分数阶傅里叶变换FRFT的研究
一种分数阶傅里叶变换快速算法的研究
一种分数阶傅里叶变换快速算法的研究作者：黄琼玲刘振兴尉宇来源：《现代电子技术》2008年第09期摘要：介绍了分数阶傅里叶变换的定义，接着提出了一种分数阶傅里叶变换的快速算法，其中分数阶傅里叶变换快速算法分三步进行：线性调频信号乘法，线性调频信号卷积，另一个线性调频信号乘法,从而利用FFT来计算FRFT。
这种算法思想直观，结果与连续FRFT的输出接近。
最后用具体的信号作了计算机仿真，并给出Matlab仿真结果图。
关键词：分数阶傅里叶变换；FFT；时频分析；卷积中图分类号：文献标识码：A文章编号：1004-373X(2008)09-156-Research on Fast Algorithm for Fractional Fourier Transform(Department of Information,Wuhan University of Science and Technology,Wuhan,430081,China)Abstract：The definition of the Fractional Fourier Transform (FRFT) is presented in the paper.A new algorithm for efficient and accurate computation of FRFT is given.The new algorithm of FRFT includes three steps:The multiplication of linear frequency modulation signal;the convolve of linear frequency modulation signal;another multiplication of linear frequency modulation signal;so as tomake use of FFT to compute FRFT.This kind of calculate waykeeps a view and the output is closeto the continuous FRFT.Finally,a few simulation results for some typical signals are provided to compare with previous ones by other methods in the end.Keywords：fractional fourier transform;FFT;time-frequency analysis;convolve1 分数阶傅里叶变换的定义传统的傅里叶变换(FFT)对平稳信号的处理效果很好，但当信号频率随时间变化时，FFT 就显得有些力不从心了。
基于分数阶傅里叶变换的线性调频信号分辨率分析
基于分数阶傅里叶变换的线性调频信号分辨率分析
张南;陶然;单涛;王越
【期刊名称】《电子学报》
【年(卷),期】2007(035)00z
【摘要】分数阶傅里叶变换(FRFT)是分析线性调频信号(LFM)最有效的工具之一.本文研究了LFM信号在分数阶傅里叶域(FRFD)上的分辨性能以及变换阶次上的分辨性能,并研究了变换阶次误差对输出信噪比的影响,分别得到了 FRFD分辨率、变换阶次分辨率、输出信噪比损失与信号持续时间及调频率的关系,为利用FRFT进行LFM信号检测和参数估计时的分辨率分析、变换阶次搜索步长的选择等提供一定的理论参考.
【总页数】6页(P8-13)
【作者】张南;陶然;单涛;王越
【作者单位】北京理工大学信息科学技术学院电子工程系,北京,100081;北京理工大学信息科学技术学院电子工程系,北京,100081;北京理工大学信息科学技术学院电子工程系,北京,100081;北京理工大学信息科学技术学院电子工程系,北
京,100081
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.72
【相关文献】
1.基于分数阶傅里叶变换的线性调频脉冲信号波达方向估计 [J], 王瑞;马艳
2.基于分数阶傅里叶变换的线性调频信号分辨率分析 [J], 张南;陶然;单涛;王越
3.基于短时分数阶傅里叶变换的非线性调频类信号检测 [J], 闫恒庄;陈军;汪飞;周建江
4.基于插值短时分数阶傅里叶变换-变权拟合的线性调频信号参数估计 [J], 曹伟浩; 姚直象; 夏文杰; 闫肃
5.基于分数阶傅里叶变换的低信噪比线性调频信号参数快速估计算法 [J], 刘利民;李豪欣;李琦;韩壮志;高振斌
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分数阶傅里叶变换信号去噪 matlab
