菲涅耳衍射和分数傅里叶变换.
3第二章 衍射理论(4)菲涅耳和夫琅和费衍射
结论：可以把光波在衍射孔径后的传播现象 看作是线性不变系统。
2.衍射的角谱理论
A
cos
,
cos
A0
cos
,
cos
exp(
jkz
1 cos 2 cos 2 )
衍射公式的频谱表示： A( f x , f y ) A0( f x , f y )H ( f x , f y )
H( fx ,
复习： 1.近轴条件下的基尔霍夫衍射公式
U(P)
1
j
U(P0 )cos(n, r)
cos(n, r0 )
2
e jkr r
ds
1
e jkr cos 1
U(P) j U0(P0 ) r
dS 2
1 e jkr
h(P, P0 ) j z
U( x, y) U( x0 , y0 )h( x x0 , y y0 )dx0dy0
m [ (
4
fx
f0 ,) (
fx
f0 ,)]
F[t( x0 ,
y0 )]
F
1 2
m 2
cos(2f0 x0 )
Frect
x0 l
rect
y0 l
l2 2
s
in
c(lf
y
)s
in
c(lf
x
)
m 2
sinc[l(
fx
f0
)]
m 2
sinc[l(
fx
f
0
)]
将
fx
x
z
,
fy
y
z
代入上式, 并将上式代入U(x,y), 得
U(x, y)
菲涅耳衍射和分数傅里叶变换.
0, 的分数傅里叶变换定义
1 9 0 6
当时 必须另外定义，仍然利用定义广义傅里叶变换 的极限方法有 1 2
exp j 2 F 0 g x lim 0 2
exp x j j
x
0阶分数傅里叶变换给出函数本身， 阶分数傅里叶变换 则给出它的倒象 6
分数傅里叶变换性质
1 9 0 6
1.线性性质 分数傅里叶变换仍然是线性变换，即有
F Ag x Bh x AF g x BF h x
若总的二次位项因子互相抵消，即
tan 2 k 2 s 0 2 2 R
因而，可求出球面的半径 R d sin 2
13
用透镜做孔径的准确分数傅里叶变换
1 9 0 6
类似用透镜实现夫琅和费衍射，可以借助透镜实现实现准确的分数傅里 叶变换 方法很简单，只要在观察平面处放置一个焦距为 f R 的正透镜，在其后的平面上得到的就是准确的分数傅里叶变换，因为在 透镜前的球面上于透镜后的平面上的光场分布是完全一样的，不仅振幅 相同，位相也相同
12
球面半径的计算
1 9 0 6
发散球面波在距光源的平面处会产生一个二次位项因子
k k 2 2 2 exp j x y exp j s 2 R 2 R
若在球面上观察，则球面上产生总的二次位项因子为
k 2 tan 2 exp j exp j s 2 2 R
1
1
2
j 2 x2 jx exp g x dx 2 tg sin
信息光学-第3章 标量衍射理论
对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
rzxx02yy02
泰勒公式：f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a2整)z理(xpp-ta)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。 引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义： (1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的
单色平面波的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们
的值分别取决于角谱的模和幅角。
角谱如何求？就用傅里叶变换整理就ppt 行，注意坐标替换
整理ppt
试写出传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平 面上的复振幅分布（用空间频率来描述）
(fxcos/, fy0)
U (x ,y )A ex p (j2 fxx )
整理ppt
k kx kz;
朝X正方向， fx cos/;
2）不能，波长应该是不会变长的
3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变 化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。 也可由公式：X=波长/cosa得到。
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
UP a0 ejkr
r
rzxx02yy02
2z
思考，公式中的近似 条件为何位相里面不 考虑成r=z
