，符合题意；连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，故④说法正确，符合题意；故选：.B 【点睛】本题考查的是角的概念，线段的性质，补角与余角的性质，两点间的距离，掌握以上知识是解题的关键．17.如图所示，点A 、O 、E 在一条直线上，90BOD AOC ∠=∠=︒，那么下列各式中错误的是（）A.AOB COD ∠=∠B.BOC DOE ∠=∠C.AOB BOC ∠=∠D.COE BOD∠=∠【答案】C 【解析】【分析】根据角的和与差进行比较，BOD BOC AOC BOC ∠-∠=∠-∠，即AOB COD ∠=∠；利用90AOC COE BOD ∠=∠=∠=︒，选项D 正确，再减去共同角COD ∠，可得BOC DOE ∠=∠，由此得到正确选项．【详解】∵90BOD AOC ∠=∠=︒∴BOD BOC AOC BOC ∠-∠=∠-∠即AOB COD ∠=∠，所以A 正确；∵90BOD AOC ∠=∠=︒∴90AOC COE BOD ∠=∠=∠=︒，所以D 正确；∴BOD COD COE COD ∠-∠=∠-∠即BOC DOE ∠=∠，所以B 正确．故选C ．【点睛】考查角的和与差的知识点，学生要掌握等量代换的方法找到相等的角，熟悉了解角的和与差是解题的关键．18.如图，90AOB ∠=︒，AOC ∠为AOB ∠外的一个锐角，且40AOC ∠=︒，射线OM 平分BOC ∠，ON 平分AOC ∠，则MON ∠的度数为（）．A.45︒B.65︒C.50︒D.25︒【答案】A【解析】【分析】根据题意，先求得∠COB 的值；OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，则可求得∠AOM 、∠AON 的值；∠MON=∠AOM+∠AON ，计算得出结果．【详解】∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°，∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，∵OM 平分∠BOC ，∴∠BOM=12∠BOC=65°，∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°，∵ON 平分∠AOC ，∴∠AON=12∠AOC=20°，∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°．∴∠MON 的度数是45°．故选：A ．【点睛】本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键．19.火车往返于A 、B 两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有不同的车票______种．【答案】30．【解析】【分析】根据每条线段就有两种车票，每两点就是一条线段，可得答案．【详解】车票从左到右有：AC、AD、AE、AF、AB，CD、CE、CF、CB，DE、DF、DB，EF、EB，FB，15种从右到左有：BF、BE、BD、BC、BA，FE、FD、FC、FA，ED、EC、EA，DA、DC，CA，15种．火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有30种不同的车票．故答案为：30．【点睛】本题考查了线段的数法应用，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，注意：每条线段有两种车票．20.将一幅三角板的两个直角顶点重合摆放到桌面上，如图，若∠BOC＝3428'︒，则∠AOD＝____．【答案】145°32′【解析】【分析】从图中可以看出，∠AOC=90°-∠BOC，求出∠AOC，再根据∠AOD =∠AOC +∠COD 求出即可【详解】由题意得∠AOB =∠COD =90°∵∠BOC ＝3428'︒∴∠AOC =90°-∠BOC =90°-3428'︒=5532︒′∴∠AOD =∠AOC +∠COD =5532︒′+90°=145°32′故答案为145°32′【点睛】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是正确利用各个角之间的关系．21.如图，已知∠DAE=∠EAF ，∠BAD=∠CAF ，则下列结论：①AD 平分BAF ∠；②AF 平分DAC ∠；③AE 平分DAF ∠；④AF 平分EAC ∠；⑤AE 平分BAC ∠.正确的有__________．（只填序号）【答案】③⑤【解析】【分析】根据∠DAE=∠EAF ，∠BAD=∠CAF 得到AE 分别是∠DAF 和∠BAC 的角平分线，即可求解.【详解】∵∠DAE=∠EAF ，∴AE 是∠DAF 的角平分线，∵∠BAD=∠CAF∴∠BAD+∠DAE=∠CAF+∠EAF ，即∠BAE=∠CAE,∴AE 是∠BAC 的角平分线故③⑤正确，故填：③⑤.【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是数轴角平分线的性质与判定.22.①2330︒'=_______°；②0.5°=______′=______″【答案】(1).23.5(2).30(3).1800【解析】【分析】根据160'︒=，1'60''=进行单位换算即可求解.【详解】①302330'2330'23()23.560︒=︒+=︒+︒=︒；②0.50.560'30'︒=⨯=，0.530'3060''1800''︒==⨯=，故答案为：23.5；30；1800.【点睛】本题主要考查了度分秒的单位换算，熟练掌握单位换算技巧及单位之间的进率是解决此类问题的关键.23.24.38︒=______度______分______秒.