高中数学 1.1.2 弧度制预习案(无答案)新人教版必修4
高中数学人教B版必修4教案：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 Word版含答案
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算一、教学目标1．知识目标：①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.2. 能力目标：①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系.②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.③通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力.3．情感目标：使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一. 进一步加强学生对辩证统一思想的理解.二、教学重点、难点重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.难点：弧度的概念及其与角度的关系.三、教学方法自学—讨论—讲授—练习先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.其中l是扇形弧长，R是圆的半径5．角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系5．角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，虽然单位、进制不同，但反映了事物的本质属性不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例例1：（1）把'3067 化成弧度（精确到0.001）（2）把'3067 化成弧度（用π表示）解：（1）n＝'3067 ，π＝3.1416；（2）n＝603067＝67.5；（3）a＝180π≈0.0175；（4）α＝na＝1.18125∴α≈1.18125 rad例2：把radπ53化成度解：1081805353=⨯=radπ例3：填写下表：角度0°30°45°60°90°120°弧度1．例1的第（1）问由老师板书，并归纳出算法步骤。
把角度值n换算为弧度制的算法步骤如下：①给变量n和圆周率π的近似值赋值；②如果角度值n是以“度、分、秒”形式给出的，先把n化为以“度”为单位的10进制表示；③计算180π（把1°换算为弧度值），得出的结果赋给变量a；④计算na，赋值给变量α.α就是这个角的弧度值.2．例1的第（2）问由一个学生板书，教师及时指出解题过程中出现的问题.3．例2由学生回答，老师板书。
高中数学1.1.2弧度制教案新人教A版必修4
１．２弧度制一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生明确弧度制的概念，弧度与角度的换算，弧长公式及扇形公式． 教学目的：引导学生认识弧度制，并确立１弧度的含义。
教学意义：培养学生用转化的思想对同一事物进行不同方式描述。
二、教学过程１．１弧度的角定义：我们规定，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。
这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
２．弧长公式：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是０。
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是rl =||α。
３．弧度与角度的换算：π2360=︒弧度1801()5718'1180rad rad ππ⎧=︒≈︒⎪⇒⎨⎪︒=⎩例 若)(4Z k k ∈+=ππα，则在第几象限？一、三 例 填写特殊角的换算对应表：度０° ３０° ４５° ６０° ９０° 弧度０ 6π 4π 3π 2π １２０° １３５° １５０°１８０° ２７０° ３６０° 23π 34π 56π π 32π 2π４．弧度制下的弧长公式及扇形公式：R l ||α=，22121R lR S α==。
例 已知半径为10的圆中，弦AB 的长为10。
（1） 求弦AB 所对的圆心角α的大小；3π （2） 求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形面积。
π310，)233(50-π 例 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？2,10==αr三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．若α是第三象限角，则απ+所在的象限是（ Ａ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限２．若βα,满足22πβαπ<<<-，则βα-的取值范围是 )0,(π- ．３．若三角形的三个内角之比为3:2:1，则此三角形的最小内角的弧度数为 6π ．４．如图所示，已知单位圆上一点)0,1(A 按逆时针方向做匀速圆周运动，s 1时间转过的弧度数是(0)θθπ<≤，经过s 2到达第三象限，经过s 14又转到最初位置，则θ的弧度数是 75,74ππ ．五、课后作业 同步练习1. 半径为2的圆中，弧长为4的弧所对圆心角大小是多少？ ２２．已知扇形周长为10，为4，求扇形的圆心角。
高中数学 1.1.2弧度制教案 新人教A版必修4
1.1.2 弧度制一、教学要求：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，能熟练地进行弧度与角度的换算，进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念.理解弧度的意义，掌握弧长公式，掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式二、三维目标：1.通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制；2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。
三、重难点：教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算教学难点：弧度的概念及其与角度的关系。
学法指导：学生在已经学习了角的概念的基础上，进一步去研究角的其它方面，今天首先介绍角的度量单位，本节课在初中角度制的基础上，进行学习，采用对照方式，让学生掌握弧度制下角的应用以及掌握弧长和面积公式。
四、教学过程：导入新课：以到黄山游玩时拍摄的照片为例，导入新课，同样的事物，站在不同的位置，不同的心情观赏的结果是不一样的，前面我们研究了角，知道角推广到任意角，今天我们进一步去研究角的知识，初中我们学习了用角度制来测量角，今天来回顾一下，角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？1.弧度制我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角思考1:若半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为2r,那么,角α的弧度数是多少?根据弧度制的定义：=2α思考2：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?结论1：角α的弧度数的绝对值是=l rα.r为半径, l为角α所对弧的长，α的正负由角α的终边旋转方向决定结论2：正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数, 零角的弧度数是0.思考1,2设置意图：由一般到特殊，应用弧度制的定义，得到弧度的推导公式，让学生思维得到发散，由弧度制的定义，得到度量角的另外一种运算方式，新旧知识对照，对比角度制与弧度制的比较。
