强wolfe准则
AAA最优化理论与方法课件(第3章,马昌凤版)
0.78
H
0.02
0.12
0.14
0.02 0.86
0.04 0.06
0.12 0.04
0.72 0.08
0.14
0.06
0.08
0.74
c 0.76, 0.08,1.12, 0.68T
其最小特征值n 0.52,最大特征值1 0.94
1 1
Байду номын сангаас
n n
2
0.081
方法分类：
1、间接法：对简单问题，求解必要条件或充分条件；
零阶法：只需计算函数值 f(x)
2、迭代算法： 一阶法：需计算 ▽f(x)
二阶法：需计算 ▽2f(x)
直接法 梯度法
从梯度下降到拟牛顿法
训练神经网络的五大学习算法
1、梯度下降法，又称为最速下降法
2、牛顿法
3、共轭梯度法（Conjugate gradient）
最优化理论与方法
Chapter 3 最速下降法和牛顿法
经典是永恒的
3.1 最速下降法及其Matlab实现 3.2 牛顿法及其Matlab实现 3.3 修正牛顿法及其Matlab实现
学习的重要性：
1、直接用于无约束的实际问题； 2、其基本思想和逻辑结构可以推广到约束问题；
3、约束问题可以转化成无约束问题求解。
min f (x) x12 x22 .
xR 2
a2 b2
显然该问题有精确解x* (0,0)T , f (x*) 0. 分析a与b 取不同值时迭代次数的变化规律。初始点都取为
(1,1)T，精度取1e-5。
a
b
离心率
迭代次数 最后目标值
d (1) 4 5 1 / 10 9
常用的一维搜索方法
称为搜索方向；
k 称为步长或步长因子。
图1
线搜索迭代法的步骤
0 x (1) 选定某一初始点 ，并令 k : 0;
(2) 确定搜索方向 d
k
k
;
k
(3) 从 x 出发，沿方向 d x k 1; (4) 检查得到的新点
求步长 λ
k
，以产生下一个迭代点
x
k 1
是否为极小点或近似极小点。
若是，则停止迭代。 否则，令 k :k1，转回(2)继续进行迭代。 在以上步骤中，选取搜索方向是最关键的一步。 各种算法的区分，主要在于搜索方向 d
最优解
从当前点出发，按照某 种规则找下一个迭代点 注：迭代格式 不同，对应着 不同的算法
找下一个迭代点
迭代法的分类
可 行 算 法 ： 所 有 迭 代 点 都 是 可 行 点 据 迭 代 点 初始点不好找 的 可 行 性 不 可 行 算 法 ： 至 少 有 一 个 迭 代 点 不 是 可 行 点 初始点任意选取
k k k Tk kk
T k T k g d g k 1 k d,
其中
(, 1 ) ,0 1 .
常用的一维搜索方法
我们主要介绍下面几种方法
“成功—失败”法 0.618法（黄金分割法） 二分法 牛顿法（Newton）和插值法 Armiji-Goldstein 准则 Wolfe-Powell 准则
注意: 1. h 选择要适当.(太大含多个单峰区间,太小迭代次数多)； 2. f (x)单调时无结果, (加迭代次数限制)；
“成功—失败”法----算例
3 例 ：利用“成功-失败”法求函数 f( x )x 2 x 1 的搜索区间， 1 取初始点 x 1 ，步长 h . 2 21 1 h , 解：取初始点 x ，步长 2 2 1 1 5 11 f (x ) f ( ) , f ( x h ) f ( ) f ( 0 ) 1 , 2 8 22 搜 索 成 功 ， 步 长 加 倍 ； 因 为 f () x f ( x h ) ， 1 1 计 算 f ( x h + 2 h ) f ( x 3 h ) f ( 3 ) f ( 1 ) 0 , 2 2 搜 索 成 功 ， 步 长 加 倍 ； 因 为 fxh ( ) fx ( 3 h ) ， 1 1 计 算 f ( x 3 h + 4 h ) f ( x 7 h ) f ( 7 ) f ( 3 ) 2 2 , 2 2 搜 索 失 败 ， 停 止 迭 代 ； 因 为 fx ( 3 h ) fx ( 7 h ) ，
第3章 正交各向异性单向板的强度准则
最大应变理论
1 x cos
2
1 2 12
1 (cos 2 12 sin2 ) x E1 1 (sin2 21 cos 2 ) x E2
2 x sin2 12 x sin cos
1 (sin cos ) x G 12
图3-8 Tsai－Wu张量强度准则
3.5 单向板的强度比方程
3.5.1 强度比定义
