群论在物理学中的应用—刘巍冰 3.28

目录

1引言

（补充本课题研究的意义、国内外的研究现状、国内外科学家对群论的重视程度、群论在科学研究方面的重要意义等内容。）

2群论与量子力学的基本联系（写出群论应用于量子力学的理论基础）

2.1薛定谔方程的群

2.2本征函数与薛定谔方程的群

（定理一、二、三）

3氢原子能级偶然简并的群论解释

4群论方法分析原子能级在晶体场中的分裂

5简化薛定谔方程的求解过程

（参考群论教材第五章第二节。）

6群论方法研究问题的特点

6.1群论方法研究量子力学的关键问题

6.2群论方法的优缺点

7结束语

批语：根据上面的目录重新设计和补充论文内容！

群论在量子力学中的应用

刘巍冰

1引言

群论在物理中具有广泛的应用。（补充本课题研究的意义、国内外的研究现状、国内外科学家对群论的重视程度、群论在科学研究方面的重要意义等内容） 2群论与量子力学的基本联系

参考群论教材第五章第一节，写出群论应用于量子力学的理论基础！ 3氢原子能级偶然简并的群论解释

在近代物理学原子物理及结构化学中都讨论到原子能级问题。由健子力学的薛定格方程 求解得到某一确定能级对于若干态矢量(或波函数)。这种多个态天量处于一个能级现象称 为“简并”。它表明原子的哈蜜顿(Hamiltonia 二)具有某种对称性。因原子核的库仑势 具球对称性故一般多电子原子态矢量由三个量子数n 、1、m 描述(不计自旋)。能级E(n 、 1)与量子数n 、1有关简并度是2(1十l);但是、对于氢原子(或类氢原子)同样情况简并度却群论在近代物理中的应用 高得多:

2

1

)1(2∑-==

+n e n l

氢原子的简并度高于一般原子的现象、称为“偶然简并”。传统量子力学除了说明二子数的 意义之外。无法解释偶然简并现象。早年、Panli 及Fock(‘’等人曾预言、指出可能与某 些更高的对称性有关。随着群论的引入、方得到正确解释。群论指出:多电子原子其哈密顿仅 具球对称、属50(3)群;氢原子(及类氢原子)哈密顿除了几何对称性之外、还有更高的 对称性(即内察对称性),属于50(4)群、故其简并高于一般多电子原子。说明如下:

令氢原子哈密顿算符为: r

Ze u P H 2

22-= 这是经典力学中:为开普勒问题,已知凡具有势能为

r

1

的粒子,其轨道是椭园,引力中心 在某一焦点上。在库仓势情况下体系还有一个附加的运功恒冕、即开普勒问题的尤格一楞次

矢量(Runge 一、Lenz)、记为:r

ze P L L P u M --='2)**(21 其中、H .P 分别为动居及角动量算符。_民有对易关系:〔P H ,〕=0,0].[=H L

令M=2

1)2(E

u

-M ,E 是能最本征值,算符L M 典有六个分魔算符。

个闭合代数并对应于一个六参数李群。万ij’证明为S0(4)群。它将是氢原子的动 群。50(4)群是四维空间实正交群。比多电子原子的S0(3)对称性更高。 它们组成一 力学对称

将L 和M 线性组合、令)(2

1

M L A +=

.)(21M L B -=。则新算符A 、B 各自具

有角动量性质。因其满足对易关系

k ijk j i A ih A A ε=),(

K ijk j i B ih B B ε=)(,

0).,(=j B Ai

ijk ε是三阶全反对称张量。以上对易关系表明A 、B 各自生成SO(3)群。于是、可以认为

L,M 生成的SO (4)群与A 、B 产生的SO (3)群的直积群SO(3)⊕SO (3)同态。

群论知识指出:与李群中所有生成元对易的算符称为卡什米尔算’符(CaS;mirOPe 卜 “tor)。量子力学中凡互相刘一易的算符意味着处于共同木征态。例如SO (3)群中角动量算 符2

J 与分z y x J J J .,均对易。故介是SO (3)的卡什米尔算符。且2

J 的本征道是j(j+l) 氢原子属SO (4)群,令其Casimir 算符为C 与Cz 。由同态关系SO (4)~SO (3)

⊕SO (3),SO (3)的Cusimir 算符,已知其本征值h a a A )1(2+= ，h b b B )1(2+=

a.b 为整数或半整数。由同态关系,可得SO (4)群Casimir 算子的本征值

)(2

122

22M L B A C +=

+= ,M L B A C *22=-= 经过适当的运算(过程略) C=2a(a+1)h

由卜二式氢原子能级E 值:E=2

2)

12(2+a h e uz σ

若令(2a+1)2=2

n 。

说明氢原子能级简并度是2

n 。

4群论方法分析原子能级在晶体场中的分裂

量子力学的墓本问题是研究薛定格方程的解: ψ=ψE H

但是,除了极少数简单情况外,一般情况很难得到E 及ψ的精确解。群论方法可以通过找出 哈密顿H 的对称性,预测能量E 简并情况。在单电子近似情况下、哈密顿H 形式

为:)(2

22r V m

h H +∆-= 对于自由原子、势能项V(r)具球对称性。在三维旋转群算符R P 作用下、具有不变性

ψ=ψE P H P R R

令1

1

-=R P H P H

“

1

H 是坐标变换后的哈密顿算符,

上式说明ψ与(ψR P )均是哈密顿的

本征函数,具有相同的能提木征值E 。我们称使体系保持H 不变的群为体系哈密顿所属的群。 即若令即}{R P G =。则G 即是哈密顿H 所属的群〕

若将原子放置在具有某种对称性的晶格中,称原子处在晶体场中。由于晶格点阵对原 子的作){了·沙原子的哈密顿函数发生微扰变化。设微扰能狱V;自由原子的哈密顿为H 。, 则晶体场中哈密顿为00V H H +=。因为微扰能V 的作用,从群论观点来看、自由原子的H 。 所属的群若是G 群(通常是SO (3)群).微扰能V 所属的群若为s 群。因为晶体场的微扰 作用使对称性缩小;(由球对称”某种晶体点群对称夕。所以比较而言、G 为大群、S 是子 群,即G S ⊂。群论指出、大群G 的不可约表示对子群S 是个可约表示。又被群S 约化为若干

新的不可约表示、每一个新的不可约表示代表一条新分裂的能级。在群论中称为“分歧律”。 若群G=SO(3)群、不可约表示)(L D 代表能量本征值E(nl),且是(2l 十1)维简并。

则)(L D ,对子群S,一般来说是可约化的。设)(L D 被群S 约化为K 个不可约表示{

)

(2

)(1,l l D D …)

(l K

D }

。表明自由电原子的能级,在晶体场中被分裂为K 条。群沦在近队物理中的应用

现讨i 仑一个原子处在庄立方体品体场中能级的分裂情况。白由原子哈密顿可属的洋是 SO (3)群。正立方晶休属点群中的O 群。二生单电子模型下、自由原子取L 态、由群冷知识

得SO(3)的不可约表示)(L D 的特征标为:2

)21()(11)(θθ

θN

S l S X L +=

立方晶体的O 群、不可约表示特征标为: