等差等比数列通项及前N项和公式
等差等比数列的前n项和公式
等差等比数列的前n项和公式
当涉及到等差数列和等比数列的前 n 项和时，可以使用以下公式计算：
1. 等差数列的前 n 项和公式：
对于等差数列 a，公差为 d，前 n 项和 Sn 可以通过以下公式计算：
Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d)
其中，
Sn 表示前 n 项和
n 表示项数
a 表示首项
d 表示公差
2. 等比数列的前 n 项和公式：
对于等比数列 a，公比为 r，且 r ≠ 1，前 n 项和 Sn 可以通过以下公式计算：
Sn = (a * (1 - r^n)) / (1 - r)
其中，
Sn 表示前 n 项和
n 表示项数
a 表示首项
r 表示公比
需要注意的是，这些公式适用于从第一项开始计算的情况。
如果你从第零项开始计算，则需要对公式进行相应的调整。
通项公式的求法及前n项和公式的求法
第一章 数列通项公式的求法1.1、定义法与公式法一，定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=】注意：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
练习1 已知：等差数列{a n }中，a 3 + a 4 = 15，a 2a 5 = 54，公差d < 0. 求数列{a n }的通项公式a n2 在等比数列{a n }中，30a a ,27a a a 42321=+=⋅⋅，求数列{a n }的通项公式a n二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a 注意：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．练习：1.设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，......3,2,1=n 求首项1a 与通项n a 。
等差、等比数列的求和公式
等差、等比数列的求和公式考纲要求掌握等差数列前n 项和的公式；掌握等比数列前n 项和的公式.难点疑点在求等比数列前n 项和时，若公比q 用一个字母表示，要分公比q “等于1”和“不等于1”两种情况讨论；在已知数列{a n }的前n 项的和S n 时，用a n =S n -S n-1（n ≥2）求出的a n 不一定是数列的通项公式，还必须检验n=1的情形.课前预习1.等差数列{a n }的前n 项和的公式是S n = 或S n = ，非常数数列的等差数列{a n }的前n 项和与二次函数的关系是 .2.等比数列{a n }的前n 项和S n = .3.已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S n 与S n-1之间的递推关系式是 .由此可推得，数列{a n }的通项公式a n = .例题精析1. 已知数列{a n }中，23),,2(211=+∈≥+=-m n n a N n n a a ，前m 项和215-=m S ，求a 1和m 的值.2. 在等比数列{a n }中，a 1+a n =66，a 2a n-1=128，且前n 项的和S n =126，求n 及公比q.3. 已知数列{a n }的前n 项和S n 是关于正自然数n 的二次函数，其图象上三个点A ，B ，C 如图所示.（1）求数列{a n }的通项公式，并指出{a n }是否为等差数列，并说明理由；（2）求33963a a a a ++++ 的值.4. 设一个等差数列的前12项的和为354.在这12项中，若“偶数项的和”与“奇数项的和”的比为32：27，求公差d.5. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且434131S S 与的等差中项为1，而435413151S S S 和是的等比中项，试求a n 的表达式.等差等比数列的求和公式 5月31日姓名 班级1、（1）已知数列{a n }是等差数列，d=2，a 15= -10，则S 15= .（2）已知数列{a n }是等比数列，a 1= -1.5，a 4=96，则S 4= .2、等差数列{a n }中，d 为公差.若前n 项的和为S n = -n 2，则（ ）A.a n =2n-1，d= -2B. a n =2n-1，d= 2C. a n = -2n+1，d= -2D. a n = -2n+1，d= 23、在等差数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若a 5=24，S 5=70，则S 10= .4、设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项的和.