常见分布的期望和方差
常见离散型分布
刘妍丽主讲
一、单点分布（退化分布）
分布列 P（X=a）=1 期望 EX=a 方差 VarX=0
一次实验中事件A发生的次数X ~ b(1, p)
二、两点分布（0-1分布）EX p VarX pq
分布列 X P
0
1
1-p
p
P( X k) C1k p k (1 p)1k k 0,1
EX
r
k
C
k M
C nk N M
k 0
C
n N
r
M k 1 (n1)(k 1) k k C C M 1 ( N 1)(M 1)
k 1
N n
C n1 N 1
nM N
~ h(n 1, N 1, M 1)
VarX n M N M N n N N N 1
EX 2 VarX (EX )2
•超几何分布的近似分布
5、二项分布的近似分布 图2.4.1
X ~ P() np
n充分大，p很小 泊松定理
X ~ N (, 2 ) np 2 npq np 5 nq 5 极限定理
例2.4.1 例2.4.2 例2.4.3
四、泊松分布 X ~ P() EX VarX
分布列 正则性
P(X k) k e
X ~ h(n, N, M ) X ~ b(n, p)
p M n N N
EX 2
r
k2
C
k M
C
nk N M
r
(k(k
1)
k)
C
k M
C nk N M
r
(k(k
1))
M k
(M 1) (k 1)
C C k 2 (n2)(k 2) M 2 (N 2)(M 2)
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导数学期望与方差是概率论和统计学中常见的概念，它们可以帮助我们更准确地测量随机变量，了解概率分布的形状和特性。
本文将分别介绍二项分布和超几何分布的数学期望和方差的推导，并给出其计算公式，以便更深入地理解两个概率分布。
二、二项分布的数学期望二项分布是两个离散随机变量之间的统计分布。
假设有一个二进制试验，其实验结果只有两种情况，即可能出现的次数n有x次成功和(n-x)次失败，而成功的概率为p。
二项分布可以记作$B(n,p)$。
二项分布的数学期望记作$E(x)$，用如下公式表示：$$E(x)=np$$三、二项分布的方差二项分布的方差记作$D(x)$，用如下公式表示：$$D(x)=np(1-p)$$四、超几何分布的数学期望超几何分布是一种概率分布，它是描述一组有限类别，每类之间的不同的观察结果的概率分布，可以用来描述在一组概率分布中样本的数据。
它可以用如下式子来表示：$$P(X=i)=frac{C_i^n}{N^n}*frac{r_i}{N}$$其中，$C_i$表示第i类的总数，$r_i$表示第i类的选择次数，$N$表示总样本数，$n$表示总抽样次数。
超几何分布的数学期望记作$E(x)$，其计算公式为：$$E(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n}{N^nsum_{i=1}^n{C_i^n}}$$五、超几何分布的方差超几何分布的方差记作$D(x)$，其计算公式为：$$D(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n(N-r_i)}{N^{n+1}sum_{i=1}^n{ C_i^n}}$$六、结论本文介绍了二项分布和超几何分布的数学期望和方差推导，并给出了计算公式。
从上述内容可以看出，数学期望和方差是概率分布研究的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地了解概率分布。
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
常见离散型随机变量的分布
P(X=2) =0.2304 P(X=4) =0.2592
P(X=3) =0.3456 P(X=5) =0.07776
若A和A是n重伯努利实验的两个对立结果,“成功”
可以指二者中任意一个, p 是“成功”的概率.
例如: 一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取 4次, 每次一件, 取得合格品件数X, 以及取得不合 格品件数Y均服从分布为二项分布. “成功”即取得合格品的概率为p=0.8,
X对应的实验次数为n=4, 所以, X~B(4,0.8)
类似,Y~B(4,0.2)
二项分布的期望与方差 X ~ b(n, p)
1 如第i 次试验成功 X i 0 如第i 次试验失败
i 1,2,, n.
