第01讲构造论证二-高思数学_6年级下第一讲构造论证二
高斯小学奥数六年级下册含答案第05讲_抽屉原理
第五讲抽屉原理二本讲知识点汇总：一、最不利原则：为了保．证．能完成一件事情，需要考虑在最倒霉（最不利）的情况下，如何能达到目标．二、抽屉原理：形式1：把n 1个苹果放到n个抽屉中，一定有2个苹果放在一个抽屉里；形式2：把m n 1个苹果放到n 个抽屉中，一定有m 1个苹果放在一个抽屉里．例1．中国奥运代表团的173 名运动员到超市买饮料，已知超市有可乐、雪碧、芬达、橙汁、味全和矿泉水 6 种饮料，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？「分析」本题的“抽屉”是饮料的选法，“苹果”是 1 73名运动员．练习1、中国奥运代表团的83 名运动员到超市买饮料．超市有可乐、雪碧、芬达和橙汁，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？例2．国庆嘉年华共有5项游艺活动，每个学生至多参加2项，至少参加1项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有 4 个人参加的活动完全相同？「分析」本题的“抽屉”是参加活动的方法．练习2、高思运动会共有 4 个项目，每个学生至多参加3项，至少参加 1 项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有 5 个人参加的活动完全相同？例3．从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是50？「分析」思考一下：哪两个数的和是50？练习3、从1到35这35 个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和为34？例4．从1到100这100个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和是7的倍数？如果要保证是 6 的倍数呢？「分析」两个数的和是7 的倍数，这两个数除以7 的余数要符合什么条件哪？练习4、从1至99这99 个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是5 的倍数，至少要取多少个？例5．至少取出多少个正整数，才能保证其中一定有两个整数的和或差是100 的倍数？「分析」从余数角度思考一下：什么样的两个数的和或差是100？例6．在边长为 2 的正六边形中，放入50 个点，任意三点不共线，请证明：一定能从中选出三个点，以它们为顶点的三角形面积不大于「分析」通过把正六边形均分，来构造“抽屉”1．四大发明之印刷术印刷术是中国古代的四大发明之一，是中国古代汉族劳动人民经过长期实践和研究才发明的．活字印刷的方法是先制成单字的阳文反文字模，然后按照稿件把单字排列在字盘内涂墨印刷．自从汉朝发明纸以后，书写材料比起过去用的甲骨、简牍、金石和缣帛要轻便、经济多了，但是抄写书籍还是非常费工的，远远不能适应社会的需要．至迟到东汉末年的熹平年间（公元172~178 年），出现了摹印和拓印石碑的方法．大约在公元600 年前后的隋朝，人们从刻印章中得到启发，在人类历史上最早发明了雕版印刷术．雕版印刷是在一定厚度的平滑的木板上，粘贴上抄写工整的书稿，薄而近乎透明的稿纸正面和木板相贴，字就成了反体，笔划清晰可辨．雕刻工人用刻刀把版面没有字迹的部分削去，就成了字体凸出的阳文，和字体凹入的碑石阴文截然不同．印刷的时候，在凸起的字体上涂上墨汁，然后把纸覆在它的上面，轻轻拂拭纸背，字迹就留在纸上了．到了宋朝，雕版印刷事业发展到全盛时期．雕版印刷对文化的传播起了重大作用，但是也存在明显缺点：第一，刻版费时费工费料；第二，大批书版存放不便；第三，有错字不容易更正．北宋平民发明家毕昇总结了历代雕版印刷的丰富的实践经验，经过反复试验，在宋仁宗庆历年间（公元1041~1048）制成了胶泥活字，实行排版印刷，完成了印刷史上一项重大的革命．毕昇的方法是这样的：用胶泥做成一个个规格一致的毛坯，在一端刻上反体单字，字划突起的高度象铜钱边缘的厚度一样，用火烧硬，成为单个的胶泥活字．为了适应排版的需要，一般常用字都备有几个甚至几十个，以备同一版内重复的时候使用．遇到不常用的冷僻字，如果事前没有准备，可以随制随用．