jk z x x02 y y02
U P ae aee 0
2z
0 jkz j2 k z x x02 y y02
透镜的傅里叶变换性质
j
2
x
f
x0
y
f
y0 dx0dy0
c
t(x0, y0 )
f
x
x f
,
f
y
y f
用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在透镜的后 焦面上得到物体的准确的傅里2 透镜的傅里叶变换性质 物理解释
后焦面上光场分布与频谱的对应关系
物分布t (x0,y0)是一个复杂结构, 含有多种空
x
d0
)
,
(q
y
d0 )
仍为物体的F.T., 但
1.仍有二次位相因子 2. 频谱面取值fx =xf /qd0), qd0), 随距离d0 而变. 通过调整d0, 可改变频谱的尺度
fy = yf /
当d0=0时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都是等
价的。
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭面， 则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的关系都是傅里叶变换关 系，即观察面上的衍射场都是夫琅和费型。
关系。
利用菲涅耳公式，透镜前表面:
dUl
( x0
',
y0
';
x,
y)
exp( jkd0 )
jd0
(
x0
x0
,
y0
y0
)
exp
jk
(x
x0
)2 ( 2d0
y
y0
)2
dx0dy0
可写成:
exp[ jkd0
jd 0
]
exp
jk
(x
x0
)2 (y 2d 0
菲涅耳衍射夫琅和费衍射和傅立叶变换
菲涅耳衍射、夫琅和费衍射和傅立叶变换利用基尔霍夫或瑞利-索末菲衍射公式计算衍射光场复振幅分布虽然准确, 但是在计算积分时存在数学上的困难。
在一定条件下对瑞利-索末菲衍射公式进行近似, 便可以将衍射现象划分为两种类型——菲涅耳衍射和夫琅和费衍射, 也称近场衍射与远场衍射。
§4-1 菲涅耳衍射夫琅和费衍射的划分先简单分析一下单色光经过衍射小孔后的衍射现象。
下图表示一个单色平面波垂直照射到圆孔Σ上（圆孔直径大于波长）的情形。
若在离Σ很近的K1处观察透过的光, 将看到边缘比较锐利的光斑, 其形状、大小和圆孔基本相同, 可看作是圆孔的投影。
这时光的传播可看作是直线进行的。
若距离再远些, 例如在K2处, 将看到一个边缘模糊的略大的圆光斑, 光斑内有一圈圈的亮暗环, 这时光斑已不能看作是圆孔的投影了。
随着距离的增大, 光斑范围将不断扩大, 但光斑中圆环数目则逐渐减小（如K3处的情况）, 而且环纹中心的明暗也表现为交替出现。
当观察平面距离很远时, 如在K4处, 将看到一个较大的中间亮, 边缘暗, 且在边缘外有较弱的亮暗交替的光斑。
此后观察距离再增大时, 只是光斑扩大, 但光斑形状不变。
通常菲涅耳衍射指近场衍射, 夫琅和费衍射指远场衍射。
下面我们根据瑞利-索末菲衍射公式来讨论远和近的范围是怎样划分的。
考虑无限大的不透明屏上的一个有限孔径Σ对单色光的衍射。
设平面屏有直角坐标系(x1, y1), 在平面观察区域有坐标系(x, y), 两者坐标平行, 相距z 。
一、 菲涅耳衍射（近场衍射）在第三章里我们已经得到开孔的瑞利-索末菲衍射公式是⎰⎰∑=dS K r e P U j P U jkr)()(1)(10θλ在图所示的坐标系下, 上式可以写为⎰⎰∑-+-+-+-+=1121212)()(110)()()(),(1),(21212dy dx K y y x x z ey x U j y x U y y x x z jk θλ假设观察屏和衍射屏的距离z 远远大于Σ的线度和观察范围的线度, 那么在z 轴附近1)(≈θK}8])()[(2)()(1{])()(1[)()(4221212212121212121212 +-+-+-+-+=-+-+=-+-+=z y y x x z y y x x z zy y z x x z y y x x z r的情况下, 忽略二阶以上小量, 有]2)()(1{)()(2212121212z y y x x z y y x x z r -+-+≈-+-+=所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑-+-∑-+-+∑-+-+∑-+-+=≈-+-+≈-+-+=112)()(11011]2)()(1[1101122121]2)()(1[1101121212)()(1102121221212212121212),(1),(1]2)()(1[),(1)()()(),(1),(dy dx e y x U e jz dy dx e y x U jz dy dx z y y x x z ey x U j dy dx K y y x x z ey x U j y x U zy y x x jkjkzz y y x x jkz zy y x x jkz y y x x z jk λλλθλ这一近场近似公式称为菲涅耳衍射公式。
