弹塑性力学习题集(有图)

~弹塑性力学习题集[殷绥域李同林编!)~中国地质大学·力学教研室二○○三年九月》目录弹塑性力学习题 (1)第二章应力理论.应变理论 (1)；第三章弹性变形.塑性变形.本构方程 (6)第四章弹塑性力学基础理论的建立及基本解法 (8)第五章平面问题的直角坐标解答 (9)第六章平面问题的极坐标解答 (11)第七章柱体的扭转 (13)]第八章弹性力学问题一般解.空间轴对称问题 (14)第九章* 加载曲面.材料稳定性假设.塑性势能理论 (15)第十章弹性力学变分法及近似解法 (16)第十一章* 塑性力学极限分析定理与塑性分析 (18)第十二章* 平面应变问题的滑移线场理论解 (19)`附录一张量概念及其基本运算.下标记号法.求和约定 (21)习题参考答案及解题提示 (22)>前言弹塑性力学是一门理论性较强的技术基础课程，它与许多工程技术问题都有着十分密切地联系。

应用这门课程的知识，能较真实地反映出物体受载时其内部的应力和应变的分布规律，能为工程结构和构件的设计提供可靠的理论依据，因而受到工程类各专业的重视。

·《弹塑性力学习题集》是专为《弹塑性力学》（中国地质大学李同林、殷绥域编，研究生教学用书。

）教材的教学使用而编写的配套教材。

本习题集紧扣教材内容，选编了170余道习题。

作者期望通过不同类型习题的训练能有助于读者理解和掌握弹塑性力学的基本概念、基础理论和基本技能，并培养和提高其分析问题和解决问题的能力。

鉴于弹塑性力学课程理论性强、内容抽象、解题困难等特点，本书对所编习题均给出了参考答案，并对难度较大的习题给出了解题提示或解答。

本习题集的编写基本取材于殷绥域老师编写的弹塑性力学习题集，由李同林老师重新修编，进一步充实而成。

书中大部分内容都经过了多届教学使用。

为保证教学基本内容的学习，习题中带“*”号的题目可酌情选做。

由于编者水平所限，错误和不妥之处仍在所难免，敬请读者指正。

<编者2003年9月@弹塑性力学习题"第二章 应力理论·应变理论2—1 试用材料力学公式计算：直径为1cm 的圆杆，在轴向拉力P = 10KN 的作用下杆横截面上的正应力σ及与横截面夹角︒=30α的斜截面上的总应力αP 、正应力ασ和剪应力ατ，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。

2—2 试用材料力学公式计算：题2—2图所示单元体主应力和主平面方位（应力单位MPa ），并表示在图上。

说明按弹塑性力学应力符号规则有何不同。

；题2—2图 题2—3图2—3 求题2—3图所示单元体斜截面上的正应力和剪应力（应力单位为MPa ），并说明使用材料力学求斜截面应力的公式应用于弹塑性力学计算时，该式应作如何修正。

2—4 已知平面问题单元体的主应力如题2—4图(a)、(b)、(c)所示，应力单位为MPa 。

试求最大剪应力，并分别画出最大剪应力作用面（每组可画一个面）及面上的应力。

.题2—4图2—5* 如题2—5图，刚架ABC 在拐角B 点处受P 力，已知刚架的EJ ，求B 、C 点的转角和位移。

（E 为弹性模量、J 为惯性矩）2—6 悬挂的等直杆在自重W 的作用下如题2—6图所示。

材料比重为γ，弹性模量为E ，横截面积为A 。

试求离固定端z 处一点c 的应变z ε与杆的总伸长l ∆。

2—7* 试按材料力学方法推证各向同性材料三个弹性常数：弹性模量E 、剪切弹性模量G 、泊松比v 之间的关系：题2—5图题2—6图)1(2v EG +=2—8 用材料力学方法试求出如题2—8图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。

>题2—8图2—9 已知一点的应力张量为：MPa 30)(750805050⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=对称ij σ试求外法线n 的方向余弦为：21=x n ，21=y n ，21=z n 的微斜面上的全应力αP ，正应力ασ和剪应力ατ。

…2—10 已知物体的应力张量为：M Pa 110)(300803050⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=对称ij σ 试确定外法线的三个方向余弦相等时的微斜面上的总应力αP ，正应力ασ和剪应力ατ。

2—11 试求以主应力表示与三个应力主轴成等倾斜面（八面体截面）上的应力分量，并证明当坐标变换时它们是不变量。

2—12 试写出下列情况的应力边界条件。

;题2—12图2—13 设题2—13图中之短柱体，处于平面受力状态，试证明在尖端C 处于零应力状态。

)题2—13图 题2—14图2—14* 如题2—14图所示的变截面杆，受轴向拉伸载荷P 作用，试确定杆体两侧外表面处应力z σ（横截面上正应力）和在材料力学中常常被忽略的应力x σ、zx τ之间的关系。