高中数学新人教B版必修4 弧度制和弧度制与角度制的换算
D．第四象限
答案：D 3．半径为 1，圆心角为23π的扇形的弧长是
4π A. 3
B．π
2π C. 3 答案：C
π D. 3
() ()
4．(1)23π＝________；(2)－210°＝________. 答案：(1)120° (2)－76π
角度与弧度的换算
[典例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
3.弧长与扇形面积公式 公式
弧长公式
度量制
角度制
l＝n18π0r
弧度制
l＝ α·r (0<α<2π)
扇形面积公式
S＝n3π6r02 S＝__12_l_r_＝__12_α__r2_
(0<α<2π)
[点睛] (1)在应用扇形面积公式 S＝12αr2 时，要注意 α 的单 位是“弧度”．
(2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入． (3)在弧度制下的扇形面积公式 S＝12lr，与三角形面积公式 S ＝12ah(其中 h 是三角形底边 a 上的高)的形式较相似，可类比记忆． (4)由 α，r，l，S 中任意的两个量可以求出另外的两个量．
依题意有12l·r＝4，
②
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由①②，得 r＝2，∴l＝8－2r＝4，θ＝rl＝2. 故所求扇形的半径为 2、圆心角为 2 rad.
题点三：利用公式求扇形面积的最值
3．已知扇形的周长是 30 cm，当它的半径和圆心角各取什么
值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为 α(0<α<2π)，半径为 r，面积为 S，弧
长为 l，则 l＋2r＝30，故 l＝30－2r，
从而
S
＝
高一数学人教A版必修四教案：1.1.2 弧度制 Word版含答案
1.1.2弧度制一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.2.弧度制的定义[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，yxAαOB或1弧度，或1(单位可以省略不写).3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是,那么a 的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=,1___rad =度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度:(1) 精确值；(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.8.例题讲评例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =. 其中R 是半径,是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒的大小.注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.9.练习 教材10P .9.学习小结(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?五、评价设计1．作业：习题1.1 A 组第7,8,9题． 2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．。
高一数学人教A版必修四教案：1.1.2 弧度制 Word版含答案
1.1.2弧度制一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习,理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习,使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制,理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来,每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应,为下一节学习三角函数做好准备.二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义,弧度制的运用.三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中,知道角的度量是用角度制,但是为了以后的学习,我们引入了弧度制的概念,我们一定要准确理解弧度制的定义,在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时,有人回答约250公里,但也有人回答约160英里,请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然,两种回答都是正确的,但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同,一个是公里制,一个是英里制.他们的长度单位是不同的,但是,他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面,也有类似的情况,一个是角度制,我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【探究新知】 1．角度制规定：将一个圆周分成360份,每一份叫做1度,故一周等于360度,平角等于180度,直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~,自行解决上述问题.2.弧度制的定义[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作1rad ,yB或1弧度,或1(单位可以省略不写).3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.π,-2π等等,一般地, 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是,那么a 的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：rl=α,其中,l 是圆心角所对的弧长,r 是半径. 5.根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=,1___rad =度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度:(1) 精确值；(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来,每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.8.例题讲评例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =. 其中R 是半径,是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒的大小.注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.9.练习 教材10P .9.学习小结(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?五、评价设计1．作业：习题1.1 A 组第7,8,9题． 2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．。