分数阶傅里叶变换（FrFT）信号去噪是数字信号处理领域的一个重要研究方向，而Matlab作为一个功能强大的数学计算软件，提供了丰富的工具和函数来进行分数阶傅里叶变换信号去噪的实现。
在本文中，我将结合分数阶傅里叶变换去噪的原理和Matlab的相关工具，介绍分数阶傅里叶变换信号去噪的方法和步骤。
1. 分数阶傅里叶变换（FrFT）的原理分数阶傅里叶变换是传统傅里叶变换的一种推广形式，它引入了一个分数阶参数α，可以更灵活地描述信号的频率特性。
分数阶傅里叶变换的表达式为：其中，t为时间变量，f(t)为信号，Fα{f(t)}为信号f(t)的分数阶傅里叶变换。
2. 分数阶傅里叶变换信号去噪的原理分数阶傅里叶变换信号去噪的原理是利用分数阶傅里叶变换对信号进行变换，通过滤波或者其他处理方法去除信号中的噪声成分，从而得到清晰的信号。
相对于传统的傅里叶变换去噪方法，分数阶傅里叶变换方法可以更好地保留信号的特征和细节。
3. 分数阶傅里叶变换信号去噪的步骤分数阶傅里叶变换信号去噪的步骤主要包括以下几个步骤：（1）读取信号数据：首先需要从外部文件或者其他数据源中读取原始信号的数据。
（2）分数阶傅里叶变换：利用Matlab提供的分数阶傅里叶变换函数对原始信号进行变换，得到信号的频域表示。
（3）噪声分析：对频域表示的信号进行噪声分析，确定噪声的特性和成分。
（4）滤波处理：根据噪声的特性和成分，设计合适的滤波器对信号进行滤波处理，去除噪声成分。
（5）逆变换：将滤波处理后的信号进行逆变换，得到去噪后的信号。
（6）结果分析：对去噪后的信号进行分析，评估去噪效果，并可以进行进一步的处理和分析。
4. Matlab实现分数阶傅里叶变换信号去噪的例子以下是一个简单的Matlab代码示例，演示了如何使用Matlab实现分数阶傅里叶变换信号去噪：```matlab1. 读取信号数据data = load('signal_data.txt');2. 分数阶傅里叶变换alpha = 0.8;frft_data = frft(data, alpha);3. 噪声分析这里需要根据具体的信号和噪声特性进行分析4. 滤波处理这里可以根据噪声特性设计合适的滤波器对frft_data进行滤波处理5. 逆变换denoised_data = ifrft(frft_data, alpha);6. 结果分析这里可以对原始信号和去噪后的信号进行比较分析这只是一个简单的示例，实际的信号去噪过程可能会更加复杂和深入，需要根据具体的情况进行调整和完善。
分数阶傅里叶变换
分数阶傅里叶变换
分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FrFT）是傅里叶变换（FFT）的一种变体，主要用于信号和图像的处理和分析，它能够重构信号或图像的频域特征。
跟FFT相比，它可以提供更多的
频域参数，它的使用可以减少信号、图像的处理的时间，提高处理的
速度。
分数阶傅里叶变换的原理是将时域信号和图像通过一定的欧拉角
旋转轴系变换到频域进行处理，此处欧拉角旋转轴系是指改变时域变
量t的旋转角度ω，表示为比率α。
对于某一序列的信号变换到频域，则可以写为：F(ω,α)=Ft(Aw，αω)。
当把FFT的轴系旋转，会到达一个新的傅里叶变换领域，可以构
建分数阶傅里叶变换。
分数阶傅里叶变换的关键参数是α ，α由下
式给出：（ω，α）=（t，αt）。
α参数越大，则傅里叶变换域的
缩放程度也就越大，即改变FFT轴系旋转的程度越大，最终能够把信
号变换到一个更大更远的领域，例如远离原点的时域。
分数阶傅里叶变换的基本运算是通过一组定义的参数，前面已介
绍的α的参数就是其中的关键参数，所有的运算都由这个参数决定，
而信号或图像则由傅里叶变换的子函数来完成变换。
分数阶傅里叶变换过程分为5步：第一步，先检查信号的长度；第二步，根据前面定义的α参数，计算轴系旋转的角度θ；第三步，在频域求解零级子函数来提取信号或图像的特征；第四步，计算转换后的特征值；第五步，对其进行融合，降低噪声等。
分数阶傅里叶变换用在信号和图像处理当中，有着很多应用，例如图像检测、图像压缩等，它能够提高处理效率，减少计算任务的复杂度，同时提供更多的频域参数来进行分析和处理。
分数阶傅里叶变换时延估计
分数阶傅里叶变换时延估计
分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，FrFT）是一种广泛用于信号处理和图像处理领域的变换方法，可以对信号进行频域到频域的变换，而不是像传统的傅里叶变换那样从时域到频域的变换。
在FrFT中进行时延估计可以通过分析变换后信号的相位来实现。
时延估计是通过对信号进行相位分析来确定信号在时间上的延迟。
