河南省中原名校(即豫南九校)2018届高三上学期第四次质量考评(期中)数学(理)试题Word版含解析
专题9-2两直线的位置关系(测)-2018年高考数学(理)一轮复习讲练测Word版含解析
2018年高考数学讲练测【新课标版】【测】第九章 解析几何第二节 两条直线的位置关系班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1.【2018届云南省师范大学附属中学高三月考卷（二）】已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（ ）A. -2B. -3C. -4D. -5 【答案】D 【解析】∵，∴，故选D ．2.已知直线1:210l x y -+=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的值为 ( ) A.12 B ．12- C.2 D.2- 【答案】A 【解析】由题意，112m -=-，即12m =,选A. 3.平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（ ）A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x 【答案】D ．【解析】依题可设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的直线方程为250x y ++=或250x y +-=，故选D ． 4.4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 （ ）B. 4C. 6D. 2 【答案】D 4，所以4a b +=，即则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是2 . 5.【2017届江西师范大学附属中学高三第三次模拟】已知直线()()1:424240l m x m y m --++-=与()()2:1210l m x m y -+++=，则“2m =-”是“12//l l ”的（ ）条件. A. 充要 B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分又不必要 【答案】B6.【改编自浙江卷】若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = （ ）. A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 【答案】C 【解析】1212,2k k m ==-，因为直线互相垂直，所以121k k ⋅=-，即12()1,12m m⋅-=-∴=，选C.7.经过两直线x ＋3y －10＝0和3x －y ＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】设所求直线l 的方程为x ＋3y －10＋λ(3x －y)＝0， 即(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0， ∵原点到直线的距离，∴，即直线方程为x ＝1或4x ＋3y ＋5＝0，选C ．8.设0,0,(1,2),(,1),(,0)a b A B a C b >>---，若,,A B C 三点共线，则ba 11+的最小值是（ ） A ．223+ B ．24 C ．6 D ．92【答案】A9.点P （a ，b ）关于l ：x+y+1=0对称的点仍在l 上，则a+b=（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．0 【答案】A【解析】∵点P （a ，b ）关于l ：x+y+1=0对称的点仍在l 上，∴点P （a ，b ）在直线l 上， ∴a+b+1=0，解得a+b=﹣1． 故选A ．10.【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期联考四】若直线20x ay +-=与以()3 1A ，，()1 2B ，为端点的线段没有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2 1-，B ．()() 2 1 -∞-+∞，，)1 2⎛+∞ ⎝，【答案】D【解析】直线20x ay +-=过定点()2 0C ，,所以11)(,)2+∞，选D. 11.【2017届河北武邑中学高三周考】直线2:10l mx m y --=经过点()2,1P ，则倾斜角与直线l 的倾斜角互为补角的一条直线方程是（ ） A ．10x y --= B ．230x y --= C ．30x y +-= D ．240x y +-= 【答案】C【解析】将点()2,1P 代入得2210,1m m m --==，直线方程为10x y --=，斜率为1，倾故和其垂直的直线斜率为1-，故选C. 12.点，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（ ）（A ）(6,7) （B ）(7,6) （C ）(5,4)-- （D ）(4,5)-- 【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【全国校级联考word】河南省中原名校(即豫南九校)2018届高三第六次质量考评文数试题
河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数131iz i-=-，则zz =（ ）A B ． D ．52.已知集合{}(){}10,20A x x B x x x =+>=+>，则下列结论正确的是（ ）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆ C. {}0A B x x ⋂=> D ．{}1A B x x ⋃=>-3.2017年年终，某IT 公司对20名优秀员工进行表彰，这20名员工工龄的众数与平均数相等，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1 C.40 D ．414.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的公差0d ≠，且存在a R ∈，使得2n S an =，则5a d=（ ）A ．5B ．9 C.52 D ．925.已知双曲线()2222:10,0a x y C a b b >->=的右支上的点到直线1b y x a =+的距离恒大于12，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(]1,2B ．()1,2 C.()2,+∞ D ．[)2,+∞6.已知函数()()2231,32,3x a x a x f x a x -⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩（0a >且1a ≠），若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．50,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.550,1,64⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ D ．()50,1,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭7.我国东汉时期的数学名著《九章算术》中有这样个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？设总人数为x ，鸡的总价为y ，如图的程序框图给出了此问题的一种解法，则输出的,x y 的值分别为（ ）A ．7,58B ．8,64 C.9,70 D ．10,768.函数()x x f x e ae -=+与()2g x x ax =+在同一坐标系内的图象不可能是（ ）A ．B ．C.D ．9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这几何体的表面积为（ ）A ．32B ． C. 16+ D ．48+10.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球O 的表面上，则球O 的体积为（ ）A ．323π B ．163π C. 12516π D 11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点()2,D t -，则实数t 的取值范围为（ ）A ．(][),13,-∞-⋃+∞B ．[]1,3-C.(),22⎡-∞-⋃++∞⎣ D．2⎡-+⎣ 12.已知()()2212ln 22f x x ax x x ax =+--在()0,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}1 B ．{}1- C. (]0,1 D ．[)1,0-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知菱形ABCD 中，3AC =，则AB AC ⋅= _ ．14.设,x y 满足约束条件33123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则()()()22x a y a a R -++∈的最小值是_ ．15.某校为保证学生夜晚安全，实行教师值夜班制度，已知,,,,A B C D E 共5名教师每周一到周五都要值一次夜班，每周如此，且没有两人同时值夜班，周六和周日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起,B C 至少连续4天不值夜班，D 周四值夜班，则今天是周_ . 16.已知数列{}n a 满足当()1**2121,k k n k N n N --<≤-∈∈时2n kka =，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足10n S >的n 的最小值为_ ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且99cos c a b A -=. （1）求cos B ；（2）若角B 的平分线与AC 交于点D ，且1BD =，求11a c+的值. 18. 如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE是平行四边形，2330ED EA EB AC ADE ====∠=︒,,，平面ACD ⊥平面AED ，F 为AD 中点.（1）求证：AC BF ⊥； （2）求四棱锥A BCDE -的体积.19.前几年随着网购的普及，线下零售遭遇挑战，但随着新零售模式的不断出现，零售行业近几年呈现增长趋势，下表为20142017年中国百货零售业销售额（单位：亿元，数据经过处理，14分别对应20142017）：（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于x 的回归方程，并预测2018年我国百货零售业销售额； （3）从20142017年这4年的百货零售业销售额及2018年预测销售额这5个数据中任取2个数据，求这2个数据之差的绝对值大于200亿元的概率. 