【答案】(1).24(2).22(3).48【解析】【分析】根据大单位化小单位乘以进率，其中进率为60，即可得出结果.【详解】24.38︒240.38=︒+︒2422.8'=︒+24220.8''=︒++242248'''=︒++242248'''=︒.【点睛】本题考查了度分秒之间的换算，掌握其中进率为60是关键，大单位化小单位应乘以进率是核心.24.如图，已知点B 在线段AC 上，9AB =，6BC =，P 、Q 分别为线段AB 、BC 上两点，13BP AB =，13CQ BC =，则线段PQ 的长为_______．【答案】7【解析】【分析】根据已知条件算出BP 和CQ ，从而算出BQ ，再利用P A =BP +BQ 得到结果．【详解】解：∵AB =9，BP =13AB ，∴BP =3，∵BC =6，CQ =13BC ，∴CQ =2，∴BQ =BC -CQ =6-2=4，∴PQ =BP +BQ =3+4=7，故答案为：7．【点睛】本题考查了两点间距离，线段的和差，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活运用线段的和差倍分关系解题是关键．25.如图，O 是直线AB 上一点，OC 为一条射线，射线OM 平分∠AOC ，若∠AOC ＝76°，则∠BOM 等于__________．【答案】142︒【解析】【分析】根据角平分线的定义求出∠AOM 的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【详解】解：∵∠AOC =76°，射线OM 平分∠AOC ，∴∠AOM =12∠AOC =12×76°=38°，∴∠BOM =180°-∠AOM =180°-38°=142°，故答案为：142°．【点睛】本题考查角平分线，熟知角平分线的性质是解题的关键．26.如图，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段AB 上，且13AD AB =．（1）若4cm AD =，求线段CD 的长．（2）若3cm CD =，求线段AB 的长．【答案】（1）1.5cm ；（2）18cm【解析】【分析】（1）先求出AB 的长，再结合线段中点的定义求出AC 的长，进而即可求（2）设AB =x cm ，则13AD x =cm ，根据线段的中点的定义，列出方程，进而即可求解．【详解】（1）∵13AD AB =，AD =4cm ，∴AB =3×4=12cm ，∵点C 是线段AB 的中点，∴AC =12AB =11262⨯=cm ，∴CD =AC -AD =6-4=2cm ；（2）设AB =x cm ，则13AD x =cm ，∵点C 是线段AB 的中点，∴AB =2（AD +CD ），即x =2（13x +3），解得：x =18，∴AB =18cm ．【点睛】本题主要考查线段的和差倍分以及一元一次方程的应用，利用一元一次方程解决问题，是解题的关键．27.A ，B 两地相距a 千米，C 地在AB 的延长线上，且3BC a =千米，D 是A 、C 两地的中点．（1）求AD 长（结果用含a 的代数式表示）．（2）若90BD =千米，求a 的值．（3）甲、乙两车分别从A 、D 两地同时出发，都沿着直线AC 匀速去C 地，经4小时甲追上乙．当甲追上乙后甲马上原路返回，甲返回行驶1小时时发现甲车距D 地50千米，已知600a =千米，求乙车行驶的平均速度【答案】（1）2=3AD a 千米；（2）270a =千米；（3）乙车平均速度为50km/h 或503km/h 【解析】【分析】（1）由题意易得43AC a =千米，进而根据点D 是A 、C 的中点可求解；（2）由（1）23AD a =千米，则有2133BD a a a =-=千米，然后由BD=90千米可求（3）由题意易得22600=40033AD a ==⨯km ，11600=20033BC a ==⨯km ，进而可得1小时内甲比乙多行驶100km ，设乙速度为xkm /h ，则甲速度为（x ＋100）km /h ，然后可得甲距离A 为()()()41001003300x x x +-+=+km ，则可分①甲在D 地左50km ，②甲在D 地右50km ，最后列方程进行求解即可．【详解】解：（1）AB a = 千米，3BC a =千米，43AC a ∴=千米， D 是A 、C 两地的中点，1223AD AC a ∴==千米；（2）由（1）23AD a =千米，BD AB AD =- ，2133BD a a a ∴=-=千米，90BD = 千米，1=903a ∴=270a ∴（3）600a = ，22600=40033AD a ∴==⨯km ，11600=20033BC a ==⨯km ，由题甲、乙之间相距400km ，4小时后甲追上乙，∴1小时内甲比乙多行驶100km ，∴设乙速度为xkm /h ，则甲速度为（x ＋100）km /h ，由题知，甲返回行驶了1h ，∴甲距离A 为()()()41001003300x x x +-+=+km ，甲车距D 地50km ，∴甲可能在D 地左50km 或右50km ，①甲在D 地左50km ，此时甲距离A 为5040050=350AD -=-，3300350x +=，解得：503x =，②甲在D 地右50km ，此时甲距离A 为5040050=450AD +=+，3300450x +=，解得：50x =，综上所述：乙车平均速度为50km/h 或503km/h ．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键．培优练28.如图，从点O 引出6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，且120AOB ∠=︒，OF 平分BOC ∠，OE 平分AOD ∠，135EOF ∠=︒．（1）若BOF m ∠=︒，则AOE ∠=_________︒（用含m 的代数式表示）；（2）求COD ∠的度数．