高中数学1.1.2弧度制教案新人教A版必修4 (1)
１．２弧度制一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生明确弧度制的概念，弧度与角度的换算，弧长公式及扇形公式． 教学目的：引导学生认识弧度制，并确立１弧度的含义。
教学意义：培养学生用转化的思想对同一事物进行不同方式描述。
二、教学过程１．１弧度的角定义：我们规定，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。
这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
２．弧长公式：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是０。
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是rl =||α。
３．弧度与角度的换算：π2360=︒弧度1801()5718'1180rad rad ππ⎧=︒≈︒⎪⇒⎨⎪︒=⎩例 若)(4Z k k ∈+=ππα，则在第几象限？一、三 例 填写特殊角的换算对应表：度０° ３０° ４５° ６０° ９０° 弧度０ 6π 4π 3π 2π １２０° １３５° １５０°１８０° ２７０° ３６０° 23π 34π 56π π 32π 2π４．弧度制下的弧长公式及扇形公式：R l ||α=，22121R lR S α==。
例 已知半径为10的圆中，弦AB 的长为10。
（1） 求弦AB 所对的圆心角α的大小；3π （2） 求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形面积。
π310，)233(50-π 例 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？2,10==αr三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．若α是第三象限角，则απ+所在的象限是（ Ａ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限２．若βα,满足22πβαπ<<<-，则βα-的取值范围是 )0,(π- ．３．若三角形的三个内角之比为3:2:1，则此三角形的最小内角的弧度数为 6π ．４．如图所示，已知单位圆上一点)0,1(A 按逆时针方向做匀速圆周运动，s 1时间转过的弧度数是(0)θθπ<≤，经过s 2到达第三象限，经过s 14又转到最初位置，则θ的弧度数是 75,74ππ ．五、课后作业 同步练习1. 半径为2的圆中，弧长为4的弧所对圆心角大小是多少？ ２２．已知扇形周长为10，为4，求扇形的圆心角。
高中数学人教A版必修4教案-1.1.2弧度制(001)
教学准备
1. 教学目标
理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．
2. 教学重点/难点
教学重点
弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．
教学难点
“角度制”与“弧度制”的区别与联系．
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
一、复习角度制：
初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?
规定把周角的1/360作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．
1．引入：
由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
2．定义
我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
3．思考：
（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
（2）引导学生完成P6的探究并归纳：
弧度制的性质：。
高一数学必修4人教A全册导学案1.1.2弧度制
1. 1.2 弧度制一、学习目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式||lrα=（l 为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
二、重点、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。
三教学过程(一) 复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？ (二) 为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。
<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。
练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是：，α的正负由 决定。
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r rπαπ-=-=-=-． (三) 角度与弧度的换算3602π=rad 180π=rad1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈例1、把下列各角从度化为弧度：(1)0252 （2）0/1115变式练习 把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º (4) 030 (5)'3067︒例2、把下列各角从弧度化为度：（1）35π (2) 3.5变式练习 、把下列各角从弧度化为度：（1）12π （2）—34π （3）103π (4)4π(5) 2归纳：把角从弧度化为度的方法是：把角从度化为弧度的方法是：(四) 在弧度制下分别表示轴线角、象限角的集合（1）终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为 ；x 轴的非正半轴的角的集合为 ；终边落在y 轴的非负半轴的角的集合为 ；y 轴的非正半轴的角的集合为 ；所以，终边落在x 轴上的角的集合为 ；落在y 轴上的角的集合为 。
高中数学学案9：1.1.2 弧度制
1.1.2 弧度制预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角是如何定义的？(2)为了使用方便，数学上还采用弧度制来度量角，1弧度的角是如何定义的？(3)阅读教材“探究”的内容，思考：①如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数的绝对值是多少？②既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间是如何换算的？2．归纳总结，核心必记(1)度量角的两种制度(2)(3)角度制与弧度制的换算(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应表(5)设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则(1)在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？(2)比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？(3)在具体的运算中，“弧度”二字和单位符号“rad”可以略去不写，但“度”作单位时“°”能省略吗？