高中数学空间向量课件
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高中数学数学：3.1.2《空间向量及其运算-数乘运算》课件
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即：(a b) a b
（ ）a a a
(a) ()a
1、空间共线向量充要条件：
对于空间任意两 a,b(个 b0向 ),a量 //bab
推论： 对于空间O一 点 , P点 在直l上 线的充要条 存在实 t，数使 OPOAta
2、 p与a,b共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 唯 一 的 有（ 序 x,y实 )使数 px对 ayb
OAOBOCOD
向 量 的 平 行 与 重 合
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那
么 a 与 b 有什么关系?反过来呢? 类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b . c
b
a
思考(2)
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
那么如何表示直线 l 上的任一点 P ?
•l
A•
P
a
注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
作业:课本 P106 A 组第 1、2 题
例2：平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足以下各式的x的值。
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
例2：平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足以下各式的x的值。
( 2 ) 2 A D 1 B D 1 x A C 1 ( 3 ) A C A B 1 A D 1 x A C 1
空间向量的基本定理-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册优秀课件
1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
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3.若向量M→A，M→B，M→C的起点 M 和终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，则
能使向量M→A，M→B，M→C成为空间一组基底的关系是
(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( )
【解析】(1)错误.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段可以平
移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. (2)错误.当向量a,e1,e2共面时,才有a=λe1+μe2λ,μ∈R). 3)错误.当b=0,a≠0时,不存在实数λ,使a=λb. 答案:(1)× (2)× (3)×
不共面
特别地，如果空间的一 个基底中三个基向量两 两垂直，且长度都为 1， 这个基底叫 _单_位_正_交__基_底___,常用 a, b, c 表示，把空间向量分解 为三个两两 垂直的向量，叫作把空 间向量进行 __正_交_分__解_.
空间向量的基本定理-【新教材】人教 A版高 中数学 选择性 必修第 一册优 秀课件
空间向量的基本定理
1．我们把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量． 2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？ 3．空间向量加法满足 交换律 、 结合律 ． 4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？ 5. 平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的 定理吗？
1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
3.若向量M→A，M→B，M→C的起点 M 和终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，则
能使向量M→A，M→B，M→C成为空间一组基底的关系是
(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( )
【解析】(1)错误.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段可以平
移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. (2)错误.当向量a,e1,e2共面时,才有a=λe1+μe2λ,μ∈R). 3)错误.当b=0,a≠0时,不存在实数λ,使a=λb. 答案:(1)× (2)× (3)×
不共面
特别地，如果空间的一 个基底中三个基向量两 两垂直，且长度都为 1， 这个基底叫 _单_位_正_交__基_底___,常用 a, b, c 表示，把空间向量分解 为三个两两 垂直的向量，叫作把空 间向量进行 __正_交_分__解_.
空间向量的基本定理-【新教材】人教 A版高 中数学 选择性 必修第 一册优 秀课件
空间向量的基本定理
1．我们把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量． 2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？ 3．空间向量加法满足 交换律 、 结合律 ． 4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？ 5. 平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的 定理吗？
高中数学_专题：向量法求空间角优秀课件
题型突破深化提升
章末整合
例5正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,求BE与平面B1BD所
成角的余弦值.
解:如图所示建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 2,
则 D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1),
=(-2,-2,0),1 =(0,0,2),=(-2,0,1).
·
||| |
1
= .
7
1
所以二面角 A-A1B1-C1 的余弦值为 .
7
-6-
知识网络系统构建 题型突破深化提升
题型突破深化提升
章末整合
专题一
专题二
专题三
方法技巧1.线线角
(1)用“平移法〞作出异面直线所成角(或其补角),解三角形求角.
(2)用“向量法〞求两直线的方向向量所成的角.
2.线面角
设侧面 ABB1A1 的法向量 n=(λ,x,y),
∴n·=0,且 n·1 =0,
∴ax=0,且 2ay=0.∴x=y=0,故 n=(λ,0,0).