在二维应力空间中强度包络线是一个围绕坐标原点的椭圆，如图
3-10所示。对于一单向板，其实际应力场所对应的应力空间点的
位置有如下三种可能： •(1)落在椭圆线上。 (2)落在椭圆线外面。 (3)落在椭圆线的内部， • 所谓强度比(Strength Ratio)是指在比例加载条件下，极限应力与 实际应力之比。强度比Ｒ取值的含义为： •(1)Ｒ＝１，说明单向板的实际应力与极限应力相等，材料进入 极限状态。 (2)Ｒ＞１，说明实际应力小于极限应力。 (3)Ｒ＜１没有意义。
• 单层板在平面应力状态下，主方向的任意 一个分量达到极限应力时，就发生破坏或 失效
– 失效准则有3个相互不影响，各自独立的表达 式组成的，实际上有三个分准则 – 必须转换成材料主方向上的应力 – 理论预报与材料试验值温和的不好
最大应力理论
1 Xc 2 Yc 12 S
拉伸时 压缩时
抗压强度不同，但在材料主方向上的抗剪强度是不随切应力的
方向(即切应力的正负号)而改变。
图3-1
纤维增强单向板 的基本强度
图3-2
在材料主方向的切应力
图3-3
在与材料主方向成45°角方向的切应力
• 基本强度特性
– Xt——纵向拉伸强度；Xc——纵向压缩强度 – Yt——横向拉伸强度；Yc——横向压缩强度 – S——面内剪切强度
极小广义方差法
极小广义方差法1. 引言极小广义方差法（Minimum Generalized Variance, MGV）是一种用于求解优化问题的数值方法。
它可以用于寻找一个函数的最小值点，或者在给定约束条件下找到使目标函数最小化的变量取值。
MGV方法在数学和工程领域都有广泛的应用，特别是在非线性优化、控制理论和机器学习等领域。
本文将介绍极小广义方差法的基本原理、算法步骤以及应用示例，并探讨其优缺点和改进方法。
2. 基本原理极小广义方差法是基于方差的概念进行优化的一种方法。
在确定目标函数最小时，我们希望找到一组变量取值，使得这组取值下目标函数的方差最小。
因此，MGV方法通过调整变量取值来寻找最小方差点。
具体而言，假设我们有一个目标函数f(x)，其中x是一个n维向量。
我们希望找到一个x，使得f(x)最小，并且满足一系列约束条件g(x)<=0。
那么可以定义一个新的函数J(x)，即广义方差函数：J(x) = f(x) + λ * Σ(g(x))²其中λ是一个非负的参数，用于平衡目标函数和约束条件。
当λ趋近于无穷大时，J(x)的最小值点就是满足约束条件的最小值点。
3. 算法步骤极小广义方差法包括以下几个基本步骤：步骤1：确定初始点选择一个合适的初始点x0作为算法的起始点。
步骤2：计算梯度和海森矩阵计算目标函数f(x)在当前点xk处的梯度gk和海森矩阵Hk。
梯度表示了目标函数在当前点的变化率，而海森矩阵则表示了梯度的变化率。
步骤3：求解线性方程组解决下面的线性方程组，找到一个搜索方向pk：Hk * pk = -gk这个方程组可以通过各种数值方法来求解，例如共轭梯度法、牛顿法等。
步骤4：确定步长确定一个合适的步长αk，使得在搜索方向上移动一段距离。
常用的方法有Armijo 准则、Wolfe-Powell准则等。
步骤5：更新变量更新变量xk+1 = xk + αk * pk，并计算新的目标函数值和梯度。
步骤6：判断停止条件根据一定的停止条件判断算法是否终止。
最优化共轭梯度法
最优化共轭梯度法最优化共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种迭代求解线性方程组或优化问题的方法。
它的特点是对于二次正定函数，可以在有限次迭代内精确地求出最优解。
在非二次函数的优化问题中，共轭梯度法表现出了较好的收敛性和全局能力。
共轭梯度法的核心思想是通过选择适当的方向，使得每一次方向的梯度互相“共轭”，从而加快收敛速度。
当目标函数为二次函数时，共轭梯度法能够在有限次迭代中得到精确解；而对于非二次函数的优化问题，共轭梯度法通过先验条件选择合适的方向，最大程度地减小目标函数值。
共轭梯度法的基本步骤如下：1.初始化参数：设置初始点的位置和方向，对于非二次函数，通常选取梯度方向作为方向。
2. 计算步长：通过线方法（如Armijo准则、Wolfe准则等）定位到目标函数上降速度最快的点，并计算目标函数在该点的梯度。
3.更新方向：利用“共轭”梯度法，根据先验条件计算新的方向。
4.判断终止条件：判断目标函数值是否满足设定的终止条件，若满足则停止迭代，否则返回步骤2对于二次函数，最优化共轭梯度法表现出了优良的性能。