【答案】（1）（105-m ）；（2）45°【解析】【分析】（1）利用周角的定义，根据∠AOE =360°-∠AOB -∠EOF -∠BOF 得出结果；（2）设∠BOF =α，∠AOE =β，根据角平分线的定义得到∠COF =∠BOF =α，∠DOE =∠AOE =β，求出∠BOF +∠AOE =105°，根据∠EOF 得到α+β+∠COD =150°，结合α+β=105°即可求出结果．【详解】解：（1）∵∠AOB =120°，∠EOF =135°，∠BOF =m °，∴∠AOE =360°-∠AOB -∠EOF -∠BOF=360°-120°-135°-m °=（105-m ）°；（2）设∠BOF =α，∠AOE =β，∵OF 平分∠BOC ，OE 平分∠AOD ，∴∠COF =∠BOF =α，∠DOE =∠AOE =β，∵∠EOF =∠COF +∠DOE +∠COD =150°，∠BOF +∠AOE =360°-∠AOB -∠EOF =360°-120°-135°=105°，∴α+β+∠COD =150°，α+β=105°，∴∠COD =150°-（α+β）=45°．【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，求角度的方法一般是转化为角的和、差计算．29.如图，已知80,AOB OC ∠=︒为AOB ∠所在平面内一条射线，OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠．（1）如图1，当OC 在AOB ∠内部时，则DOE ∠=_______度（直接写出结果）；（2）如图2，当OC 在AOB ∠外部时，求DOE ∠的度数；（3）如图3，射线OA 和OB 所在的直线分别为直线AM 和直线BN ，当OC 在MON ∠内部时，根据题意画出符合要求的图形，并求出DOE ∠的度数．【答案】（1）40︒；（2）40DOE =︒∠；（3）画图见解析，140DOE ∠=︒【解析】【分析】（1）由OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠，可得11,,22DOC AOC COE BOC ∠=∠∠=∠再利用()12DOE DOC COE AOC BOC ∠=∠+∠=∠+∠，从而可得答案；（2）由OD 平分,AOC OE ∠平分BOC ∠，可得11,22DOC AOC EOC COB ∠=∠∠=∠再利用DOE DOC EOC ∠=∠-∠，从而可得答案；（3）如图所示，由OD 平分,AOC OE ∠平分BOC ∠，可得11,22DOC AOC EOC COB ∠=∠∠=∠再求解36080280,BOC COA ∠+∠=︒-︒=︒再利用1()2DOE DOC EOC AOC BOC ∠=∠+∠=∠+∠，从而可得答案．【详解】解：（1） OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠，11,,22DOC AOC COE BOC ∴∠=∠∠=∠()1140,22DOE DOC COE AOC BOC AOB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒故答案为：40︒（2）OD 平分,AOC OE ∠平分BOC ∠，11,22DOC AOC EOC COB ∴∠=∠∠=∠DOE DOC EOC∠=∠-∠ 11111()804022222DOE AOC COB AOC COB AOB ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒（3）如图所示．OD 平分,AOC OE ∠平分BOC ∠，11,22DOC AOC EOC COB ∴∠=∠∠=∠80AOB ∠=︒36080280,BOC COA ∴∠+∠=︒-︒=︒1()1402DOE DOC EOC AOC BOC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，周角的含义，掌握角平分线的含义与角的和差是解题的关键．30.如图，已知点C 在线段AB 上，点D 、E 分别在线段AC 、BC上，（1）观察发现：若D 、E 分别是线段AC 、BC 的中点，且12AB =，则DE =_______；（2）拓展探究；若2AD DC =，2BE CE =，且10AB =，求线段DE 的长；（3）数学思考：若AD kDC =，BE kCE =（k 为正数），则线段DE 与AB 的数量关系是________．【答案】（1）6；（2）103；（3）()1AB k DE =+【解析】【分析】（1）根据中点的定义，结合线段的和、差计算即可（2）利用线段之间的和、差关系倍数关系计算即可（3）结合（2）的求解，再利用线段之间的和、差关系倍数关系计算即可【详解】（1）D Q 、E 为线段AC ，BC 的中点11,22DC AC CE BC ∴==()12DC CE AC BC ∴+=+,DE DC CE AB AC BC=+=+ 12DE AB ∴=1211262AB DE =∴=⨯= （2）2,2AD DC BE CE== AB AD DC CE BE =+++ ，()223AB DC DC CE CE DC CE ∴=+++=+10,AB DE DC CE==+ 3310103DE ABDE DE ∴=∴=∴=（3）,AD kDC BE kCE== AB AD DC CE BE =+++ ，DE DC CE=+()()1AB kDC DC CE kCE k DC CE ∴=+++=++()1k DE AB∴+=【点睛】本题考查了线段n 等分点的有关计算，掌握线段之间和、差倍数关系是解题关键．。