若{S n }是等差数列，则q= .5、若等比数列{a n }中，a 1=1，a n = -512，前n 项的和为S n = -341，则公比q= 项数n= .6、等差数列{a n }中，若a 4+a 14=1，则前17项的和S 17= .7、若数列{a n }的前n 项的和为S n =3n +a ，{a n }是等比数列，则实数a 的值是8、若在等差数列{a n }中，a 2+a 3+a 4= -24，a 16+a 18+a 20=78，则前20项和S 20= .9、等比数列{a n }中，a 1+a n =34，a 2a n-1=64，前n 项的和S n =62，求项数n 及公比q 的值.10、已知等差数列{a n }中，a 2=9，a 5=21.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若n a n b 2 ，求数列{b n }的前n 项的和.11、一个等差数列共有2n+1项，它的奇数项之和是96，偶数项之和为80，求其中间项及n 的值.12、已知数列{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且b 1=0，数列{c n }满足c n =a n +b n ，且前四项依次为1，a ，2a ，2，求数列{c n }的前n 项的和.13、（选做）已知数列{a n }的前n 项和*)(2212N n n n S n ∈-=，数列{b n }满足*)(1N n a a b n n n ∈=+.（1）判断数列{a n }是否为等差数列，并证明你的结论；（2）求数列{b n }中值最大的项和最小的项.。
等差、等比数列常用公式对照表
是等比数列
1、定义：
1、
2、通项：
2、
3、公差：
3、公比：
4、若m+n=p+q，则
特殊情况：若m+n=2p，则பைடு நூலகம்
称为 与 的等差中项
4、若m+n=p+q，则
特殊情况：若m+n=2p，则
称为 与 的等比中项
5、
5、
6、 是公差为md的等差数列
6、 是公比为 的等比数列
7、 是公差为 的等差数列
7、 是公比为 的等比数列
8、证明等差数列的方法：
1、定义法： ，d为常数
2、通项法： ，k、b为常数
3、前n项和法： ，A,B常数
4、等差中项法：
8、证明等差数列的方法：
1、定义法： ，q为常数
2、通项法： ，c、q为常数
3前n项和法： ，k,q常数
4、等差中项法：
9、 是等差数列， 、 是等差数列
9、 是等比数列， 、 、 、 、是等比数列
10、若 ，则用累加法求
10、若 ，则用累乘法求
11、若 、 是等差数列， ，求 用裂项相消法
11、若 是等比数列、 是等差数列， 或 ，求 用错位相减法
一、求 的方法：1、公式法；2、观察归纳法；3、累加法、累乘法；4、特征方程法
二、求 的方法：1、裂项相消法；2、错位相减法；3、倒序相加法；4、分组求和法
等比数列数学高中公式有哪些
等比数列数学高中公式有哪些等比数列数学高中公式有哪些等比数列数学高中公式1、等比数列的通项公式是：An=A1__q^(n-1)2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=。
=ak·an-k+1,k∈{1,2,。
,n}4、若m,n,p,q∈N__,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2arar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2。
an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap__aq;②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.提高数学成绩的窍门一、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
数列知识点：等差数列的通项求和公式
数列知识点：等差数列的通项求和公式高中数列知识点：等差数列的通项求和公式学好数学的关键是公式的掌握，数学被应用在很多不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等，为了学好数学，下面是小编为大家整理的数列知识点：等差数列的通项求和公式，希望能帮助到大家!等差数列的通项求和公式an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d前n项和公式为：Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2若m+n=2p则：am+an=2ap以上n均为正整数高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。
首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。
一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。
数列的通项公式与前n项和
数列的通项公式与前n项和数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。