在FrFT中，可以通过分析变换后信号的相位来估计信号的时延。
具体步骤如下：
1. 对待测信号进行FrFT变换，得到变换后的信号。
2.分析变换后信号的相位信息，通常可以通过计算相位谱来实现。
相位谱可以通过取变换后信号的傅里叶变换，然后计算傅里叶变换结果的相位来获得。
3. 在相位谱中找到信号频率对应的相位，根据相位变化的情况确定信号的时延。
通常情况下，相位谱中相位的变化与信号的时延成正比关系。
需要注意的是，FrFT对信号的频率和时延的估计精度受到多种因素的影响，包括信号的带宽、采样率、噪声水平等。
因此，在进行时延估计时，需要综合考虑这些因素，采用适当的算法和方法来提高估计的准确性和稳定性。
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分数阶傅里叶变换在图像水印中的应用研究的开题报告
分数阶傅里叶变换在图像水印中的应用研究的开题报告一、研究背景和意义近年来，随着数字技术的发展，图像的传输和存储日益普及，图像安全也成为了研究热点之一。
图像水印技术作为数字图像保护的有效手段，已经成为了实际应用中的重要技术之一。
在图像水印技术中，傅里叶变换一直是实现算法的基础之一。
然而传统的傅里叶变换只适用于整数阶，不能满足在实际应用中对高精度和高分辨率的需求。
为解决这一问题，分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，FRFT）被广泛应用于信号处理、通信和图像处理等领域。
FRFT是傅里叶变换的一种推广，可以表示为傅里叶变换和一组旋转因子的复合，满足分数阶的变换指数。
它不仅能够描述信号的时间域和频率域，还能够描述信号的时频域，且可以做到具有特定移相性质，可以处理一些传统傅里叶变换无法处理的信号，如非平稳信号。
为应用分数阶傅里叶变换于图像水印技术中，可以使得图像水印更加难以被破坏和复制，提高了图像水印技术的安全性和可靠性。
二、研究目的和内容本次研究旨在探究分数阶傅里叶变换在图像水印中的应用，并结合实际情况进行算法优化。
具体研究内容包括：1. 基于分数阶傅里叶变换的图像水印算法原理研究；2. 分数阶傅里叶变换与传统傅里叶变换的比较和分析；3. 实现基于分数阶傅里叶变换的图像水印算法，并在实验中验证其有效性和可靠性；4. 进行算法优化，提高图像水印的鲁棒性和隐蔽性。
三、研究方法本研究主要采用文献资料法、数理分析法、实验法等研究方法进行。
1. 文献资料法：通过查阅有关分数阶傅里叶变换及图像水印等领域的专业书籍、期刊论文和国内外学术论文，掌握分数阶傅里叶变换的原理、特点和应用以及图像水印技术的相关理论和现状。
2. 数理分析法：对分数阶傅里叶变换的性质、算法和实现进行数学分析和推导，探究其在图像水印中的应用。
3. 实验法：编写分数阶傅里叶变换和图像水印算法的程序，利用MATLAB等工具进行实验仿真。
分数阶傅里叶变换FRFT研究
9. 频域微分特性 F[(-jw)f(t)]=dF(w)/dw
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三.分数阶Fourier变换的基本性质
➢ 线性性质
Fp[c1f(t)+c2g(t)]=c1Fpf(t)+c2Fpg(t) FRFT为线性变换,因而它满足叠加原理,这是一个非常 好的性质,我们知道Wigner-Ville分布由于它仅满足 二次叠加原理，它的时频分布存在自频率分布（信号 项）和互频率分布（交叉项），许多文章都在怎么消 除掉交叉项提出看法，FRFT的线性叠加原理保证了 仅有信号项，没有交差项，所以用它实现滤波具有更 好的效果。
➢ 有的信号重构不需要条件,有的信号重构有时需要一 定的条件。
➢ 比如， （1）FFT与IFFT(无条件）
G(w)= g(t) e-jwtdt /√2 g(t)= G(w) ejwtdw /√2
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二.FRFT的基本概念
（2）STFT: ST z(t,F f) T [z(t')* (t' t)e ]j2 f'd t '
5.正交性
K p ( t,u )K * p ( t,u ')d t( u u ')
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二.FRFT的基本概念
➢ 广义Fourier变换的两个特例 1.以传统的Fourier变换为例,我们可
以看出,传统的Fourier变换为广义 Fourier变换的一个特例, 在广义 Fourier变换中,令p=1即为传统的 Fourier变换. 此时广义Fourier变换的核函数即为传 统的Fourier变换中的标准正弦正交基函数 2.在广义Fourier变换中,令p=0即为输入的时间函数 x(t),p=0 =0核函数为(t-u) 3.传统的Fourier变换为广义Fourier变换的一个特例 4.核函数为p的连续函数
