黄冈中学初高中数学衔接教材含答案
2018年初升高中衔接教材教案讲义大全(含答案)
2018年初高中衔接数学教材亲爱的高一的同学们：祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。
由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。
面对教学中将存在的问题，我们高一数学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，一开学对这篇自学教材的学习将有相应的检测，愿大家为新学期做好准备。
一、数与式的运算一）、必会的乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++=∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算： （2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）=8 a 3+b 3【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)1．计算（1）（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2）= （2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）=（3）)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =（4）（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）=2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n 3=（2）27m 3-81n 3=（3）x 3-125= （4） m 6-n 6=【公式4】33322()33a b a b a b ab +=+++ 【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+- 【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=333644m m +=+ （2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知2310x x -+=，求331x x +的值． 解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅333()()()a a b b c c a b c bc ac ab abc---++=++=- ①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．二）、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：【例6】化简下列各式：(1)(2)1)x ≥解：(1) 原式=2|1|211-+==*(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)83(2)(3)(4) -+解：(1)83=46282383=⨯⨯=(2) 原式623==--(3) 原式=(4) 原式==说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(或被开方数有分母(．(化为) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(，其中2+2-)．有理化因式和分母有理化有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。
【最新整理】2020初高中数学衔接教材(完整版) - 【教师版】
2020初高中数学衔接教材爱的新高一的同学们：祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。
由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。
面对教学中将存在的问题，我们高一数学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，一开学对这篇自学教材的学习将有相应的检测，愿大家为新学期做好准备。
现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
初高中衔接数学及参考答案 (1)
数 学代数部分第一讲 乘法公式一、知识要点1．平方差公式： 22()()a b a b a b +-=-﹒ 2．完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+；2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++﹒3．立方和公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+﹒ 4．立方差公式： 2233()()a b a ab b a b -++=-﹒ 5．完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++；33223()33a b a a b ab b -=-+-﹒二、例题选讲例1、填空（1）=++-)9)(3)(3(2x x x _______________﹒ 解：原式=81)9)(9(422-=+-x x x ﹒ （2）=+--22)2()12(x x ______________﹒解：原式=383)44(144222--=++-+-x x x x x x ﹒ 例2、已知31=+xx ，求下列各式的值： （1）221x x +；（2）331xx +﹒ 解：（1）21112)1(22222++=+⋅⋅+=+xx x x x x x x ，7292)1(1222=-=-+=+∴x x xx ﹒ (2) 18)17(3)11)(1(12233=-⨯=+-+=+x x x x x x ﹒例3、已知2x y +=，求代数式336x y xy ++的值． 解：33226()()6x y xy x y x xy y xy ++=+-++2222(3)2()8x xy y xy x y =-++=+=﹒例4、 已知8,9,x y y z -=-=试求代数式222x y z xy yz xz ++---的值． 解：8,9,17x y y z x z -=-=∴-=，2222221(222222)2x y z xy yz xz x y z xy yz xz ∴++---=++---22222211[()()()](8917)21722x y y z x z =-+-+-=++= 三、自我小结：__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 四、巩固练习1．计算=+-++-++-))(())(())((a c a c c b c b b a b a _________． 2．计算22()2()()()x y x y x y x y +-+-+-= ． 3．2200620082004-⨯= ． 4．已知2510x x -+=，则221x x += ． 5．计算16842321)13)(13)(13)(13(⋅-++++= ．6．计算222222221234562009201012345620092010----+++++++++201220112012201122+-﹒7．已知2a c b +=+，则222222a b c ab bc ac ++--+= ．8．已知2x y -=，求代数式336x y xy --的值．9．已知1,3x y xy -==，试求下列各式的值： （1）22;x y +（2）33.x y -第二讲 因式分解一、知识要点1．因式分解：把一个整式化为几个整式的乘积形式． 2．因式分解的基本方法：（1）提公因式法 )(c b a m mc mb ma ++=++ （2）运用公式法 常见公式有：①22()()a b a b a b -=+-， ②2222()a ab b a b ±+=±， ③3322()()a b a b a ab b ±=±+，④3223333()a a b ab b a b ±+±=±，⑤2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++， （3）十字相乘法：2()()()x a b x ab x a x b +++=++ （4）配方法、添项拆项法，分组分解法 二、例题选讲例1、 因式分解：（1）244x x -+ ；（2）38x -；（3）33)2()2(a y a x ---﹒ 解：（1）244x x -+2(2)x =-（2）38x -3322(2)(24)x x x x =-=-++（3）33)2()2(a y a x ---=)()2()2()2(333y x a a y a x +-=-+-例2 、因式分解（1）256x x -+；（2）2215x x --；（3）26136x x -+﹒ 解：（1）256x x -+(2)(3)x x =--；（2）2215x x --(25)(3)x x =+-； （3）26136x x -+(23)(32)x x =--﹒例3、 因式分解225636x xy y x y -+-+ 解：225636x xy y x y -+-+(2)(3)3(2)x y x y x y =----(2)(33)x y x y =---例4、因式分解523325a ab a b b --+ 解：523325a ab a b b --+233233()()a a b b a b =---3322()()a b a b =-- 222()()()a b a b a ab b =-+++三、自我小结：__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 四、巩固练习1．