参考数据：4411800,2355ii i i i yx y ====∑∑ 2.236≈≈参考公式：相关系数nx yr =，回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>及点()2,1D ，若直线OD 与椭圆C 交于点,A B ，且AB OD =（O 为坐标原点），椭圆C . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若斜率为12的直线l 交椭圆C 于不同的两点,M N ，求DMN ∆面积的最大值. 21.已知函数()xxe f x x a=-.（1）若曲线()y f x =在2x =处的切线过原点，求实数a 的值； （2）若12a <<，求证当(),1x a a ∈+时，()32f x x x >+. 参考数据： 2.7e ≈.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0,r ϕ>为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为()22cos 26ρθ+=.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若()12,,,2A B πραρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，求2211OA OB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()2,1f x x a g x bx =-=+. （1）当1b =时，若()()12f xg x +的最小值为3，求实数a 的值； （2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DCADA 6-10: CCCDA 11、12：DB二、填空题13.92 14. 1215.四 16.58 三、解答题17.（1）方法一：由99cos c a b A -=及余弦定理得222992b c a c a b bc +--=⋅，整理得22229a cb ac +-=，所以2221cos 29a c b B ac +-==. 方法二：由99cos c a b A -=及正弦定理得為9sin 9sin cos sinC A B A -=， 又()sinC sin A B sinAcosB cosAsinB =+=+， 所以1909sinAcosB sinA cosB -=⇒=. （2）由（1）可知21cos cos 212sin 9ABC ABD ABD ∠=∠=-∠=，且sin 0ABD ∠>，所以2sin 3ABD ∠=， 同理可得2sin 3CBD ∠=， 设,ABC ABD CBD ∆∆∆,的面积分别为12,,S S S ，则111sin 222S ac ABC =∠===，111sin 23S c BD ABD c =⋅∠=，211sin 23S a BD CBD a =⋅∠=，由12S S S +=得1133c a +=，所以11a c +=.18.（1）如图，连接EF ，由2,30ED EA ADE ==∠=︒，易得AD = 因为四边形BCDE 是平行四边形，所以3DC EB ==，又AC =，所以在ACD ∆中22212DC AC AD +==， 所以AC DC AC BE ⊥⊥,，由F 为AD 中点，ED EA =可得EF AD ⊥，因为平面ACD ⊥平面AED ，且平面ACD ⋂平面AED AD =， 所以EF ⊥平面ACD ，因为AC ⊂平面ACD ，所以EF AC ⊥， 因为EF EB E ⋂=，所以AC ⊥平面BEF ， 因为BF ⊂平面BEF ，所以AC BF ⊥.（2）如图，连接,CE EF ，因为四边形BCDE 是平行四边形， 所以22A BCDE A CDE E ACD V V V ---==，由（1）知CD AC ⊥，且3,CD AC ==所以132ACD S ∆=⨯=， 又112EF DE ==，且EF ⊥平面ACD ，所以11133E ACD ACD V EF S -∆=⨯⨯=⨯=，所以A BCDE V -=A BCDE -19.（1）由表中的数据和参考数据得2.5,200x y ==，()421158.9i i x x=-=≈∑，()()4441112355 2.5800355ii i i i i i i xx y y x y x y ===--=-=-⨯=∑∑∑，∴3550.9992.236158.90r ≈≈⨯.因为y 与x 的相关系数近似为0.999，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）由200y =及（1）得()()()41421355715ii i i i xx y y b x x==--===-∑∑， 20071 2.522.5a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的回归方程为22.571y x =+.将2018年对应的5x =代入回归方程得22.5715377.5y =+⨯=. 所以预测2018年我国百货零售业销售额为377.5亿元. （3）从这5个数据中任取2个数据，结果有：()()()()()()()95,165,95,230,95,310,95,377.5,165,230,165,310,165,377.5，()()()230,310,230,377.5,310,377.5共 10个.所取2个数据之差的绝对值大于200亿元的结果有：()()()95,310,95,377.5,165,377.5，共3个，所以所求概率310P =. 20.（1）由椭圆C 的离心率为=，所以224a b =.设点A在第一象限，由椭圆的对称性可知OA OB =，所以2OA OD =， 因为点D 坐标为()2,1，所以点A 坐标为， 代入椭圆C 的方程得222112a b+=，与224a b =联立， 可得224,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）设直线l 的方程为()102y x t t =+≠，由221214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222220x tx t ++-=.由题意得，()2244220t t ∆=-->，整理得22t ->0，所以0t <<或0t <<设()()1122,,,Mx y N x y ，则212122,22x x t x x t +=-=-， 所以2MN x ==-==又由题意得，()2,1D 到直线12y x t =+的距离d DMN ∆的面积2212122t t S d MN -+===≤=当且仅当222t t -=，即1t =±时取等号，且此时满足0∆>， 所以DMN ∆面积的最大值为1.21.（1）因为()xxe f x x a =-，所以()()()()()()2221xx x x ax a e x e x a xe f x x a x a --+⋅--'==--，由题意知，曲线()y f x =在2x =处的切线过原点， 则切线斜率()()20220f k f -'==-，即()()22220432202e a e a a ---=--，整理得4312aa -=-，所以1a =. （2）由12a <<，且(),1x a a ∈+，得0x >， 所以()3220xe f x x x x x x a>+⇔-->-.设()2x e g x x x x a =---，则()()()2121x e x a g x x x a --'=---， 由0x >且1a x a <<+，可知()0g x '<， 所以()g x 在(),1a a +上单调递减，所以当(),1x a a ∈+时，1()(2)()1a g x e a a +>-++. 设1t a =+，则()2,3t ∈，设()()1t h t e t t =-+，则()21t h t e t '=--，令()21t t e t ϕ=--，则()2t t e ϕ'=-，易知当()2,3t ∈时，()0t ϕ'>， 所以()h t '在()2,3上单调递増，所以()2212210t h t e t e '=-->-⨯->，所以()h t 在()2,3上单调递増，所以()260h t e >->， 所以()01 t e t t -+>，即11()()20a e a a +-++>， 所以当(),1x a a ∈+时，()0g x >， 即当(),1x a a ∈+时，32()f x x x >+.22.（1）将曲线1C 的参数方程2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩化为普通方程为()2222x y r -+=，即222440x y x r +-+-=，由222,cos x y x ρρθ=+=，可得曲线1C 的极坐标方程为224cos 40r ρρθ-+-=，因为曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭，所以22242403cos r π-⨯⨯+-=，解得2r =(负值舍去），所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）因为()12,,,2A B πραρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线()22:2cos 26C ρθ+=上，所以()212cos 26ρα+=，()222cos 22cos 262παρα⎡⎤⎛⎫++=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以22221211112cos 22cos 22663OAOBααρρ+-+=+=+=. 23.（1）当1b =时，()()11112222a a af xg x x x x x +=-++≥---=+， 因为()()12f xg x +的最小值为3，所以132a+=，解得8a =-或4.（2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3a x a <<，因为不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a >且132a <，即312a <<，故实数a 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭.。
河南省中原名校2018届高三上学期第一次质量考评数学(理) (5)
【题文】
（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若P A＝PD＝AD＝DC，求二面角A－PB－C的余弦值．
【答案】
（1）证明：过P在平面PAD内作PE⊥AD于E点，又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，AB平面ABCD，∴PE⊥AB，又PA⊥AB，且PE PA=P
∴AB⊥平面PAD，AD平面PAD，∴AB⊥AD，又底面ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形；
（2）由（1）可知：E为AD的中点.
以A为的原点，AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系，设AB=2
易得：，，,,,,
,
设平面PAB的法向量,
,即，
设平面PBC的法向量
,即，
∴
所以二面角A－PB－C的余弦值.