为便于拣字，把胶泥活字按韵分类放在木格子里，贴上纸条标明．排字的时候，用一块带框的铁板作底托，上面敷一层用松脂、蜡和纸灰混合制成的药剂，然后把需要的胶泥活字拣出来一个个排进框内．排满一框就成为一版，再用火烘烤，等药剂稍微熔化，用一块平板把字面压平，药剂冷却凝固后，就成为版型．印刷的时候，只要在版型上刷上墨，覆上纸，加一定的压力就行了．为了可以连续印刷，就用两块铁板，一版加刷，另一版排字，两版交替使用．印完以后，用火把药剂烤化，用手轻轻一抖，活字就可以从铁板上脱落下来，再按韵放回原来木格里，以备下次再用．毕昇还试验过木活字印刷，由于木料纹理疏密不匀，刻制困难，木活字沾水后变形，以及和药剂粘在一起不容易分开等原因，所以毕昇没有采用．毕昇的胶泥活字版印书方法，如果只印二三本，不算省事，如果印成百上千份，工作效率就极其可观了，不仅能够节约大量的人力物力，而且可以大大提高印刷的速度和质量，比雕版印刷要优越得多．现代的凸版铅印，虽然在设备和技术条件上是宋朝毕昇的活字印刷术所无法比拟的，但是基本原理和方法是完全相同的．活字印刷术的发明，为人类文化做出了重大贡献．这中间，中国的平民发明家毕昇的功绩是不可磨灭的．可是关于毕昇的生平事迹，我们却一无所知，幸亏毕昇创造活字印刷术的事迹，比较完整地记录在北宋著名科学家沈括的名著《梦溪笔谈》里．但是除开西夏文字的几本推测为活字印刷的佛经外，中原地区无发现活字印刷的中文印刷品！作业1. (1) 一个班有37个人，那么至少有多少人是同一星座的？(2) 一副扑克牌，共54张，那么至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同？2. 动物王国举行运动会，共有101位运动员，有短跑、跳高、跳远、10米跳台、3米跳板五个项目，每位运动员最多选三个项目，最少选一个项目. 那么至少有多少位运动员所选的项目都相同？3. 1至70这70个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于6?4. 1至40这40个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不是4的倍数？5. 在半径为1的圆内，画13个点，其中任意3点不共线?请证明：一定存在3个点，以6它们为顶点的三角形面积小于6第五讲抽屉原理二例7．答案：12．解答：共有C6215种不同的选择方式，而173 15 11L 8 ，所以至少有12 个人买的饮料完全相同．例8．答案：46．解答：共有C52C5115 种参加方法，所以至少15 3 1 46 人．例9．答案：27．解答：可构造出26个组数：(1 , 49)、( 2, 48)、…、(24, 26)、(25)、( 50).所以至少要取27个数才能保证取到一组和为50 的数．例10．答案：46, 37．解答：由题意可知,如果取出的数没有两个数的和是7的倍数,则：除以7余 1 的数与除以7余6的数不能共存,除以7 余 2 的数与除以7 余 5 的数不能共存,除以7 余 3 的数与除以7 余 4 的数不能共存．而除以7余0的数只能取1个,且100 14 7L 2,所以最不利的情况是取尽余1、余2、余3和一个余0的数, 共45 个数, 所以至少选出46个数才可满足要求．同理至少选出37个数才能保证是 6 的倍数．(注意此时除以 6 余 3 和余0 的数都只能选 1 个)例11 ．答案：52．解答：可构造出51 个组数：(1 , 8)、( 2 , 9)-( 7, 14 )； (15, 22 )、(16, 23 )???( 21, 28)；……(85, 92)、(86 , 93)-( 91, 98)； (99)、(100).每组数中的两数的差为7 ?只取出每个数组中较小的数显然不能满足要求,所以至少要取出52 个数,这时由抽屉原理知必定能取到某一个数组的两个数．例12．解答：先将正六边形分割成 6 个边长为 2 的正三角形,再将每个三角形等分成 4 个边长为 1 的正三角形,这样就把正六边形分割成24 个边长为 1 的正三角形,则由抽屉原理知,必有 3 点在一个等边三角形中,以它们为顶点的三角形面积显然不大于1．(边长是 1 的等边三角形面积小于1)练习1、答案：14．简答：共有C426种不同的选择方式，而83 6 13 5 ，所以至少有14 个人买的饮料完全相同．练习2、答案：57．