在数列中，每一个数字称为序列的项，而求解数列特定位置上的数字或数列前n项和的公式被称为数列的通项公式与前n项和。
通过这些公式，我们可以更快地计算出数列中的特定项或前n项的总和。
一、数列的通项公式数列的通项公式是指能够通过数列的位置n来表示数列中特定项的公式。
不同的数列有不同的通项公式，下面我们来讨论几种常见的数列及其通项公式。
1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间差值相等的数列。
假设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式可以表示为：an = a + (n - 1)d这个公式说明了在等差数列中，每一项与首项的差值等于该项的位置与首项之间的差乘以公差。
例如，对于等差数列 3，6，9，12，15...，其中首项a为3，公差d 为3，那么这个等差数列的通项公式可以表示为：an = 3 + (n - 1)3这个公式可以用来求解等差数列中任意位置n上的数字。
2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间比值相等的数列。
假设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n - 1)这个公式说明在等比数列中，每一项与首项的比值等于公比的n-1次方。
例如，对于等比数列 2，4，8，16，32...，其中首项a为2，公比r 为2，那么这个等比数列的通项公式可以表示为：an = 2 * 2^(n - 1)这个公式可以用来求解等比数列中任意位置n上的数字。
二、数列的前n项和数列的前n项和是指数列从第一项到第n项的总和。
通过数列的前n项和公式，我们可以快速计算数列的前n项和，无需逐项累加。
1.等差数列的前n项和等差数列的前n项和公式可以通过等差数列通项公式推导而得。
假设等差数列的前n项和为Sn，首项为a，差值为d，则等差数列的前n 项和公式可以表示为：Sn = (n/2) * (2a + (n - 1)d)这个公式说明了等差数列的前n项和等于首项与末项之和乘以项数n再除以2。
等比数列前n项和公式和通项公式的关系
等比数列前n项和公式和通项公式的关系我们先来回顾一下等比数列的概念。
等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值保持不变。
形式化地说，对于一个等比数列{a1, a2, a3, ...}，任意两项之间的比值都相等，即an / an-1 = r，其中r为等比数列的公比。
我们知道，等差数列的前n项和公式是Sn = (a1 + an) * n / 2，其中a1为数列的首项，an为数列的第n项。
那么，等比数列有没有类似的前n项和公式呢？答案是肯定的。
等比数列的前n项和公式可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a1为数列的首项，r为数列的公比，n为项数。
这个公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和，而不需要一个一个地将数列中的每一项相加。
那么，前n项和公式和等比数列的通项公式之间有什么关系呢？其实，前n项和公式可以看作是等比数列通项公式的一个推导结果。
要理解这个关系，我们先来看一个具体的例子。
考虑一个等比数列{2, 4, 8, 16, 32, ...}，首项a1为2，公比r为2。
我们想要计算这个数列的前5项和。
根据前n项和公式，我们可以得到：S5 = 2 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 2 * (1 - 32) / (-1) = -2 * (31) = -62现在，我们来看一下这个数列的通项公式是什么。
根据等比数列的定义，我们可以通过将前一项乘以公比得到后一项。
对于这个例子中的数列，通项公式可以表示为an = 2^(n-1)，其中n为项数。
现在，我们来验证一下这个通项公式是否正确。
将n分别取1、2、3、4、5，带入公式中计算得到的数列为{2, 4, 8, 16, 32}，与原数列完全吻合。
通过这个例子，我们可以看到前n项和公式和通项公式之间的关系。
前n项和公式是通过对通项公式进行求和推导出来的，所以它们之间是密切相关的。
总结一下，等比数列的前n项和公式可以通过等比数列的通项公式进行推导得到。
等差数列的通项公式与前n项和公式及性质
数列的运算方法（一）等差数列的通项公式与前n 项和公式及性质一、等差数列：定义：从第二项开始，每一项与前一项之差为常数符号形式：111(-+--=-=-n n n n n n a a a a ）d a a 或常数 公式：d n n na a a n S dn a a n n n 2)1()(2)1(111-+=+=-+= 常用技巧：（1）若q p n m a a a a q p n m +=++=+则,（2）n n a n S )12(12-=-（3）若p n m a a a p n m 2,2=+=+则（等差中项）（4）已知nm a a d q a p a n m n m --=⇒==,,（直线的斜率） 其中*,,,N q p n m ∈说明：1、定义主要用于判断和证明；2、通项公式对应一次函数，但图像是一些离散的点；3、前n 项和公式，前半部分比较灵巧，后半部分对应二次函数，图像也是一些离散的点；4、常见题型：求值、单调性、大小比较、求最值、求和最重要的数学思想方法：方程思想、函数思想、整体思想、配方法、数形结合。