【解析】
【标题】河南省中原名校2018届高三上学期第一次质量考评数学（理）【结束】。
2018届河南省中原名校(即豫南九校)高三上学期第二次质量考评数学(文)试题 Word版 含答案
2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上学期第二次质量考评数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则的子集的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】结合椭圆与指数函数的图像可知，共有两个交点，即有两个元素， 子集有个.故选D 2．已知复数，（，为虚数单位），若，则的值是（ ）A.B.C. 1D.【答案】B 【解析】，若，则表示实数，所以所以=-1故选B3．定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()2log 4,0{ 12,0x x f x f x f x x -≤=--->，则()3f =（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2 【答案】A 【解析】()()()()()()()()()()3211f f f f ⎡⎤=-=----=-+-⎣⎦()()()()()0120102f f f f f =---+-=-=-故选A视频 4．已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】当a=0时,f(x)=−12x+5为一次函数,k<0说明f(x)在(−∞,3)上是减函数，满足题意；当a>0时,f(x)为一元二次函数,开口朝上,要使得f(x)在(−∞,3)上是减函数，需满足：,解得当a<0时,f(x)为一元二次函数，开口朝下，要使得f(x)在(−∞,3)上是减函数是不可能存在的，故舍去。
综上,a的取值范围为：[0,]故选：D5．关于的方程至少有一个负实根的充要条件是（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】解:因为方程至少有一个负的实根，则利用对立事件即为没有负实数根，或者无解，这样可知结合判别式和韦达定理得到参数a的取值范围是，选A6．函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,f(x)为奇函数，排除B；在上，当时，，排除A；时，，排除D故选C7．定义在上的奇函数，满足，当，，则（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】∵，∴f （x ）的图象关于直线x =1对称， 又f （x ）是奇函数，∴f （x ）=f （2-x ）=-f （x-2）， ∴f （x+4）=-f （x+2）=f （x ）， ∴f （x ）的周期为4．,故选C8．直线3470x y +-=与椭圆22221x y a b+=（0a b >>）相交于两点A ， B ，线段AB的中点为()1,1M ，则椭圆的离心率是（ ）A.12B. 2C. D. 34 【答案】A【解析】设A （11,x y ）B （22,x y ）则2211221x y a b +=,2222221x y a b +=,作差得22221212220x x y y a b--+=即 ()()()()1212121222x x x x y y y y ab-+-++=,两边同时除以12x x -即得12121222120x x y yy y a b x x ++-+=-因为121212123224y y x x y y x x --+=+==-，，，代入得2232240a b -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+=，所以2234b a =，e=12 点睛：椭圆中中点弦问题可以使用点差法，整理式子出现直线斜率和中点坐标的关系，从而得出22b a的值，即得离心率.9．已知函数，则的极大值为（ ）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】，则,令x=1得，所以则，所以函数在（0,2）上递增，在（2，+）上递减，则的极大值为故选B10．若方程的一个根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】方程的一个根在区间内，另一根在区间内，则令,,画出区域：A(-3,1) C(-1,0)点D（2,3）表示区域中的点（a,b）与点D（2,3）的斜率，由图可知故答案为D11．一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设球的半径为：r，由正四面体的体积得：,所以r=，设正方体的最大棱长为a，∴3=∴a=,外接球的面积为故选B点睛：在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，也就是正方体外接球的直径.12．定义在上的函数，满足，且，若，则方程在区间上所有实根之和为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】∵∴y=f(x)关于点(0,2)中心对称,将函数向右平移2个单位再向右平移2个单位,得到函数y=f(x)在[−1,5]上的图象,每段曲线不包含右端点(如图)，去掉端点后关于(2,2)中心对称.又∵关于(2,2)中心对称,故方程f(x)=g(x)在区间[−1,5]上的根就是函数y=f(x)和y=g(x)的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为,,,其中和关于(2,2)中心对称，∴+=4,=1，故+=5故选C二、填空题13．已知（），则__________．【答案】5【解析】可见函数关于（0,1）中心对称，所以,故答案为514．已知长方体，，，则到平面的距离是__________．【答案】【解析】则，到平面的距离为，利用等体积法即,所以,解得h=故答案为15．直线与抛物线交于两不同点，.其中，，若，则直线恒过点的坐标是__________．【答案】【解析】设直线为则得,,直线为，恒过故答案为点睛：直线与抛物线联立，要考虑直线的斜率存在与不存在，如果斜率不存在满足题意，直线可设成横截式.16．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】函数有两个不同的零点,则有两个不等根，分离则。
【全国校级联考】河南省中原名校(即豫南九校)2017-2018学年高一上学期期末联考数学试题(原卷版)
豫南九校2017-2018学年上期期末联考高一数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知：直线与直线平行，则的值为（）A. 1B. -1C. 0D. -1或13. 函数，则（）A. B. 4 C. D. 84. 设是两个不同的平面，是直线且，，若使成立，则需增加条件（）A. 是直线且，B. 是异面直线，C. 是相交直线且，D. 是平行直线且，5. 已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.6. 已知矩形，，，沿矩形的对角线将平面折起，若四点都在同一球面上，则该球面的面积为（）A. B. C. D.7. 设是定义在实数集上的函数，且，若当时，，则有（）A. B.C. D.8. 已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（）A. 0B.C.D. 19. 某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是（）...A. 1B.C.D. 210. 已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（）A. -9，1B. -10，1C. -9，2D. -10，211. 已知函数，若对一切，都成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.12. 已知为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为（）A. 10B. 13C. 15D. 20二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的单调递增区间为__________．14. 已知集合，，则集合中子集个数是__________．15. 如图，已知圆柱的轴截面是矩形，，是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为__________．16. 已知函数，则函数的零点个数为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知全集，集合，集合.（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围.18. 已知直线及点.（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程.19. 设是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）解不等式.20. 已知圆经过点，和直线相切.（1）求圆的方程；（2）若直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.21. 如图，四面体中，平面，，，，.（1）求四面体的四个面的面积中，最大的面积是多少？（2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值.22. 已知函数，.（1）当时，求函数的值域；（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数的最大值为0，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.郑重声明：大联考联盟涉及所有试题及相关内容，均具有相应版权，授予络独家传播权，如有侵权可独立维权，未经授权谢绝转载，传播。
2018届河南省郑州市第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题
2017—2018学年上期中考18届高三数学理科试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}32M m m =∈-<<Z ，{}13N n N n =∈-≤≤，M N =I （ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．()0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石3．复数13z bi =-，212z i =-，若12z z 是实数，则实数b 的值为（ ） A ．0 B ．32- C ．6 D ．6- 4．某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内应填入（ ）A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k >5．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有20x >；命题q ：“1x >”是“2x >”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∨D ．p q ⌝∧6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差2d =-，321S =，则当n S 取最大值时，n 的值为（ ）A ．10B ．9C ．6D ．57．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．88．设,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数z ax by =+（其中0a >，0b >）的最大值为3，则2ab 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()()20x f x '->，若24a <<则（ ）A ．()()()223log a f f f a <<B ．()()()23log 2a f f a f <<C ．()()()2log 32a f a f f <<D ．()()()2log 23a f a f f << 10．在三棱锥A BCD -中，1AB AC ==，2DB DC ==，AD BC ==，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ）A ．πB ．4πC ．7πD ．9π11．已知椭圆22195x y +=的右焦点为F ，P是椭圆上一点，点(0,A ，当APF ∆的周长最大时，APF ∆的面积为（ ）A ．114 B．4 C ．214 D．412．已知函数()()()22sin 12017f x x x x x =--++在[]2016,2018-上的最大值为M ，最小值m ，则M m +=（ ）A ．2017B ．2018C ．4034D ．4036第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数为 ． 14．设,x y ∈R ，向量(),1a x =r ，()1,b y =r ，()2,4c =-r ，且a c ⊥r r ，b c ∥r r ，则a b +=r r ．15．若将函数()()()sin 22f x x x ϕϕ=+++()0ϕπ<<的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()()cos g x x ϕ=+在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是 ．16．