(4)你认为式子“α＝k·360°＋π3，k∈Z”正确吗？课堂互动区知识点——弧度的概念 讲一讲1．有关角的度量给出以下说法：①1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π；②1 rad 的角等于1度的角； ③180°的角一定等于π rad 的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位． 其中正确的说法是________． 类题·通法(1)解决概念辨析问题的关键是准确理解概念．如本题中要准确理解1弧度角的概念，知道角度制与弧度制的关系． (2)角度制和弧度制的比较：①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的1360的角，大小显然不同．③无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值． ④用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法． 练一练1．下列说法正确的是( )A ．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系B ．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应C ．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同D ．－120°的弧度数是2π3知识点2——角度与弧度的换算 讲一讲2．把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.类题·通法角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数．练一练2．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角．知识点3——扇形的弧长公式和面积公式的应用 讲一讲3．(1)已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________cm 2.(2)已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？类题·通法弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α(0＜α＜2π)是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度． 练一练3．已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————— 1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式 (1)π＝180°；(2)1°＝π180 rad ；(3)1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. 3．本节课要重点掌握以下规律方法 (1)弧度制的概念辨析，见讲1； (2)角度与弧度的换算，见讲2；(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用，见讲3. 4．本节课的易错点表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．参考答案预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题． (1)【答案】1度的角等于周角的1360. (2)【答案】把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (3)①【答案】|α|＝lr .②【答案】π＝180°.2．(1)1360 弧度 半径长 rad(5)παR 180 αR παR 2360 12 12αR 2 [问题思考](1)【答案】不相等．这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同． (2)【答案】无关． (3)【答案】不能省略．(4)【答案】不正确，在同一个式子中不能同时出现角度制与弧度制．课堂互动区知识点——弧度的概念 讲一讲1．【答案】①③④【解析】由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③④均正确；因为 1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°≠1°，故②不正确． 练一练 1．【答案】B知识点2——角度与弧度的换算 讲一讲2．解：(1)72°＝72×π180＝2π5；(2)－300°＝－300×π180＝－5π3；(3)2＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°；(4)－2π9＝－⎝⎛⎭⎫2π9×180π°＝－40°. 练一练2．解：(1)α1＝－570°＝－570π180＝－19π6，α2＝750°＝750π180＝25π6.∵α1＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝25π6＝2×2π＋π6，∴α1是第二象限角，α2是第一象限角． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝k ·360°＋108°(k ∈Z )， 则由－720°≤θ＜0°，得－720°≤k ·360°＋108°＜0°(k ∈Z )， 解得k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°范围内，与β1有相同终边的角是－612°和－252°； β2＝－π3＝－13×180°＝－60°，设γ＝k ·360°－60°(k ∈Z )，则由－720°≤k ·360°－60°＜0(k ∈Z )， 得k ＝－1或k ＝0，∴在－720°～0°范围内，与β2有相同终边的角是－60°和－420°. 知识点3——扇形的弧长公式和面积公式的应用 讲一讲3．(1)【答案】4【解析】设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由圆心角为2 rad ，依据弧长公式可得l ＝2r ，从而扇形的周长为l ＋2r ＝4r ＝8，解得r ＝2，则l ＝4. 故扇形的面积S ＝12lr ＝12×4×2＝4 cm 2.(2)解：设扇形的弧长为l ，由题意得2πR ＝2R ＋l ，所以l ＝2(π－1)R ，所以扇形的圆心角是lR ＝2(π－1)，扇形的面积是12lR ＝(π－1)R 2.练一练3．解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ， 则l ＋2r ＝30， 故l ＝30－2r ， 从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r＝－r 2＋15r＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254⎝⎛⎭⎫15π＋1<r <15， 所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254 cm 2.。
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1
江苏省射阳县第二中学高中数学 1.1.2 弧度制预习案（无答案）新人教版
必修4
【A：自主预习案】
课 题: 任意角
预习范围：P7-P9
预习任务：
看书P7-P9中，弄懂下列概念：
(1).____________叫做1弧度的角.，用弧度作为角的单位来度量角的制度称为________；
在弧度下1弧度记作________.
