转动定律的推导
05--2、转动定律、转动能量
T=T’ …(5)
v v v aτ = β ×r
β+ r T m2 T’
T
m1
N r
T’
m1g - T= m1a….(1) T’r=Jβ…(2) β
1 2 J = mr …(3) 2
a+
m1g
m2g
a = rβ…(4) β
Jβ β T=T’= r 代入(1)式 代入 式: Jβ β m1g = m1a r Jβ β m1g = m1rβ β r m1gr β = 所以: 所以 m1r2+J 由(2)式: 式
v F // v r
v F v ⊥ F
转动定律说明了J 3）转动定律说明了J是物体转动惯性大小的量 因为： 度。因为： M一 时 ↑Lβ ↓ J ↓Lβ ↑ 定 J 越大的物体， 即J越大的物体，保持原来转动状态的性质就 越大的物体 越强，转动惯性就越大；反之， 越小 越小， 越强，转动惯性就越大；反之，J越小，越容 易改变状态，保持原有状态的能力越弱。 易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或 者说转动惯性越小。 者说转动惯性越小。
基本步骤 （1）隔离法选择研究对象； ）隔离法选择研究对象； （2）受力分析和运动情况分析； ）受力分析和运动情况分析； （3）对质点用牛顿定理，对刚体用转动定理； ）对质点用牛顿定理，对刚体用转动定理； （4）建立角量与线量的关系，求解方程； ）建立角量与线量的关系，求解方程； （5）结果分析及讨论。 ）结果分析及讨论。
r
r
T ' m3g T ' 1 v 2 a1 m
1
v mg 1
m2
m L 2g.T ' m 2 2 m L 3g.N THale Waihona Puke .T2 m 1 3v a2
转动定律精品文档
科学研究方法：转动定律的发现和研究过程中所采用的科学方法，如实验观测、数学建模和逻 辑推理等，为科学研究提供了重要的方法和思路。
科学发展进程：转动定律的发展历程展示了科学知识的不断积累和进步，推动了人类对自然界 的认识和理解。
土木工程：在桥梁和建筑设计 中，转动定律用于分析结构的
稳定性和安全性。
自行车轮转动：通过脚踏产生动 力，使自行车前进
风扇工作原理：通过电机转动， 使扇叶产生风流，实现降温效果
汽车方向盘：驾驶员转动方向盘， 使车辆转向或掉头
洗衣机工作原理：电机转动，带 动内桶旋转，实现洗涤功能
物理学中的基 本定律之一， 用于描述旋转 运动的规律。
适度。
航空航天：在航空航天 领域，转动定律的应用 将有助于实现更加稳定 和精确的飞行姿态控制。
体育运动：在体育装备和 训练中，转动定律的应用 将有助于提高运动员的转 动速度和灵活性，从而提
高是物理学中的基本定律之一， 深入理解其原理和应用有助于推
动物理学领域的进步。
汇报人：XX
转动定律：描述刚体绕固 定点转动的运动规律
刚体：转动过程中形状和 大小保持不变的物体
固定点：刚体上的一点， 绕其转动
运动规律：转动速度和转 动角加速度之间的关系
转动定律的定义：描述 转动物体运动状态的物
理定律
转动定律的表述方式： 力矩等于转动惯量乘以
角加速度
转动定律的物理意义： 揭示了转动物体运动
探索更高温度下的转动定律特性
研究转动定律与量子力学之间的 联系
探索转动定律在新型材料中的应 用
(完整版)刚体转动守恒定律
速度0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为 ，按 力矩的功和转动动能增量的关系式得
定轴转动的动能定理
mg l 1 J 2
22
由此得 mgl
J
因 J 1 ml 2 代入上式得 3g
3
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度
分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
刚体的平面平行运动
c.若系统内既有平动也有转动现象 发生，若对某一定轴的合外力矩为 零,则系统对该轴的角动量守恒。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
dv d2 x a dt dt2
P mv F
EK
1 mv2 2
m
dA Fdx Fdt
刚体的定轴转动
d
dt
d
dt
Mz
dLz dt
t2 Mdt t1
L2 L1
dL
L2
L1
角动量定理的微分形式：
t2 t1
M
d
t
J
J0
t2 M d t为t t2 t1时间内力矩M 对给定轴的冲量矩
t1
。
2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律：若一个系统一段时间内
所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角 动量L 为一恒量。
解 先对细棒OA所受的力
作一分析；重力G 作用在 O
棒的中心点C，方向竖直向
下；轴和棒之间没有摩擦
力，轴对棒作用的支承力N
垂直于棒和轴的接触面且
通过O点，在棒的下摆过
G
程中，此力的方向和大小
简述刚体转动定律
刚体转动定律引言刚体转动定律是描述刚体绕固定轴进行旋转时运动规律的物理定律。
在刚体力学中，刚体是指其内部各点的相对位置保持不变的物体。
刚体转动定律主要包括角动量守恒、角加速度与力矩之间的关系以及转动惯量等内容。
本文将从这些方面对刚体转动定律进行详细介绍。
角动量守恒角动量是描述旋转物体运动状态的重要物理量，定义为质点或刚体绕某一轴线旋转时，其线性动量相对于该轴线的偏离程度。
在没有外力作用下，系统的角动量守恒。
角动量L可以表示为L = Iω，其中I是物体的转动惯量，ω是物体的角速度。
根据角速度ω = Δθ/Δt可以得到L = IΔθ/Δt。
当一个刚体受到外力矩作用时，根据牛顿第二定律可以得到F = ma，同样地，在角度上也有τ = Iα。
其中τ表示力矩，I表示物体的转动惯量，α表示物体的角加速度。
当刚体绕固定轴转动时，如果外力矩为零，则根据牛顿第二定律可以得到τ = 0，进而推导出Iα = 0。
由此可见，在没有外力矩作用下，刚体的角加速度为零，即角动量守恒。
转动惯量转动惯量是描述物体对于旋转运动的惯性大小的物理量。
对于一个质点来说，其转动惯量可以表示为I = mr²，其中m是质点的质量，r是质点到轴线的距离。
对于一个复杂形状的刚体来说，其转动惯量则需要通过积分计算得到。