2—15 如题2—15图所示三角形截面水坝，材料的比重为γ，水的比重为1γ，已求得其应力解为：,by ax x +=σ ,y dy cx y γσ-+=ay dx xy --=τ，其它应力分量为零。

试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。

2—16* 已知矩形截面高为h ，宽为b 的梁受弯曲时的正应力y bh MJ My z 312==σ，试求当非纯弯时横截面上的剪应力公式。

（利用弹塑性力学平衡微分方程） 题2—15图>2—17 已知一点处的应力张量为：M Pa 00001060612⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ij σ，试求该点的最大主应力及其主方向。

2—18* 在物体中某一点0====xy z y x τσσσ，试以yz τ和zx τ表示主应力。

2—19 已知应力分量为,,,0b a zx yz xy z y x ======τττσσσ计算主应力1σ、2σ、3σ并求2σ的主方向。

2—20 证明下列等式：(1) ;312122I I J +=(2) ;27231312133I I I I J ++= ！(3) );(212ik ik kk ii I σσσσ--=(4) ;212ij ij S S J = (5) ;2ij ijS S J =∂∂(6).2ij ijS J =∂∂σ 2—21* 证明等式：mi km ik S S S J 313=。

2—22* 试证在坐标变换时，1I 为一个不变量。

要求：(a) 以普通展开式证明； (b) 用张量计算证明。

2—23 已知下列应力状态：MPa113833835⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ijσ，试求八面体单元的正应力8σ与剪应力8τ。

!2—24* 一点的主应力为：,751a=σ,502a=σa503-=σ，试求八面体面上的全应力8P，正应力8σ，剪应力8τ。

2—25试求各主剪应力1τ、2τ、3τ作用面上的正应力。

2—26*用应力圆求下列(a)、(b) 图示应力状态的主应力及最大剪应力，并讨论若(b)图中有虚线所示的剪应力τ'时，能否应用平面应力圆求解。

题2—26图。

2—27* 试求：如(a) 图所示，ABC微截面与x、y、z轴等倾斜，但,0≠xyτ,0≠yzτ,0≠zxτ试问该截面是否为八面体截面如图(b) 所示，八面体各截面上的8τ指向是否垂直棱边,题2—27图2—28 设一物体的各点发生如下的位移：~zc y c x c c w z b y b x b b v za y a x a a u 321032103210+++=+++=+++=式中 210,,a a a 为常数，试证各点的应变分量为常数。

2—29 设已知下列位移，试求指定点的应变状态。

(1) 22210)4(,10)203(--⨯=⨯+=yx v x u ，在（0，2）点处。

(2) 2222210)23(,10)8(,10)156(---⨯-=⨯=⨯+=xy z w zy v x u ，在（1，3，4）点处。

—2—30 试证在平面问题中下式成立：y x y x εεεε'+'=+ 2—31 已知应变张量310000042026-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=ij ε 试求：（1）应变不变量；（2）主应变；（3）主应变方向；（4）八面体剪应变。

2—32 试说明下列应变状态是否可能存在：（式中a 、b 、c 为常数）(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=00000)(222cy cxy cxy y x c ij ε(2) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=0)(21)(21)(210)(2102222222222by az by ax by az y ax by ax axy ij ε (3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=00000)(222x cy cxyz cxyz y x c ij ε2—33* 试证题2—33图所示矩形单元在纯剪应变状态时，剪应变xy γ与对角线应变oB ε之间的关系为xy oB γε21=。

（用弹塑性力学转轴公式来证明） ^题2—33图2—34 设一点的应变分量为4100.1-⨯=x ε，4100.5-⨯=y ε，4100.1-⨯=z ε，4100.1-⨯==yz xy εε，4100.3-⨯=zx ε，试计算主应变。

2—35* 已知物体中一点的应变分量为4101323542410-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=ij ε<试确定主应变及最大主应变的方向。

2—36* 某一应变状态的应变分量xy γ和yz γ=0，试证明此条件能否表示x ε、y ε、z ε中之一为主应变2—37 已知下列应变状态是物体变形时产生的：.0),(,)(,)(22210442210442210===+++=++++=++++=yz zx z xy y x c y x xy c c y x y x b b y x y x a a γγεγεε试求式中各系数之间应满足的关系式。

<2—38* 试求对应于零应变状态（0=ij ε）的位移分量。

2—39* 若位移分量i u 和i u '所对应的应变相同，试说明这两组位移有何差别2—40* 试导出平面问题的平面应变状态（0===zy zx x γγε）的应变分量的不变量及主应变的表达式。

2—41* 已知如题2—41图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为：;0;,===-===zx yz xy y x z E z E z γγγνγεεγε '试求位移分量，式中γ为杆件单位体积重量，E 、ν为材料的弹性常数。

2—42 如题2—42图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为：,0====xy z y x γεεε ,x zy θγ=y zx θγ-=。

试检查该应变是否满足变形连续性条件，并求位移分量u 、v 、w 。

设在原点处,0000===w v u d z 在xoz 和yoz 平面内没有转动，d x 在xoy 平面内没有转动。