第十五讲 直角三角形边角关系二
直角三角形边角关系1.2§1-2 30度,45度,60度角的三角函数值
解：扶梯的长度为
7 7 =14(m)， sin 30 1 2
所以扶梯的长度为 14 m. Ⅳ.课时小结 本节课总结如下： (1)探索 30°、45°、60°角的三角函数值. sin30°＝
1 2 3 ，sin45°＝ ，sin60°＝ ； 2 2 2
cos30°＝
3 ，cos45°＝ 2 3 ，tan45° 3
2 ， 3 ，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.
[师]再来看第二列函数值，有何特点呢? [生]第二列是 30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是 2，而分 子从大到小分别为 3 ， 2 ， 1 ，余弦值随角度的增大而减小. [师]第三列呢? [生]第三列是 30°、45°、60°角的正切值，首先 45°角是等腰直角三 角形中的一个锐角，所以 tan45°=1 比较特殊. [师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了 .下面同桌之间可互相检查 一下对 30°、 45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例 1]计算： (1)sin30°+cos45°； 2 2 (2)sin 60°+cos 60°-tan45°. 分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明， 2 用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外 sin 60 °表示 2 2 (sin60°) ，cos 60°表示 2 (cos60°) . 解：(1)sin30°+cos45°=
1 . 2
60°)=sin30°=
[师生共析]我们一同来 求 45°角的三角函数值.含 45°角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如图)设其中一 条直角边为 a，则另一条直角 边也为 a，斜边 2 a.由此可求得 sin45°=
直角三角形的边角关系
(1)若∠A＝∠B,则tanA
(2)若tanA＝tanB,则∠A
tanB;
∠B.
A C
角相等,则正切值相等； 两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等
4.如图, ∠C＝90°CD⊥AB.
C
tan B
( (
) )
( (
) )
( (
) )
A D B
5.在上图中,若BD＝6,CD＝12.求tanA的值. “双垂直△”模型或母子相似图
第一章
直角三角形的边角关系
回顾 & 思考 ☞ 在直角三角形中,知道一边和一个锐角, 你能求出其它的边和角吗?
B
a
猜一猜,这座古塔有多高? 想一想,你能运用所学的数学 知识测出这座古塔的高吗?
A
C
A
1 50m
2
B
从梯子的倾斜程度谈起
创设 & 情境
梯子是我们日常生活中常见的物体 ①梯子AB和EF哪个更陡？ 你有哪些办法？
tan A A 的对边 A 的邻边 B 的对边 B 的邻边
A
∠A的 对边
∠A的邻边
C
A一议
梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？
tan A B 1C 1 AC
1
B1
tanA的值越大，梯子越陡 ∠A越大,梯子AB1越陡
A
B2
C2
C1
学以致用
例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪个自 动扶梯比较陡？
tanA=
1 2
，tanB=2，求AB的长。
C
A
D
B
回顾 & 小结 ☞ 我学会了什么？ ①正切的定义
tan A A 的对边 A 的邻边
北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》直角三角形的边角关系PPT教学课件
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
当堂练习
4. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员
为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与
今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往
东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货
轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？
北
【分析】这船继续向东航行是
A
否安全，取决于灯塔C到AB航
线的距离是否大于 10 n mile.
B
C
D
东
讲授新课
解：由点A作AD⊥BC于点D, 设AD= x ,
54°45° D 40m C
∴AB=AC－BC=55.1－40=15.1
讲授新课
三 利用坡角解决实际问题 例. 4 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽（精确到0.1米, 3 1.732, 2 1.414 ）.
D 12米
分析：求AC，无论是在Rt△ACD中，还 是在Rt△ABC中，只有一个角的条件， 因此这两个三角形都不能解，所以要用 方程思想，先把AC看成已知，用含AC 的代数式表示BC和DC，由BD＝1000m 建立关于AC的方程，从而求得AC.
讲授新课
解：在Rt△ABC中，
AC BC
=
tan
B
=
tan 30
《直角三角形的边角关系——三角函数的应用》数学教学PPT课件(3篇)
直角三角形的边角关系
三角函数的应用
第1课时
教学目标
1. 理解方位角的概念，能够把实际问题转化为解直角三角形问
题，并能适当地选择锐角三角函数关系式加以解决．（重点）
2. 进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用，培养应用数
学解决问题的意识．（难点）
新课导入
情境引入
我们已经知道轮船在海中航行
时，可以用方向角准确描述它
第2课时
教学目标
1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；（重点）
2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角的问题.(难点)
新课导入
情境引入
俯角与仰角
仰角:
在进行测量时，从下向上看，视线与水平
水平线
线的夹角叫做仰角.
