变分法及其应用

变分法及其应用1．变分问题2．泛函与泛函的极值3．变分基本定理4．无约束泛函的极值问题5．带约束泛函的极值问题6．变分法在最优控制中的应用1. 变分问题变分法是17世纪末开始发展起来的一个数学分支。

微积分研究了函数的极值。

变分法是为了研究泛函的极值问题而产生的。

而泛函的极值问题在力学、最优控制等领域经常遇到。

为了解变分法所研究问题的特点，先介绍几个例子。

例 1.1（最速降线问题）。

设一质量为m 的质点，在重力作用下，从定点A 沿曲线下滑到定点B ，试确定一条曲线，使质点下滑的时间最短。

假定（1）A ，B 两点不在同一铅直线上，（2）质点在A 点处的初速为0v ，（3）不计曲线上的摩擦力和周围介质的阻力。

取坐标系xOy ，A 点的坐标为00(,)x y ， B 点的坐标为11(,)x y ，过A ，B 两点任取一条 光滑曲线l ，设其方程为01:(),l y y x x x x =≤≤。

若质点从点A 沿曲线l 下滑到任意一点(,)P x y 处的速率为v ，由能量守恒定律可得22001()()2m v v mg y y -=-， 其中g 为重力加速度。

记 图1.1 最速降线2002v y gα=-， 则v =若s 表示弧 AP 的长度，由微分学知识，dsv dt=，并且ds =，则ds dt v ==。

沿曲线l 从A 点下滑到B 点所需时间为1xTldsT dtv===⎰⎰⎰。

（1.1）对于过A，B两点的每一条光滑曲线l，由积分（1.1）都有唯一确定的T值与之对应，即T是依赖于曲线()y y x=的，不妨记[]T T y=。

如果记集合1010011{()|()[,],(),()}D y x y x C x x y x y y x y=∈==，则最速降线问题归结为在集合D上求泛函[]T T y=的极小值问题，即求()y x D∈，使得1minxx=⎰。

这个问题由约翰.贝努利（Johann Bernoulli）1696年提出并研究。

例1.2（等周问题）。

在平面上长度一定的所有封闭光滑曲线中找一条曲线，使其所围成的面积最大。

设所求的参数方程为01(),:(),x x tt t ty y t=⎧Γ≤≤⎨=⎩。

由于曲线是封闭的，则0101()(),()()x t x t y t y t==。

曲线的周长是固定的，即1ttL=。

由多元微积分中的Green公式，封闭曲线所围成的面积为111[(),()]()22ttS x t y t xdy ydx xy yx dtΓ=-=-⎰⎰。

于是等周问题归结为在封闭光滑曲线的集合1010101{((),())|(),()[,],()(),()()}D x t y t x t y t C t t x t x t y t y t=∈==中找一条曲线，使[(),()]S x t y t在约束条件1ttL=下取最大值。

例1.3（空中目标拦截问题）。

为了简化叙述，假定目标与导弹的运动发生在一个水平平面中，即假定能产生充分大的铅直方向升力抵消导弹的重量，还假定导弹推力方向与它的速度方向一致，并假定目标以常速常航向飞行。

图1.2 目标拦截设m 表示导弹的质量，,m d v v 分别表示目标和导弹的飞行速度，(,)m m x y 和(,)d d x y 分别表示目标与导弹的位置，,m d ϕϕ分别表示目标和导弹的速度方向与x 轴的夹角。

设F 表示导弹的侧向控制力（控制量），β是导弹燃料的秒流量（控制量），c 是导弹排气速度（假定是常数），d K 表示导弹的阻力因子（与速度的平方成比例）。

于是，导弹的运动方程为2cos sin dd d d d d d d d d d x v y v mv c K v F m v mϕϕβϕβ⎧⎪=⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎪=-⎩ 。

类似地，可以建立目标的位置运动方程cos sin 0m m m m m m m x v y v vϕϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 。

记,m d m d x x x y y y =-=-，则目标与导弹的相对位置运动方程为cos cos sin sin m m d d m m d d xv v y v v ϕϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩。

取状态变量和控制变量分别为12314256(),()d d m x x x y v x u x t u t x F u m x v x βϕ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则得如下状态方程1634263423135435516cos cos sin sin 1()0m m d x x x x x x x x xcu K x x F x x x x u x ϕϕ=-⎧⎪=-⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪⎪=⎩。

空中目标拦截问题就是从给定的初始状态00()x t x =出发，选择适当的控制律0()()u t t t T ≤≤，使得导弹在某末时刻T 接近目标，同时尽可能节省能量。

为此，取性能指标为()()()()()TTT t J x T Sx T u t R t u t dt =+⎰，其中1212(,,0,0,0,0)0,()((),())0S diag s s R t diag r t r t =≥=>是加权矩阵。

2. 泛函与泛函的极值2.1 映射与泛函映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系，是数学中最基本的概念和工具。