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一、选择题1.在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是．考点：线段的性质：两点之间线段最短．分析：根据线段的性质：两点之间线段最短解答．解答：解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．点评：本题考查了两点之间线段最短的性质，是基础题，比较简单．2. 已知∠α＝35°，则∠α的余角是（）A.35°B.55°C.65°D.145°考点：余角和补角.专题：计算题.分析：根据互为余角的两个角的和为90 度作答．解答：解：根据定义∠α 的余角度数是90°﹣35°＝55°．故选．点评：本题考查角互余的概念：和为90 度的两个角互为余角．属于基础题，较简单．3. 已知∠α=20°，则∠α的余角等于70°．考点：余角和补角。
分析：若两个角的和为90°，则这两个角互余；根据已知条件可直接求出角α 的余角．解答：解：∵∠α=20°，∴∠α 的余角=90°﹣20°=70°．故答案为：70°．点评：本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键．4.如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）A、∠2 和∠3B、∠1 和∠3C、∠1 和∠4D、∠1 和∠2考点：对顶角、邻补角。
专题：推理填空题。
分析：两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．解答：解：根据同位角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠2 和∠3 是对顶角，正确；B、∠1 和∠3 是同旁内角，错误；C、∠1 和∠4 是同位角，错误；D、∠1 和∠2 的邻补角是内错角，错误．故选A．点评：解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．5.已知线段AB=10cm，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC＞BC），则AC 的长为（）A (5-10)cmB (15 -55)cmC (5-5)cmD (10 - 25)cm考点：黄金分割。
专题：计算题。
分析：根据黄金分割的定义得到AC=AB，把AB=10cm 代入计算即可．解答：∵点C 是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），55∴AC= AB，而AB=10cm，∴AC=×10 =（5﹣5）cm．故选C．点评：本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．6.下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是（）A.B． C．D．考点：余角和补角．分析：根据互补的性质，与70°角互补的角等于180°﹣70°=110°，是个钝角；看下4 个答案，哪个符合即可；解答：解：根据互补的性质得，70°角的补角为：180°﹣70°=110°，是个钝角；∵答案A．B．C 都是锐角，答案D 是钝角；∴答案D 正确．故选D．点评：本题考查了角互补的性质，明确互补的两角和是180°，并能熟练求已知一个角的补角．7.如图．若乙、丙都在甲的北偏东70°方向上．乙在丁的正北方向上，且乙到丙、丁的距离相同．则α的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°考点：方向角；平行线的性质；等腰三角形的性质。
分析：由已知及平行线的性质可得乙丙与乙丁正北方向的角也等于70°，又由丁的距离相同，所以2 倍的角α 等于70°，从而求出α 的度数．北A北乙丙乙到丙、解答：解：已知乙、丙都在甲的北偏东70°方向上．乙在丁的正北方向上，甲α所以由平行线的性质得乙丙与乙丁正北方向的角也等于70°，又乙到丙、丁的距离相同，丁所以2α=70°，所以α=35°，故选C．（第6题图）点评：此题考查的是方向角，解答此题的关键是由平行线的性质及等腰三角形的性质得出答案．8.如图，已知AB∥CD，则图中与∠1 互补的角有（）A、2 个B、3 个C、4 个D、5 个考点：平行线的性质；余角和补角。
分析：由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得∠1+∠AEF=180°，由邻补角的定义，即可得∠1+∠EFD=180°，则可求得答案．解答：解：∵AB∥CD，∴∠1+∠AEF=180°，∵∠1+∠EFD=180°．∴图中与∠1 互补的角有2个．故选A．点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．题目比较简单，解题时注意数形结合思想的应用．9.下列图形中，∠1 一定大于∠2 的是（）A、B、C、 D、考点：三角形的外角性质；对顶角、邻补角；平行线的性质；圆周角定理。
专题：应用题。
分析：根据对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，对选项依次判断即可得出答案．解答：解：A、根据对顶角相等，∠1=∠2，故本选项错误；B、根据两直线平行、内错角相等，∠1=∠2，故本选项错误；C、根据外角等于不相邻的两内角和，∠1＞∠2，故本选项正确；D、根据圆周角性质，∠1=∠2，故本选项错误．故选C．点评：本题主要考查了对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，难度适中．10. 如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB 平分∠EOD，则∠BOD 的度数为（）A、120°B、130°C、135°D、140°考点：垂线。