分数阶傅里叶变换的原理与应用
分数阶傅里叶变换的原理与应用分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FRFT）是一种广义的傅里叶变换方法，可以描述信号在时频域中的变换关系。
与传统的傅里叶变换相比，分数阶傅里叶变换具有更广泛的应用领域和更强大的变换能力。
本文将介绍分数阶傅里叶变换的原理及其在信号处理中的应用。
分数阶傅里叶变换的原理可以通过分数阶傅里叶变换核（Fractional Fourier Transform Kernel）来描述。
分数阶傅里叶变换核是一种特殊形式的线性空间变换核，它由角度参数α和分数阶参数β决定。
通过调整α和β的取值，可以实现对信号在时频域中的不同变换操作。
分数阶傅里叶变换可以看作是一种旋转和拉伸的变换方式。
当α=0时，分数阶傅里叶变换退化为傅里叶变换；当β=1时，分数阶傅里叶变换退化为时域的平移操作；当α和β均为分数时，分数阶傅里叶变换可以描述信号在时频域中的复杂变换关系。
分数阶傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用。
首先，它可以用于信号的分析和合成。
通过分数阶傅里叶变换，可以将信号从时域变换到频域，进而实现对信号的频谱分析。
同时，分数阶傅里叶变换还可以将频域的信号合成为时域的信号，从而实现信号的合成。
分数阶傅里叶变换可以用于信号的压缩和去噪。
在信号的压缩中，通过选择合适的分数阶参数β，可以实现对信号的降维压缩，从而减少存储空间和传输带宽。
在信号的去噪中，分数阶傅里叶变换可以将信号在时频域中的噪声分离出来，从而实现对噪声的去除。
分数阶傅里叶变换还可以应用于图像处理和通信系统中。
在图像处理中，分数阶傅里叶变换可以用于图像的特征提取和图像的变换操作。
在通信系统中，分数阶傅里叶变换可以用于信号的调制和解调，从而实现对信号的传输和接收。
分数阶傅里叶变换是一种重要的信号处理方法，具有广泛的应用前景。
通过对信号的分析和合成、信号的压缩和去噪，以及在图像处理和通信系统中的应用，分数阶傅里叶变换可以实现对信号在时频域中的变换和处理，从而提高信号处理的效果和性能。
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二.FRFT的基本概念
传统Fourier变换的定义及性质
两个函数g(t)与G(w)为Fourier变换对 G(w)= g(t) e-jwtdt /√2 g(t)= G(w) ejwtdw /√2
G(w)=F(g(t)) F2(g(t))=F[F(g(t)] =g(-t) F3(g(t))=G(-w) F4(g(t))=F[F3(g(t)] =g(t)
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主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9 问题的提出 FRFT的基本概念 FRFT的基本性质 一些常见信号的FRFT FRFT的计算方法 FRFT的二维表示 FRFT的应用 FRFT域内的算子 我的想法
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一.问题的提出
信号的时频滤波 时域滤波 频域滤波 时频域滤波
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二.FRFT的基本概念
分数阶的Fourier变换的定义 Fourier变换可以看成时域与频域的关系，在时频平面上为 旋转/2,我们定义一个实数=p/2,其中p为任意实数，那么是 否存在旋转角度为的Fourier变换？ 旋转角度不为/2的整数倍的情况下,存在什么样的变换呢? 如果存在,则我们称之为分数阶的Fourier变换. 它应具有的基本性质: 1. 零旋转 R0=I 2. 与Fourier变换等价 R /2=F 3. 旋转相加性 RR=R + 4. 恒等变换 R2 =I
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其中核函数为:
X (u) {F [ x(t )]} (u) K (t, u) x(t )dt
=p/2
若 n 若 2n 若 (2n 1)
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二.FRFT的基本概念
核函数具有以下性质:
1.互换性 2. 3.