定义2.1 设B A ,是两个非空集合，如果存在一个A 到B 的对应法则f ，使得对A 中的每一个元素x 都有B 中唯一的一个元素y 与之对应，则称f 是A 到B 的一个映射，记为)(x f y =。

元素B y ∈称为元素A x ∈在映射f 下的像，称x 为y 的原像。

集合A 称为映射f 的定义域。

当A 中元素x 改变时，x 在映射f 下的像的全体作成B 的一个子集，称为映射f 的值域，记为)(f R 。

泛函是映射的特例，是函数集合到实数域的映射。

确切地，可给出如下定义。

定义2.2 设{()}y x =F 是给定的某一函数类。

如果对于F 中的每个函数()y x ，都有实数域R 中一个确定的值J 与之对应，则称量J 为函数()y x 的泛函，记为[()]J J y x =，简记为[]J J y =。

函数类{()}y x =F 称为泛函J 的容许函数类。

用[,]C a b 表示区间[,]a b 上连续函数的全体，对任意()[,]f x C a b ∈，令[]()baI f f x dx =⎰，则[]I f 是定义在[,]C a b 上的一个泛函。

定义2.3设[]J y 是定义在{()}y x =F 中的泛函。

如果[]J y 满足如下两个条件 (i) [][],,J ky kJ y y k R =∀∈∀∈F 且ky ∈F ，(ii) 121212[][][],,J y y J y J y y y +=+∀∈F 且12y y +∈F ， 则称[]J y 是F 上的线性泛函。

2.2 函数的距离与邻域为了定义泛函的极值，我们引进函数的距离与邻域的概念。

定义 2.4设[,]C a b 表示区间[,]a b 上连续函数的全体，对任意(),()[,]y x yx C a b ∈ ，称 [,]((),())max |()()|x a b d y x yx y x y x ∈=- 为函数()y x 与()yx 在[,]a b 上的距离。

线性空间[,]C a b 按定义2.2构成度量空间。

实际上，函数()y x 与()yx 在[,]a b上的距离也是赋范线性空间[,]C a b 按范数[,]max |()|,()[,]x a b y y x y x C a b ∈=∀∈所导出的距离。

定义2.5设0δ>，对()[,]y x C a b ∈，[,]C a b 中所有与函数()y x 在[,]a b 上的距离小于δ的函数()y x 所组成的集合称为函数()y x 在[,]a b 上的δ邻域，记为(,())N y x δ，即(,()){()|()[,],((),())}N y x yx y x C a b d y x y x δδ=∈< 。

定义2.6设[()]J y x 是定义在{()|()[,]}y x y x C a b =∈F 中的泛函，且0()y x ∈F 。

如果对任意给定的正数ε，都存在0δ>，使得对任意()(,())y x N y x δ∈⊆F ，都有0|[()][()]|J y x J y x ε-<，则称[()]J y x 在0()y x 处是连续泛函。

函数的距离与邻域概念可推广到多元函数和向量值函数。

2.3 泛函的极值定义2.7 设{()}y x =F 是给定的某一函数类。

[()]J J y x =是F 中定义的泛函，()yx 是F 中的一个函数，如果对于F 中的每个函数()y x ，都有 [()][()]0(0)J J y x J yx ∆=-≥≤ ， 则称[()]J y x 在()y x 取得最小值（最大值），或称[()]J yx 是泛函[()]J y x 的最小值（最大值），并称()yx 是泛函[()]J y x 的最小（最大）函数。

如果作为比较的函数()y x 限于()yx 的某个邻域，且有 [()][()]0(0)J J y x J yx ∆=-≥≤ ， 则称[()]J y x 在()y x 取得极小值（极大值）。

使泛函取得极值（极小或极大）的函数称为极值函数。

2.4 泛函的变分我们知道，求函数极值时需要函数的导数或微分。

类似地，求泛函极值时需要用泛函变分的概念。

因此，求泛函极值的方法称为变分法。

（1）函数的变分定义2.8 设()y x ，()y x 是定义在[,]a b 上的函数，称()()yx y x - 为函数()y x 的变分，记为y δ，即()()y yx y x δ=- 。

函数()y x 的变分y δ是x 的函数。

注意：函数()y x 的变分y δ与函数()y x 的增量y ∆是有差别的。

前者是两个函数的差；后者同一函数()y x 因自变量x 取不同值而产生的差。

如果()y x ，()yx 是定义在[,]a b 上的可微函数，则容易验证如下关系成立 ()()dy dy dx dxδδ=， 即函数导数的变分等于函数变分的导数，亦即求导数与求变分运算的次序可以交换。

一般地，()()n nn n d y d y dx dxδδ=. （2）泛函的变分定义2.9 设[()]J J y x =是定义在{()}y x =F 中的泛函。

记泛函[()]J y x 的增量为[()][()]J J y x y J y x δ∆=+-。