俯角:
在进行测量时，从上向下看，视线与水平
线的夹角叫做俯角.
新知探究
例1、如图，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的
的方程，从而求得AC.
新知探究
解：在Rt△ABC中，
tan
在Rt△ACD中，
tan
= 3 AC - AC
= ( 3 -1) AC
= 1000
1000
∴AC =
= 500 ( 3 +1) ( m
B
C
所以，这船继续向东航行是安全的.
25°
D 东
新知探究
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，
距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行
65°
一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方
A
P
C
向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔
P有多远（cos25° ≈0.91 , sin34° ≈0.56）？
直角三角形的边角关系PPT课件
2、tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，
习惯省去“∠”；
3、
t序4a、：ntAa是nA一对邻）的个；大比且小值t只a（n与直A∠﹥角A0边的，之大无比小单，有位注关；意，比而的与顺直
角三角形的边长无关。
5、
角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相
等，则这两个锐角相等。
2020年10月2日
15
随堂练习（一）： 1、在右图中
求tanA的值
2.如图，△ABC是等腰直角三角形， 你能根据图中所给数据求出tanC吗？
2020年10月2日
16
3.∠C=90°CD⊥AB， tanB= ( ) ( ) ( )
() () ()
4、在上图中，若BD=6，CD=12， 求tanA的值。
2020年10月2日
17
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°， (1)AC=3，AB=6，求tanA和tanB
A、扩大100倍 B、缩小100倍
C、不变
D、不能确定
3、已知∠A、∠B为锐角 （1） 若∠A=∠B，则tanA tanB （2）若tanA=tanB，则∠A ∠B。
2020年10月2日
14
定义中应该注意的几个问题：
1、
tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐
角（注意数形结合，构造直角三角形）
则 BC 与 EF 有什么关系？由此你
AC DF
又能得出什
么结论？
2020年10月2日
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一、正切的定义：
在Rt△ABC中，锐角A的对边与
邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，
即
tanA=
A的对边 A的邻边
2020年10月2日
直角三角形边角关系复习 PPT课件 浙教版
小结：
1、本节例题学习以后，我们可以得到解直角
三角形的两种基本图形：
A
A
B
C
D
B
D
C
2、注意可解直角三角形与非可解直角三角形
的基本解题思路;
3、
现实对象
数学抽象
数学模型
有无解？
逻辑推理
实际问题的解
翻译回去
数学问题的解
直角三角形边与角的关系
23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。
•
24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。
•
25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
•
26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
•
27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
•
28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
•
29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
•
38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
•
39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。
•
40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。
•
41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
•
42、自信人生二百年，会当水击三千里。
•
43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。
1、三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º
边角之间的关系: sinA＝ a
c
cosA＝
b c
Ｂ
c a
《直角三角形的边角关系——利用三角函数测高》数学教学PPT课件(2篇)
视线
2.直角三角形的边角关系：
B
c
a
┌
A
b
C
新课导入
活动课题: 利用直角三角形的边角关系测量物体的高度.
活动方式: 分组活动、全班交流研讨.
活动工具: 测倾器(或经纬仪、测角仪等)、皮尺等测量工具.
新课导入
活动一: 测量倾斜角（仰角或俯角） 测量倾斜角可以用测倾器,简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如图).
根据测量数据,你能 求出物体MN的高度 M 吗?说说你的理由.
E N
β Dα
b
C a
B
A
根据测量数据,物体MN的高度计算过程：
在Rt△MDE中，
ME
ED= tan
M
在Rt△MCE中，
ME
EC = tan a
ME
EC-ED= tan a
－taMnE
=b
E
β Dα
C
ME b tan a tan tan tan a
90
°
60
°
30
°
90
°
60
°
0°
30
°
新知探究
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:
1.把支杆竖直插入地面,使支杆 的中心线、铅垂线和度盘的0° 刻度线重合,这时度盘的顶线PQ 在水平位置.
2.转动度盘,使度盘的直径对准 目标M,记下此时铅垂线所指的 度数.
