三角形中线与角平分线专题

三角形中线与角平分线专题（二）

1、三角形内外角平分线的四个经典结论：

结论一：三角形任意两个内角平分线的夹角与第三个内角的数量关系

已知如图1，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求∠P 与∠A 的数量关系.

01902P

A ∠=+∠

:

结论二：三角形任意两个内角相邻的外角的平分线说夹角与第三个内角的关系．

已知如图2，BP 平分外角CBE ∠，CP 平分外角BCF ∠，求P

∠与A ∠的数量关系.

01902P A ∠=-∠

结论三：三角形中任意一个内角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个内角的关系

如图，BP 平分ABC ∠，CP 平分外角ACD ∠，求P ∠与A ∠的数量关系.

12

P A ∠=∠

-

结论四：结论三延伸

如图，CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和，连结EA ，则EA 为HAC ∠

的平分线

21A E F B C 21P B

A C

"

应用举例：

例1：在四边形ABCD 中，︒=∠120D ，︒=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交与点E ，试求BEC ∠的度数.

例2：在ABC ∆中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ∆，试判断DEF ∆的形状.

例3：如图3，在ABC ∆中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若︒=∠96A ，则=∠5A ，=∠n A .

图三 图四

例4：点M 是ABC ∆两个内角的平分线的交点，点N 是ABC ∆两个外角的平分线的交点， 如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB *

例5：（ 2011年湖北省鄂州是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______．

2、角平分线性质的应用

3、角平分线与等腰三角形的构造问题：

【模型一】角平分线+平行线→等腰三角形

如图（1）中，AD 平分∠BAC ，

AD∠∠∠⊥

→⊥∆如图，在等腰Rt∆ABC中，AB＝AC，∠BAC=︒

90，BF平分∠ABC，CD⊥BD，交BF的延长线于D。求证：BF＝2CD

（

【模型三】作倍角平分线→等腰三角形

当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形。如图，若∠ABC=2∠C，作BD平分∠ABC，则∆DBC是等腰三角形。

例4.：如图，在∆ABC 中，∠ACB=2∠B ，BC ＝2AC 。求证：∠A=︒90

…

\

3、角平分线定理及逆定理的应用：

例1：简单的定理应用

（1）如图，ABC Rt AD ∆是的角平分线，︒=∠90C ，AB DE ⊥于点E ，点F 是AC 上一点，DF BD CF BE ==:，求证

（2）如图，BD 是ABC ∠的平分线，E AB DE 于⊥，cm AB cm S ABC 18,362==∆，

cm BC 12=，求DE 的长.

例2：在梯形中的应用（作为结论记住）

如图，BAC CD AB ∠,//的角平分线与DCA ∠的角平分线交于点M ，

经过M 的直线EF 与AB 垂直，垂足为F ，且EF 与CD 交于E ，求证：点M 为EF 的中点.

-

变式1：如图，DAB BC AD ∠,//的角平分线与ABC ∠的角平分线交于点E ，过E 的直线交AD 于D ，交BC 于C ，求证：

（1）BE AE ⊥

（2）EC DE =

（3）试证：的关系与BC AD AB +

例3：角平分线与中垂线的综合：

（1）如图，ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于点F ，连接AF ，求证：CAF B ∠=∠

（2）如图，在ABC ∆中，BAC ∠的平分线与BC 边的中垂线相交于点P ，

过D 作AC AB 、的垂线，垂足分别为N M 、，求证CN BM =

。

例4：逆定理应用

（1）将两块完全相同的直角三角板（︒=∠=∠90AFB AEC ），按如图所示的方式放置在一起，使得边AE 在AB 上，边AF 在AC 上，D CE BF 相交于点与，求证：点D 在BAC ∠的平分线上.

（2）如图，在AOB ∠的两边EM DN OE OD ON OM OB OA 和上分别取、,,==相交于点C ，求证：点C 在的平分线上AOB ∠.