将下列各式分解因式： （1）32x x y -__________________________________________________________________ （2）44-x__________________________________________________________________ （3）33125x y -__________________________________________________________________ （4）1322+-x x__________________________________________________________________ （5）2(1)x a x a -++__________________________________________________________________（6）32331a a a +++__________________________________________________________________ （7）222221a b ab a b ++--+__________________________________________________________________ （8）22122512x xy y ++__________________________________________________________________ （9）2226x xy y x y ++---__________________________________________________________________ 2．已知25a b -=，346a b +=，求多项式22328a ab b --的值．第三讲 因式定理一、知识要点定理1（因式定理）：若a 是一元多项式)(0111是非负整数n a x a x a x a n n n n ++⋅⋅⋅++--的根，即00111=++⋅⋅⋅++--a a a a a a a n n n n ，则多项式0111a x a x a x a n n n n ++⋅⋅⋅++--有一个因式a x -.根据因式定理，找出一元多项式的一次因式的关键是求出该多项式的一个根，对于任意的多项式，求出它的根是没有一般方法的，然而对于整系数多项式常用下面的定理来判定它是否有有理根。
高中数学 初高中衔接教程 第十二讲 一元二次函数(二)练习 新人教版【含答案】
十二、一元二次函数（二）知识归纳：1、一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y044,02min <-=>••a a b ac y a 时，ab ac y 442max -= 2、一元二次函数)0()(2>++==a c bx ax x f y 在区间[m,n]上的最值。
1°当m a b <-2)()(),()(min max m f x f n f x f ==2°当22n m a b m +≤-≤a b acx f n f x f 44)(),()(2min max -==3°当n a b n m ≤-<+22a b ac x f m f x f 44)(),()(2min max -==4°n a b >-2时)()(),()(min max n f x f m f x f == 3、一元二次函数)0()(2<++==a c bx ax x f y 在区间[m,n]上的最值类比2可求得。
举例：例1、函数242-+-=x x y 在区间]4,1[上的最小值是（ ）x xA 、－7B 、－4C 、－2D 、2例2、已知函数322+-=x x y 在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ）A 、),1[+∞B 、[0,2]C 、[1,2]D 、]2,(-∞例3、如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数都有)2()2(t f t f -=+，那么（ ）A 、)4()1()2(f f f <<B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f <<D 、)1()2()4(f f f <<例4、若0,0≥≥y x ，且12=+y x ，那么232y x z +=的最小值为（ ）A 、2B 、43C 、32D 、0例5、设21,,x x R m ∈是方程01222=-+-m mx x 的两个实数根，则2221x x +的最小值是 。
初高中衔接教材含答案
初高中衔接教材含答案近年来，中小学教育的关注度越来越高，其中，初中到高中的衔接问题备受社会各界的关注。
为此，各地教育部门和出版社共同研发了一批针对初中到高中的衔接教材，对学生进行有针对性的培养和较为顺畅的学习体验。
一、初中到高中的衔接问题初中生和高中生之间的学习内容和学习方法存在着较大的差异。
初中的学习重点在于知识的掌握和基本能力的培养，而高中则更加注重学生的自主学习和思维能力的培养。
因此，初中学生在升入高中之后，常常会感到学习起来比较吃力，甚至有些不适应。
因此，为了帮助初中生更好地适应高中学习，许多地区的教育部门和出版社合作开发了一批针对初中到高中衔接问题的教材。
这些教材不仅针对高中学习的特点和难点，还特别注重初中阶段的教学内容和学生基本能力的培养。
二、初中到高中的衔接教材1. 人教版高中语文《人教版高中语文》作为国内顶尖的高中语文教材之一，在课堂教学中得到了广泛的应用。
该教材以重视传统文化和当代情感为特色，旨在培养学生的阅读能力和综合素养。
在衔接初中语文方面，《人教版高中语文》注重前置知识的巩固，通过回顾初中语文课程中的知识点和基本能力的培养，使学生更快地适应高中语文学习的要求。
2. 人教版高中数学《人教版高中数学》是一套系统完备、内容丰富的高中数学教材，通俗易懂、贴近实际、理论与实践结合，一直以来备受年轻一代家长和学生的信赖。
该教材在初中到高中衔接方面，注重高中数学的基本思维方式和方法，同时也重视初中数学的基础知识和能力的巩固。
通过循序渐进的教学，逐步将学生引导进入高中数学的世界。
3. 人教版高中英语《人教版高中英语》是针对普通高中课程标准而编写的一套高中英语教材，内容涵盖了普通高中英语的语音、语法、词汇、听说读写等多个方面。
在初中到高中的衔接方面，该教材注重英语能力的全面提高，同时也重视基础语言知识和能力的培养。
教材设计严谨、易懂、富有趣味，符合学生的学习习惯和兴趣爱好。
三、初中到高中的衔接教学策略1.确定适合自己的学习方法。
初中升高中数学衔接：教材18讲word版配答案(精品版)
Qq 初高中数学衔接教材现有初高中数学知识存在以下“脱节〞1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1〞的分解，对系数不为“1〞的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基此题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系〔韦达定理〕在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这局部内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何局部很多概念〔如重心、垂心等〕和定理〔如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等〕初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
目录1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.４分式1．2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系〔韦达定理〕2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理3.1.2相似形3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心〞3.2.2 几种特殊的三角形3．3圆3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2 点的轨迹1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①假设1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②假设12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③假设3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，\点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式 ‘由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4． 练 习 1．填空：〔1〕假设5=x ，那么x =_________；假设4-=x ，那么x =_________.〔2〕如果5=+b a ，且1-=a ，那么b ＝________；假设21=-c ，那么c ＝________.2．选择题：以下表达正确的选项是 〔 〕〔A 〕假设a b =，那么a b = 〔B 〕假设a b >，那么a b > 〔C 〕假设a b <，那么a b < 〔D 〕假设a b =，那么a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|〔x ＞5〕．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式： 〔1〕平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； 〔2〕完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式：〔1〕立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； 〔2〕立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；〔3〕三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 〔4〕两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； 〔5〕两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 1．填空：〔1〕221111()9423a b b a -=+〔 〕； 〔2〕(4m + 22)164(m m =++ )；〔3〕2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：〔1〕假设212x mx k ++是一个完全平方式，那么k 等于 〔 〕 〔A 〕2m 〔B 〕214m 〔C 〕213m 〔D 〕2116m〔2〕不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 〔 〕〔A 〕总是正数 〔B 〕总是负数〔C 〕可以是零 〔D 〕可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b 212x ++，22x y ++等是有理式．