数列{}n a 满足221211,2,n n n n a n a a n ---⎧<⎪⎨≥⎪⎩()2n ≥，若{}n a 为等比数列，则首项1a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知ABC ∆中，角,,A B C 对边分别是,,a b c，)()22sin sin sin A C a b B -=-，且ABC ∆（1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆面积的最大值.18．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. （1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列及数学期望..19．如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，ED DG ⊥，EF DG ∥.且2AB AD DE DG ====，1AC EF ==.（1）求证：BF ∥平面ACGD ；（2）求锐二面角D CG F --的余弦值.20．设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆()222210y x a b a b +=>>上的两点，椭圆的离心率为2，短轴长为2，已知向量11,x y m b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ，22,x y n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，且m n ⊥u r r ，O 为坐标原点. （1）若直线AB 过椭圆的焦点()0,F c ，（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（2）试问：AOB ∆的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.21．已知函数()()()ln 111f x x k x =---+.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：ln 2ln 3ln 4345++++L ()()*1ln N ,114n n n n n n -<∈>+. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6sin ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()1,2P ，求PA PB +的最小值.23．选修4-5：不等式选讲 已知不等式2342x x a -+-<.（1）若1a =，求不等式的解集；（2）若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围.2017—2018学年上期中考18届高三数学理科答案一、选择题1-5:ABCAB 6-10:DCACC 11、12：DD二、填空题13．15 14．12 16．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 三、解答题17．解：（1）由)()22sin sin sin A C a b B -=-⋅得 ()2222442a c b a b R R R ⎫-=-⎪⎭.又∵R =，∴222a c ab b -=-，∴222a b c ab +-= ∴2221cos 22a b c C ab +-==. 又∵0180C ︒<<︒，∴60C =︒.（2）11sin 222S ab C ab ==⨯=()sin sin 120A B A A =︒- ()sin120cos cos120sin A A A =︒-︒=23sin cos A A A3sin 22222A A =-+=()2302A -︒+∴当2120A =︒，即60A =︒时，max S =18．解：（1）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A事件A 等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”()642131010315p A =+⨯= （2）由题可知X 可能取值为0,1,2,3.()30463101030C C P X C ===，()21463103110C C P X C ===， ()1246310122C C P X C ===，()0346310136C C P X C ===. 分布列：∴311912310265EX =⨯+⨯+⨯= 19．解：（1）设DG 的中点为M ，连接AM ，FM .易证：四边形DEFM 是平行四边形. ∴MF DE ∥，且MF DE =.∵平面ABC ∥平面DEFG ，∴AB DE ∥，∵AB DE =，∴MF AB ∥，且MF AB =，∴四边形ABFM 是平行四边形， ∴BF AM ∥.又BF ⊄平面ACGD ，AM ⊂平面ACGD ，故BF ∥平面ACGD .（2）由题意可得，,,AD DE DG 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系. ()()()0,2,02,1,02,1,0FG =-=-uu u r .设平面BCGF 的法向量为()1,,n x y z =u r ， 则112020n FG x y n CG z y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u r uu u r u r uu u r ，令2y =，则()11,2,1n =u r . 又平面ADGC 的法向量()21,0,0n =u u r .∴121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u ur =. 由于所求的二面角为锐二面角，∴二面角D CG F --的余弦值为620．解：（1）由题可得：2a =，1b =，所以，椭圆的方程为2214y x += 设AB的方程为：y kx =2214y x +=得：()22410k x ++-=∴12x x +=，12214x x k -=+，0∆> ∵m n ⊥u r r ，∴0m n ⋅=u r r ，即：2121212144y y k x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()123044x x +++=即222413044444k k k +-⎛⎫-+⋅+= ⎪++⎝⎭，解得：2k =± （2）当A 为顶点时，B 必为顶点，则1AOB S ∆=当,A B 不为顶点时，设AB 的方程为y kx m =+， 联立2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2224240k x kmx m +++-= ∴12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，0∆> ∴121122AOB S m x x m ∆=-== 所以三角形的面积为定值1.21．解：（1）定义域为()1,+∞，()1111k kx f x k x x +-'=-=-- 若0k ≤，()101f x k x '=-≥-，()f x 在()1,+∞上单调递增 若0k >，()11k k x k f x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-，所以，当()0f x '>时，111x k <<+，当()0f x '<时，11x k>+ 综上：若0k ≤，()f x 在()1,+∞上单调递增；若0k >，()f x 在11,1k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递减 （2）由（1）知，0k ≤时，()210f k =->不可能成立；若0k >，()0f x ≤恒成立()max 110f x f k ⎛⎫⇔=+≤⎪⎝⎭，11ln 0f k k ⎛⎫+=-≤ ⎪⎝⎭，得1k ≥ 综上，1k ≥.（3）由（2）知，当1k =时，有()0f x ≤在()1,+∞上恒成立，即()ln 12x x -<- 令()2*1N ,1x n n n -=∈>，得22ln 1n n <-，即ln 112n n n -<+ ln 2ln 3ln 4ln 3451n n +++++L ()1123122224n n n --<++++=L ()f x ，得证. 22．解：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，即()2239x y +-=.所以圆C 的直角坐标方程为()2239x y +-=. （2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得()2cos sin 70t αα+--=. 由已知得()22cos 2sin 470αα=-+⨯>，所以可设12,t t 是上述方程的两根， 则()12122cos sin 7t t t t αε⎧+=--⎪⎨=-⎪⎩由题意得直线l 过点()1,2，结合t 的几何意义得12PA PB t t +=+≥()f x23．解：（1）当1a =时，不等式即为2342x x -+-<，若4x ≥，则3102x -<，4x <，∴舍去；若34x <<，则22x -<，∴34x <<；若3x ≤，则1032x -<，∴833x <<.综上，不等式的解集为843x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）设()234f x x x =-+-，则()310,4,2,34,103, 3.x x f x x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤⎩作出函数()f x 的图象，如图所示.由图象可知，()1f x ≥，∴21a >，12a >，即a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
河南省中原名校(即豫南九校)2021届高三上学期第二次质量考评数学(理)试题
河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三上学期第二次质量考评数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}lg A x y x ==，{}2230B x x x =--<，则AB =（ ） A ．()0,3B ．()1,0-C ．()(),03,-∞+∞D ．()1,3- 2．若()2,,x i iy i x y R -=+∈，则复数x yi +=（ ） A ．2i -+ B ．2i + C ．12i - D ．12i +3．命题p ：,x y R ∈，222x y +<，命题q ：,x y R ∈，2x y +<，则p 是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()12log ,1236,1x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．3 B ．4 C ．3- D ．385．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于（ ）cm 3.A ．4+2π3B ．4+3π2C ．6+2π3D ．6+3π26．已知定义域为R 的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，且()12f =，则不等式()2log 2f x >的解集为（ ）A ．()2,+∞B ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C．)0,2⎛⋃+∞ ⎝⎭D．)+∞ 7．已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin a αα=，()sin cos b αα=，()cos sin c αα=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b << 8．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，，∠ABC=90°，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π9．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值是（ ）A1 BC ．0D ．1 10．若函数()()3f x x x c =-在2x =处有极小值，则常数c 的值为（ ）A ．4-B ．2或8C ．2D ．811． 倾斜角为12π的直线l 经过原点与双曲线22221x y a b -=的左、右两支于A B 、两点，则双曲线离心率的取值范围为 ( )A．)-+∞ B．)+∞ C．- D． 12．已知曲线()x f x ke -=在点0x =处的切线与直线210x y --=垂直，若12,x x 是函数()()ln g x f x x =-的两个零点，则（ ）A ．12211x x e e <<B ．12211x x e <<C ．1211x x e <<D ．212e x x e <<13．设x 、y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则z ＝2x －y 的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．3D ．2二、填空题14．已知函数()sin b f x a x c x =++，[)(]5,00,5x ππ∈-⋃，若()()114034f f +-=，则c =__________．15．曲线y =y x =所围成的封闭图形的面积为__________．16．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()0f x >，()()f x f x '为的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是_______三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B A =. （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆ABC ∆的周长为6，求a ．