与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题
与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题
二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明。
1．设()c bx ax x f ++=2，当1≤x 时，总有()1≤x f ，求证当2≤x 时，()7≤x f . 证明：由于()x f 是二次函数，()x f 在[]2,2-上最大值只能是()()2,2-f f ，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f 2，故只要证明()()72;72≤-≤f f ；当22≤-a b 时，有72≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a b f ，由题意有()()()11,11,10≤≤-≤f f f .
由()()()⎪⎩
⎪⎨⎧+-=-++==c b a f c b a f c f 110 得()()()[]()()[]()
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=01121021121f c f f b f f f a
()()()()()()()
0311303113242f f f f f f c b a f +-+≤--+=++=∴7313=++≤.
()()()()()()()
0313103131242f f f f f f c b a f +-+≤--+=+-=-7331=++≤.
()()()()()()1112
111211121=+≤-+≤--=f f f f b . ∴ 当22≤-a b 时，22444222b a b
c a b c a b ac a b f ⋅-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
7221
2122<=⨯+≤⋅+≤b
a b
c . 因此当2≤x 时，()7≤x f .
点评：从函数性质的角度分析，要证2≤x 时，()7≤x f ，只要证当2≤x 时，()
x f
的最大值M 满足7≤M . 而()x f 又是二次函数，不论a 、b 、c 怎么取值()x f 在[]2,2-上的最大值只能是()()2,2f f -，或⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
a b f 2，因而只要证明()()72,72≤-≤f f ，72≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a b f ，这里需要特别指出的是要将()()2,2-f f 与()()()1,1,0-f f f 建立联系，将二次函数中的系数b a ,c ,用()1f 、()1-f 、()0f 表示：
()()()
,20211f f f a --+=()()
()0,211f c f f b =--=，然后用含有绝对值不等式的
性质，进行适当放缩。
2．已知c b a ,,是实数，函数()()b ax x g c bx ax x f +=++=,2，当11≤≤-x 时，()1≤x f ，
（1）证明：1≤c ；
（2）证明：当11≤≤-x 时，()2≤x g ；
（3）设0>a ，当11≤≤-x 时，()x g 的最大值为2，求()x f . （1996年全国高考题） 证明：（1）依题设得()10≤f ，而()c f =0 所以1≤c .
（2）证法：当0>a 时，()b ax x g +=在[]1,1-上是增函数。
则[]1,1-∈x 时，有()()()11g x g g ≤≤-，又()1,1≤≤c x f ,
()()()2111≤+≤-=+=∴c f c f b a g ，
()()()()2111-≥+--≥+--=+-=-c f c f b a g ，因此得()()112≤≤-≤x x g . 当0 ()()()2111≤+-≤+--=+-=-∴c f c f b a g ， ()()()()2111-≥+-≥-=+=c f c f b a g ，因此得()2≤x g . 当0=a 时，()()c bx x f b x g +==,, ()1,11≤≤c f ()()()211≤+≤-=∴c f c f x g 综上可知，当11≤≤-x 时，都有()2≤x g . （3）依题意0>a ，故()b ax x g +=在[]1,1-上是增函数，又()x g 在[]1,1-上的最大值为2，故()21=g ；()()c f b a g -=+=11 ，()1,11≤≤c f . ()()121111-=-≤-=≤-∴g f c 1-=∴c 。 当11≤≤-x 时，()()01f c x f ==-≥，即函数()c bx ax x f ++=2在区间[]1,1-的内点0=x 上取得最小值为1-，所以，()x f 是二次函数且它的图像是对称轴a b x 2- =是直线 0=x ，由此得02=-a b ，即0=b . ()21==+g b a 2=∴a ，故()122-=x x f . 点评：本题运用了赋值法，函数的单调性、二次函数的最小值，含有绝对值不等式的性质等，问题（1）的设置意在降低难度，容易上手，抓住这2分，问题（3）的意义是证明问题 （2）中的结论不能改进，从而是精确的，这样（2）、（3）合在一起构成问题的完整解答。本题的设计背景是：对于二次函数()c bx ax x f ++=2和一次函数()b ax x h +≤2，给定条件“当11≤≤-x 时，()1≤x f ”，则有结论“当11≤≤-x 时，()4≤x h ”. 更一般地，对于多 项式函数()n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110 和()()121101---++-+=n n n a x a n x na x Q ，给定件“当11≤≤-x 时，()1≤x P ”，则有结 论“当11≤≤-x 时，()2n x Q ≤”. 高考数学经典专题：绝对值不等式中含参数成立问题 1．已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,. （1）当3m =时，解不等式()3f x ≥； （2）证明：当0m <时，总存在0x 使00()21f x x <-+成立 2．已知函数()32f x x =-. （1）若不等式213f x t ? ?+≥- ???的解集为11,,33????-∞-?+∞ ??????? ，求实数t 的值； （2）若不等式()3133y y f x x m -≤+++?对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范 围. 3．