1．分母〔子〕有理化把分母〔子〕中的根号化去，叫做分母〔子〕有理化．为了进行分母〔子〕有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，等等． 一般地，与b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的根底上去括号与合并同类二次根式．2的意义a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1将以下式子化为最简二次根式：〔1〔20)a ≥； 〔30)x <．解： 〔1= 〔20)a ==≥；〔3220)xx x ==-<．例2(3-．解法一：(3-＝393-＝1)6＝12．解法二：(3-＝12． 例3 试比拟以下各组数的大小：〔1； 〔2解： 〔11===，===，>，〔2〕∵=== 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，例4化简：20042005⋅-．解：20042005⋅-＝20042004⋅-⋅＝2004⎡⎤⋅-⋅-⎣⎦＝20041⋅ ．例 5 化简：〔1〔21)x <<．解：〔1〕原式===2=2=．〔2〕原式1x x=-， ∵01x <<，∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．例 6x y ==22353x xy y -+的值 ． 解：∵2210x y +==+=，1xy ==，∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练 习 1．填空： 〔1＝__ ___；〔2(x =-x 的取值范围是_ _ ___； 〔3〕=__ ___； 〔4〕假设2x ==______ __． 2．选择题：=QQ 群416652117的条件是 〔 〕 〔A 〕2x ≠ 〔B 〕0x > 〔C 〕2x > 〔D 〕02x <<3．假设b =a b +的值．4．比拟大小：2－4〔填“＞〞，或“＜〞〕．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，假设B 中含有字母，且0B ≠，那么称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有以下性质： A A M B B M⨯=⨯；A A MB B M÷=÷． 上述性质被称为分式的根本性质． 2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 假设54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2 〔1〕试证：111(1)1n n n n =-++〔其中n 是正整数〕；〔2〕计算：1111223910+++⨯⨯⨯； 〔3〕证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． 〔1〕证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1n n n n =-++〔其中n 是正整数〕成立QQ 群416652117．〔2〕解：由〔1〕可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++-1110=-＝910．〔3〕证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1 一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12．例3 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12＜1，舍去；或e ＝2．∴e ＝2． 练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；2．选择题：假设223x y x y -=+，那么xy＝ 〔 〕 〔A 〕１ 〔B 〕54 〔C 〕45〔D 〕653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1 A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２．1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：〔1〕1819(2(2+-＝________；〔22=，那么a 的取值范围是________； 〔3=________．B 组1．填空：〔1〕12a =，13b =，那么2223352a ab a ab b -=+-____ ____； 〔2〕假设2220x xy y +-=，那么22223x xy y x y++=+__ __；2．：11,23x y ==的值． C 组1．选择题：〔1= 〔 〕 〔A 〕a b < 〔B 〕a b > 〔C 〕0a b << 〔D 〕0b a <<〔2〕计算 〔 〕〔A 〔B 〔C 〕 〔D 〕2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=．3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14．1.1.1．绝对值1．〔1〕5±；4± 〔2〕4±；1-或3 2．D 3．3x －181.1.2．乘法公式 1．〔1〕1132a b -〔2〕11,24 〔3〕424ab ac bc --2．〔1〕D 〔2〕A1.1.3．二次根式1． 〔12 〔2〕35x ≤≤ 〔3〕- 〔42．C 3．1 4．＞1.1.4．分式1．12 2．B 3． 1- 4．99100 习题1．1A 组1．〔1〕2x <-或4x > 〔2〕－4＜x ＜3 〔3〕x ＜－3，或x ＞32．1 3．〔1〕2-〔2〕11a -≤≤ 〔31-B 组1．〔1〕37 〔2〕52，或－15 2．4．C 组1．〔1〕C 〔2〕C 2．121,22x x == 3．36554．提示：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：〔1〕x 2－3x ＋2； 〔2〕x 2＋4x －12； 〔3〕22()x a b xy aby -++； 〔4〕1xy x y -+-．解：〔1〕如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示〔如图1．2－2所示〕．〔2〕由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． 〔3〕由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- 〔4〕1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) 〔如图1．2－5所示〕． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：〔1〕32933x x x +++； 〔2〕222456x xy y x y +--+-． 解： 〔1〕32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++． 或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．〔2〕222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．假设关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，那么二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把以下关于x 的二次多项式分解因式：－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －21 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1x y图1．2－5〔1〕221x x +-； 〔2〕2244x xy y +-．解： 〔1〕令221x x +-=0，那么解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．〔2〕令2244x xy y +-=0，那么解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +++．练 习 1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 〔 〕 〔A 〕25x y - 〔B 〕3x y - 〔C 〕3x y + 〔D 〕5x y - 2．分解因式：〔1〕x 2＋6x ＋8； 〔2〕8a 3－b 3；〔3〕x 2－2x －1； 〔4〕4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：〔1〕 31a +； 〔2〕424139x x -+；〔3〕22222b c ab ac bc ++++； 〔4〕2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：〔1〕253x x -+ ； 〔2〕23x --；〔3〕2234x xy y +-； 〔4〕222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．1.2分解因式1． B2．〔1〕(x ＋2)(x ＋4) 〔2〕22(2)(42)a b a ab b -++〔3〕(11x x --- 〔4〕(2)(22)y x y --+．习题1．2 1．〔1〕()()211a a a +-+ 〔2〕()()()()232311x x x x +-+-〔3〕()()2b c b c a +++ 〔4〕()()3421y y x y -++-2．〔1〕5522x x ⎛+--- ⎝⎭⎝⎭； 〔2〕(x x --；〔3〕22333x y x y ⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 〔4〕()3(1)(11x x x x -+--． 3．等边三角形4．