菲涅耳衍射
z1 2d 2 / 2 (0.1)2 / 632.8 106 15.8mm
同理
z2 395mm
z3 1580mm
2020/8/16
泰伯距离为：
zT 2d 2 /
可见：可以通过上式测量波长、光栅常数。
2020/8/16
几个世纪以前,法国丝绸工人曾发现两块叠合在一起的薄绸子 在光线的照射下会产生绚丽的花纹,他们把这种自然现象称之 为“莫尔”现象。
x
x0
2
y
y0
2
则： U x, y U x0, y0 h x x0, x y0 ds
菲涅耳光衍射的物理意义：受入射光波加权的用二次曲面代 替球面的惠更斯子波的叠加结果 可见，菲涅耳近似下光传播过程具有空间平移不变性。
2020/8/16
U x, y exp jkz
j z
z
x2 0 max
y2 0 max
及
z
x2 max
y2 max
2020/8/16
因而
fx
cos
x x0 z
1,
fy
cos
y y0 z
1,
H (cos , cos ) exp jkz 1 cos2 cos2
二项式展开
用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则
1
2
f
2 x
A( fx , f y , z) A( fx , f y , 0)H ( fx , f y )
对上式作傅里叶反变换有
U(x, y, z) F1{A( fx, fy , z)} F1{A( fx, fy ,0)} F1{H( fx, fy,)}
U (x0 , y0, 0) h(x0, y0, 0)
3.4 菲涅尔衍射
第一、二个半波带 第一、 在P点振动的贡献
a1
n =1/ 2
A = 2 AF I = 2I F
AF
a2
r r A = a1 + a2 2
A
每个半波带是 一个直径逐渐 减小的半圆
向中心逐 渐盘曲的 密螺旋线
P点合振动的位相落后波 点合振动的位相落后波 带中心次波源在P点振动 带中心次波源在 点振动 位相 π / 2
An (P) = a1 − a2 + a3 −... + (−1)n−1an
1
O
S
r0
P
依据菲涅耳依据菲涅耳-基尔霍夫积分 P点的合振动决定于 点的合振动决定于 波带面积 距离 倾斜因子
B
1. 球冠高 h 第K个半波带的外缘半径 个半波带的外缘半径
R
S
O′ h O
ρ
r
P
B′
Kλ 2 ρK = R −(R − h) = (r0 + ) −(r0 + h)2 2 2 2 Kλ 2 = 2Rh − h = r0Kλ + − 2r0h − h2 42 2 Kλ r0Kλ + 4 h= 2(R + r0 )
N =N
max 2 ρN = λR
称为菲涅耳数， 称为菲涅耳数，它是一个描述 圆孔衍射效应的很重要的参量。 圆孔衍射效应的很重要的参量。
此后，随着r 的增大， 此后，随着r0的增大，P点光强不再出现明暗交替 的变化，逐渐进入夫朗和费衍射区。 的变化，逐渐进入夫朗和费衍射区。 夫朗和费衍射区 而当r 很小时， 很大，衍射效应不明显。 而当r0很小时，N很大，衍射效应不明显。当r0小 到一定程度时，可视光为直线传播。 到一定程度时，可视光为直线传播。- -几何区
光学经典理论傅里叶变换
光学经典理论｜傅里叶光学基础2018-02-24 17:00今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础，傅里叶光学是现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。
光学人们可以看看！在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。
在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。
两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。
包含内容60年代发明了激光器，使人们获得了新的相干光源后，傅里叶光学无论在理论和应用领域均得到了迅速发展。
傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统理论对广泛的光学现象作了新的诠释。
其主要内容包括标量衍射理论、透镜成像规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。
