最新选修1-2第二章推理与证明讲义

第二章推理与证明讲义

1

2

2.1合情推理与演绎推理

3

学习目标：

1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；

4

5

2．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进6

行简单的推理.

7

重点：用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题.

8

难点：用归纳和类比进行合情推理，做出猜想。

9

学习策略：

10

①合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题

11

的发展趋势

12

②合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理.不论是由大量的实

13

例，经过分析、概括、发现规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、14

联想而发现未知属性的类比，它们的共同点是，结论往往超出前提所控制的范15

围，所以它们是“开拓型”或“发散型”的思维方法.也正因为结论超出了前提16

的管辖范围，前提也就无力保证结论必真，所以归纳类比都是或然性推理.

17

③演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中，所以它是“封闭型”或“收

18

敛型”的思维方法.只要前提真实，逻辑形式正确，结论必然是真实的.

知识要点梳理

19

20

知识点一：推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这

种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的

21

22

事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．

23

知识点二：合情推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理24

等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、25

归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常见26

的合情推理。

1.归纳推理

27

28

（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对29

象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

30

31

（2）一般模式：部分整体，个体一般

32

（3）一般步骤：

33

①通过观察个别情况发现某些相同性质；

34

②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；

35

③检验猜想.

36

（4）归纳推理的结论可真可假

37

归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜38

想；一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越39

可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以

40

41

归纳推理所得的结论不一定是正确的.

2.类比推理

42

43

（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，44

推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.

（2）一般模式：特殊特殊

45

46

（3）类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据47

当前问题的需要，选择恰当的类比对象.

48

（4）一般步骤：

49

①找出两类对象之间的相似性或一致性；

50

②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命

51

题（猜想）；

52

③检验猜想.

53

（5）类比推理的结论可真可假

54

类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的55

对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，56

那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论57

不一定是正确的。

58

知识点三：演绎推理

59

（1）定义：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．60

61

（2）一般模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式

①大前提——已知的一般原理；

62

63

②小前提——所研究的特殊情况；

64

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.

65

（3）用集合的观点理解“三段论”

66

若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都67

具有性质

68

（4）演绎推理的结论一定正确

69

演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，70

那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。

71

规律方法指导

72

合情推理与演绎推理的区别与联系

73

（1）从推理模式看：

74

①归纳推理是由特殊到一般的推理．

75

②类比推理是由特殊到特殊的推理．

76

③演绎推理是由一般到特殊的推理．

77

（2）从推理的结论看：

78

①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。

79

②演绎推理所得的结论一定正确。