则 X X1 X2 Xn Xi ~ (0 1)分布 EX i p, DX i p(1 p)
两点分布的期望与方差
设X服从参数为p的0-1分布，则有
E(X ) p
E(X 2) p
X
0
1
pk 1 p
p
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p)
二、二项分布
若在一次伯努利实验中成功（事件A发生）的概率 为p(0<p<1),独立重复进行n次, 这n次中实验成功的 次数（事件A发生的次数）X的分布列为:
E(X ) 1 p
D(X )
q p2
EX 2 k 2 pqk1 p[ k(k 1)qk1 kqk1]
k 1
k 1
k 1
qp(
qk ) EX
qp( q ) 1 q
1 p
k 1
qp
2 (1 q)3
1 p
2q 1 p2 p
2
二项分布的期望和方差的详细证明
二项分布的期望和方差的详细证明二项分布是概率论中一种常见的离散概率分布，它描述了在重复进行n次独立的二值试验中成功的次数。
在二项分布中，每一次试验只有两个可能的结果，通常被称为成功和失败。
本文将详细证明二项分布的期望和方差。
1. 期望的证明设一个二项分布的随机变量X代表成功的次数，p代表每次试验成功的概率，n代表试验的总次数。
则X服从参数为n和p的二项分布。
首先，我们知道每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
因此，成功的次数X可以表示为X = X1 + X2 + ... + Xn，其中Xi表示第i次试验是否成功的指示变量。
对于每个指示变量Xi，根据期望的性质，有E(Xi) = 1 * P(Xi = 1) +0 * P(Xi = 0) = p。
由于每个试验都是独立的，所以期望具有线性性质，即E(X) =E(X1 + X2 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn) = np。
因此，二项分布的期望为np。
2. 方差的证明方差是对随机变量的离散程度的度量。
在二项分布中，方差的计算需要用到方差的性质和协方差的概念。
首先，我们知道对于任意两个随机变量X和Y，它们的协方差定义为Cov(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))。
对于二项分布的随机变量X，我们可以找到另一个与X独立的随机变量Y，使得X + Y = n。
根据协方差的性质，Cov(X, Y) = 0。
在二项分布中，我们可以得到X和Y的方差之和为二项分布的方差，即Var(X + Y) = Var(n) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)。
由于X和Y独立，所以协方差Cov(X, Y) = 0，上述方程变为Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)。
因此，Var(X) = Var(n) - Var(Y)。
根据二项分布的性质，Var(n) = np(1-p)。
期望方差知识点总结
期望方差知识点总结在本文中，我们将从基本概念、计算公式、性质和应用等方面对期望方差进行深入的探讨和总结，希望能帮助读者更好地理解和应用期望方差。
基本概念在统计学中，随机变量X的期望值（或均值）E(X)是对随机变量X取值的中心位置进行度量，它是对随机变量X的取值和概率的加权平均值。
期望值描述了随机变量X的平均性质，它是随机变量X的一个重要的统计特征。
期望值的计算公式为：E(X) = Σx * P(x)其中，x表示随机变量X的取值，P(x)表示随机变量X取值为x的概率。
方差（variance）是对随机变量X的取值与其期望值的偏离程度进行度量，它刻画了随机变量X的离散程度和不确定性。
方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。
方差的计算公式为：Var(X) = Σ(x-E(X))² * P(x)其中，x表示随机变量X的取值，E(X)表示随机变量X的期望值，P(x)表示随机变量X取值为x的概率。
期望方差（expected variance）是对随机变量X的期望值和方差的概念的结合，它是衡量随机变量X的离散程度和不确定性的重要指标。
期望方差是随机变量X的一个基本描述性统计量，它可以帮助我们理解和分析随机变量X的分布情况，从而更好地进行数据分析和推断。
期望方差的计算公式为：Var(X) = E((X-E(X))²)其中，E(X)表示随机变量X的期望值。
性质期望方差具有许多重要的性质，这些性质有助于我们更好地理解和应用期望方差。
下面我们将介绍一些常见的性质：1. 非负性：期望方差始终为非负数，即Var(X) ≥ 0。
2. 相等性：如果随机变量X和Y相等，那么它们的期望方差也相等，即如果X=Y，则Var(X) = Var(Y)。
3. 线性性：对于常数a和b，有Var(aX + b) = a²Var(X)。
4. 加法性：对于独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
泊松分布 期望方差
泊松分布的期望方差
泊松分布的期望和方差均是λ，λ表示总体均值；P(X=0)=e^(-λ)。
X～P(λ) 期望E(X)=λ，方差D(X)=λ
利用泊松分布公式P(x=k)=e^(-λ)*λ^k/k!