∵1 = -
3
2
, 2 , 2 ,
∴cos<1 ,n>=
·1
|||1 |
-
3
2
= ||
1
=- =±2.
3 2||
(1)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
-10-
知识网络系统构建 题型突破深化提升
题型突破深化提升
章末整合
专题一
专题二
专题三
解:(1)如图,连接 BD 交 AC 于 O,因为 BC=CD,即△BCD 为等腰三角
形.
又 AC 平分∠BCD,故 AC⊥BD.以 O 为坐标原点,, , 的方向
章末整合
例5正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,求BE与平面B1BD所
成角的余弦值.
解:如图所示建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 2,
则 D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1),
=(-2,-2,0),1 =(0,0,2),=(-2,0,1).
·
||| |
1
= .
7
1
所以二面角 A-A1B1-C1 的余弦值为 .
7
-6-
知识网络系统构建 题型突破深化提升
题型突破深化提升
章末整合
专题一
专题二
专题三
方法技巧1.线线角
(1)用“平移法〞作出异面直线所成角(或其补角),解三角形求角.
(2)用“向量法〞求两直线的方向向量所成的角.
2.线面角
设侧面 ABB1A1 的法向量 n=(λ,x,y),
∴n·=0,且 n·1 =0,
∴ax=0,且 2ay=0.∴x=y=0,故 n=(λ,0,0).
∵1 = -
3
2
, 2 , 2 ,
∴cos<1 ,n>=
·1
|||1 |
-
3
2
= ||
1
=- =±2.
3 2||
(1)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
-10-
知识网络系统构建 题型突破深化提升
题型突破深化提升
章末整合
专题一
专题二
专题三
解:(1)如图,连接 BD 交 AC 于 O,因为 BC=CD,即△BCD 为等腰三角
形.
又 AC 平分∠BCD,故 AC⊥BD.以 O 为坐标原点,, , 的方向
苏教版高中数学选修(2-1)课件3.1.1空间向量及其运算
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
空间向量及运算
思考： 一个质量分布均匀的正三角形钢
板，重量为500N,在它的三个顶点处同时 受力，每个力与它相邻的三角形两边之间 的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢 板将如何运动？
F1
F2
O F3
G
从建筑物上找向量的影子
在空间里既有 大小又有方向 的量叫做空间
减法 运算
减平法 行:四三边角形向形对法法量则于则，空a间,b任,(a意≠0的）两，个b
运 算
加法交换律 a与 ba共b 线a 的充加法要交换条律件a 是b b a 加法结合律 存在实数λ，加法使结合b律= λ a
律 (a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
做共线向量(或平行向量),记作
a // b
规定零向量与任何向量共线
探究三：空间向量的加法是否满足交换律？
C a+b B
b
O
A
a 空间向量加法交换律： a +b = b + a
空间向量的加法是否满足结合律？
(a b) c = a (b c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
（金戈铁骑 整理制作）
空间向量及运算
思考： 一个质量分布均匀的正三角形钢
板，重量为500N,在它的三个顶点处同时 受力，每个力与它相邻的三角形两边之间 的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢 板将如何运动？
F1
F2
O F3
G
从建筑物上找向量的影子
在空间里既有 大小又有方向 的量叫做空间
减法 运算
减平法 行:四三边角形向形对法法量则于则，空a间,b任,(a意≠0的）两，个b
运 算
加法交换律 a与 ba共b 线a 的充加法要交换条律件a 是b b a 加法结合律 存在实数λ，加法使结合b律= λ a
律 (a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
做共线向量(或平行向量),记作
a // b
规定零向量与任何向量共线
探究三：空间向量的加法是否满足交换律？
C a+b B
b
O
A
a 空间向量加法交换律： a +b = b + a
空间向量的加法是否满足结合律？
(a b) c = a (b c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
高中数学(人教B版)选择性必修一：空间中的平面与空间向量【精品课件】
C B
证明：连接BC.