推导演示一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。
从信息论角度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一个通信信道。
这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。
当物体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）关系。
而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)（狄喇克δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空间位移而变（即等晕条件）。
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用分数傅里叶变换表示菲涅尔衍射公式是近代 光学的一个最新发展
1 9 0 6
1
分数傅里叶变换
1 9 0 6
衍射孔径上场分布的夫琅和费衍射与傅里叶变换的密切关系
是否在菲涅耳衍射与傅里叶变换也有某种直接联系？
分数傅里叶变换理论提供了这种可能。 分数傅里叶变换的初步概念是1937年，Condon就提出的， Bargmann在1961年进一步发展了这些概念。Namias在1980年 建立了比较完整的分数傅里叶变换理论 九十年代初分数傅里叶变换被引入到光学之中，陆续提出用 梯度折射率光波导、透镜系统实现分数傅里叶变换及阶数连 续的分数傅里叶变换。光学分数傅里叶变换作为数学和光学 的一个交叉领域，变得十分活跃，包括菲涅耳衍射和分数傅 里叶变换的对应关系的研究
2.位移性质
acosα F g x a exp jasin ξ G acos 2
3.可加性性质 F F g x F F g xF g x 即， 阶和 阶变换依此作用的结果相当于 阶的一次 变换,由于在上式中 和 是对称的，所以有可对易的 且
F F g xF F g xF g x
F F g xF F g xF g x g x
exp x j j
x
0阶分数傅里叶变换给出函数本身， 阶分数傅里叶变换 则给出它的倒象 6
分数傅里叶变换性质
1 9 0 6
1.线性性质 分数傅里叶变换仍然是线性变换，即有
F Ag x Bh x AF g x BF h x
4
分数傅里叶变换“定理”的证明（续）
1 9 0 6
作一定的代数简化后得
j x 2 x 2 1 exp 2πsinα 2tgα j x 2 x 2 1 exp 2πsinα 2tgα
g x
g x δ
F g x
常规傅里叶变换是分数傅里叶变换的特殊情况。当 和 时它转化为常规傅里叶变换
F g x g x exp( jx) dx
F 2 G
1 2
G exp( jx)d
1
1
2
j 2 x2 jx exp g x dx 2 tg sin
分数傅里叶反变换
2
j 2 x2 jx exp g x dx 2 tg sin
式中 G 称为 g x 的分数傅里叶谱， 称为分数傅里 叶变换的维，是连续变化的实数，其值应满足
1 2
j ξ 2 x 2 jξ x G ξ dξ exp 2tgα sinα
1
2 exp j j 2 x2 j x 2 exp 2 sin 2tg sin 1 2 exp j 2 2 j x j x g x dx d 2 exp 2 s in 2 tg sin
分数傅里叶变换的定义
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分数傅里叶正变换
exp j 2 G Fa g x 2 sin
exp j 2 F a g x 2 sin
j 2 x2 jx exp g x dx 2
lim
0
exp x
2
j 2
j 2
g xdx
g x x dx g
lim
其中利用了
函数的一种定义
5
0, 的分数傅里叶变换定义
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当时 必须另外定义，仍然利用定义广义傅里叶变换 的极限方法有 1 2
exp j 2 F 0 g x lim 0 2
可以证明
F F g x g x
3
分数傅里叶变换“定理”的证明
1 9 0 6
证明方法主要利用 函数性质
F α Fα g x F α G ξ π exp j α 2 2 π sin α
j x x ξ dξ dx exp sinα
j x 2 x 2 exp 2tgα
g x δx x dx g x F
x x dx 2 πsinα