(1)()x a x a -++2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕，用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是〔1〕当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；〔2〕当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； 〔3〕当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕的根的判别式，通常用符号“Δ〞来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕，有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；〔2〕当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； 〔3〕当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定以下关于x 的方程的根的情况〔其中a 为常数〕，如果方程有实数根，写出方程的实数根．〔1〕x 2－3x ＋3＝0； 〔2〕x 2－ax －1＝0； 〔3〕 x 2－ax ＋(a －1)＝0； 〔4〕x 2－2x ＋a ＝0． 解：〔1〕∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． 〔2〕该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x =， 22a x =． 〔3〕由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以， ①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．〔3〕由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )， 所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x = 21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系〔韦达定理〕假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕有两个实数根． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，假设x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)程x 2＋px ＋q ＝0的两根，出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21，QQ 群557619246∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17． 说明：〔1〕在此题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21〞求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．〔1〕在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立QQ 群416652117的前提是一元大方向个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x ，y ，那么 x ＋y ＝4， ①xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ， 代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0 的两个根．解这个方程，得 QQ 群557619246 x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二〔直接利用韦达定理来解题〕要比解法一简捷． 例5 假设x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． 〔1〕求| x 1－x 2|的值；〔2〕求221211x x +的值； 〔3〕x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-〕22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．〔3〕x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕，那么，2x=，∴| x 1－x 2|=||||a a ==． 于是有下面的结论：假设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕，那么| x 1－x 2|＝||a Δ＝b 2－4ac 〕． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6 假设关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设x 1，x 2是方程的两根，那么x 1x 2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ② 由①得 a ＜4，由②得 a ＜174．∴a 的取值范围是a ＜4．练 习 1．选择题：〔1〕方程2230x k -+=的习题2.1 A 组1．选择题:〔1〕关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，那么它的另一个根是〔 〕 〔A 〕－3 〔B 〕3 〔C 〕－2 〔D 〕2 〔2〕以下四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 〔 〕 〔A 〕1个 〔B 〕2个 〔C 〕3个 〔D 〕4个〔3〕关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，那么a 的值是〔 〕〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕－1 〔D 〕0，或－12．填空:〔1〕方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，那么k ＝ ．〔2〕方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，那么α2＋β2＝ ．〔3〕关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，那么它的另一个根是 ．〔4〕方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，那么| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B 组1．选择题:假设关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，那么k 的值为〔 〕〔A 〕1，或－1 〔B 〕1 〔C 〕－1 〔D 〕0 2．填空:〔1〕假设m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，那么m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ． 〔2〕如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ．3．关于x 的方程x 2－kx －2＝0．4．－1 提示：(x 1－3)( x 2－3)＝x 1 x 2－3(x 1＋x 2)＋9习题2．12．〔1〕2006 提示：∵m ＋n ＝－2005，mn ＝－1，∴m 2n ＋mn 2－mn ＝mn (m ＋n －1)＝－1×(－2005－1)＝2006．〔2〕－3 提示；∵a ＋b ＝－1，ab ＝－1，∴a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3＝a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋b )＝(a ＋b )( a 2＋b 2)＝(a ＋b )[( a ＋b ) 2－2ab ]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．3．〔1〕∵Δ＝(－k )2－4×1×(－2)＝k 2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． 〔2〕∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2，∴2k ＞－2，即k ＞－1．4．〔1〕| x 1－x 2|，122x x +＝2b a -；〔2〕x 13＋x 23＝333abc b a -． 5．∵| x 1－x 2|2==，∴m ＝3．把m ＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m ＝3．C 组1．〔1〕B 〔2〕A〔3〕C 提整数的实数k 的整数值为－2，－3和－5．〔3〕当k ＝－2时，x 1＋x 2＝1，① x 1x 2＝18， ② ①2÷②，得1221x x x x +＋2＝8，即16λλ+=，∴2610λλ-+=，∴3λ=± 4．〔1〕Δ＝22(1)20m -+>；〔2〕∵x 1x 2＝－24m ≤0，∴x 1≤0，x 2≥0，或x 1≥0，x 2≤0．①假设x 1≤0，x 2≥0，那么x 2＝－x 1＋2，∴x 1＋x 2＝2，∴m －2＝2，∴m ＝4．此时，方程为x 2－2x－4＝0，∴11x =21x =②假设x 1≥0，x 2≤0，那么－x 2＝x 1＋2，∴x 1＋x 2＝－2，∴m －2＝－2，∴m ＝0．此时，方程为x 2＋2＝0，∴x 1＝0，x 2＝－2．5．