18．近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++ 19．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA=AB=12PD ．（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ（II ）求二面角Q-BP-C 的余弦值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -+=相切.(1)求椭圆C 的方程：(2)设(4,0)P ，A B 、是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q .21．已知函数()ln f x x =，()()h x a x a R =∈.（Ⅰ）函数()f x 的图象与()h x 的图象无公共点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得对任意的1(,)2x ∈+∞，都有函数()m y f x x=+的图象在()xe g x x=的图象的下方？若存在，请求出整数m 的最大值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln 20.6931=，ln3 1.0986= 1.3956==）.22．已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，将曲线1C ：cos sin x y αα==⎧⎨⎩（α为参数）经过伸缩变换3{2x x y y='='后得到曲线2C ． （1）求曲线2C 的普通方程；（2）若点M 在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．23． [选修4-5:不等式选讲]已知函数()12f x x a a=-+()0a ≠(1)若不等式()f x ()1f x m -+≤恒成立,求实数m 的最大值;(2)当12a <时,函数()() g 21x f x x =+-有零点,求实数a 的取值范围参考答案1．A【解析】{}{}2x|x 230x|-1<x<3B x =--<= ，{}{}lg 0A x y x x x === ，{}|03A B x x ⋂=<<故选择A ．2．B【详解】()2,121,22x i i y i xi y iy x x yi i-=+∴+=+∴==∴+=+3．A【解析】222x y +< 表示的范围，用图像来表示就是以(0,0)为半径的圆内； q ：,x y R ∈，2x y +< 表示以()()()()0,2,0,2,2,0,2,0-- 为顶点的菱形；画出图像知道菱形包含了圆形；故p 范围比q 范围小，根据小范围推大范围，得p 是q 的充分非必要条件；故选A点睛：充分必要条件中，小范围推大范围，大范围推不出小范围；这是这道题的跟本； 再者，根据图像判断范围大小很直观，快捷，而不是去解不等式；4．C【解析】()121236(1),23682x f x x f ⎛⎫=+≤=+= ⎪⎝⎭ 121(8)log 32f f f x ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选C5．D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V 三棱柱+V 半圆柱=×2×2×3+12•π•12×3=（6+1.5π）cm 3．故答案为：6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．6．B【解析】f （x ）是R 的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，所以f （x ）在[0，+∞）上是增函数， 所以f （log 2x ）＞2=f （1）⇔f （|log 2x|）＞f （1）⇔|log 2x|＞1；即log 2x ＞1或log 2x ＜﹣1；解可得x ＞2或102x <<． 故选B ．点睛：根据题意，结合函数的奇偶性、单调性分析可得f （log 2x ）＞2⇔|log 2x|＞1；化简可得log 2x ＞1或log 2x ＜﹣1，解可得x 的取值范围，即可得答案．7．D【解析】 0,1cos sin 04x x πα⎛⎫∈∴>>> ⎪⎝⎭，小于1的数越平方越小， ()()sin sin sin cos αααα∴<()()sin cos sin sin αααα> 故选D ；8．D由题意，结合圆的性质知当四面体ABCD 的体积为最大值时，点D 在平面ACD 上的射影为AC 中点O '，则BO '=设球的半径为R ，球心为O ，则OB OD R ==，O D '=DO R '=133ACD S DO ∆'⋅=，即133R +=，解得2R =，所以球的表面积为2416R ππ=，故选D ．9．D【详解】试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以222||||21PA PB PC CA x ⋅=-=+，所以PA PB ⋅的最小值为1，故答案选D. 考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.10．D【解析】∵函数f （x ）=x （x ﹣c ）2，∴f′（x ）=3x 2﹣4cx+c 2，又f （x ）=x （x ﹣c ）2在x=2处有极值，∴f′（2）=12﹣8c+c 2=0，解得c=2或6，又由函数在x=2处有极小值，故c=2，c=6时，函数f （x ）=x （x ﹣c ）2在x=2处有极大值，点睛：根据函数在x=2处有极小值，得到f′（2）=0，解出关于c 的方程，再验证是否为极小值即可．需要注意：'()0f x = 是x 是函数的极值点的充分不必要条件． 11．A【解析】由题意可知，一条渐近线的斜率的倾斜角大于12π，即tan 212b k a π=≥=，e =≥= A.【解析】试题分析：因,故,由题设可知,则,所以．又因12,x x 是方程的两个根,即是的两根,结合图象可知,,以上两式两边相减可得,注意到,由于,,因此,所以,故12211x x e <<,选B ． 考点：函数与方程的关系及数形结合的思想． 【易错点晴】本题考查的是以导数的几何意义及函数零点为背景的不等式问题．求解时充分借助题设条件与已知,先运用导数的知识求出函数解析式()x f x ke -=中的未知数,后依据函数零点的概念建立方程,然后借助题设和函数图象的特征确定零点的取值范围,最后运用不等式的性质求出,从而求出12211x x e <<． 13．B【分析】 作出可行域，将z ＝2x －y 变形成关于y 的一次函数，得2y x z =-，再根据z -为截距，结合可行域求最值即可【详解】作出可行域如图，z ＝2x －y 变形得2y x z =-，作直线l ：y ＝2x ，平移直线l ，当经过可行域内的点A 时，－z 取最小值，z 取最大值，由31070x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得52x y =⎧⎨=⎩∴A (5，2)，∴z max ＝2×5－2＝8，故选：B ． 【点睛】本题考查由可行域求目标函数的最值，正确作图是解题关键，属于基础题 14．2017 【解析】设：()sin bg x a x x =+是奇函数，()()f x g x c =+ ，(1)(1)(1)(1)2f f g g c -+=-++ ， 因为()sin bg x a x x=+ 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-= ，(1)(1)(1)(1)224034f f g g c c -+=-++== ，故2017c =；故答案为2017c =． 15．16【解析】由定积分的几何意义可得：封闭图形的面积)1321200211|326S x dx x x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰.16．84,279⎛⎫⎪⎝⎭【分析】 构造函数()()2(0)f x g x x x =>，根据()g x 的单调性可得()()2439f f <；然后构造函数()()3(0)f x h x x x =>，可得()()28327f f >，从而得到()()2842739f f <<，即为所求． 【详解】 设()()2(0)f x g x x x =>，则()()()320xf x f x g x x -''=>，故函数()g x 在()0,∞+上单调递增， 所以()()2349f f <，故()()2439f f <． 设()()3(0)f x h x x x=>，则()()()()430xf x f x h x h x x -<''=，故在()0,∞+上单调递减，所以()()23827f f >，则()()28327f f >， 所以()()2842739f f <<． 故()()23f f 的取值范围是84,279⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查构造函数求范围，解题的关键是根据题意中给出的条件构造出两个函数，然后再根据取特殊值得到所求的范围，综合考查创新和应用能力，具有一定的综合性和难度． 17．（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理得tan 3A =，可求；（Ⅱ）由周长得6a b c ++=，面积得，以及余弦定理222a b c bc =+-联立方程组得.试题解析：（Ⅰ）sin cos a B A =，∴由正弦定理得：sin sin cos A B B A =.sin A A =,tan A =∵0A π<<，3A π=.（Ⅱ）6a b c ++=，ABC ∆的面积4S bc =⇒=.在ABC ∆中，由余弦定理可得222a b c bc =+-，则2226{44b c abc b c a +=-=+=+, 226)22222({44a b c bc bc b c a -++==+=+,22(6)122a a a ⇒-=+=，.考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.18．（1）有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的； （2）()E ξ910=; 【解析】试题分析：（1）计算观测值K 2，与7.879比较大小即可得出结论； （2）利用超几何分布的概率公式计算分布列，从而得出数学期望． （1）∵()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，即()2250201551025252530203K ⨯-⨯==⨯⨯⨯ ∴28.333K ≈，又()27.8790.0050.5%P K ≥==， ∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的（2）现在从患心肺疾病的10位女性中选出3位，其中患胃病的人数0,1,2,3ξ=，∴()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ⋅===， ()12733107240C C P C ξ⋅===，()3331013120C P C ξ===. 所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望()721012440E ξ=⨯+⨯+ 719234012010⨯+⨯=19．（I ）证明见解析；（II ）【分析】首先根据题意以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，,,DA PQ DC 为x 、y 、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ；（Ⅰ）根据坐标系，求出,,DQ DC PQ 的坐标，由向量积的运算易得·0,0DQ PQ DC PQ ⋅==；进而可得PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B 、,CB BP 的坐标，进而求出平面的PBC 的法向量n 与平面PBQ 法向量m ，进而求出cos ＜m ，n ＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案. 【详解】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，,,DA PQ DC 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.（Ⅰ）依题意有，，， 则，，，所以，，即⊥，⊥.且DQ DC D ⋂=, 故⊥平面. 又平面，所以平面⊥平面.（II）依题意有，=，=. 设是平面的法向量，则即因此可取设是平面的法向量，则可取所以15 cos(,)m n=-,且由图形可知二面角Q BP C--为钝角故二面角的余弦值为考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角20．（1）22143x y+=（2）(1,0)Q【解析】【试题分析】（1）依据题设运用已知条件分别求出其参数a b，；（2）运用直线的点斜式方程求出直线PB的方程，再与椭圆方程联立，借助坐标之间的关系建立直线AE的方程，然后借助题设进行分析推证：解:(1) 12c e a == ∴ 22222214c a b e a a -===，即2243a b =， 又b ==23b = ∴ 24a = 故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)由题意知，直线PB 的斜率存在，设其为k ，则直线PB 的方程为()4y k x =-由()2234120{4x y y k x +-==-可得，()222433264120k x k x k +-+-=设点()()1122,,B x y E x y 、，则()11,A x y -，21223243k x x k +=+①，2122641243k x x k -=+② 由于直线AE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--所以令0y =，可得()()()()()()221221121222212112424448y x x k x x x x x x x x x x y y k x k x x x ----+=-=-=+-+-+-①②带入到上式既可解得1x =， 所以直线AE 与x 轴相交于定点()1,0Q .点睛：椭圆是重要的圆锥曲线的代表之一，也是高考重点考查的重要内容之一。