M
水平线 90°
P 60°
30°
Q 90°
60° 0° 30°
b
a
N
B
A
MN b tan a tan a tan tan a
当堂检测
1.如图，在高20米的建筑物CD的顶部C 测得塔顶A的仰角为60° ，测得塔底B
《直角三角形的边角关系——三角函数的有关计算》数学教学PPT课件(4篇)
在Rt△ABC中,BC=ABsin16° 你知道sin16° 是多少吗？
用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到三个键:
sin cos tan 例如,求sin16°,cos42°, tan85°和sin72° 38′25″ 的按键盘顺序如下:
A
B
D 40 C
2010年长沙 5.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现 状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌
（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测 得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和 45°．求路况显示牌BC的高度
解：∵在Rt△ADB中， ∠BDA＝45°，AB＝3 ∴DA＝3 在Rt△ADC中，∠CDA＝60°
解：因为tan80°＝ AB
AC
所以AC＝ AB ≈ 1.8 tan 80 5.671
＝0.317≈0.32(m). 所以水平挡板AC的宽度应为0.32米.
作业 习题1.4 第1、2题
问题引入
随着人民生活水平的提高，私家小轿车越来越 多，为了交通安全及方便行人推车过天桥，某市政 府要在10 m高的天桥两端修建40m长的斜道。请问 这条斜道的倾斜角是多少?（如下图所示）
按键的顺序
显示结果
Sin160 sin 1 6
=
0.
Cos420 cos 4 2
=
0.
tan850 tan 8 5
=
11.
sin720 sin 7 2 DMS 3 8
38′25″ DMS 2 5 DMS
=
0.
计算器的型号与功能可能不同,请按相应的说明书使用.
直角三角形边角之间的关系
直角三角形边角之间的关系直角三角形，嘿，大家都知道吧，那个三条边的家伙，永远有一个角是90度，简直就像是三角形界的明星，吸引了所有人的目光。
说起这个，我想起小时候学数学时，那些枯燥的公式，让我觉得跟吃药一样难受。
不过，咱们今天可不是来谈公式的，而是来聊聊这个三角形背后的那些奇妙的关系。
想想看，直角三角形的两条直角边就像是一对好朋友，永远都在一起，互相支撑。
而那条最长的边，嘿，叫做斜边，它就像是那个高高在上的大哥，稳稳地扛着整个三角形。
再说说这个三角形的角吧，直角占了一个，剩下两个角加起来可得出90度，真是个有趣的事儿。
两条直角边的角度如果一个大一个小，那就意味着斜边对的角是最大的。
没错，这就像是生活中的各种关系，有时候强强联手，有时候弱弱相依，都是为了找到那种完美的平衡。
记得有一次，我和朋友们一起去爬山，那时候我就发现，直角三角形的角度就像山路的坡度，一步一步往上走，真的是气喘吁吁，但只要坚持，总能看到山顶的风景。
嘿，你有没有注意到，直角三角形里有个著名的勾股定理，这可是三角形界的终极真理啊！简单来说，就是a² + b² = c²，听起来像是魔法咒语，其实说的是直角边的平方和等于斜边的平方。
那次我在计算的时候，真是一脸懵逼，不过当我终于算出来的时候，心里那种成就感，简直比中头奖还爽。
就像我们生活中遇到的难题，经过一番努力，终于找到了答案，那种喜悦可不是说说而已的。
再聊聊这两条直角边吧，咱们叫它们“邻边”，一条是“对边”，另一条是“邻边”，它们就像是一对兄弟，互相帮助。
想象一下，如果一条边特别长，另一条边短，那么直角三角形就会显得不那么平衡，就像生活中，有时候我们必须找到那种和谐的关系，才能让事情进展得更顺利。
举个简单的例子，朋友聚会时，总是得有人负责聊天，有人负责点菜，缺一不可，这样聚会才能热闹非凡。
而那条斜边，真是它们的“大哥”，稳重得很。
记得我在初中时，老师说过，斜边总是最长的，简直就像生活中的那些大事，总要占据更大的空间。
直角三角形的边角关系教案讲义
第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起课时安排2课时从容说课直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之—.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题.本节首光从梯子的倾斜程度谈起。
引入了第—个锐角三角函数——正切.因为相比之下，正切是生活当中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的.所以本节从现实情境出发，让学生在经历探索直角：三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算.本节的重点就是理解tanA、sinA、cosA的数学含义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是从现实情境中理解tanA、sim4、cosA的数学含义.所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，引出锐角三角函数的概念，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解.第一课时课题§ 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)教学目标(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.(二)能力训练要求1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比.教学方法引导—探索法.教具准备FLASH演示教学过程1.创设问题情境，引入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?[问题2]随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?通过本章的学习，相信大家一定能够解决.这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起).Ⅱ.讲授新课用多媒体演示如下内容：[师]梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?[生]梯子AB比梯子EF更陡.[师]你是如何判断的?[生]从图中很容易发现∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.[生]我觉得是因为AC ＝ED ，所以只要比较BC 、FD 的长度即可知哪个梯子陡.BC<FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡. [师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了.能不能从第(1)问中得到什么启示呢?[生]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水平宽度BC 和FD 不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡.[师]这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB 和EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.那么请同学们算一下梯子AB 和EF 哪一个更陡呢？[生]385.14==BC AC , 13353.15.3==FD ED . ∵133538〈=, ∴梯子EF 比梯子AB 更陡. 