D
因为ABCD ABCD为正方体
A
所以AB 面BCCB
所以BC为AC在面BCCB内的射影
因为BCCB为正方形
D
所以BC BC
由三垂线定理，BC AC.
A
C B
C B
例.在正方体ABCD ABCD中， 求证：BD 面ABC.
D A
分析：需要寻找两条相交直线与BD 垂直
P
求平面MNP的法向量.
D
A
M
C B
C N B
z
证明：如图建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为2 ，则
A
A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0), D(0,0,2) 由于M , N , P 分别是AB, BC, DD 的中点，
所以M (2,1,0), N (1,2,0), P(0,0,1)
0x 2 y 2z=0 2x 2 y 2z=0
通过消元解方程组：
0x 2y 2x 2
2 y
z=0 2z=0
y z x =0
令y 1,得x 0, z 1,解得n=(0,1,1)
D
练习：在正方体ABCD ABCD 中，
M , N , P分别是AB, BC, DD 的中点， A
D
C
n CD=(0, 2,0) 因为MN (1,0,1)
N
A
B
所以MN n=(0, 2,0) (1,0,1)=0
M
所以MN n
D
Cy
又因为MN 面ADDA
所以MN //面ADDA.
A
B
x
小结：
l//或l v n l v//n // n1//n（2 , 不重合） n1 n（2 , 不重合）
证明：连接BC.
D
因为ABCD ABCD为正方体
A
所以AB 面BCCB
所以BC为AC在面BCCB内的射影
因为BCCB为正方形
D
所以BC BC
由三垂线定理，BC AC.
A
C B
C B
例.在正方体ABCD ABCD中， 求证：BD 面ABC.
D A
分析：需要寻找两条相交直线与BD 垂直
P
求平面MNP的法向量.
D
A
M
C B
C N B
z
证明：如图建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为2 ，则
A
A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0), D(0,0,2) 由于M , N , P 分别是AB, BC, DD 的中点，
所以M (2,1,0), N (1,2,0), P(0,0,1)
0x 2 y 2z=0 2x 2 y 2z=0
通过消元解方程组：
0x 2y 2x 2
2 y
z=0 2z=0
y z x =0
令y 1,得x 0, z 1,解得n=(0,1,1)
D
练习：在正方体ABCD ABCD 中，
M , N , P分别是AB, BC, DD 的中点， A
D
C
n CD=(0, 2,0) 因为MN (1,0,1)
N
A
B
所以MN n=(0, 2,0) (1,0,1)=0
M
所以MN n
D
Cy
又因为MN 面ADDA
所以MN //面ADDA.
A
B
x
小结：
l//或l v n l v//n // n1//n（2 , 不重合） n1 n（2 , 不重合）
【精品课件】高中数学新北师大版选择性必修第一册 第三章 2第2课时空间向量的数量积 课件(59张)
【解析】选 C.因为|a| ＝1，|b| ＝2，〈a，b〉＝60°，所以 a·b＝|a| |b| cos 〈a，b〉
＝1×2×cos 60°＝1，所以(a＋b) ·a＝a2＋b·a＝12＋1＝2， 所以 a＋b 在 a 上的投影数量为(a＋|ab| )·a ＝2.
求一个向量在另一个向量方向上的投影数量的方法 (1)根据向量夹角公式求得夹角的余弦值．
(2)投影数量：用b0表示与向量b(b≠0)同方向的单位向量，(1)图中向量 O A 1 的长度为 O A 1O A co s〈 a ,b 〉 ，把__O _A __c_o_s〈 __a _,_b_〉 __a _b _b _ __b_0_a _称作向量a在向量b
方向上的投影数量.