P表示概率，x表示某类函数关系，k表示数量，等号的右边，λ表示事件的频率。
注意：
泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。
泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
概率分布计算公式
概率分布计算公式概率分布是概率论中重要的概念之一，它描述了随机变量在各个取值上的取值概率。
在实际问题中，我们常常需要计算概率分布以解决相关的概率统计问题。
本文将介绍几种常见的概率分布以及它们的计算公式。
一、二项分布(Binomial Distribution)二项分布是概率论中常用的离散型概率分布，它描述了在一定次数的独立重复试验中，成功事件发生的次数的概率分布。
其计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，C(n, k)表示组合数，可以使用n个数任取k个的方式计算。
二项分布的期望为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
二、泊松分布(Poisson Distribution)泊松分布是一种离散型概率分布，适用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发生的次数。
其计算公式为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ))/k!其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率，λ表示单位时间(或单位空间)内事件发生的平均次数，e为自然对数的底。
泊松分布的期望为E(X)=λ，方差为Var(X)=λ。
三、正态分布(Normal Distribution)正态分布是概率论中最重要的连续型概率分布，也称为高斯分布。
它的形状呈钟型曲线，对称于均值。
正态分布在实际问题中得到广泛应用。
其概率密度函数的计算公式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^((-1/2)*((x-μ)/σ)^2)其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ为均值，σ为标准差，π为数学常数3.14159。
正态分布的期望为E(X)=μ，方差为Var(X)=σ^2。
四、指数分布(Exponential Distribution)指数分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数具有常数倍衰减的特点。
正态分布的期望和方差
正态分布的期望和方差正态分布（normal distribution），也称高斯分布（Gaussian distribution），是最常见的概率分布之一，它在自然界和社会生活中经常出现。
在统计学中，正态分布有很多应用，特别是在实验设计和数据管理领域。
本文将对正态分布的期望和方差进行详细介绍。
一、正态分布的定义正态分布是指随机变量在一定条件下的概率分布，它的分布密度函数把曲线平均分布在期望值（均值）两侧。
该分布的某些特性是普遍存在于自然界和社会生活中的现象中的。
正态分布的概率密度函数表达式为：$f(x) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}\\sigma}e^{-\\frac{(x-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}$其中 $\\mu$ 表示期望值，即均值；$\\sigma^2$ 表示方差。
图 1 正态分布的概率密度函数二、期望期望（mean）是表示一个随机变量在其所有取值中所能取得的“平均值”。
对于正态分布而言，它的期望就是它的均值。
正态分布的期望值 $\\mu$ 表示为：$\\mu=E(X)=\\int_{-\\infty}^{\\infty} xf(x)dx$其中，$X$ 表示随机变量。
由于正态分布是对称的，它的均值即为分布中心，使正态分布对称的值。
也就是说，正态分布的均值与中位数相等，它处于概率密度函数两侧，使其对称。
三、方差方差（variance）是指随机变量 $X$ 与期望（均值）$\\mu$ 之差的平方的平均数，是用来衡量离散程度的一个重要指标。
正态分布的方差 $\\sigma^2$ 表示为：$\\sigma^2=Var(X)=E[(X-\\mu)^2]=\\int_{-\\infty}^{\\infty} (x-\\mu)^2f(x)dx$图 2 正态分布的方差方差反映了正态分布的数据离散程度，方差越小，表示数据点在期望（均值）周围的分布更加集中。
如果方差越大，表示数据点分布的范围更广，数据越分散。
概率论中的期望与方差
概率论中的期望与方差概率论是研究随机现象规律的一门学科，其中，期望与方差是重要的概念。
本文将介绍期望与方差的定义与性质，并探讨它们在概率论中的应用。
1. 期望的定义与性质期望是描述随机变量平均取值的指标，用E(X)表示，对于离散型随机变量，期望的定义如下：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x为随机变量的取值，P(X=x)为该取值发生的概率。
期望具有以下性质：（1）线性性质：对于任意常数a和b，有E(aX+b) = aE(X)+b；（2）非负性质：对于任意非负的随机变量X，有E(X)≥0；（3）单调性质：对于任意两个随机变量X和Y，若X≤Y，则有E(X)≤E(Y)。
2. 方差的定义与性质方差反映随机变量的离散程度，用Var(X)表示，对于离散型随机变量，方差的定义如下：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中，E(X)为随机变量X的期望。
方差具有以下性质：（1）非负性质：对于任意随机变量X，有Var(X)≥0；（2）零方差性质：若Var(X)=0，则X为常数；（3）线性性质：对于任意常数a和b，有Var(aX+b) = a^2Var(X)。
3. 期望与方差的应用期望与方差在概率论中具有广泛的应用，以下是其中的几个例子：（1）二项分布：对于二项分布，其期望为np，方差为np(1-p)，其中n为试验次数，p为成功概率；（2）正态分布：对于正态分布，其期望为μ，方差为σ^2，其中μ为均值，σ为标准差；（3）协方差：对于两个随机变量X和Y，其协方差定义为Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，可以用于衡量两个随机变量的相关性。