设方程的两根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝a ， 由一根大于1、另一根小于1，得(x 1－1)( x 2－1)2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象〔如图2－1所示〕，从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系图2.2-1同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象〔如图2－2所示〕，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同〞的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移〞；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移〞．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋bx a＋224b a )＋c －24b a224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有以下性质：〔1〕当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．〔2〕当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值〔或最小值〕，并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大〔或减小〕并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向图2.2-2例2 某种产品的本钱是120元/件，试销阶段每件产品的售价x 〔元〕与产品的日销售量y 〔件〕之x /元 130 150 165 y /件 70 50 35为多少元此时每天的销售利润是多少分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于设每天的利润为z 〔元〕，那么z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b )224bc +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像． 由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，那么是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例4 函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 解：〔1〕当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；〔2〕当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；〔3〕当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；〔4〕当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取局部实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 练 习 1．选择题：〔1〕以下函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 〔 〕 〔A 〕y ＝2x 2 〔B 〕y ＝2x 2－4x ＋2 〔C 〕y ＝2x 2－1 〔D 〕y ＝2x 2－4x〔2〕函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 〔 〕〔A 〕向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 〔B 〕向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 〔C 〕向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 〔D 〕向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题〔1〕二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，那么m ＝ ，n ＝ ．〔2〕二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．〔3〕函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小． 3．求以下抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大〔小〕值及y 随x 的变化情况，并画出其图象． 〔1〕y ＝x 2－2x －3； 〔2〕y ＝1＋6 x －x 2．4．函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在以下取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大〔小〕值时所对应的自变量x 的值：〔1〕x ≤－2；〔2〕x ≤2；〔3〕－2≤x ≤1；〔4〕0≤x ≤3．2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：①图2.2－6②③1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标〔纵坐标为零〕，于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在以下关系：〔1〕当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，那么Δ＞0也成立QQ群416652117．〔2〕当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点〔抛物线的顶点〕；反过来，假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，那么Δ＝0也成立QQ群416652117．〔3〕当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，那么Δ＜0也成立QQ群416652117．于是，假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，那么x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，那么其函数关系式可以表示为y ＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1 某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点〔3，－1〕，求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是〔1，2〕．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<， ∵二次函数的图像经过点〔3，－1〕， ∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2 二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)， 展开，得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2， ∴|－4a |＝2，即a ＝12±． 所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+． 分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1． 又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12． 所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2． 说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．例3 二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式练 习 1．选择题:〔1〕函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 〔 〕。
初升高衔接教本数学答案
初升高衔接教本数学答案尊敬的老师和同学们：为了帮助同学们更好地适应高中数学的学习，我们特此提供了初升高衔接教本数学的答案。
请注意，这些答案仅供学习参考，我们鼓励同学们在遇到难题时先自己思考，然后再对照答案进行学习。
【第一章：代数基础】1. 问题1：解一元一次方程。
答案：对于方程 \( ax + b = 0 \)，解为 \( x = -\frac{b}{a} \)。
2. 问题2：因式分解。
答案：多项式 \( ax^2 + bx + c \) 可以通过公式 \( x^2 + (b+c)x + bc \) 进行因式分解。
【第二章：几何初步】1. 问题1：证明三角形的内角和。
答案：在三角形ABC中，设角A、角B、角C分别为α、β、γ，则\( α + β + γ = 180^\circ \)。
2. 问题2：证明勾股定理。
答案：在直角三角形ABC中，设直角边为a、b，斜边为c，根据勾股定理，有 \( a^2 + b^2 = c^2 \)。
【第三章：函数与方程】1. 问题1：求函数的值域。
答案：对于函数 \( f(x) = ax + b \)，其值域为 \( (-\infty,+\infty) \)。
2. 问题2：解一元二次方程。
答案：对于方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，当 \( a \neq 0 \) 时，解为 \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)。
【第四章：解析几何】1. 问题1：求直线的方程。
答案：给定直线上的两点 \( (x_1, y_1) \) 和 \( (x_2, y_2) \)，直线的斜率为 \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)，直线方程为 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)。
2. 问题2：求圆的方程。