简答：共有C43C42C4114 种参加方法，所以至少14 4 1 57 人．练习3、答案：20．简答：可构造出19个组数：(1, 33)、( 2, 32)、…、(16,18)、(17)、(34)、( 35).所以至少要取20个数才能保证取到一组和为34的数．练习4、答案：42．简答：1~99这99 个数中除以5余 1 的有20个,余 2 的有20个,余3的有20个,余4的有20个, 余0 的有19 个,选出余 1 和余 2 的数,再选一个余0 的数,再任选一个数一定符合题意,20 20 1 1 42 个．作业6. 答案：（1）4个；（2）23 张.简答：（1）抽屉原理；（2）最不利原则.7. 答案：5位.简答：首先运动员的项目有C5 Cf c3 25种可能，根据抽屉原理，至少有5位运动员的项目相同.8. 答案：36个.简答：每12个数中最多取出6个.9. 答案：12个.简答：将1~40按照除以4的余数分为四组：A 组：｛1 , 5,…，37｝；B 组：｛2 , 6,…，38｝；C组：｛3，7,…，39｝；D 组：｛4 , 8，…，40｝.首先，B、D组最多取一个?取了A组就不能取C组.所以最多能取12个.10. 证明：将半径为1的圆六等分，分为六个扇形，每个扇形的面积是在同一部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即-6 根据抽屉原理，至少有三个点6。
【精品奥数】六年级下册数学思维训练讲义-第十六讲 逻辑推理(二) 人教版(含答案)
第十六讲逻辑推理（二）第一部分：趣味数学六个货架一家超市,六个货架是这样安排的:出售玩具的货架紧紧挨着出售服装的货架,但玩具货架不是一号架。
出售餐具的货架在小家电货架的前一排,日化品在服装前面的第二个货架上,餐具在食品后面的第四个货架出售。
请问:这个超市是怎样安排这六个货架的?【答案】已知:1、出售玩具的货架紧紧挨蓍出售服装的货架,但玩具货架不是一号架。
2、出售餐具的货架在小家电货架的前一排,3、日化品在服装前面的第二个货架上,4、餐具在食品后面的第四个货架出售。
推理:一、从1、3知道日化品在服装前第二个；服装前第一个或后一个可能是玩具；二、从2、4知道餐具在小家电前一排,而餐具在食品后第四个货架,一共是六个货架,餐具在食品之间隔三个，后面还有一个小家电，推出第一排是食品，第五是餐具,第六是小家电；三、其余二、三、四号三个的排序应当是日化、玩具、服装，玩具不可能在服装后，后面五号是餐具。
即：一号架：食品；二号架：日化；三号架：玩具；四号架：服装；五号架：餐具；六号架：小家电。
第二部分：习题精讲解数学题，从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算，通常是计算与推理交替进行，而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理，而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。
这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生，也是小学数学竞赛中比较流行的题型。
解答综合推理问题，要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。
统称从已知条件出发可以推出两个或两个以上结论，而又一时难以肯定或否定其中任何一个时，这就要善于运用排除法、反证法逐一试验。
当感到题中条件不够时，要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。
例题1：小华和甲、乙、丙、丁四个同学参加象棋比赛。
每两人要比赛一盘。
到现在为止，小华已经比赛了4盘。
甲赛了3盘，乙赛了2盘，丁赛了1盘。
丙赛了几盘？这道题可以利用画图的方法进行推理，如图32-1所示，用5个点分别表示小华、甲、乙、丙、丁。
高斯练习(6年级)八
