自主招生专题讲座三角函数(学生版)

2016年自主招生专题讲座三角函数

第一部分：考点清单

一、高考部分

1.三角函数概念、同角公式、诱导公式、图象和性质

2.三角公式：和、差、倍、半、万能公式、

3.正弦定理、余弦定理 、 二、自招部分

1.★射影定理B c C b a cos cos +=

2.★积化和差、★和差化积公式（你知道吗？）

3.★反三角函数

4. ★补充结论：（1）三倍角公式：=α3sin _____________ . =α3cos _____________ . （2）若20π

α<

<，则αααtan sin <<(你能证吗). （3）函数x x y sin =在),0(π上为减函数；函数x x y tan =在)2,0(π

上为增函数.

（4）面积公式：记ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，外接圆、内切圆半径分别为R,r ，半周长为2

c

b a p ++=

. 21112sin sin sin (sin sin sin )2224ABC a b c abc

S ah bh ch rp R A B C rR A B C R ∆=======++

=

))()((c p b p a p p --- (海伦公式)

第二部分：高考题真题对接

1．三角函数图象变换

例1.【2015湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2π

ϕϕ<<个单位后得到

函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3

x x π

-=，则ϕ=（ ）

A.

512π B.3π C.4π D.6

π 【答案】D.

2．三角变换公式（注意升降次公式）

例2.【2015湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|2

2

x

f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 3．三角恒等变换

例3.（1）【2015重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则

3cos()

10sin()5

παπα-

=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C

（2）【2015江苏，8】已知tan 2α=-，()1

tan 7

αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3

（3）.【2015四川，理12】=+ 75sin 15sin . 【答案】

6

2

. 4.解三角形 例4.（1）【2015新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】（62-，6+2）

（2）.【2015湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北

30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.

【答案】6100

（3）.【2015重庆，理13】在△ABC 中，B =120o ，AB =2，A 的角平分线AD =3,则AC =_______. 【答案】6

例5.【2015新课标2，理17】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求

sin sin B

C

∠∠；(Ⅱ)若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长．

【答案】(Ⅰ)

1

2

；(Ⅱ)1． 例6.【2015安徽，理16】在ABC ∆中，3,6,324

A A

B A

C π

=

== ,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.

5、三角等式证明

例7.【2015四川，理19】 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan

;2sin A A A

-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +===== 求tan

tan tan tan 2222

A B C D

+++的值. 【答案】（1）切化弦；（2

.

第三部分：自招真题讲解

一、三角函数的求值与化简

例1.（04同济）设θ是第二象限角，3sin 5θ=，则57sin(2)8

π

θ-=

例2.（01复旦）1

sec50cot10

+=

例3．（10清华）求444sin 10sin 50sin 70++的值. 答案：

98

变式：2

2

sin 10cos 40sin10cos 40++ 答案：34

例4.（11卓约2）2.已知sin 2()sin 2,r n αβ+=则

tan()

tan()

αβγαβγ++=-+( )

A.

11n n -+ B. 1n n + C .1n n - D.1

1n n +- 答案：D

A

例5.（13华约）已知⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=-=+51cos cos 3

1sin sin y x y x ，求)sin(),cos(y x y x -+ 。

答案：10815

cos(),sin()22517

x y x y +=-=-

例6．（13北约）对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326

---的值．

答案：10

例7．（12卓越）函数cos ()2sin y θ

θθ

=

∈+R 的值域是__________.

答案：[

例8．（11华约4）若222cos cos 3

A B A B π

+=

+，则的最小值和最大值分别为 (

) 3A.12 13

B.,22

C.1

1D ,122 .+

答案：B

例9．（12华约）三角式

1cos 0cos1+1

cos1cos 2

+

+

1

cos88cos89

化简为（ ）

A.cot1csc1

B. tan1csc1

C. cot1s c1e

D. tan1s c1e

答案：A

二、三角形中的三角函数 例10．（13卓越）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．已知

()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小； （2）求sin sin A B ⋅的最大值．

答案：（1）3

C π

=，（2）max 3(sin sin )4

A B ⋅=