4.积分相加性（完备性）
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二.FRFT的基本概念
X p (u) {F x}(u) x(t ) K p (t , u)dt
p
1 u 2 cot j t 2 cot 1 j cot j 1 jut csc 2 2 e x ( t ) e e dt, 2 x(t ), x(t ),
* p
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二.FRFT的基本概念
广义Fourier变换的两个特例 1.以传统的Fourier变换为例,我们可 以看出,传统的Fourier变换为广义 Fourier变换的一个特例, 在广义 Fourier变换中,令p=1即为传统的 Fourier变换. 此时广义Fourier变换的核函数即为传 统的Fourier变换中的标准正弦正交基函数 2.在广义Fourier变换中,令p=0即为输入的时间函数 x(t),p=0 =0核函数为(t-u) 3.传统的Fourier变换为广义Fourier变换的一个特例 4.核函11/21
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一.问题的提出
有用信号为 2 (t-4) 高斯信号e
干扰为 2 -j t 线性调频信号e .
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一.问题的提出
信号:高斯包络的线调频信号(LFM) 干扰为加性实值白噪声.
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一.问题的提出
LFM信号可广泛应用于各种信息系统 通信 雷达 声纳 地质勘探
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2018/11/21
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相关术语
FRFT:Fractional Fourier Transform 广义Fourier变换: Fractional Fourier Transform STFT:Short-Time Fourier Transform MSTFT:Modified Short-Time Fourier Transform WD: Wigner Distribution LFM: 线调频信号
K p (t , u) K p (t ,u)
K p (t , z ) K q ( z, u )dz K p q (t , u )
K p (t , u) K p (u, t ) * K p (t , u) K p (t , u)
5.正交性
K p (t , u ) K (t , u ' )dt (u u ' )
分数阶FROURIER变换
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本小组人员
李耀民
张咏梅
张陆勇 张风山 王春光 邓天乐
朱雪田 孙华明
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2018/11/21
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分数阶FROURIER变换
目标： FRFT 的本质特征之一：旋转不变性 FRFT 的本质特征之二：FRFT的内涵 FRFT特别适用于LFM信号的分析与处理 FFT为FRFT的一个特例
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2018/11/21
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二.FRFT的基本概念
核概念及性质 设p为任意实数,我们定义广义Fourier变换: p p p
1 j cot j ( 1 u 2 cot ut csc 1 t 2 cot ) 2 e 2 , 2 K p (t , u ) (t u ), (t u ),
若 n 若 2n 若x (2n 1)
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二.FRFT的基本概念
方波的几种分数阶Fourier变换. 实线: 实部
虚线: 虚部
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2018/11/21
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二.FRFT的基本概念
图(a): 三角函数rect(x/2)* rect(x/2)的幅值（实线） 和p=0.5的FRFT的幅值 （虚线） 图(b):图(a)的相位，三角函数 （实线），FRFT（虚线） 图(c):有限长正旋函数 e j2x rect(x/20)的实部 图(d):图(c):有限长正旋函数的 FRFT(p=0.5)的实部 图(e):线性调频函数e -j2x2的 实部 图(f):图(e)的FRFT (p=2arctan(-2)/ +1)