河南省中原名校(即豫南九校)2018届高三上学期第二次质量考评数学(文)试题 Word版含答案
中原名校2017—2018学年第二次质量考评高三数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合()22,143x y A x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，(){},3xB x y y ==，则A B I的子集的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知复数21z x x i =+-，222z x i =-+（x R ∈，i 为虚数单位），若120z z +<，则x 的值是（ ）A ．1±B ．1-C ．1D ．2- 3．定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()2log 4,012,0x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨--->⎪⎩，则()3f =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知函数()()22435f x ax a x =+-+在区间(),3-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．01a <≤ D ．01a <≤或0a < 6．函数()2log xf x x=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()2f x f x -=，当(]0,1x ∈，()1x f x e =-，则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1e - B ．1e - C．118．直线3470x y +-=与椭圆22221x y a b+=（0a b >>）相交于两点A ，B ，线段AB 的中点为()1,1M ，则椭圆的离心率是（ ）A ．12 BCD ．34 9．已知函数()()21ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为（ ） A ．2 B ．2ln 22- C ．e D ．2e -10．若方程220x ax b ++=的一个根在区间()0,1内，另一根在区间()1,2内，则32b a --的取值范围是（ ）A ．2,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,15⎛⎫⎪⎝⎭11．一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ）A ．4πB ．6πC ．12πD ．24π12．定义在R 上的函数()f x ，满足()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()11f x f x +=-，若()232x g x x -=-，则方程()()g x f x =在区间[]1,5-上所有实根之和为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知()()221sin 1x a xf x x ++=+（a R ∈），则()()()()()21012f f f f f -+-+++= ．14．已知长方体ABCD A B C D ''''-，3AB =，4AA AD '==，则B 到平面AB C '的距离是 ．15．直线l 与抛物线24y x =交于两不同点A ，B .其中()11,A x y ，()22,B x y ，若1236y y =-，则直线l 恒过点的坐标是 ．16．已知函数()2x f x e ax =-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()cos cos cos 0C A A B +=（1）求角B 的大小；（2）若1a c +=，求b 的取值范围.18．某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？ （3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位女教师的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++19．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，PAD ∆是等边三角形，已知2AD =，BD =24AB CD ==.（1）设M 是PC 上一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD . （2）求四棱锥P ABCD -的体积.20．已知椭圆D ：22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长为2（1）求椭圆D 的方程；（2）点()0,2E ，轨迹D 上的点A ，B 满足EA EB =λu u r u u r，求实数λ的取值范围.21．已知函数()()222ln 2f x x x x ax =-++.（1）若()f x 在1x =处的切线是340x y +-=，求实数a 的值；（2）当0a >时，函数()()2g x f x x =--有且仅有一个零点，若此时1,x e e -⎡⎤∈⎣⎦，()g x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0-=ρθθ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()1,3P .（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =-++.（1）若存在x 使不等式()0a f x ->成立，求实数a 的取值范围； （2）若不等式()40a f x a+-≥对任意正数a 恒成立，求实数x 的取值范围.中原名校2017—2018学年第二次质量考评高三数学（文）参考答案一、选择题1-5:DBADA 6-10:CCABD 11、12：BC二、填空题13．5 14．17 15．()9,0 16．,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、解答题17．解：（1）()cos cos cos C A A B +=()cos cos cos cos 0A B A B A B -+=化简得sin B B = 所以3B =π（2）由正弦定理sin sin sin a c b A C B ===所以()1sin sin a c A C =+=+()2sin sin b A C =+，2sin sin sin sin 3A C A A ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭π6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π203A <<π，∴1sin ,162A ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦π， ∴112b ≤< 综上：b 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭18．解：（1）（2）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -==++++()2100200600 4.762 3.84180203070⨯-≈>⨯⨯⨯所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关. （3）记5人为abcde ，其中ab 表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：abc ，abd ，abe ，acd ，ace ，ade ，bcd ，bce ，bde ，cde 共10个，其中至多1为教师有7个基本事件：acd ，ace ，ade ，bcd ，bce ，bde ，cde 所以所求概率是710. 19．解：（1）在三角形ABD 中由勾股定理AD BD ⊥， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD = 所以BD ⊥平面PAD 又BD ⊂平面BDM . 所以平面MBD ⊥平面PAD.（2）取AD 中点为O ，则PO 是四棱锥的高PO =底面ABCD 的面积是三角形ABD 面积的32，即所以四棱锥P ABCD -的体积为133⨯=20．解：（1）由已知2221a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2a =，1b =，c = D 的方程为2214x y +=（2）过()0,2E 的直线若斜率不存在，则13=λ或3. 设直线斜率k 存在()11,A x y ，()22,B x y222440y kx x y =+⎧⇒⎨+-=⎩()221416120k x kx +++= 则()()()()122122120,116,21412,314,4k x x k x x k x x ∆≥⎧⎪-⎪+=⎪+⎨⎪=⎪+⎪=⎩λ由（2）（4）解得1x ，2x 代入（3）式得()2222161214141k k k-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+λλ 化简得()22314641k⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+λλ 由（1）0∆≥解得234k ≥代入上式右端得 ()2311641<≤+λλ 解得133<<λ 综上实数λ的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21．解：（1）()()222ln 2f x x x x ax =-++，（0x >）()()22ln 22f x x x x ax '=-+-+由已知()1123f a '=-+=-，∴1a =-（2）由已知()()222ln 0g x x x x ax x =-+-=（0x >）即方程()2ln 10x x ax -+-=（0x >）有唯一的实数根所以()12ln x xa x--=（0x >）即直线y a =与函数()12ln x xy x--=（0x >）的图象有唯一的交点构造函数()()12ln 1ln x x h x x x x--==-2ln xx +（0x >）()212ln x xh x x --'=（0x >）令12ln y x x =--，210y x '=--<，y ↓而1x =，0y =∴()10h '=；01x <<，0y >，()0h x '>；1x >，0y <，()0h x '< ∴01x <<，()h x ↑；1x >，()h x ↓且0x →，()h x →-∞；x →+∞，()h x →-∞ 所以()11a h ==已知可化为()()222ln m g x x x x x x ≤=-+-（1e x e -≤≤）的最小值()()()12ln 3g x x x '=-+（1e x e -≤≤）所以()g x 在()1,1e -上减，在()1,e 上增所以()()max 10m g x g ≤== 综上实数m 的取值范围是(],0-∞ 22．解：（1）直线l 的普通方程21y x =+ 曲线C 的直角坐标方程216y x =（2）直线的参数方程改写为153x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入216y x =247055t --=，∴12t t +=，12354t t =-，121211t t PA PB t t -+==23．解：（1）()12f x x x =-++≥123x x ---= 已知等价于()min 3a f x >=所以实数a 的取值范围()3,+∞ （2）0a >，44a a+≥（2a =取等号） 已知可化为()min44f x a a ⎛⎫≤+= ⎪⎝⎭ 所以124x x -++≤5322x ⇒-≤≤. 因此实数x 的取值范围53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
河南省中原名校联盟2018届高三第一次质量考评理数答案(PDF版)
e−3 上.故可得： 0 < a < 23 e
三、解答题：（17—21 题每题 12 分；22 题二选一 10 分） 17．解析：（1）由 (1 − tan A)(1 − tan B ) = 2 ，得 − (tan A + tan B ) = 1 − tan A tan B
A + tan B π = −1 ，即 tan C = − tan( A + B ) = 1 ，故 C = ；……6 分 所以， 1tan 4 − tan A tan B
∆ABC
∵ 平面PAD ⊥ 平面ABCD , 平面PAD ∩ 平面ABCD = AD
PO ⊥ AD ,
且 PO ⊂ 平面PAD 分
∴ PO ⊥ 平面ABCD
又∵
AB ⊂ 平面ABCD , ∴ PO ⊥ AB ……3 PA ∩ PO = P AD ⊂ 平面PAD
∵ PA ⊥ AB
∴ AB ⊥ 平面PAD ∴ AD ⊥ AB , ∵ ∴ ABCD
3
n +1
= xn −
f ( xn ) f ' ( xn )
，可得， x
n +1
=
1 3 xn + xn 2
，由 x
0
=2
，得 x = 2.5 ，
1
x2 = 2.45
12 C
≈ 2.4495
x
． 【解析】函调增加，则 e
x
− 2ax ≥ 0
在 (−∞,1] 上恒成
.