工程问题综合提高1.扬帆和洛威吃一堆包子. 如果先由扬帆单独吃10分钟，再由洛威单独吃25分钟才能吃完．那么，如果两人先一起吃10分钟，洛威再单独吃多少分钟才能吃完所有包子？2.扬帆和洛威吃一堆包子.如果两人一起吃需要20分钟才能吃完．而如果先由扬帆单独吃10分钟，再由洛威单独吃25分钟，则正好吃完．请问洛威需要多少分钟，才能单独吃完所有包子？3.生产一批帽子，甲、乙二人合作需15天完成．现由甲先单独工作5天，再由乙单独工作3天后还剩这批帽子的3/4没完成．若甲每天比乙少加工4个帽子，则这批帽子共有多少个？4.小鹿、小羊、小猪三名打字员承担一项打字任务，若由这3人中的某人单独完成全部打字任务，则小鹿需24小时，小羊需20小时，小猪需16小时．如果按小鹿、小羊、小猪的次序轮流每人各打1小时，那么需要多少小时完成打字任务？5.一个水池有一根进水管和一根出水管，单开甲管12小时注满空水池，单开乙管15小时排空满水池，现在甲乙管轮流打开，甲管打开1小时，乙管打开1小时，甲管打开1小时，乙管打开1小时……重复交替下去，那么注满空水池共需要多少个小时？6.一个水池有两根进水管和一根出水管，单开甲管18小时注满空水池，单开乙管12小时注满空水池，单开丙管15小时排空满水池．现在甲乙丙管轮流打开，甲管打开1小时，乙管打开1小时，丙管打开1小时，甲管打开1小时……重复交替下去，那么注满空水池共需要几个小时？7.姜太公“三天打鱼两天晒网”（打三天鱼休息两天），已知他打满一缸鱼要38天．那么他打鱼时每天能多少缸鱼？（答案用分数表示）8.姜太公“三天打鱼两天晒网”（打三天鱼休息两天），周文王“四天打鱼一天晒网”，姜太公打满一缸鱼要38天，周文王打满同样的一缸鱼要37天，两人合作5天，可以打满了一缸鱼的几分之几？9.甲工程队每工作6天必须休息1天，乙工程队每工作5天必须休息2天，一项工程，甲工程队单独做需104天（含休息），乙工程队单独做需82天（含休息），如果两队合作，从2018年8月28日同时开工，则该工程在月日可以竣工.因数与倍数综合1.1~100中，有多少个数的因数个数为奇数？2.有三个自然数，它们的因数个数分别为A个、(A+5)个、(A+6)个，那么下面的说法哪个是正确的？3.有2012盏灯，分别对应编号为1至2012的2012个开关．现在有编号为1至2012的2012个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数，第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数，……，依次做下去，第2012个人按的开关的编号是2012的倍数．如果最开始的时候，灯全是亮着的，那么这2012个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？4.一个自然数有7个因数，这个数最小是多少？5.一个自然数有15个因数，这个数最小是多少？6.庆祝高思学校4周岁的生日，预计在12月5日高思成立日的当天举行大型的庆祝活动，由编号1~100的100名小朋友组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的小朋友向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次编号是3的倍数的小朋友再向左转，……，最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？7.在35的倍数中，恰有35个因数的数最小是多少？（请写出质因数分解式）8.有6个因数的奇数，最小的是多少？9.42的倍数中，恰好有42个因数的数有多少个？10.两个自然数乘积为25×32，且这两个数的因数个数分别为5个、6个，那么这两个数的和是 .11.两个自然数乘积为26×32×5，且这两个数的因数个数分别为9个、10个，那么这两个数的和是 .12.三个自然数乘积为26×34，且这三个数的因数个数分别为A个、(A+1)个、(A+2)个．那么这三个自然数的和是 .整数型计算综合提高1.888882-111112的计算结果是 .2.777777×333333的计算结果的数字和是多少？3.的计算结果的数字和是多少？4.13+23+33=( )2.5.计算：1×2+3×4+5×6+…+99×100= .6.1×2+(1+2)×4+(1+2+3)×6+(1+2+3+4)×8+…+(1+2+…+20)×407.对自然数a和n，规定aθn＝a n，例如5θ2＝52，那么1θ2＋2θ2＋3θ2＋…＋40θ2= .8.对自然数a和n，规定a△n＝a n+an-1，例如5△3＝53+52，那么1△3＋2△3＋3△3＋…＋20△3= .9.