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈． （Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围； （Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围． 4．已知()|3|f x ax =-，不等式()6f x …的解集是{|13}x x -剟 ． （1）求a 的值； （2）若()()3 f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围． 5．已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8； （2）已知关于x 的不等式f （x ）2 2 a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围． 6．已知定义在R 上的函数2 ()|24|f x x a x a =-+-. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥； （2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 7．已知,a b 均为实数，且3410a b += . （Ⅰ）求22a b +的最小值； （Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围. 二次函数与一元二次方程、不等式知识点 总结与例题讲解 二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解本节知识点： 1.一元二次不等式的概念。 2.三个二次的关系。 3.一元二次不等式的解法。 知识点拓展： 4.分式不等式的解法。 5.高次不等式的解法。 本节题型： 1.解不含参数的一元二次不等式。 2.解含参数的一元二次不等式。 3.三个二次之间的关系。 4.简单高次不等式、分式不等式的解法。 5.XXX成立问题。 6.一元二次不等式的应用。 知识点讲解： 一元二次不等式的概念： 一元二次不等式是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。即形如ax2+bx+c>(≥)或ax2+bx+c<(≤)（其中a≠）的不等式叫做一元二次不等式。解一元二次不等式，就是求出使不等式成立的x的值。解的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式。 三个二次的关系： 一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系。一元二次方程ax2+bx+c=(a≠)与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是： 1)当Δ=b2-4ac≥时，一元二次方程有实数根，二次函数的图象与x轴有交点，且方程的解是交点的横坐标，交点的横坐标亦是方程的解； ①当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； ②当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴只有一个交点（即抛物线的顶点）。 2)当Δ<0时，一元二次方程无实数根，二次函数的图象与x轴没有交点。 具体关系见下表（1）所示。一元二次不等式与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：一元二次不等式ax2+bx+c>(≥)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的图象位于x轴上方（包括x轴）的部分所对应的自变量的取值范围。 例题讲解： 二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解 一、本节知识点 （1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展: （4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型 （1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系. （4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解. 知识点 一元二次不等式的概念 我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式. 元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集. 注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系 一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系. 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是: （1）当ac b 42-=?≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解; ①当0>?时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点; ②当0=?时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）. （2）当042<-=?ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点. 具体关系见下页表（1）所示. 一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是: （1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变 量的取值范围; （2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变 量的取值范围. 由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是: （1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=?的值,并判断?的符号; （3）当?≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图; （5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集. 注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系. 高三数学第二轮复习教案不等式问题的题型与方法三 （3课时） 一、考试内容 不等式，不等式的基本性质，不等式的证明，不等式的解法，含绝对值不等式 二、考试要求 1．