多媒体演示： 想一想如图，小明想通过测量B 1C 1：及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗? (1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2)和111AC C B 222AC CB 和有什么关系? (3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论? [师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度.下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法. [生]在上图中，我们可以知道Rt △AB 1C 1，和Rt △AB 2C 2是相似的.因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2.[生]由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得 B 2C 2//B 1C 1，Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2.[生]相似三角形的对应边成比例，得2221111212211,AC CB C A C B C A AC C B C B ==即. 如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt △B 2C 2A ∽Rt △Rt △B 1C 1A ，仍能得到222111AC C B AC C B =因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外)， 222111AC C B AC C B =总成立. [师]也就是说无论B 2在梯子的什么位置(A 除外)，∠A 的对边与邻边的比值是不会改变的.现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗? [生]∠A 的大小改变，∠A 的对边与邻边的比值会改变. [师]你又能得出什么结论呢?[生]∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关.也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定.[师]这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价?[生]小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B 1、B 2在梯子上的位置无 关，即与直角三角形的大小无关.[生]但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B 1C 1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成. [师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡.我们学习数学就是为了更好地应用数学.由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)如图，在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即tanA=的邻边的对边A A ∠∠ .注意：1.tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.2.tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比.3.tanA 不表示“tan ”乘以“A ”.4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切. 思考：1.∠B 的正切如何表示?它的数学意义是什么?2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3，梯子的倾斜程度与tanA 有关系吗?[生]1.∠B 的正切记作tanB ，表示∠B 的对边与邻边的比值，即 tanB=的邻边的对边B B ∠∠.2.我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在图1—3中，梯子越陡，tanA 的值越大；反过来，tanA 的值越大，梯子越陡. [师]正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山 坡的坡度、堤坝的坡度. 如图，有一山坡在水平方向上每前进100 m ，就升高60 m ，那么山 坡的坡度(即坡角α的正 切——tan α就是tan α=α5310060 . 这里要注意区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大，坡面就越陡. Ⅲ.例题讲解 多媒体演示[例1]如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan α、tan β的值，比较大小，越大，扶梯就越陡. 解：甲梯中，tan α=125513522=-=∠∠的邻边的对边αα.乙梯中， tan β=4386==∠∠的邻边的对边ββ.因为tan β＞tan α，所以乙梯更陡.[例2]在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.分析：要求tanA ，tanB 的值，根据勾股定理先求出直角边AC 的长度.解：在△ABC 中，∠C ＝90°，所以AC=22221220-=-BC AB =16(cm), tanA=,431612===∠∠AC BC A A 的邻边的对边tanB=.341216===∠∠BC AC B B 的邻边的对边所以tanA=43，tanB=34. Ⅳ，随堂练习 1.如图，△ABC是等腰直角三角形， 你能根据图中所给 数据求出tanC 吗?分析：要求tanC.需从图中找到∠C 所在的直角三角形，因为BD⊥AC ，所以∠C 在Rt △BDC 中.然后求出∠C 的对边与邻边的比，即DC BD 的值.解：∵△ABC 是等腰直角三角形，BD ⊥AC ，∴CD ＝21AC ＝21×3＝1.5.在Rt △BDC 中，tanC ＝DCBD =5.15.1＝1. 2.如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到0.001) 分析：由图可知，∠A 是坡角，∠A 的正切即tanA 为山的坡度. 解：根据题意：在Rt △ABC 中，AB=200 m ，BC ＝55 m ，AC=46.385147955520022⨯≈=-=192.30(m).TanA=.286.030.19255≈=AC BC 所以山的坡度为0.286.Ⅴ.课时小结本节课从梯子的倾斜程度谈起，经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“Rt △”中定义了tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠. 接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念. Ⅵ.课后作业 1.习题1.1第1、2题.2.观察学校及附近商场的楼梯，哪个更陡.Ⅶ.活动与探究(2003年江苏盐城)如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)[过程]要求DB 的长，需分别在Rt △ABC 和Rt △ACD 中求出BC 和DC.根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，AB ＝12 m ，则可根据勾股定理求出BC ；在Rt △ADC 中，坡比为1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC ＝AC ，可求出CD.[结果]根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，所以△ABC 为等腰直角三角形.设BC=AC ＝xm ，则x 2+x 2＝122，x=62，所以BC ＝AC=62.