对自然数a和n，规定a★n＝a n+an-1+an-2＋a×（a＋1），（n不小于2）例如5★3＝53+52+5＋5×6，那么1★3＋2★3＋3★3＋…＋20★3= .10.45!×(45+1)=__________．11.计算：1!×3-2!×4+3!×5-4!×6+…+9!×11-10!12.计算：1!×3-2!×4+3!×5-4!×6+…+2009!×2011-2010!×2012+2011!×2013-2012!最值问题二1.阿土伯在广场上开设了一个“套圈圈”的游戏摊位：给每位参与游戏的顾客一根20厘米长的铁丝，要求将铁丝折成完整的长方形（铁丝恰好用完），然后用长方形的铁丝环去套游戏池里的各种奖品.那么铁丝折成的长方形，最大面积为多少平方厘米？2.用一根长48厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架, 这个长方体的体积最大是多少立方厘米？3.用一根长58厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？4.将4～9这6个数分别填入算式“囗囗囗×囗囗囗”的囗中，算式的结果最大是多少？5.用2，3，4，5，6，7各一个组成两个三位数，使得它们都是偶数. 把两数相乘，最大乘积是多少？6.用1，2，3，4，5，6，7，8，9各一个组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，将这三个数相乘，那么最大乘积是多少？7.有5袋大米，其中任意2袋的重量和都不小于30千克(每袋大米的重量都是整数千克).这5袋大米的总重量至少是多少千克？8.有5袋土豆，其中任意2袋土豆的数量和都不超过50个，这5袋土豆的总数最多是多少个？9.小高、卡莉娅、墨莫和萱萱四人各有若干块高思勋章，其中任意两人的勋章合起来都少于10块，那么这四人的勋章合起来最多有多少块？10.如图所示，将一张长方形的纸片折弯后立在地面上．一只蚂蚁从A点爬向B点，那么它爬行的最短距离是多少厘米？（第10题图）（第11题图）11.如图，有一个长方体的柜子，一只蚂蚁要从右上角的A点出发，沿柜子表面回到左下角B点的蚁巢（必须经过柜顶的平面）.问：蚂蚁爬行路线的长度最短是多少厘米？12.如图，有一个长方体的柜子，一只蚂蚁要从右上角的A点出发，沿柜子表面回到左下角B点的蚁巢．问：最短路线一共有几条？计数综合提高1.有一个电子表23时04分显示为23:04，那么从20时到21时这段时间里，表上4个数字都不同的时刻一共有多少个？2.一种电子表在6时24分30秒的显示为6:24:30，那么从6时到7时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个？3.一种电子表在6时24分30秒的显示为6:24:30，那么从3时到5时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个？4.皇马和巴萨两队进行足球比赛，最后皇马3:2获胜，已知比赛过程中皇马从未落后过，那么进球过程一共有多少种不同的可能？5.纳达尔和费德勒进行网球比赛，谁先得6分就赢得此局，比赛结束．最后费德勒在第一局6:4获胜，已知比赛过程中费德勒从未落后过，那么比赛过程一共有多少种可能？6.甲、乙两队之间进行篮球比赛，比赛采用5局3胜制，等比到第4场就分出了胜负，甲赢得了比赛，那么有多少种可能？7.NBA总决赛在洛杉矶湖人和波士顿凯尔特人队之间进行，比赛采用7局4胜制，比赛分为主场和客场，第1，第2，第6，第7场均在洛杉矶进行，第3~5场在波士顿进行．最终湖人队在自己的主场获得总冠军，那么比赛中的胜负结果有多少种可能？8.小高和墨莫两人进行争夺“琴圣”冠军的琴艺争霸赛，比赛没有平局，谁先胜3局即获得比赛的胜利，请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？9.1个圆可以把平面分成两部分，那么7个圆最多把平面分成多少部分?10.1个三角形可以把平面分成2部分，那么4个三角形最多可以把平面分成多少部分？11.在一个平面上画出1条直线、2个三角形和3个长方形，最多能把这个平面分成多少部分？12.有一根均匀的木棒被划分成等长的9节，每节用红、黄、蓝三种染料中的一种来染色．那么让9节木棒的颜色左右对称的染法有多少种？13.