答案：给定圆心 \( (h, k) \) 和半径 \( r \)，圆的标准方程为\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)。
初高中衔接数学及参考答案 (1)
解： x3 y3 6xy (x y)(x2 xy y2 ) 6xy
2(x2 xy y2 3xy) 2(x y)2 8 ﹒
例 4、 已知 x y 8, y z 9, 试求代数式 x2 y2 z2 xy yz xz 的值．
解： x y 8, y z 9, x z 17 ，
___________________________________________________________________________ 四、巩固练习
1．计算 (a b)(a b) (b c)(b c) (c a)(c a) _________．
2．计算 (x y)2 2(x y)(x y) (x y)2 =
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
x2 y2 z2 xy yz xz 1 (2x2 2 y2 2z2 2xy 2 yz 2xz) 2
1 [(x y)2 ( y z)2 (x z)2 ] 1 (82 92 172 ) 217
2
2
三、自我小结：
___________________________________________________________________________
⑤ a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a b c)2 ，
（3）十字相乘法： x2 (a b)x ab (x a)(x b) （4）配方法、添项拆项法，分组分解法 二、例题选讲 例 1、 因式分解：
数学-高一年级初高中衔接教材完成考试答案
高一年级初高中衔接教材完成考试数学试卷一、单选题(每小题5分，共40分)1．已知集合{}{}|3,,1,0,1,2,3A x x x N B =≤∈=-，则A B =（ ） A ．{0,1,2,3} B ．{1,2,3} C ．{2,3} D ．{0,1,2} 2．下列命题中，是真命题的有（ ）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ①对角线互相垂直的四边形是菱形 ①四边相等的四边形是正方形 ①四边相等的四边形是菱形 A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①3．如图，已知全集U =R ，集合{}{}21,2,3,4,5,20A Bx x x ==--≤，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．84．如图，12l l //，点O 在直线1l 上，若90AOB ∠=︒，135∠=︒，则2∠的度数为（ ） A ．65︒ B ．55︒B ．C ．45︒D ．35︒5．一元二次方程22630x x --=的两根为12,x x ，则()()1211x x ++的值为（ ） A ．3B ．6C ．3-D ．526．正三角形的外接圆和内切圆半径的比值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．127．如图，已知ABC 为直角三角形，分别以直角边AC BC 、为直径作半圆AMC 和BNC ，以AB 为直径作半圆ACB ，记两个月牙形阴影部分的面积之和为1S ，ABC 的面积为2S ，则1S 与2S 的大小关系为（ ）A ．12S S >B ．12S S <C ．12S SD ．不能确定8．求值：111111114916225⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为（ ）A ．815B ．1115C ．1315D ．1415二、多选题(每小题5分，共20分) 9．下列说法中，正确的是（ ） A ．若a ∈Z ，则a -∈Z B ．R 中最小的元素是0C ．3的近似值的全体构成一个集合D ．一个集合中不可以有两个相同的元素 10．某院校教师情况如下表所示关于2016年、2017年、2018年这3年该院校的教师情况，下面说法正确的是（ ） A ．2017年男教师最多B ．该校教师最多的是2018年C ．2017年中年男教师比2016年多80人D ．2016年到2018年，该校青年年龄段的男教师人数增长率为220%11．下列各组中的值是方程组22135x y x y ⎧+=⎨+=⎩的解的是（ ）A ．23x y =⎧⎨=⎩B ．32x y =⎧⎨=⎩C ．14x y =⎧⎨=⎩D ．23x y =-⎧⎨=-⎩12．下列公式正确的是（ ）A ．()2222a b a ab b +=++ B ．()()22a b a b a b +-=-C ．()()2233a b a ab b a b -++=- D ．()2222222a b c a b c ab ac bc +-=++--+三、填空题(每小题5分，共20分) 13．分解因式：3a b ab -=______14．已知关于x 的方程22(2)50x m x m -++-= 有两个根，且一个根为1，则m =__________. 15．关于x 的方程2354ax a x +=-的根为2x =-，则a =__________ 16+=2019___________四、解答题(共70分)17．(10分)（1）计算：20132(1)sin6024π--+---⨯ （2）化简：22x y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+÷-+⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭.18．(12分)（1）求方程组34211x y x y +=⎧⎨-=⎩的解（2）解不等式组：()138225131x xx x ⎧≤-⎪⎨⎪+>-⎩．19．(12分)某学校开展了防疫知识的宣传教育活动，为了了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x 均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格()6070x ≤<，合格()7080x ≤<，良好()8090x ≤<，优秀()90100x ≤≤，制作了如图所示的统计图（部分信息未给出）.由图中给出的信息解答下列问题：(1)求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图. (2)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数. (3)这次测试成绩的中位数是什么等级？(4)如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？20．(12分)已知集合{}02A x x =≤≤，{}B 32x a x a =≤≤-． （1）若()R A B ⋃=R ，求实数a 的取值范围； （2）若A B B ≠，求实数a 的取值范围．21．(12分)关于x 的一元二次方程：2220x mx m -++=， (1)方程有两个正根，求m 的取值范围；(2)方程的一个根大于1，一个根小于1，求m 的取值范围.22．(12分)如图，抛物线2231y x kx k =-+--与x 轴交于A 、B 两点，6AB =，其顶点C 在第一象限，连结OC ．(1)求k的值；(2)若点P在x轴上，且45＝，求P点的坐标；PCO(3)若Q是y轴上的一个动点，当①AQB最大时，求Q点的坐标．参考答案：1．A 【分析】先求出集合{}0,1,2,3A =，再求A B . 【详解】由题知，{}0,1,2,3A =，又{}1,0,1,2,3B =-， 所以{}0,1,2,3A B =. 故选：A.2．D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的定义判断．【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，①正确；对角线互相垂直时，对角线不一定相等，也不一定互相平分，因此四边形不一定是菱形，①错；四边相等的四边形是菱形，四边形的内角不一定是直角，因此它不一定是方形，①错，①正确． 故选：D ．3．D 【分析】先求解集合B ，进而可得UB ，结合图中阴影部分表示的集合为()U A B ⋂可得为{}3,4,5，进而可得子集个数.【详解】{}{}(1)(2)012B x x x x x =+-≤=-≤≤，则U B ={}12x x x <->或 图中阴影部分表示的集合为(){}{}{}1,2,3,4,5123,4,5U A B x x x ⋂=⋂<->=或 集合{3,4,5}的子集有328=（个）则图中阴影部分表示的集合的子集个数为8. 故选：D4．B 【分析】由两直线平行，内错角相等，即可得到35OAB ∠=︒，再由三角形的内角和为180︒，即可求出55OBA ∠=︒，再由对顶角相等，即可得出答案. 【详解】因为12l l // 所以135OAB ∠=∠=︒,在OAB 中：180AOB OAB OBA ∠+∠+∠=︒, 所以180359055OBA ∠=︒-︒-︒=︒, 所以525OBA ∠∠==︒， 故选：B.5．D 【分析】通过一元二次方程可得121233,,2x x x x +=⋅=-即可得到答案【详解】解：方程22630x x --=的两根为12,x x ， 121233,2x x x x ∴+=⋅=-()()1212123511131,22x x x x x x ∴++=⋅+++=-++=故选：D6．B 【分析】设正三角形的边长为a ，外接圆的半径为R ，内切圆的半径为r ，根据正弦定理得R =，等面积法得=r ，进而得:2:1R r =. 【详解】解：设正三角形的边长为a ，外接圆的半径为R ，内切圆的半径为r ，则根据正弦定理得：2sin 60a R =，解得R =，根据等面积法得：211sin 60322a a r ⋅=⋅⋅，解得=r ，所以:2:1R r ==. 故选：B.【点睛】本题考查正弦定理求三角形外接圆的半径，等面积法求三角形内切圆的半径，是基础题.7．C 【分析】根据给定图形，利用勾股定理结合半圆面积公式，探讨1S 与2S 的关系作答. 【详解】在Rt ABC △中，由勾股定理得：222BC AC AB +=， 则2221111111π()π()π()222222ABCS AC BC AB S =⋅+⋅-⋅+22221π()8ABCABCBC AC AB S S S=⋅+-+==.故选：C8．A 【分析】每个因式用平方差公式分解,重新组合后累乘可得. 