例习题：（一）基本公式的应用1、（1）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a则数列{}n a 的通项公式 ；（2）已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项为A 、52-nB 、12+nC 、32-nD 、12-n（3）设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是A 、1B 、2C 、4D 、8（4）在a 和b 两数之间插入n 个数，使它们与b a ,组成等差数列，则该数列的公差为2、等差数列{}d a a a d a a n 成等比数列，则若公差中，5211,,,0,1≠=为 （ ）(A) 3 (B) 2 (C) 2- (D) 2或2-3、在首项为81，公差为－7的等差数列{a n }中，最接近零的是第 （ ）A ．11项B ．12项C ．13项D ．14项4、设{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，它的前10项和11010=S 且1a ，2a ，4a 成等比数列。
[精品]等差比积数列的前n项和公式
等差比积数列的前n项和公式大罕等差数列{a n}：a1 ,a2, a3,…, a n，公差为d，等比数列{b n}：b1,b2,b3,…, b n，公比为q(q≠1)，把两个数列相乘，得到： {a n b n}：a1b1 ,a2b2, a3b3,…, a n b n，我们称数列{a n b n }为等差比积数列（笔者的命名）.等差比积数列的求和，一般用错位相减求和法.由于诸多字母的参入，几经计算后答案是否正确，教师也心中无底. 这里我们给出一个公式，可供教师检验用，不提倡介绍给学生.以下推导差比积数列的前n项和公式：S n=a1b1+a2b2+ a3b3+…+ a n b n①两边同乘以q，得qS n=a1b2+a2b3+ a3b4+…+ a n b n+1②①-②得(1-q)S n=a1b1+b2(a2 -a1)+b3(a3-a2)+b4(a4-a3)+…+b n(a n-a n-1)-a n b n+1=a1b1+d(b2+b3+b4+…+b n)-a n b n+1=a1b1+d(b2+b3+b4+…+b n)-a n b n q=a1b1+db2(1-q n-1)/(1-q)-a n b n q于是有公式如下：以上公式，形式上蛮和谐的哟，第一项与等比数列前n项公式好相像的呢.例1 求和：S n=1+2x+3x3+…+nx n-1（x≠0,x≠1）解：{a n}：1, 2, 3, …, n, d=1,{b n}：1, x, x2,…, x n-1，q=x，a1b1=1，a n b n q=nx n，b2=x,所以例2 求和：S n=1/a+2/a2 +3/a3+…+n/a n，（a≠1）解：{a n}：1,2,3,…,n, d=1,{b n}：1/a,1/a2,1/a3,…,1/a n，q=1/a，a1b1=1/a，a n b n q=n/a n+1，b2=1/a2,所以.练习：求和：答案：。
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数列通项公式及前N项和公式
(一)等差数列
1.等差数列：
通项公式an=a1+(n-1)d （首项a1,公差d, an第n项数）
ak=ak+(n-k)d ak为第k项数
若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2
2.等差数列前n项和:
设等差数列的前n项和为Sn
即 Sn=a1+a2+...+an;
那么 Sn=na1+n(n-1)d/2=dn2/2+(a1-d/2)n
(二)等比数列
1.等比数列:
通项公式 an=a1q(n-1)(a1为首项，an为第n项)
an=a1q(n-1),am=a1q(m-1)
则an/am=q(n-m)
(1)an=amq(n-m)
(2)a,G,b 若构成等比中项，则G2=ab (a,b,G≠0)
(3)若m+n=p+q，则 aman=apaq
2.等比数列前n项和
设 a1,a2,a3...an构成等比数列
前n项和Sn=a1+a2+a3...an
Sn=a1+a1q+a1q2+....a1q(n-2)+a1q(n-1)
Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q);
注： q≠1;
Sn=na1 注:q=1