有一根均匀的木棒被划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝三种染料中的一种来染色．那么让5节木棒的颜色左右不对称的染法有多少种？14. 有一根均匀的木棒被划分成等长的5节，每节用红、黄、蓝、绿、紫五种染料中的一种来染色，要求相邻的两节不同色．有多少种不同的染法？（旋转后染法相同，算同一种染法）数字谜综合二1. 把91表示成两个自然数的倒数之和，一共有多少种这样的两个数?2. 把21拆成三个单位分数（可以相同）的和，一共有多少种拆法？3. 下图竖式方框内的数字满足：两个加数所有的数字之和是18，个位向十位进1，那么结果的数字之和是多少？4. 从1到9中选出8个数字填入算式“囗囗囗囗+囗囗囗囗 =13579”的方框中，每个数字恰好填一次，使等式成立．请问：没有被选出的数字是多少？5. 在竖式中填入0至9各一次，使竖式成立．那么最后的结果最小是多少？6. 从3到9中选出6个数字填入算式 “囗囗囗+囗囗囗=1357” 的方框中， 每个数字恰好填一次， 使等式成立． 那么数字 没有用到， 算式总共进了 位．7. 从3到9中选出6个数字填入算式“囗囗囗+囗囗囗=1357”的方框中，每个数字恰好填一次，使等式成立．请问：要使两个数的乘积最大，两个三位数中较大的数是多少？8. 在下图的算式中填入0至9各一次，使算式成立．算式结果的四位数最大可能是多少？分百应用题综合提高1. 甲、乙两人有相同数目的水果，水果有梨和苹果两种，甲的梨和乙的苹果数目之比为4:3，甲的苹果和乙的梨数目之比为6:7，那么甲的苹果数是乙的苹果数的几倍？2.甲、乙两个班的同学人数相等，且各有一些同学参加了课外数学小组的活动．其中甲班参加的人数是乙班参加人数的2/5，乙班未参加人数是甲班未参加人数的1/5．请问：甲班未参加人数是乙班参加人数的几分之几？3.甲、乙、丙、丁四人去超市买了25元的商品．如果甲付钱，那么他剩下的钱将是其余三人剩下钱的1/7；如果乙付钱，那么她剩下的钱将是其余三人剩下钱的1/11；如果丙付钱，那么他剩下的钱将是其余三人剩下钱的1/4；如果丁付钱，那么她剩下的钱比其余三人剩下钱的1/2少19.5元．那么四人一开始时共带了多少元钱？行程问题超越提高1.某科研单位每天派汽车早8点准时到工程师家接他去上班．但今天早晨，工程师临时决定提前到单位，于是他没有等汽车来接，就自己步行去单位．步行途中遇到了前来接他的汽车，他马上上车回到单位，上车时是7点50分，问：工程师比平时提前多少分钟到单位？2.某科研单位每天派汽车早8点准时到工程师家接他去上班．但今天早晨，工程师临时决定提前到单位，于是他没有等汽车来接，就自己步行去单位．步行途中遇到了前来接他的汽车，他马上上车回到单位，结果发现比平时早到了30分钟，问：工程师上车时是点分.3. 徐老师的司机每天都开车在下午5点准时到学校接徐老师回家．有一天，徐老师下午4点从学校出发，中途被司机接上了车，结果比平常提前20分钟到家．第二天，徐老师下午4:30从学校出发，再次中途上车，那么他将提前多少分钟到家？构造论证数列数表构造进阶3.把2、3、…、6、7按合适的顺序填在图中第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数之和都是平方数．第二行数字从左到右组成的6位数是多少？6.能否将1至14排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？7.能否将1至15围成首尾相连的一圈，使得任意相邻两数之和都为平方数？9.能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？整除性分析进阶1.今有数量为1、2、3、…、198、199枚的石子各一堆．请问：能否不拆分任何一堆，把它们分成数量相同的12组？4.有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（每次这个数目可以改变），也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中．请问：如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，能否把3堆石子都拿光？10.