π b c 1 = （2）由 sin 得， sin B = ，又因为 b < c ，所以 B < C , B ∈ (0, ) B sin C 2 4 7 故B = π ,从而 A = π 6 12 1 7 所以， S = 1 bc sin A = × 2 2 × 4 × sin π = 2 + 2 3 ………………12 分 2 2 12 18．（本小题满分 12 分） 证明：（1)过 P 作 PO ⊥ AD 于 O
河南省中原名校2018届高三上学期第一次质量考评数学(文)+Word版含解析
中原名校2017——2018学年第一次质量考评高三数学（文）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知P＝{x｜－1＜x＜1}，Q＝{x｜－2＜x＜0}，则P∪Q＝A. （－2，1）B. （－1，0）C. （0，1）D. （－2，－1）【答案】A【解析】∵P＝{x｜－1＜x＜1}，Q＝{x｜－2＜x＜0}∴P∪Q＝（－2，1）故选：A2. 设复数z＝－2＋i（i是虚数单位），z的共轭复数为，则｜（1＋z）·｜等于A. B. 2 C. 5 D.【答案】D【解析】（1＋z）·,∴｜（1＋z）·｜.故选：D点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：...........................3. 若a＜b＜0，则下列不等关系中，不能成立的是A. ＞B. ＞C. ＜D. ＞【解析】∵a＜b＜0，∴a＜a﹣b＜0由在上单调递减知：因此B不成立．故选：B．4. “x＝kπ＋（k∈Z）”是“tanx＝1”成立的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】C【解析】，故选：C5. 已知曲线＝2 （x≥0，y≥0）和x＋y＝围成的封闭图形为，则图形绕y轴旋转一周后所形成几何体的表面积为A. πB. （8＋4）πC. （8＋2）πD. （4＋2）π【答案】D【解析】封闭图形为，如图所示：该几何体的表面积由两个部分组成：第一部分为半圆的表面积为S1=2πR2，R=，∴S1=4π第二部分为圆锥的侧面积S2，S2=πRl，R=，l=2故S=（4+2）π故答案为D6. 已知数列{}为等差数列，其前n项和为，2a7－a8＝5，则S11为A. 110B. 55C. 50D. 不能确定【答案】B【解析】∵数列{}为等差数列，2a7－a8＝5，∴,可得a6=5，∴S11===55．故选：B．7. 执行如右图所示的程序框图，若最终输出的结果为0，则开始输入的x的值为A. B. C. D. 4【答案】B【解析】由题意，解方程：2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1=0，解得x=，故选：B．点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f（x）＝Asin（ωx＋）＋b （A＞0，ω＞0，｜｜＜）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为A. f（x）＝2sin（x－）＋7 （1≤x≤12，x∈N＋）B. f（x）＝9sin（x－）（1≤x≤12，x∈N＋）C. f（x）＝2sin x＋7 （1≤x≤12，x∈N＋）D. f（x）＝2sin（x＋）＋7 （1≤x≤2，x∈N＋）【答案】A【解析】∵3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，∴当x=3时，函数有最大值为9；当x=7时，函数有最小值5，∴，解得：，又∵函数的周期T=2（7﹣3）=8，∴ω==，∵当x=7时，函数有最大值，∴7ω+ =，即+ =，结合| |＜，取k=0，得 =－，∴f（x）的解析式为：f（x）＝2sin（x－）＋7 （1≤x≤12，x∈N＋）．故选：A．9. 若变量x，y满足约束条件，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时有最大值，由，解得，所以，直线经过点时，有最小值，由，解得，所以，所以，故选B.考点：简单的线性规划问题.10. 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】设，渐近线方程，对称点，，，解得：，，代入到双曲线方程得: ,化简得：，选.【点睛】列出一个关于的等式，可以求离心率；列出一个关于的不等式，可以求离心率的取值范围.本题求出对称点的坐标，利用点在双曲线上，满足双曲线的方程，列出一个关于的等式，求出离心率.11. 己知函数y＝f（x），满足y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数，且f（1）＝，设F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（3）＝A. B. C. π D.【答案】B【解析】由y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数知：f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）=f（x﹣2），故f（x）=f（x+4），则F（3）=f（3）+f（﹣3）=2f（3）=2f（﹣1）=2f（1）=，故选：B．点睛：y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数，说明函数y＝f（x）即关于对称，又关于对称，所以函数y＝f（x）的周期为,（轴间距的二倍）.12. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝（x＋1），则对任意的m ∈R，函数F（x）＝f（f（x））－m的零点个数至多有A. 3个B. 4个C. 6个D. 9个【答案】A【解析】当时,由此可知在上单调递减，在上单调递增，,且,数是定义在上的奇函数，，而时，,所以的图象如图，令,则，由图可知，当时方程至多3个根，当时方程没有根，而对任意，至多有一个根，从而函数的零点个数至多有3个.点晴:本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13. 已知等比数列{}的公比为正数，且a3·a9＝2，a2＝1，则a1＝__________．【答案】【解析】利用等比数列的通项公式求出公比，再求首项．设等比数列{a n}的公比为q(q＞0)，则a3·a9＝2⇒·q6＝2(a3q2)2⇒q＝，又a2＝1，所以a1＝.14. 某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥最长的棱为_________．【答案】3【解析】由三视图得到该几何体如图，CD=1，BC=，BE=，CE=2，DE=3；所以最大值为3，故最长边为DE=3；故答案为：3．点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.15. 如下图：在△ABC中，若AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·＝__________．【答案】-1.5【解析】试题分析：考点：向量数量积16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：①P到F1（－4，0）、F2（4，0）、E1（0，－4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y＝x、y＝－x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为________________．【答案】②③【解析】对于①，考虑点P不是交点的情况，若点P在椭圆上，P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）两点的距离之和为定值10、到E1（0，﹣4）、E2（0，4）两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆关于直线y=x、y=﹣x均对称，曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称，故正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；对于④，曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长：6π，故错误；综上可得：上述判断中正确命题的序号为②③．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acsinB＝．（1）求角C的大小：（2）若bsin（π－A）＝acosB，且b＝，求△ABC的面积．【答案】（1）30°（2）【解析】试题分析：（1）由正余弦定理化简可得角C的大小；（2）由bsin（π﹣A）=acosB，根据正弦定理化简，求出c，即可求出△ABC的面积．试题解析：（1）在△ABC中，2acsinB＝，由余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC，可得：2acsinB=2abcosC．由正弦定理：2sinCsinB=sinBcosC∵0＜B＜π，sinB≠0，∴2sinC=cosC，即tanC=，∵0＜C＜π，∴C=30°．（2）由bsin（π﹣A）=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，∵0＜A＜π，sinA≠0，∴sinB=cosB，∴，根据正弦定理，可得，解得c=1，.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 如图：高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M为AB的三等分点．现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（1）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC?（2）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【试题分析】（1）依据题设运用线面平行的判定定理分析推证；（2）借助题设条件运用三棱锥的体积公式建立方程分析探求：（Ⅰ）证明：当时，有平面．理由如下：连接交于，连接．梯形中，，，∵中，，∴．∵平面，平面，∴平面．（Ⅱ）∵平面平面，平面平面，平面中，，∴平面．∴．中，，，，∴，∴点到平面的距离．点睛：立体几何是高中数学中的重要内容和知识点，也是历届高考重点考查是重要知识与考点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