理解不等式的性质及其证明。 2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。 3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 4．掌握简单不等式的解法。 5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。 三、复习目标 1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； 3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题； 4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力； 5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题． 6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．四、双基透视 1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰． 2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用． 4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)． 5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的． 6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点． 7．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问 1 五．不等式证明 1、已知关于x 的方程 2220x ax a b --+=，其中a 、b 为实数. （1）若此方程有一个根为2 a （a ＜0），判断a 与b 的大小关系并说明理由； （2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围. 2、已知抛物线c bx ax y ++=232， （Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标； （Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； （Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当1 0< 2 3、已知二次函数)0a (2 3bx ax y 2≠-+=的图象经过点(10)，，和(30)-，，反比例函数x k =1y （x ＞0）的图象经过点（1，2）． （1）求这两个二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象； （2）若反比例函数x k = 1y （0x >）的图象与二次函数)0a (23bx ax y 2≠-+=）的图象在第一象限内交于点00()A x y ，，0x 落在两个相邻的正整数之间．请你观察图象写出这两个相邻的正整数； （3）若反比例函数2k y x =（00k x >>，）的图象与二次函数)0a (23bx ax y 2≠-+=的图象在第一象限内的交点为A ，点A 的横坐标0x 满足023x <<，试求实数k 的取值范围． 4、已知：抛物线2(1)y x b x c =+-+经过点(1 2)P b --，． （1）求b c +的值； （2）若3b =，求这条抛物线的顶点坐标； （3）若3b >，过点P 作直线PA y ⊥轴，交y 轴于点A ，交抛物线于另一点B ，且2BP PA =，求这条抛物线所对应的二次函数关系式． . 与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明。 1．设()c bx ax x f ++=2，当1≤x 时，总有()1≤x f ，求证当2≤x 时，()7≤x f . 证明：由于()x f 是二次函数，()x f 在[]2,2-上最大值只能是()()2,2-f f ，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f 2，故只要证明()()72;72≤-≤f f ；当22≤-a b 时，有72≤⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-a b f ，由题意有()()()11,11,10≤≤-≤f f f . 由()()()⎪⎩ ⎪⎨⎧+-=-++==c b a f c b a f c f 110 得()()()[]()()[]() ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=01121021121f c f f b f f f a ()()()()()()() 0311303113242f f f f f f c b a f +-+≤--+=++=∴7313=++≤. ()()()()()()() 0313103131242f f f f f f c b a f +-+≤--+=+-=-7331=++≤. ()()()()()()1112 111211121=+≤-+≤--=f f f f b . ∴ 当22≤-a b 时，22444222b a b c a b c a b ac a b f ⋅-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 7221 2122<=⨯+≤⋅+≤b a b c . 因此当2≤x 时，()7≤x f . 点评：从函数性质的角度分析，要证2≤x 时，()7≤x f ，只要证当2≤x 时，() x f 不等式证明典型例题 例1 若10< 绝对值的不等式 什么是绝对值 绝对值是一个数的非负值，也可以理解为该数到0的距离。表示一个数a的绝对值记作|a|，定义如下： 1.如果a ≥ 0，则|a| = a。 2.如果a < 0，则|a| = -a。 一元一次绝对值不等式 一元一次绝对值不等式是指只含有一个未知数x的不等式，且该未知数的绝对值与常数的线性关系。 例子 假设有如下不等式：|x + 2| ≤ 3。 要求解这个不等式，我们可以分成以下两种情况进行讨论： 1.x + 2 ≥ 0 当x + 2 ≥ 0时，|x + 2| = x + 2。此时原不等式可以转化为x + 2 ≤ 3，解得x ≤ 1。 2.x + 2 < 0 当x + 2 < 0时，|x + 2| = -(x + 2)。此时原不等式可以转化为-(x + 2) ≤ 3，解得x ≥ -5。 综合以上两种情况的解集，得到最终解为-5 ≤ x ≤ 1。 绝对值不等式的解集可以表示为一个区间。 一元二次绝对值不等式 一元二次绝对值不等式是指只含有一个未知数x的二次函数与常数的不等式。 