【详解】11111111111111111111491622522331515⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-=-+-+-+ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13243514162233441515⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1231314345151623414152341415⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭116815215=⨯= 故选:A【点睛】本题需要分析数字特征，找出它们之间得内在联系，属于中档题.9．AD 【分析】根据集合的概念及集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性即可判断四个选项的正误.【详解】若a ∈Z ，则－a 也是整数，即a -∈Z ，故A 正确； 因为实数集中没有最小的元素，所以B 错误；因为”不具有确定性，所以不能构成集合，故C 错误； 同一集合中的元素是互不相同的，故D 正确. 故选：AD.10．BCD 【解析】利用所给统计图表，逐一对选项进行分析求解即可. 【详解】由题意知，2018年的男教师最多，A 错误；将表中各年度人数横向求和可知，2018年共有1720人，为人数最多的一年，B 正确；2017年中年男教师比2016年多32024080-=（人），C 正确；2016~2018青年男教师增加了220人，增长率为220100220%÷=，D 正确. 故选：BCD .【点睛】本题考查统计知识，考查数据处理能力，侧重考查学生对基础知识的理解和掌握，属于基础题.11．AB 【解析】根据22135x y x y ⎧+=⎨+=⎩，由5x y +=，得5y x =-，然后代入2213x y +=求解.【详解】因为22135x y x y ⎧+=⎨+=⎩，由5x y +=，得5y x =-，代入2213x y +=，得2560x x -+=， 解得2x =或3x =所以23x y =⎧⎨=⎩或32x y =⎧⎨=⎩，故选：AB【点睛】本题主要考查方程组的解法，属于基础题. 12．ABC 【分析】根据数学运算有关公式确定正确选项. 【详解】()2222a b a ab b +=++，A 正确，()()22a b a b a b +-=-，B 正确，()()2233a b a ab b a b -++=-，C 正确，()2222222a b c a b c ab ac bc +-=+++--，D 错误.故选：ABC13．(1)(1)ab a a +-【分析】先提取公因式ab ，再利用平方差公式，即可得出答案. 【详解】32(1)(1)(1)a b ab ab a ab a a -=-=+-， 故答案为：(1)(1)ab a a +-.14．52##2.5【分析】将已知根代入方程即可求解.【详解】将1x =代入方程22(2)50x m x m -++-=， 即2(2)50m m -++-=，从而52m =. 故答案为：52.15．221【分析】将2x =-代入方程，然后去分母即可得到答案 【详解】解：因为方程2354ax a x +=-的根为2x =-， 所以()()()2235224a a a ⨯-+=≠---，去分母得1612510a a -+=+，解得221a =， 故答案为：22116．1=求.【详解】当n=+2019(202011=++++==.故答案为：1.【点睛】本题主要考查分母有理化，平方差公式是去掉分母中根号的利器，侧重考查数学运算的核心素养.17．（1）1（2）1x y -.【分析】（1）根据实数的混合运算法则求解即可， （2）利用分式的运算法则求解.【详解】（1）原式1131424=-+-3344⎛=- ⎝⎭3144=1=-（2）原式2()()2()()()()x x y y x y x x y x y x y x y x y-++-+-=÷+-+ 2222()()x y x yx y x y x y ++=⋅+-+ 1x y=- 18．（1）35x y =⎧⎨=-⎩【解析】利用加减消元运算即可得解.【详解】两式相加得：515x =，解得3x =， 所以334y ⨯+=，解得5y =-， 所以方程组的解为35x y =⎧⎨=-⎩. （2）解不等式13822x x ≤-，即28x ≤，解得4x ≤，由5133x x +>-，可得24x >-，解得2x >-， 故原不等式的解为{|24}x x -<≤. 19．（1）3015%200÷=（人），20030804050---=（人），直方图如图所示：（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数80360144200︒︒=⨯=. （3）由频数直方图可得，因为305080100+=<，305080160100++=>，故这次测试成绩的中位数是80-90.这次测试成绩的中位数的等级是良好. （4） 401500300200⨯=（人），故估计该校获得优秀的学生有300人. 20．（1）(],0-∞；（2）12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）由集合A 可得RA ，利用()R AB ⋃=R 列出不等式组，求出实数a 的取值范围；（2）若A B B =，则B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况，分别列不等式可得实数a 的取值范围．【详解】（1）因为{}A 02x x =≤≤，所以{R A |0x x =<或}2x >． 又{}B 32x a x a =≤≤-且()R A B ⋃=R ， 所以320322a aa a -≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解得0a ≤所以实数a 的取值范围是(],0-∞．（2）若A B B =（补集思想），则B A ⊆． 当B =∅时，32-<a a ，解得1a >； 当B ≠∅时，32a a -≥，即1a ≤， 要使B A ⊆，则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，得112a ≤≤．综上，知A B B =时，12a ≥， 所以A B B ≠时，实数a 的取值范围是12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．21． （1）设()222f x x mx m =-++，则244(2)20(0)20m m m f m ⎧∆=-+≥⎪>⎨⎪=+>⎩，解得2m ≥，所以{}|2m m ≥即为所求的范围. （2）由（1）及二次函数性质，只须()11220f m m =-++<，解得3m >. 所以{|}3m m >即为所求的范围. 22． （1）设点A 、B 的横坐标分别为1x 、2x ，则122x x k +=，1231x x k ⋅=+，222121212()()4AB x x x x x x =-=+-⋅2(2)4(31)k k =-+24124k k =--，即2412436k k --=，解得5k =或2k=-，由于顶点C 在第一象限，则由对称轴x k =可得0k >，则5k =； （2）答案第8页，共8页由（1）得抛物线的解析式为()22101659y x x x =-+-=--+，易得点A 、B 的横坐标分别为2，8，此时点A 、B 、C 的坐标分别为()()()20,8,059,,,，将线段OC 绕O 点旋转90°，C 点的对应位置为1C 或2C ，由于C 点的坐标为()5,9，则()19,5C -，()29,5C -，显然1245OCC OCC ︒∠=∠=，设直线1CC 的解析式为y kx b =+，由C 和1C 的坐标可得5995k b k b-=+⎧⎨=+⎩，则75322y x =-+，1CC 与x 轴交于153,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理求得2CC 的解析式为25377y x =+， 2CC 与x 轴交于2,0532P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即符合条件的P 点有两点，坐标为53,07⎛⎫ ⎪⎝⎭和053,2⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）如图，过A 、B 两点作①M ，且①M 与y 轴切于点T ，在y 非负半轴上任取一点D （除T 外），连结DB 、DA ，DB 交于①M 于点E ，连结AE ，则∠>∠AEB ADB ，而AEB ATB ∠=∠，①ATB ADB ∠>∠，即动点Q 运动到T 时，①AQB 最大，此时，M 在AB 的中垂线上，所以M 的横坐标为2852+=，即①M 的半径为5，所以，2225(5)16OT OA =--=，①4OT =， 由对称性可知，Q 点的坐标为()0,4或()0,4-.。
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黄冈中学初高中数学衔接教材{ 新课标人教 A 版 }100 页超权威超容量完整版典型试题举一反三理解记忆成功衔接{ 黄冈中学教材系列 }目录第一部分如何做好高、初中数学的衔接 (4)第一讲如何学好高中数学 (4)一高中数学与初中数学特点的变化 (4)二不良的学习状态 (5)三科学地进行学习 (5)第二部分，现有初高中数学知识存在以下“脱节” (8)第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 (9)1 绝对值： (9)2 乘法公式： (9)3 分解因式： (9)4 一元一次方程： (9)5 二元一次方程组： (10)6 不等式与不等式组 (10)第四部分分章节突破 (15)1.1 数与式的运算 (16)1. １ .1 ．绝对值 (16)1.1.2. 乘法公式 (17)1.1.3 ．二次根式 (19)1.1. ４．分式 (23)1 ． 2 分解因式 (28)1 ．十字相乘法 (28)2 ．提取公因式法与分组分解法 (29)3 ．关于 x 的二次三项式ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 的因式分解． (30)2.1 一元二次方程 (31)2.1.1 根的判别式 (31)2 ． 2 二次函数 (44)2.2.1 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图像和性质 (44)2.2.2 二次函数的三种表示方式 (51)2.2.3 二次函数的简单应用 (55)2.3 方程与不等式 (59)2.3.1 二元二次方程组解法 (59)3 ． 1 相似形 (70)3.1.1 ．平行线分线段成比例定理 (70)3 ． 3 圆 (95)3 ． 3 ． 1 直线与圆，圆与圆的位置关系 (95)3 ． 3 ． 2 点的轨迹 (99)第五部分衔接知识点的专题强化训练 (105)专题一数与式的运算 (105)专题二因式分解 (108)1 ．公式法 (108)2 ．分组分解法 (109)3 ．十字相乘法 (109)4 ．其它因式分解的方法 (109)专题三一元二次方程根与系数的关系 (111)专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数 (114)专题五二次函数 (117)专题六二次函数的最值问题 (121)第一部分如何做好高、初中数学的衔接第一讲如何学好高中数学初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。