专题：计算题。
分析：根据直线EO⊥CD，可知∠EOD=90°，根据AB 平分∠EOD，可知∠AOD=45°，再根据邻补角的定义即可求出∠BOD 的度数．解答：解：∵EO⊥CD，∴∠EOD=90°，∵AB 平分∠EOD，∴∠AOD=45°，∴∠BOD=180°﹣45°=135°，故选C．点评：本题考查了垂线、角平分线的性质、邻补角定义等，难度不大，是基础题．11. 如图，∠1＋∠2 等于（）A．60°B．90°C．110°D．180°考点：余角和补角。
专题：计算题。
分析：根据平角的定义得到∠1＋90°＋∠2＝180°，即由∠1＋∠2＝90°．解答：解：∵∠1＋90°＋∠2＝180°，∴∠1＋∠2＝90°．故选B．点评：本题考查了平角的定义：180°的角叫平角．12.如图，在△ ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的1AB 的长为半径画孤，2两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC 于点D，连接AD．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（）A．7 B．14 C．17 D．20考点：线段垂直平分线的性质。
专题：几何图形问题；数形结合。
分析：首先根据题意可得MN 是AB 的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ ADC 的周长为10，求得AC+BC 的长，则可求得△ ABC 的周长．解答：解：∵在△ ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的12作直线MN，交BC 于点D，连接AD．∴MN 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD，∵△ADC 的周长为10，∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，∵AB=7，∴△ABC 的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．故选C．AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．13.如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点A，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则P Q 的最小值为（）A、1B、2C、3D、4考点：角平分线的性质；垂线段最短。
分析：根据题意点Q 是射线OM 上的一个动点，要求P Q 的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P 作P Q 垂直OM，此时的P Q 最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=P Q，利用已知的PA 的值即可求出P Q 的最小值．解答：解：过点P 作P Q⊥OM，垂足为Q，则P Q 为最短距离，∵OP 平分∠MON，PA⊥ON，P Q⊥OM，∴PA=P Q=2，故选B．点评：此题主要考查了角平分线的性质，本题的关键是要根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，找出满足题意的点Q 的位置．14.如图所示，已知O 是直线AB 上一点，∠1=40°，OD 平分∠BOC，则∠2 的度数是（）A.20°B.25°C.30°D.70°考点：角的计算；角平分线的定义．专题：计算题．分析：先根据平角的定义求出∠COB 的度数，再由OD 平分∠BOC 即可求出∠2 的度数．解答：解：∵∠1=40°，∴∠COB=180°﹣40°=140°，∵OD 平分∠BOC，∴∠2=∠BOC=×140°=70°．故选D点评：本题考查的是平角的定义及角平分线的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．15.如图，两条笔直的公路l1、l2 相交于点O，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5 公里，村庄C 到公路l1 的距离为4 公里，则村庄C 到公路l2 的距离是（）A、3 公里B、4 公里C、5 公里D、6 公里考点：角平分线的性质；菱形的性质。
专题：证明题。
分析：根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证明．解答：解：如图，连接AC，作CF⊥l1，CE⊥l2；∵AB=BC=CD=DA=5 公里，∴四边形ABCD 是菱形，∴∠CAE=∠CAF，∴CE=CF=4 公里．故选B．点评：本题主要考查角平分线的性质，由已知能够注意到四边形ABCD 是菱形：菱形的对角线平分对角，是解题的关键．二、填空题1. 如图，在△ABC中，∠A=80°,点 D 是 BC 延长线上一点，∠ACD=150°，则∠ B=.考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可得出∠B 的度数．答案：解：∵∠ACD=∠A+∠B，∠A=80°，∠ACD=150°，∴∠B=70°．故答案为：70°．点评：本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的内角和，难度适中．2.如图，直线a、b 相交，∠1=65°，则∠2 的度数是65 °．考点：对顶角、邻补角。