5.2 转动定律

x
r
y
dm
• 薄圆盘绕直径转动惯量? 1 2 I mR Ix I y ? z 2
y
m
R
x
垂直轴定理
Iz Ix I y
z
Iz 1 1 1 2 I x I y mR mR 2 2 2 2 4
圆环转轴沿直径
圆环转轴通过中心 与环面垂直
1 2 J mr How ? 2
dm
R
m
例3 薄圆盘 (质量 m，半径 R )，求 J
解：把盘分成大量同心圆环。
R
dm
dr
r
dS
任一圆环(半径 r，宽 dr，质量 dm) 转动惯量 dJ = r2dm = r2 (m/ R2) 2rdr 整个盘的转动惯量 J = dJ = 0R r2dm = mR2 / 2
Hale Waihona Puke 1 2 J mR （圆柱体 ?） 2
= σR4/（4）(2θ/2)│02π = mR2 /4
2 2 J mr 3
六 转动定律的应用
• 选择刚体（如杆或圆盘），受力分析 • 求合外力矩 M （动力矩取正，阻力矩取负） • 求 J • 代入 M J • 利用
v r at r
角加速度α 例 4 求细杆在图中各个位置时的 角速度ω
l 解：在水平位置1时力矩 M mg 2 1 2 杆对端点的转动惯量 J ml
圆盘
• F1 为 F 平行于转轴 oz 的分力。 • F2 为 F 垂直于转轴 oz 的分力。 MO在OZ 轴上的投影
M OZ M O cos r F2 rF2 sin F2 d
o
MZ
5）M 合内力矩 ≡ 0
垂直 oz 的平面
二 定轴转动定律
合外力 合内力
对组元 i，牛顿定律 Fi + fi =Δmi a i 切向 Fit+ fit=Δmi ait=Δmi riα
J mr
2
薄圆盘转轴通过中心 与盘面垂直
圆筒转轴沿几何轴
1 2 J mr 2
1 2 2 J m(r1 r2 ) 2
圆柱体转轴沿几何轴
圆柱体转轴通过中 心与几何轴垂直
1 2 J mr 2
1 2 1 2 J mr ml 4 12
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
2 2 J mr 5
讨论： 一般 T1≠T2
若滑轮质量 m = 0，则 T1= T2 *** 注意此题的解题方法！！！ END
1 2 I x I y mR 4
2Rcos θ
根据定义计算 r = Rsinθ dr = Rcosθdθ
dr
dm d θ dS r θ O R
dS = 2Rcosθdr = 2R2cos2θdθ dm = σdS = σ2R2cos2θdθ J = ∫r2dm = ∫02πσ 2R4sin2θcos2θdθ = （σR4/2）∫02πsin22θdθ σ = m/(πR2)
2
1 2 1 J O mL MR 2 M ( L R) 2 3 2
在平行轴中，对 质心的转动惯量 JC最小
五 垂直轴定理 （只适用于均匀薄板）
证明
2
Jz Jx J y
2 2
J z r dm ( x y )dxdy x 2dxdy y 2dxdy J x J y
(1) 与质量 m、质量分布及转轴位置有关。
o
o ´
o 1 ml 2 J = 12 m , J o ´
m3
2 1 J = ml 3
(2) 意义：反映刚体转动惯性的大小. J 大 转动惯性 大 (3) J 的计算 • 质点组：J =∑Δmi ri2 =∑Ji
i 3 i 1
r1 m1
r3
J mi ri 2 m1r12 m2r22 m3r32
r2
m2
2 J dJ r • 连续体： dm 方法 ？
• 几个刚体组合 J

Ji
r dm
例1 求一个质量均匀分布的细杆(m，l) 对于通 过杆的一端而与杆垂直的轴的转动惯量。
方法：r 处取dm，
2 J r dm
解：在x 处取线元 dx，质量 dm = mdx x / l，距转 轴的垂直距离 x 0 m m1 3 l 1 2 2 2 J x dm x dx x 0 ml l l l l 3 3 • 通过杆的中点而与杆垂直的轴的转动惯量。
四
平行轴定理（任意刚体，普适） JD = JC + m d2
质心 C
D
• 由均匀细杆和均匀圆盘组 成的刚体对 O 轴的 J
过 过 刚 C 体 JD O J1 J 2 点 平 质 轴 1 行2 量 J的 mL 1 轴 3 的 J J 平 行 轴 距 离
m
C
d
J 2 J 2c M ( L R)
3 转动定律 M = Jβ，角加速度
l mg M 3g 2 1 2 2l J ml 3
1
0
3
2
l 转动到2位置时，力矩 M mg cos 2 l
M J m g cos 3g cos 2 1 2 2l ml 3
在竖直位置3时， M
0
0
求ω ：
3g cos 2l
例5 一轻绳跨过定滑轮悬有质量分别为 m, r m1 和 m2 的物体, 滑轮的质量为m ，半 径为 r, 绳与滑轮之间无相对滑动，无 摩擦。求物体的加速度和绳的张力。 解： m1 m2 m
T1
m1
T1－m1g = m1 a m2g－T2 = m2 a T2r －T1r = Jα at = a = rα
d d d d dt d dt d


0
3 g cos 1 2 3g d d d sin 0 0 2 2l 2l
θ 角的角速度 转到竖直位置3(θ=

3g sin l
900)时角速度
3g l
*** 注意此题的解题方法！！！
m1g N f
a
T2
m2
a
β T2
m2g
J=
mr2/2
T1
mg
∴
(m 2 m1 )g a m1 m 2 m/ 2
2m 2 m/ 2 T1 m1 (g a) m1g m1 m 2 m/ 2
2m1 m/ 2 T2 m 2 (g a) m 2g m1 m 2 m/ 2
第 2 节 刚体的定轴转动定律
一 力 矩 M
1）力F 对O点的力矩 M O r F
3） 连续力对O点的力矩 4）力F 对轴的力矩 积分
i
M
O
F
2）多个力 对O点的力矩 M O M i
r

m
R
M dM r dF MO r F r (F1 F2 ) r F1 r F2
两边乘 ri ，求和
fi F i
C
ri
Δmi
∑Fitri + ∑fitri = ∑Δmi ri2α
i i i
合外力矩 令
i
0
Ft
r F
内力矩之和 ≡ 0
J =∑ ri2 Δmi
— 刚体对转轴的转动惯量
M = Jα — 转动定律
合外力矩等于转动惯量 J 乘以角加速度。
三
转动惯量 J =∑ ri2 Δmi
取杆的中点为坐标原点0，把积分上下限换一下 l m m 1 1 2 2 3 2 J x dm x dx x l ml2 l l l l 3 12 2
dx
X
例2 质量为m的细圆环，求对对称轴的 J
解：把环分成多个质量为dm的小段， dJ = R2dm 整个环 J = dJ = R2dm = mR2