河南省中原名校（豫南九校）2018届高三上学期第四次质量考评 （期中）数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集,集合 ，,则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】由已知可得，解得。所以选B。 2. 是虚数单位,复数（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】A
3. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题分析：依题意，∴，∴. 考点：充分必要条件. 4. 如果，那么的最小值为（ ） A. 4 B. C. 9 D. 18 【答案】D 【解析】试题分析：因为，，所以，， 由均值定理得，，当m=n时，“=”成立，故选D。 考点：对数函数的性质，均值定理的应用。 点评：简单题，利用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。 5. 一个几何体的三视图如图所示：其中，正（主）视图中的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】有三视图可知此几何体为正六棱锥，因为正视图是边长是2的正三角形，所以底面边长为1，高与的高相等，为，底面面积为六个正三角形的面积的和。所以体积为。故选B。
6. 连接双曲线和（其中）的四个顶点的四边形面积为，连接四个焦
点的四边形的面积为，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】四个顶点坐标分别为，连接四个顶点的四边形由四个直角三角形组成，所以。四个焦点为，其中 ，连接四个焦点的四边形由四个直角三角形组成，所以，所以由基本不
等式可得，当且仅当时，上式取等号。故选B。 7. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） ①； ②函数在处取得极小值，在处取得极大值； ③函数在处取得极大值，在处取得极小值； ④函数的最小值为. A. ③ B. ①② C. ③④ D. ④ 【答案】A 【解析】由导函数的图像可知函数在与上，，所以函数在与上单调递增，在上，所以函数 在上单调递减。所以，所以①错；所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，故②错③对；函数没有最大值，故④错。所以选A。 【点睛】由导函数的图像判断导函数值的正负，再得函数的单调性，可得函数的极值、最值、函数值的大小。 8. 若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应的解析式为，因为平移后的图像关于点对称，所以，即，所以，因为时， ，故选A。 9. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且满足，则点到的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】由抛物线可得，设点到准线的距离为，由抛物线定义可得，因为，由题意得 ，所以 ，所以点到的距离为，故选B。 【点睛】解决有关抛物线的问题，注意抛物线的定义得利用，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。 10. 在中，，的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】因为，所以，因为，所以 ，，所以当时，取最大值1。故选A。 11. 已知，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C
..................... 【点睛】求函数的最值问题，利用辅助角公式将解析式化成一个角的三角函数形式，即，利用三角函数的性质求最值。 12. 已知定义在上的函数为增函数，且，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】令得，令，则 ，中，令，则，所以，因为函数为定义在上的增函数，所以，变形可得，解得或，所以或。令得，令，则 ，
令，则，所以，因为函数为定义在上的增函数，所以，解得或，所以或，因为函数为定义在上的增函数，所以。所以。故选B。 【点睛】抽象函数求函数值，由关系式无法确定，逐步赋值后建立方程，求出方程的解，即关键根据关系式灵活给变量赋值。函数为定义在上的增函数，故，舍去大的值。 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若，满足约束条件则的最大值为__________． 【答案】3 【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围． 作出不等式组对应的平面区域，的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA的斜率最大 考点：简单的线性规划 【方法点睛】1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z＝ax＋by. 求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值． (2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2. (3)斜率型：形如. 14. 如图，长方体的三个面的对角线，，的长分别是3，2，3，则该长方体的外接球的表面积为__________．
【答案】 【解析】设长方体的长、宽、高分别为，所以，故长方体的外接球的直径为，所以长方体的外接球的体积为。 15. 已知直线的方程为，抛物线为，若点是抛物线上任一点，则点到直线的最短距离是__________． 【答案】 【解析】设抛物线的与直线平行的切线方程为，由 得，所以。切线方程为。当点为切点时，点到直线的距离是最短距离，最短距离为直线到切线的距离，所以最短距离为 。 【点睛】曲线上的一点到直线的最短距离，就是与直线平行的曲线的切线到该直线的距离。 16. 已知数列满足，.记，则数列的前项和__________． 【答案】
【解析】因为，所以，所以数列是首项为，
公差为的等差数列，所以，所以，所以数列是由等差数列与等比数列相应项的乘积组成，故求其前项和用错位相减法。 得 ，（1）式减（2）式得，所以 。
【点睛】由条件两边取倒数得，变形得，构造等差数列，由等差数列通项公式可得，所以，根据通项公式特点，数列是由等差数列与等比数列相应项的乘积组成，故求其前项和用错位相减法。 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 海中一小岛的周围 内有暗礁，海轮由西向东航行至处测得小岛位于北偏东，航行8后，于处测得小岛在北偏东（如图所示）. （1）如果这艘海轮不改变航向，有没有触礁的危险？请说明理由. （2）如果有触礁的危险，这艘海轮在处改变航向为东偏南（）方向航行，求的最小值. 附： 【答案】（1）海轮有触礁的危险；（2）15° 【解析】试题分析：（1）海轮不改变航向，有没有触礁的危险，应看点到直线的距离与的大小。所以过点作直线的垂线，交直线于点.先由条件在点处测得小岛位于北偏东，得，在点处测得小岛在北偏东，得，所以。∴. 求的三内角的，可得。在中，求得 .因为，∴海轮由触礁的危险. （2）延长至，使。在中求，即为所求。由（1）知.所以.在中求得.在中求. ∵，∴.所以， ∴. 所以海轮应按东偏南15°的方向航行. 试题解析：解：（1）如图1，过点作直线的垂线，交直线于点. 由已知得，，， ∴. ∴在中， . 又，∴海轮由触礁的危险. （2）如图2，延长至，使，故. 由（1）得. ∴. ∵，∴. 即，∴. 故海轮应按东偏南15°的方向航行.
18. 已知两个不共线的向量满足，，. （1）若与垂直，求的值； （2）当时，若存在两个不同的使得成立，求正数的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）已知与垂直，所以以，变形得，由两向量的坐标可求得两向量的模分别为，，代入上式可得，求得.求向量的模，应先求向量的平方。所以 ，故 . （2）由条件，得，整理得，即，用向量坐标表示数量积得，用辅助角公式得. 由得，又要有两解，结合正弦函数图象可得， ，所以，即，解一元二次不等式，又因为，所以. 试题解析：解：（1）由条件知，，又与垂直， 所以，所以. 所以 ，故 . （2）由，得， 即， 即，， 所以. 由得，又要有两解，结合三角函数图象可得， ，即，又因为，所以. 19. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.
（1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，
， 又因为分别为和的中点，得.