假设有如下不等式：|x² - 4| > 3。 要求解这个不等式，我们可以分成以下两种情况进行讨论： 1.x² - 4 ≥ 0 当x² - 4 ≥ 0时，|x² - 4| = x² - 4。此时原不等式可以转化为x² - 4 > 3，解得x < -1 或 x > 3。 2.x² - 4 < 0 当x² - 4 < 0时，|x² - 4| = -(x² - 4)。此时原不等式可以转化为-(x² - 4) > 3，解得-1 < x < 3。 综合以上两种情况的解集，得到最终解为x < -1 或 -1 < x < 3 或 x > 3。 二元一次绝对值不等式 二元一次绝对值不等式是指含有两个未知数x和y的一次函数与常数的不等式。 例子 假设有如下不等式：|2x - y| < 4。 要求解这个不等式，我们可以分成以下几种情况进行讨论： 1.2x - y ≥ 0 当2x - y ≥ 0时，|2x - y| = 2x - y。此时原不等式可以转化为2x - y < 4，解得y > 2x - 4。 2.2x - y < 0 当2x - y < 0时，|2x - y| = -(2x - y)。此时原不等式可以转化为-(2x - y) < 4，解得y < 2x + 4。 综合以上两种情况的解集，得到最终解为y < 2x + 4 或 y > 2x - 4。 二元二次绝对值不等式 二元二次绝对值不等式是指含有两个未知数x和y的二次函数与常数的不等式。 1.4 绝对值的三角不等式 学习目标:1。理解绝对值不等式的性质定理.2。会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式;会求简单绝对值不等式的最值． 教材整理绝对值的三角不等式 1．定理1 若a，b为实数,则|a＋b|≤|a|＋｜b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 2．定理2 设a,b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋｜b－c|，等号成立⇔（a －b）（b－c）≥0，即b落在a,c之间． 若｜a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b∈R，则有（) A．ab〈0 B．ab〉0 C．ab≥0 D．以上都不对 ［解析] 由定理1易知答案选C。 ［答案] C 绝对值不等式的理解与应用【例1】已知｜a|≠｜b｜,m＝错误!，n＝错误!，则m，n之间的大小关系是________． ［精彩点拨］利用绝对值三角不等式定理分别判定m，n与1的大小． [自主解答] 因为|a｜－|b|≤｜a－b|， 所以错误!≤1，即m≤1. 又因为|a＋b|≤｜a|＋|b｜， 所以错误!≥1,即n≥1.所以m≤1≤n. [答案］m≤n 1．本题求解的关键在于|a|－｜b|≤｜a－b|与|a＋b|≤|a｜＋｜b｜的理解和应用． 2．在定理1中，以－b代b，得|a－b|≤|a|＋｜b|；以a－b 代替实数a，可得到|a|－｜b｜≤|a－b|. 1．若将“本例的条件”改为“n＝错误!”，则n与1之间的大小关系是________． [解析］∵｜a＋b|≤|a|＋|b|， ∴错误!≤1，∴n≤1. [答案］n≤1 运用绝对值不等式求最值与范围【例2】对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋｜x＋2|≥m恒成立的m的取值范围． [精彩点拨] 令t＝｜x＋1｜＋|x＋2｜，只需m≤t min. ［自主解答] 法一:对x∈R，｜x＋1｜＋｜x＋2| ≥|(x＋1)－(x＋2）|＝1， 当且仅当（x＋1)(x＋2）≤0时， 即－2≤x≤－1时取等号． ∴t＝｜x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1。 ∴实数m的取值范围是（－∞,1］． 法二:t＝｜x＋1｜＋｜x＋2|＝错误! ∴t≥1，则t＝｜x＋1｜＋|x＋2｜的最小值为1,故m≤1. 因此实数m的取值范围是(－∞，1]． 1．本题也可利用绝对值的几何意义求解． 含绝对值的不等式 一、复习目标： 1．理解含绝对值的不等式的性质，及其中等号成立的条件，能运用性质论证 一些问题； 2．会解一些简单的含绝对值的不等式． 二、知识要点： 1．含绝对值的不等式的性质： ①||||||||||a b a b a b -≤+≤+，当 0|||| ab a b ≤≥且时，左边等号成立；当 0 ab ≥时，右边等号成立．②||||||||||a b a b a b -≤-≤+，当 0|||| ab a b ≥≥且时，左边等号成立；当 0 ab ≤时，右边等号成立．③||||||||||a b a b a b -≤±≤+． 2．绝对值不等式的解法： ①0a >时，|()|()()f x a f x a f x a >⇔><-或；|()|()f x a a f x a <⇔-<<； ②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法； ③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式． 三、课前预习： 1．不等式|lg ||||lg |x x x x -<+的解集为 〔 C 〕 ()A (0,)+∞ ()B (0,1) ()C (1,)+∞ ()D (1,10) 2．不等式1|21|2x ≤-<的解集为 〔 C 〕 ()A 13(,0)[1,)22- ()B 13{01}22 x x -<<≤≤且 ()C 13(,0][1,)22- ()D 13{01}22 x x -<≤≤<且 3．()f x 为R 上的增函数，()y f x =的图象过点(0,1)A -和下面哪一点时，能确定 不等式|(1)|1f x -<的解集为{|14}x x << 〔 A 〕 ()A (3,1) ()B (4,1) ()C (3,0) ()D (4,0) 4．集合{||1|}A x x a =-≤，{||3|4}B x x =->，且A B φ=，那么a 的取值范围是(,2]-∞． 5．设有两个命题：①不等式|||1|x x m +->的解集是R ；②函数()(73)x f x m =--是减函数，如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数m 的取值范围是[1,2)． 四、例题分析： 例1．01x <<，01a <<，试比较|log (1)|a x -和|log (1)|a x +的大小． 解：〔法一〕∵01x <<，∴011x <-<，112x <+<， 绝对值不等式高考真题 1．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|． （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 3．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集． （Ⅰ）求M； （Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|． 