组合公式及证明

第十讲 组合恒等式

一、 知识概要

数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础，并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。解决这类问题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。同时，此类问题的解决也有着自身特殊的解题技巧。因此，在各类数学竞赛中经常被采用。 1，基本的组合恒等式

简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。事实上，许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通过转化，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。课本中的组合恒等式有：

①r n r

n n C C -=； ②111r r r

n n n C C C +++=+；

③1

1k k n n kC nC --=； ④r m m r m

n r n n m C C C C --=； ⑤012

2n n n n n n C C C C +++

+=；

⑥()012

10.n

n n n n n C C C C -+++-=

2，解题中常用方法

① 运用基本组合恒等式进行变换；

② 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明； ③ 运用数学归纳法； ④ 变换求和指标； ⑤ 运用赋值法进行证明；

⑥ 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明； ⑦ 构造合理的模型。

二、 运用举例

例1，求证：1231232n

n n n n n C C C nC n -+++

+=⋅.

证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条，可得： 左边0

1

2

1111112

n n n n n n nC nC nC nC n ------=++++=⋅=右边 例2，求和式

21

n

k

n

k k C

=∑的值。

基本思路：将2k

n k C 改写为k n k kC ⋅，先将k n kC 用恒等式3提取公因式n ，然后再将1

1k n kC --变形

成为()1

1

111k k n n k C C -----+，而()1

11k n k C ---又可以继续运用上述恒等变形，这样就使得各项系数

中均不含有变动指标k 了。 解：

()2111

1

1

11

1

1

11

11n

n n

n

n

k k k k k n

n

n n n k k k k k k C

k kC k nC

n k C

n k C ------======⋅=⋅=⋅=-+⋅∑∑∑∑∑

()()1

121

1

1

211

1

11n

n

k k k k n n n n k k n k C

C

n n C C --------==⎡⎤⎡⎤=-⋅+=-⋅+⎣⎦⎣⎦∑∑

()()21212121212111n n n n

k k k k n n n n k k k k n n C C n n C n C --------====⎡⎤=-⋅+=-+⎢⎥⎣⎦

∑∑∑∑

()()21212212n n n n n n n n ---=-+=+

例3，求

()

2004

20050

1k

k

k C =-∑的值。

解：

()

()

2004

2004

122004

20052005200520050

111k

k k C C C C =-=-+-

+-∑

(

)(

)

()

()2004

01

12

2003

200420042004200420042004

200411C C C C C

C =-+++-

+-+

1= 。

例4，设,m n N +

∈，求证：

()()()1

220

13313

n k n

m k m k m mn n -=+++=

++-∑。

基本思路：由两个连续自然数m k +与1m k ++的积，联想到可化为2

12m k C ++，进一步运用

1111r r r r r

r r r r k r r r k C C C C C C ++++++++

+=+++，反复运用基本的组合恒等式2即可化简。

证明：

()()()1

2

2

2

1

20

12n m m m n k m k m k C

C C -+++=+++=++

+∑

()()22

22

222

2

2

31232m m m n m C C C C C C C C ++⎡⎤=+++++

+-++

+⎣⎦

()()33

221123313

m n m n

C C m mn n +++=-=

++- 例5，当m n ≤时，求证()()110

m

n

r

r m

n r r m C C =⎧-⎪-=⎨⎪⎩∑

基本思路：利用基本组合恒等式4化简原式左边各项，使得化简后仅有r m

n m C --中含有变动指标

r 。

证明：显然，当m n =时，原式左边()()11m

m

m

m

m m C C =-=-。

当m n <时，利用基本组合恒等式4可得： 左边()

()

11n

n

r

r

m

r m m r m n n m

n

n m r m

r m C C

C

C ----===

-=-∑∑。只要令r m k -=，原式即可变为：

()

()

()()

11110n

n m n m r

m k

m

k

m

r m m k m k n

n m

n

n m

n

n m r m

k k C

C

C

C

C

C --+----===-=-=--=∑∑∑。即原式成立。

说明：变换求和指标是解决较复杂的组合记数的一种常见技巧，它可以起到简化计算的目的。变换求和指标时，要注意求和指标的上、下限需要同时变换。 例6，求证：

()2120

2!

22!!

n

k n n k n C n n -==+

⋅⋅∑。

证明：

()2222212

222222220

1

1

22n

n

n

n

k k k

n

k n n n n

n

n

n

n

n n n k k k n k n C

C C

C

C C C ++===+=+=-

=-

=-+++∑∑∑∑

()121

20222222220

22

2n n

n

n n n

k

n

k n

n

n

n

n

n n k k C

C

C

C C C ---===-+++=-=-+∑∑

()()m n m n =<