投影数量的符号由什么确定？
1．已知向量 a 和 b 的夹角为 120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a 等于( )
A．12
B．8＋ 13
C．4
D．13
【解析】选 D.(2a－b)·a＝2a2－b·a ＝2|a|2－|a||b|·cos 120°＝2×4－2×5×( 1 ) ＝13.
2
2．已知 a＝3p－2q，b＝p＋q，p 和 q 是相互垂直的单位向量，则 a·b＝( )
【解析】设 a 与 b 夹角为 θ，因为|a|＝3|b|， 所以|a|2＝9|b|2， 又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b ＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cos θ＝13|b|2＋12|b|2cos θ， 即 9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cos θ，故有 cos θ＝－13 . 答案：－13
3．已知|a|＝3，向量 a 与 b 的夹角 θ 为π3 ，则 a 在 b 方向上的投影数量为( )
高中数学理科基础知识讲解《87空间几何中的向量方法》教学课件
×
×
√
√
×
×
×
--
考点自诊
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内
B
--
考点自诊
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
[0,π]
--
知识梳理
4.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.
--
知识梳理
--
知识梳理
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( )(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行. ( )(4)若空间向量a垂直于平面α,则a所在直线与平面α垂直. ( )(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角. ( )(6)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos <m,n>= ,则直线l与平面α所成的角为120°. ( )(7)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45°. ( )
|cos φ|
|cos φ|
--
知识梳理
(3)二面角①范围:二面角的取值范围是 . ②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(如图①).设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.
×
√
√
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考点自诊
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内
B
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考点自诊
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
[0,π]
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知识梳理
4.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.
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知识梳理
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知识梳理
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( )(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行. ( )(4)若空间向量a垂直于平面α,则a所在直线与平面α垂直. ( )(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角. ( )(6)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos <m,n>= ,则直线l与平面α所成的角为120°. ( )(7)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45°. ( )
|cos φ|
|cos φ|
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知识梳理
(3)二面角①范围:二面角的取值范围是 . ②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(如图①).设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.
高中数学《空间向量基本定理》课件
z
也就是说,以O为起点的有向
线段 (向量)的坐标可以和终 点的坐标建立起一一对应的 关系,从而互相转化.
i j Ok
A(x,y,z) y
x
讲
课
人
：
邢
启 强
21
学习新知
讲
课
人
：
邢
启 强
22
巩固练习
1、在空间坐标系Oxyz中，AB i 2 j 3k
( i,j,k 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的 单位向量)则 AB 的坐标为 (1,-2,-3) ，点B 的坐标为 不确定 。
讲
课
人
：
邢
启 强
31
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c ,
⑴用 a 、b 、c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
略解:⑴ MN MO ON
1 OA 1 (OB OC )= 1 (a b c)
a,b,c
不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.
（2）由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任意两个 非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是0.
（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的 某一个向量,二者是相关连的不同概念.
(4)空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一 个基底.基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表 示.
那么,对空间任一向量 p , 存在一个有序实数组
{讲 x,y,z}使得 p xi y j zk. 我们称
也就是说,以O为起点的有向
线段 (向量)的坐标可以和终 点的坐标建立起一一对应的 关系,从而互相转化.
i j Ok
A(x,y,z) y
x
讲
课
人
：
邢
启 强
21
学习新知
讲
课
人
：
邢
启 强
22
巩固练习
1、在空间坐标系Oxyz中，AB i 2 j 3k
( i,j,k 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的 单位向量)则 AB 的坐标为 (1,-2,-3) ，点B 的坐标为 不确定 。
讲
课
人
：
邢
启 强
31
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c ,
⑴用 a 、b 、c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
略解:⑴ MN MO ON
1 OA 1 (OB OC )= 1 (a b c)
a,b,c
不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.
（2）由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任意两个 非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是0.
（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的 某一个向量,二者是相关连的不同概念.
(4)空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一 个基底.基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表 示.
那么,对空间任一向量 p , 存在一个有序实数组
{讲 x,y,z}使得 p xi y j zk. 我们称