当目标函数是非二次函数时，共轭梯度法的表现会有所下降，但仍然比一般的梯度下降法更具有优势。
因此，共轭梯度法常被用于求解大规模线性方程组、信号处理、数字滤波、机器学习等领域。
最优化共轭梯度法的优点在于：收敛速度较快，全局能力较强，不需要存储海量信息。
然而，该方法也存在一些缺点。
首先，共轭梯度法对目标函数的性质有一定的要求，例如目标函数必须是光滑的，并且梯度向量必须是有效的。
其次，共轭梯度法对初始点的选择较为敏感，不同的初始点可能导致不同的解。
总结来说，最优化共轭梯度法是一种高效的优化算法，可以加快目标函数收敛速度，尤其适用于解决二次函数优化问题。
在非二次函数的优化问题中，共轭梯度法以其较好的收敛性和全局能力在实际应用中发挥着重要作用。
frank-wolfe算法基本原理及编程实现
Frank-Wolfe 算法（也称为条件梯度法或梯度投影算法）是一种用于解决凸优化问题的迭代算法。
该算法的基本原理涉及到在每一步通过梯度信息在一个约束集合上寻找一个线性化的近似最优解。
以下是 Frank-Wolfe 算法的基本原理和一个简单的Python 实现。
基本原理：
给定一个凸优化问题：
min x∈C f(x)
其中f(x)是目标函数，C是一个约束集合。
Frank-Wolfe 算法的迭代步骤如下：
1.在当前点x k处计算目标函数的梯度∇f(x k)。
2.在约束集合C中找到一个关于梯度的线性化近似最优解s k。
这通常通过求
解线性子问题来实现。
3.根据线性化近似解更新当前点x k，即执行x k+1=x k+αk(s k−x k)。
4.重复上述步骤直到满足停止准则。
Python 实现：
以下是一个简单的 Python 实现，假设目标函数是二次函数：
这是一个简单的二次函数的例子。
在实际应用中，你需要替换quadratic_objective、quadratic_gradient、和quadratic_linear_oracle为实际问题中的目标函数、梯度函数和线性预测函数。
此外，可以根据实际情况选择合适的步长规则。
第九章一维搜索
第九章一维搜索第九章一维搜索本章开始研究非线性规划的具体算法。
本章首先讨论一维搜索问题，又称为线搜索问题，这是以后各章中介绍的各种计算过程中的重要组成部分。
§1 一维搜索概念考虑非线性规划问题：min ().. f s t S∈x x (NP)的一维搜索问题，其中约束集nS X R ??，目标函数:f X R →。
1.1 一维搜索问题来源根据第八章中求解(NP)的基本下降算法的步骤知，已知迭代点k x 和满足条件()0k T k f ?<="" bdsfid="75" p="" s="">的搜索方向ks 后，要求步长k λ>0，使kkS λ+∈x s ，并且()()k k k k f f λ+<="" bdsfid="81" p="" s="" x="">这就是一维搜索问题，又称为线搜索问题。
这时若对所有0λ>，有kkS λ+∈x s ，则称为无限制一维搜索问题(如nS R =时)，否则称为有限制一维搜索问题。
记()()kkf ?λλ=+x s ，则一维搜索问题(1.1.2)等价于确定步长{0|}k kk S λλλ∈≥+∈x s ，使()(0)k ?λ?< (1.1.3)条件(1.1.1)等价于(0)0?'<。
我们称1()()(0)()kk k k D f f ??λ+=-=-x x 为下降量。
1.2 一维搜索分类一维搜索方法可以分成以下三类：1．简单一维搜索，即取k λ=1。
这种方法计算简便，但不一定满足下降条件(1.1.3)。
2．最优一维搜索，即取arg min ()()k k k k k Sf λλ?λλ+∈==+x s x s ，这时称k λ为最优步长。
【国家自然科学基金】_节省参数_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
科研热词 准循环码 低密度奇偶校验码 高空风 预防维修 鞍结分岔 阻尼比 阵列码 重复积累码 重塑黏土 配平 通信工程 远程监测 近似查询 过程参数 达芬奇技术 调度 表层相变 衍射效率 蚁群算法 膜污染 膜再生 能耗 网络 编译码 编码复杂度 编码器 线搜索 算法 空心试样 移位小波滤波器 移位型小波变换 租赁期限 神经网络bp算法 磨削淬火 硬件执行 矩量法 瞬态特性 疲劳寿命 电磁场积分方程 生物反应器 理论精度 环 片上网络 温度场仿真 渗透压力 渐近式图形文件(pgf) 浸没式膜生物反应器 流体力学 水工结构 水力学方法 正交频分复用 正交投影算子