对于连续分布的物体来说，其转动惯量可以表示为I = ∫r²dm。
不同形状和布局的刚体具有不同的转动惯量。
例如，对于一个围绕自身中心垂直旋转的圆盘来说，其转动惯量可以表示为I = ½MR²，其中M是圆盘的质量，R是圆盘半径。
角加速度与力矩之间的关系当刚体受到外力矩作用时，根据牛顿第二定律可以得到τ = Iα。
这个关系描述了力矩和角加速度之间的关系。
对于一个质点来说，其角加速度可以表示为α = τ/I，其中τ是作用在质点上的力矩，I是质点的转动惯量。
对于一个复杂形状的刚体来说，其转动惯量不仅与质量有关，还与物体的形状和布局有关。
《大学物理》3.2转动定理
一、力矩
F
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。 力的大小、方向和力的作 用点相对于转轴位置，是 决定转动效果的几个重要 因素。
F
F
1.定义：
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用M表示
z
M
M F d Fr sin
F r P
M
z
F
1 2
1 其中滑轮转动惯量 J MR 2
2
a R
m m g a
2 1 1 2
m2 m1 g
M m1 m2 R 2
2 1
M m m 2
1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
1 1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
四、转动定理应用举例
例3-4如图所示，一不能伸长的轻绳跨过一轴承光滑的定 滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2 的物体，且m1<m2,设滑轮的质量为M，半径为R，绳与 轮之间无相对滑动，求物体的加速度和绳中张力。
解：将三个物体隔离出来受力分析
其中 T 和 T 大小不能假定相等，但
m r 刚体内各质点相对于转轴的分布决定
M J
—— 绕定轴转动的刚体，其角加速度与它所 受合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。 这一结论就是刚体定轴转动定理。
三、转动惯量
刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与 其到转轴距离平方的乘积之和。
J m r J r dm
2
2
ij
j
F r f r m r
2 it i it i i i
力矩 刚体定轴转动的转动定律
dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2
m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J
1刚体定轴转动定律
J z = ∫ r dm
2
z
o
y
r
dm
y
= ∫ ( x + y )dm
2 2
x
2
= ∫ y dm + ∫ x dm = Jx + J y
2
x
的圆盘， 例6、半径为 R 质量为 M 的圆盘，求绕直径轴 、 转动的转动惯量J 转动的转动惯量 y。 解：圆盘绕垂直于盘面的质心 z 轴转动的转 动惯量为： 动惯量为：
ω
r r
r
r v
∆ω d ω α = lim = ∆t → 0 ∆ t dt
r ω
刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： 刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： v2 dv dω = rω 2 at = =r = rα , a n = r dt dt
角加速度是矢量， 角加速度是矢量，但对于 刚体定轴转动角加速度的方 向只有两个， 向只有两个，在表示角加速 度时只用角加速度的正负数 值就可表示角加速度的方向， 值就可表示角加速度的方向， 不必用矢量表示。 不必用矢量表示。 说明： 角坐标、角位移、 说明： 角坐标、角位移、 角速度和角加速度等角量 是用来描述定轴转动刚体 的整体运动，也可用来描 的整体运动， 述质点的曲线运动； 述质点的曲线运动；
M dm = 2π rdr 2 πR
M dr r R
J = ∫ r dm
2
=∫
R
0
M r 2π rdr 2 πR
2
1 2 = MR 2
二、平行轴定理
定理表述： 定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J， ， 等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与 两轴间的距离平方的乘积： 两轴间的距离平方的乘积： J = J C + md 2
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
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转动定律的推导 设刚体转动如图
作用在刚体上的外力为F ，取刚体上任一质量为m i 的小块。
把作用在该物块上的外力分解为两个方向上的力：径向力和切向力。
由于是刚体，物体不会发生形变，所以在径向不会产生运动。
忽略径向力的作用
对小物块运用牛顿第二定律有：ϕθsin cos i i i i it F F a m F ===
角标t 的含义为指明是作用中的切向力分量，
等号两边同乘r i ,有sin i i i it i Fr m a r ϕ=
将公式中的线量表达改写成角量，2sin i i i it i i i i i i Fr m a r m rr m r ϕββ===
其中sin i i Fr ϕ与力矩的定义吻合，所以公式可以改写为2i i i M m r β=
这是对刚体中的一个小质元的公式，考虑整个刚体，对上式两边求和有
2i i i
i i M m r β→∞→∞=∑∑ 公式左边为合外力矩。
令2i i mr J =∑，考虑到β与位置无关，上式改写为
M J β= ---1，
写为矢量形式 M J β= ---2
公式1，2即为刚体的转动定律，它是牛二定律在刚体转动问题上的变形。
∑∑∑∑===222222
12121r m r m m E i i i ik ωωv 22
1ωJ E k =。