4. 期望与方差的计算方法在实际计算中，期望与方差可以通过概率分布函数进行计算，具体的计算方法取决于随机变量的类型。
常见的计算方法包括：（1）离散型随机变量：根据随机变量的概率质量函数，利用期望和方差的定义进行计算；（2）连续型随机变量：根据随机变量的概率密度函数，利用连续型随机变量的性质进行计算；（3）样本估计：当随机变量的概率分布未知或无法确定时，可以通过样本的统计量来估计期望与方差。
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常见分布的期望和方差
概率与数理统计重点摘要
1、正态分布的计算：()()(
)X F x P X x μ
σ
-=≤=Φ。
2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。
（参见P66～72）
3、分布函数(,)(,)x y
F x y f u v dudv -∞-∞
=
⎰⎰
具有以下基本性质：
⑴、是变量x ，y 的非降函数；
⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；
⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<
，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥
4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23
x y
F x y πππ2=++22的概率密度为：2222
6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边缘分布：
边缘概率密度：
()(,)()(,)X Y f x f x y dy
f y f x y dx
+∞
-∞+∞
-∞
==⎰⎰
边缘分布函数：
()(,)[(,)]()(,)[(,)]x
X y
Y F x F x f u y dy du
F y F y f x v dx dv
+∞
-∞-∞+∞
-∞
-∞
=+∞==+∞=⎰⎰
⎰⎰
二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。
简称X 与Y 独立。
7、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞
+∞
-∞
-∞
=
-=-⎰
⎰
其中Z ＝X ＋Y
8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即2222
1212(,Z aX bY
N a b a b μμσσ=+++)。
9、期望的性质：……（3）、()()()E X Y E X E Y +=+；（4）、若X ，Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =。
10、方差： 2
2
()()(())D X E X E X =-。
若X ，Y 不相关，则()()()D X Y D X D Y +=+，否则()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++，
()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-
11、协方差：(,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--，若X ，Y 独立，则(,)0Cov X Y =，此时称：X 与Y 不相关。
12
、相关系数：(,)
()()
XY Cov X Y X Y ρσσ=
=
1XY ρ≤，当且仅当X 与Y 存在线性关系时1XY ρ=，且1,b>0;1,b<0XY ρ⎧=⎨-⎩
当 当。
13、k 阶原点矩：()k k v E X =，k 阶中心矩：[(())]k
k E X E X μ=-。
14、切比雪夫不等式：{}
{}2
2
()
()
(),()1D X D X P X E X P X E X εεεε-≥≤
-<≤-
或。
贝努利大数定律：0
lim 1n m P p n ε→⎧⎫
-<=⎨
⎬⎩⎭。
15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因2111n i i P X n n σμεε2
=⎧⎫-<≥-⎨⎬⎩⎭∑，所以011lim 1n i n i P X n με→=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭
∑ 。
16、独立同分布序列的中心极限定理：
(1)、当n 充分大时，独立同分布的随机变量之和1
n
n i
i Z X
==
∑的分布近似于正态分布2
(,)N n n μσ。
(2)、对于12,,...n X X X 的平均值11n i i X X n ==∑，有11()()n i i n E X E X n n
μ
μ===
=∑，221
1()()n
i i n D X D X n n n σσ22
====∑，即独立同分布的随机变量的均值当n 充分大时，近似服从正态分布()N n
σμ2
,。
(3)、由上可知：{}{}lim ()()()()n n n P a Z b b a P a Z b b a →∞
<≤=Φ-Φ⇒<≤≈Φ-Φ。
17、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：设m 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 发生的概率，则对任意x
,
lim ()n P x x →∞
⎧⎫⎪
≤=Φ⎬⎪⎭
， 其中1q p =-。
(1)、当n 充分大时，m 近似服从正态分布，()N np npq ,。
(2)、当n 充分大时，
m n 近似服从正态分布，(,)pq
N p n。
18、参数的矩估计和似然估计：(参见P200)
19
20、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见P243和P248。
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