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106
推荐指数 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
科研热词 推荐指数 节省参数建模 2 频谱 1 音色 1 非线性预测 1 非线性回归 1 非线性估计 1 集总参数模型 1 集合卡尔曼滤波 1 钢琴 1 钉形搅拌桩 1 量化 1 运算时间 1 谐振时钟 1 语音识别 1 语音编码 1 语音信号处理 1 计算机音乐 1 计算方法 1 蒙皮拉形 1 荷载试验 1 节省参数 1 节点修正 1 色散介质薄层 1 航摄影像 1 自适应调制 1 自回归分数整合滑动平均模型 1 能量节省 1 能量效率 1 能量回收技术 1 胶囊内窥镜 1 聚类算法 1 联合定轨 1 联合信源信道编码 1 网络测量 1 红外光谱 1 粒子群优化算法 1 簇内 1 空闲模式 1 稀疏分解 1 移位算子 1 离散时间排队 1 神经网络 1 相平衡 1 监听窗口 1 电力变压器 1 生产率 1 玉米秆浆 1 特快速暂态仿真 1 爆破拉底 1 爆破工程 1 热物性参数 1 漆酶 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
强wolfe准则
摘要：
一、引言
二、强Wolfe准则的定义与原理
1.强Wolfe准则的定义
2.强Wolfe准则的原理
三、强Wolfe准则的应用
1.优化问题求解
2.机器学习与人工智能领域
四、强Wolfe准则的优缺点
1.优点
2.缺点
五、强Wolfe准则的改进与扩展
1.改进方法
2.扩展方向
六、结论
正文：
一、引言
在现代优化理论和实践中，强Wolfe准则作为一种重要的梯度下降方法，
被广泛应用于求解非线性优化问题。本文将详细介绍强Wolfe准则的定义、原
理、应用、优缺点以及改进与扩展，以期为读者提供可读性和实用性强的指
导。
二、强Wolfe准则的定义与原理
1.强Wolfe准则的定义
强Wolfe准则是一种梯度下降方法，用于求解非线性优化问题。给定目标
函数f(x)，其梯度为f(x)，搜索方向为d，步长为α，强Wolfe准则要求满足
以下两个条件：
（1）单调性：α * d >= f(x)
（2）精确性：α * f(x) * d <= 0
2.强Wolfe准则的原理
强Wolfe准则基于梯度的性质，确保每一步搜索方向都与梯度方向相反，
从而达到加速收敛的目的。同时，通过限制步长，确保搜索过程在全局最优解
附近进行，提高求解效率。
三、强Wolfe准则的应用
1.优化问题求解
强Wolfe准则在优化问题求解中具有广泛的应用，如参数优化、机器学习
模型训练等。通过强Wolfe准则，可以高效地求解非线性优化问题，并获得较
快的收敛速度。
2.机器学习与人工智能领域
在机器学习和人工智能领域，强Wolfe准则可以应用于优化目标函数，如
支持向量机、神经网络训练等。通过使用强Wolfe准则，可以提高训练速度，
缩短训练时间。
四、强Wolfe准则的优缺点
1.优点
（1）全局收敛性：强Wolfe准则在一定条件下可以保证全局收敛性，适
用于大规模优化问题。
（2）较快的收敛速度：相较于其他梯度下降方法，强Wolfe准则具有较
快的收敛速度。
（3）适用范围广泛：强Wolfe准则适用于多种非线性优化问题，如参数
优化、机器学习等。
2.缺点
（1）参数选择困难：强Wolfe准则中涉及到步长和搜索方向的选取，参
数选取不当可能导致收敛速度降低。
（2）实际应用中计算复杂度高：强Wolfe准则需要计算目标函数的梯
度，对于大规模问题，计算复杂度较高。
五、强Wolfe准则的改进与扩展
1.改进方法
（1）自适应步长：根据搜索过程的自适应调整步长，提高求解效率。
（2）改进搜索方向：采用更高效的搜索方向，如牛顿法、拟牛顿法等。
2.扩展方向
（1）非线性优化问题：将强Wolfe准则应用于非线性优化问题，提高求
解效率。
（2）大规模问题：针对大规模问题，采用并行计算、分布式计算等方法，
提高求解速度。
六、结论
强Wolfe准则作为一种高效的梯度下降方法，在优化问题求解和机器学习
领域具有广泛的应用。通过深入了解强Wolfe准则的定义、原理、应用、优缺
点以及改进与扩展，可以为读者提供有益的指导。