但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。
在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。
相当部分学生进入数学学习的“ 困难期” ，数学成绩出现严重的滑坡现象。
渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。
造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。
下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。
希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。
一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。
不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“ 玄” 。
确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。
高中数学思维方法与初中阶段大不相同。
初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。
即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等 , 分别确定了各自的思维套路。
因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。
高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。
当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。
这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。
高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。
3 知识内容的整体数量剧增。
高中数学在知识内容的“ 量” 上急剧增加了。
例如：高一《代数》第一章就有基本概念 52 个，数学符号 28 个；《立体几何》第一章有基本概念 37 个，基本公理、定理和推论 21 个；两者合在一起仅基本概念就达89 个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。
加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。
使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。
这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。
这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。
第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。
第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“ 整体集装” 。
如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。
第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。
二不良的学习状态1 学习习惯因依赖心理而滞后。
初中生在学习上的依赖心理是很明显的。
第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“ 模子” ；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。
升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“ 模子” 没有了，家长辅导的能力也跟不上了。
许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。
表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“ 门道” 。
2 思想松懈。
有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。
他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。
高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。
存有这种思想的同学是大错特错的。
有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。
3 学不得法。
老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。
而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。
还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。
4 不重视基础。
一些“ 自我感觉良好” 的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“ 水平” ，好高骛远，重“ 量” 轻“ 质” ，陷入题海。
到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“ 卡壳” 。
5 进一步学习条件不具备。
高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。
这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。
高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。
如二次函数值的求法、实根分布与参变量的讨论、，三角公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应用题及实际应用问题等。
有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。
三科学地进行学习高中学生仅仅想学是不够的，还必须“ 会学” ，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。
1 培养良好的学习习惯。
反复使用的方法将变成人们的习惯。
什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
(1) 制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。
但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。
(2) 课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。
课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。
自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。
(3) 上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。
“ 学然后知不足” ，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。
(4) 及时复习是高效率学习的重要一环。
通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“ 懂” 到“ 会” 。
(5) 独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。
这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知识由“ 会” 到“ 熟” 。
(6) 解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。
解决疑难一定要有锲而不舍的精神。
做错的作业再做一遍。
对错误的地方要反复思考。
实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“ 熟” 到“ 活” 。
(7) 系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。
小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。
经常进行多层次小结，能对所学知识由“ 活” 到“ 悟” 。
(8) 课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。
课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与学习热情。
2 循序渐进，防止急躁。
由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。
有的同学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“ 冲刺” 一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。