(2).正角的弧度数是一个_____数,负角的弧度数是一个_____数,零角的弧度数是______数. (3).
0360____;rad 0
1______radrad
; 1_________rad
(4).扇形的弧长为l,所对的圆心角为(可由半径旋转形成),扇形半径为r,则l=__________,扇形
面积S=_________________；
【B：课堂活动单】
课 题：弧度制
学习目标：
1.理解弧度制的意义, 正确进行弧度与角度的换算, 熟记特殊角的弧度数
2.了解角与实数集R之间可以建立一一对应关系
3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式,会利用弧度制解决某些简单的实际问题.
重 点: 弧度与角度的换算
难 点: 弧度概念的理解
活 动 一：
一.问题情境
如图:l与α之间具有怎样的关系呢?
二.学生活动
活 动 二：
1、定义: 弧度
；
2、角的集合与实数集之间的关系:
3、角度与弧度的换算:
；
4、 弧长公式： ；扇形面积:公式： ；
活 动 三：
正角
负角 零角 负实数
正实数
0
α
l
r
2
1、把下列各角从弧度化为度:
(1) 35 (2) 3 (3) －34π
2、把下列各角从度化为弧度
(1) 252° (2) 11°15′ (3) －22°30′
3、将下列各角化为2kπ+α(0≤α＜2π, k∈Z)的形式, 并指出它们是第几象限角.
(1) 3100 (2) －10 (3) 870° (4) －420°
4、已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad , 求该扇形的面积.
活 动 四：（学生练习为主）
1、把下列各角从度化为弧度
(1) 75°； (2)－210°； (3) 135° ； (4) 22°30′；
2、把下列各角从弧度化为度
(1) 12； (2) 52π； (3)－34π； (4) －12π；
3若α=－6 , 则角α的终边在第 象限；
.小结：
；
【C：检测巩固卷】
班级__________；姓名______________；学号_______ __；
基础填空:
(1).____________叫做1弧度的角.用弧度作为角的单位来度量角的制度称为__________;
在弧度下1弧度记作________.
(2).正角的弧度数是一个_____数,负角的弧度数是一个_____数,零角的弧度数是______数.
(3). 0360____;rad 01______radrad; 1_________rad
3
(4).扇形的弧长为l,所对的圆心角为(可由半径旋转形成),扇形半径为r,则l=__________,扇形
面积S=_________________
(5)填表
度 180° 135° 120° 45°
弧度 56 2 3 6 0
1、把下列各角从度化为弧度
(1) 12°30′ (2)－186°45′
2、把下列各角化为α+2kπ(0≤α＜2π, k∈Z)的形式, 并指出它们是第几象限的角
(1)623π (2) －1500°
3、把下列各角从弧度化成度
(1)－125π (2) 32
4、α=1,β=60°,γ=3,δ=6,则α、β、γ、δ的大小关系是____ ____；
5、(1).已知扇形的半径为10cm , 圆心角为60°, 求扇形的弧长和面积.
(2).扇形AOB的面积是42cm,它的周长是10cm,求扇形的中心角的弧度数.
4
6、如图:写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界)
45°
y
x
O
120°
y
x
O
210°
(2)
(1)