在Rt △ADC 中，tanD=5.11=CD AC , 即5.1126=CD CD=92.所以DB ＝CD-BC ＝92-62=32(m).板书设计§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.2.正切的定义：在Rt △ABC 中，锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠. 注：(1)tanA 的值越大.梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3.例题讲解(略)4.随堂练习5.课时小结备课资料[例1](2003年浙江沼兴)若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.分析：根据题意(如图)：在Rt △ABC中AC ：BC ＝3：4，AB ＝10米. 设AC ＝3x ，BC ＝4x ，根据勾股定理，得(3x)2+(4x)2＝10， ∴x ＝2.∴AC ＝3x=6(米).因此某人沿斜坡前进10米后，所在位置比原来的位置升高6米. 解：应填“6 m ”.[例2](2003年内蒙古赤峰)菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.分析：如图，菱形ABCD ，BD ＝16，AC ＝12，∠ABO ＝θ， 在Rt △AOB 中，AO=21AC=6，BO=21BD=8.tan θ=4386==OB OA . 解：应填“43”.。
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直角三角形边角关系（二）
考点六、仰角和俯角
仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。
俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。
考点七、方向角的定义
方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角。
考点八、解直角三角形（重点）
在直角三角形中，由已知一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。
在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为c b a 、、。
（1） 三边之间关系：2
2
2
c b a =+ （2） 锐角之间关系：∠A+∠B=90° （3） 边角之间关系：B b a A B c b A B c a A tan 1tan ,sin cos ,cos sin ====== （4） 面积公式：)(2
1
21为斜边上的高h ch ab S ABC
==∆ 在直角三角形中，除直角的五个量中，若已知其中的两个量（其中至少有一条边），就可以求出另外
例1、在△ABC 中，已知AB=1，AC=2，∠ABC=45°，求BC 的长。
例2、如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。
甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。
甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇。
（1）甲船从C处追赶乙船用了多长时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？
例3、某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°防西哪个上。
前进100m到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上（如图），在以航标C为圆心，120m为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？
例4、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强的破坏力。
根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心的最大风力为12级，每远离台风中心20千米，台风就会弱一级。
台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市风力达到或超过4级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该市的持续时间有多长？
考点九、直角三角形边角关系的应用
1、测量底部可以到达的物体的高度（重点）
例5、升国旗时，沈杰同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得该同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆有多高？（结果精确到0.1m）
2、测量底部不可以到达的物体的高度（难点）
150米，例6：如图，从山顶A处看到地面C点的俯角为60°，看到地面D点的俯角为45°，测得CD=3
求山高AB。
（精确到0.1米，3≈1.732）
巩固提高
1、如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是30o和60o的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?
2、如图在高楼前D点测得楼顶的仰角为30o，向高楼前进60米到C点，
又测得仰角为45o，求该高楼的高度
3、如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D 处时，货轮与灯塔M 的距离是多少？
4、如图，在测量塔高AB 时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C 、D 两点，用测角仪器测得塔顶A 的仰角分别是30°和60°．•已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB ．（保留根号）
5、某一时刻，一架飞机在海面上空C 点处观测到一人在海岸A 点处钓鱼。
从C 点处测得A 的俯角为45o
；
同一时刻，从A 点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。
已知海岸的高度为4米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离
6、如图，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A •点测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到B 点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． （1）试说明B 点是否在暗礁区域处．．．； （2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
东
北
M
7、如图所示，A 、B 两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么？
8、公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠=︒QPN 30，点A 处有一所中学，AP=160m ，一辆拖拉机以3.6km/h 的速度在公路MN 上沿PN 方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？
9、如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在相距8米的A B ，两处测得D 点和C 点的
仰角分别为45 和60
，且A B E ，，三点在一条直线上．若15BE =米，求这块广告牌的高度．
30° A
B
F
E P 45°
N。