数列通项与求和

学案 数列的通项与求和

导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

自主梳理

1．求数列的通项

(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：

a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

S 1， n ＝1，S n －S n －1

， n ≥2.

(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．

(3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1

a n

＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用__________求数

列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n

a n －1

.

(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．

(5)归纳、猜想、证明法． 2．求数列的前n 项的和 (1)公式法

①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________；

②等比数列前n 项和S n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

，q ＝1，

＝ ，q ≠1.

推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n 项和：

a ．1＋2＋3＋…＋n ＝__________；

b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝__________；

c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝______；

d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝__________；

e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝__________________.

(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．

常见的裂项公式有：

①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1

； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭

⎫12n －1－12n ＋1；

③1

n ＋n ＋1

＝n ＋1－n .

(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导． 自我检测 1．(原创题)已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝3n 2(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项的( ) A.32(3n －1) B.92

(3n －1)

C.38(9n －1)

D.98(9n －1) 2．(2011·邯郸月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是其前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 为 ( )

A ．－1

B ．1

C ．±1

D ．0

3．已知等比数列{a n }的公比为4，且a 1＋a 2＝20，设b n ＝log 2a n ，则b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 等于 ( )

A ．n 2＋n

B ．2(n 2＋n )

C ．2n 2＋n

D ．4(n 2＋n )

4．(2010·天津高三十校联考)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1

n ＋2

(n ∈N *)，设{a n }的

前n 项的和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )

A ．有最大值63

B ．有最小值63

C ．有最大值31

D ．有最小值31 5．(2011·北京海淀区期末)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．

6．数列1,412，714，101

8

，…前10项的和为________.

探究点一 求通项公式

例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2n ＋

1·a n

a n ＋2n ＋1，a 1

＝2，求数列{a n }的通项公式．

变式迁移1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．

探究点二 裂项相消法求和

例2 已知数列{a n }，S n 是其前n 项和，且a n ＝7S n －1＋2(n ≥2)，a 1＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋1

，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n

20对所有n ∈N *都成立

的最小正整数m .

变式迁移2 求数列1，11＋2，11＋2＋3，…，1

1＋2＋3＋…＋n

，…的前n 项和．

探究点三 错位相减法求和 例3 (2011·荆门月考)已知数列{a n }是首项、公比都为q (q >0且q ≠1)的等比数列，b n

＝a n log 4a n (n ∈N *

)．

(1)当q ＝5时，求数列{b n }的前n 项和S n ；

(2)当q ＝14

15

时，若b n

变式迁移3 求和S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋n

a

n .

分类讨论思想的应用

例 (5分)二次函数f (x )＝x 2＋x ，当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，f (x )的函数值中所有整数

值的个数为g (n )，a n ＝2n 3＋3n 2g (n )

(n ∈N *)，则S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋(－1)n －

1a n ＝

( )

A ．(－1)n －1n (n ＋1)

2 B ．(－1)n n (n ＋1)2

C.n (n ＋1)2 D ．－n (n ＋1)2

【答题模板】 答案 A

解析 本题考查二次函数的性质以及并项转化法求和．

当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，函数f (x )＝x 2＋x 的值随x 的增大而增大，则f (x )的值域为[n 2

＋n ，n 2＋3n ＋2](n ∈N *)，∴g (n )＝2n ＋3(n ∈N *

)，于是a n ＝2n 3＋3n 2g (n )

＝n 2.

方法一 当n 为偶数时，S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a n －1－a n ＝(12－22)＋(32－42)＋…＋

[(n －1)2－n 2]＝－[3＋7＋…＋(2n －1)]＝－3＋(2n －1)2·n 2＝－n (n ＋1)

2

；

当n 为奇数时，S n ＝(a 1－a 2)＋(a 3－a 4)＋…＋(a n －2－a n －1)＋a n

＝S n －1＋a n ＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)

2，

∴S n ＝(－1)n －1n (n ＋1)

2

.

方法二 a 1＝1，a 2＝4，S 1＝a 1＝1， S 2＝a 1－a 2＝－3，

检验选择项，可确定A 正确． 【突破思维障碍】

在利用并项转化求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示．

1．求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项； (2)观察法：例如由数列的前几项来求通项；