4．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a． （1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集； （2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围． 5．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集； （Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 6．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）． （Ⅰ）证明：f（x）≥2； （Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围． 7．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围． 8．设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且 （Ⅰ）求a的值 （Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值． 9．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|． （1）证明：﹣3≤f（x）≤3； （2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集． 10．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集 （Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值． 例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题 二次函数是数学中一种非常重要的函数类型，它的图像呈现出抛物线 的形状。而绝对值不等式是描述了一个变量与另一个变量之间的不等关系，其中包含了绝对值运算。 在本文中，我们将探讨二次函数与绝对值不等式的关系，并给出一个 例子来说明如何证明这种含有绝对值的不等式。 首先，我们来介绍二次函数的基本形式，它可以表示为： f(x) = ax^2 + bx + c 其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。这个函数有一个重要的 性质，即它的图像总是一个抛物线，开口的方向取决于a的正负。 接下来，我们来讨论绝对值不等式的基本形式，它可以表示为： g(x)， 情况一：g(x)大于等于0 当g(x)大于等于0时，即 ax^2 + bx + c >= 0 这意味着抛物线的开口朝上，并且g(x)的绝对值可以简化为g(x)，因此我们可以将不等式重写为： ax^2 + bx + c < k 接下来，我们需要找到函数g(x)与k之间的最大值。这可以通过求导数的方式来实现。我们对函数g(x)进行求导，并令导数等于0，可以得到抛物线的顶点坐标。然后我们将这个坐标带入g(x)中，即可得到g(x)的最大值。我们将这个最大值命名为M。 因此，我们可以将不等式进一步简化为： g(x) 本文发表于《中学数学杂志》（高中版）2004年5月第3期 二次函数、一次函数与绝对值不等式问题的探讨 215006 苏州市第一中学刘祖希苏希常 有关“绝对值不等式与二次函数、一次函数”问题，近年来屡次在高考压轴题中出现，本文试进行多方位地探讨，得到几种有效、普遍的方法. 1 函数值问题 有关函数值问题，以下列这组习题最为典型、棘手： 1.0 问题组 已知 ()2 f x ax bx c =++ ，当 1 x≤ ，总有 ()1 f x≤ .试证以下系列问题①—⑦： ①求证： 1,1,1,2 c b a c a ≤≤+≤≤ . ②求证：当 2 x≤ ，总有 ()7 f x≤ . ③求证：当xλ ≤ ，总有 ()2 21 f xλ ≤-()1 λ≥ . ④记 () g x ax b =+ ，求证：当 1 x≤ ，总有 ()2 g x≤ . ⑤记 ()2 g x ax b =+ ，求证：当 1 x≤ ，总有 ()4 g x≤ . ⑥记 () g x ax b λ =+ ，求证：当 1 x≤ ，总有 ()2 g xλ ≤ . ⑦记 ()2 h x cx bx a =±+ .求证：当 1 x≤ ，总有 ()2 h x≤ . 1.1赋值法、待定系数法问题①证明： 分别取 1,0 x=± 得， ()11 f a b c =++≤ ， ()11 f a b c -=-+≤ ， ()01 f c =≤ ， ∵ ()() 2112 b a b c a b c a b c a b c =++--+≤+++-+≤+= ，∴ 1 b≤ . ∵ ()()() 2112 a c a b c a b c a b c a b c +=+++-+≤+++-+≤+= ，∴ 1 a c +≤ . ∵ 112 a a c c a c c =+-≤++≤+= ，∴ 2 a≤ . 1.2最值点分析、分拆、配凑、调整、待定系数法 闭区间上二次函数 ()2 f x ax bx c =++ 的最值必在两个端点处和顶点处取得， () f x 亦如此. 一证问题②： ∵ 1 a b c ++≤ ， 1 a b c -+≤ ， 1 c≤ . 1︒. ()()() 24233 f a b c a b c a b c c =++=+++-+-3137 ≤++=； 2︒. ()()() 24233 f a b c a b c a b c c -=-+=+++-+-1337 ≤++=； 典型例题一 例1 解不等式2321-->+x x 分析:解含有绝对值的不等式,通常是利用绝对值概念⎩ ⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ,将不等式中的绝对符号去掉,转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组),再去求解.去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点),将数轴分成若干段,然后从左向右逐段讨论. 解:令01=+x ,∴ 1-=x ,令032=-x ,∴2 3=x ，如图所示． (1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解. （2）当2 31≤ <-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2 30≤高考数学经典专题：绝对值不等式含参数成立问题(含详解答案)
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