有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（每次这个数目可以改变），也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中．请问：如果开始时，3堆石子的数目分别是34、56、90，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？11.黑板上写着3个数7、17、27，老师现在请一些同学上黑板对这3个数进行操作．进行一次操作是指：一些数减1，其它数加2；或者都减1；或者都加2．那么能否经过若干次操作后得到6、7、8？染色分析进阶1.图中是把一张6×6的方格纸去掉两个角所得的图形．能否把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个1×2小长方形（不论横竖）的2个方格中都恰有1个红格和1个蓝格？5.图中是把一张4×6的方格纸去掉两个角所得的图形．能否用1×2的小长方形恰好拼满这张表格？10.能否用8个“T型”和8个“L型”拼成一个8×8的棋盘？几何超越提高构造沙漏1.如图长方形ABCD中，点M是AB边上靠近B点的四等分点，点N是BC边上靠近C点的三等分点．请问AP:PN= : ．5.如图，长方形ABCD的面积是16平方厘米，点M是BC边上靠近B点的三等分点，点N是DC 边的中点．请问三角形AMP的面积是多少平方厘米？8.如图，长方形ABCD中，点F是DC边上靠近D点的三等分点，点E是BC边上靠近B点的四等分点，那么AP:PF= : ．10.如图，长方形ABCD中，点F是DC边的中点，点E是BC边上靠近B点的三等分点，如果三角形DPF的面积是1平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？缺角的矩形1.如图的长方形纸片ABCD，其在顶点D处被剪去了一个等腰直角三角形EFD，现在AB、BC和F C的长度已知（已在图中标出），请问AE的长度是________．6.如图的长方形纸片ABCD，其在顶点B和顶点D处被各被剪去了一个等腰直角三角形，现在AE、FC和GC的长度已知(已在图中标出)，请问AE的长度是________．10.如图，八边形ABCDEFGH的内角都是135°, 其中AH=DE，且AB、CD、EF的长度分别为8、1 5、5．请问HG的长度是________．矩形的内接四边形1.如图，长方形ABCD 内，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，其中F、H分别是BC 和DA的中点，已知长方形ABCD的面积是100，那么四边形EFGH的面积是多少？6.如图，用四块不同颜色的小长方形( 面积分别为20，30，36，30 )正好拼成一个大长方形EFGH ( 面积为128 )．那么四边形ABCD的面积是________．11.周师傅的徒弟要用一块面积为90平方厘米的正方形铝材加工一个零件，零件的设计图如下，请问：这个零件的面积是_______平方厘米．（注：“cm”是“厘米”的英文简写）应用题综合纳税问题1.目前，我国个人所得税起征点是3500元，全月应纳税所得额是指从月收入中减去3500元后的余额．阿土伯月收入是4500元，那么他全月应纳税所得额是多少元？5.我国最新的个人所得税税率图如下所示．阿土伯月收入为4000元，那么他每个月应缴纳个人所得税多少元？10.我国最新的个人所得税税率图如下所示．阿土伯每月要缴纳个人所得税745元，那么他的月收入是多少元？最优方案1.新新和林林是两名木匠，他们每天都制作木桌和木椅，1张木桌和2把木椅搭配成一套木桌椅．已知新新每天可以制作4张木桌或者5把木椅，林林每天可以制作2张木桌或者8把木椅．那么他俩合作，每周（按7天算）最多可以生产多少套木桌椅？5.新新和林林两人都会做肉夹馍，一个肉夹馍需要一个馍和一份肉．新新每分钟可以做好3个馍或者切好5份肉，林林每分钟可以做好2个馍或者切好6份肉．那么他俩合作，4小时最多能做好多少个肉夹馍？10.土伯热狗店和山羊热狗店是两家相邻的热狗专卖店，各自都生产面包和热狗肠（一个面包和一根热狗肠能制作一个热狗）．因为人员和设备的差别，土伯热狗店每月用3/5的时间生产面包，2/5的时间生产热狗肠，每月能生产9000个热狗；山羊热狗店每月4/7的时间生产面包，3/7的时间生产热狗肠，每个月能生产12000个热狗．现在两家店铺合作，尽量发挥各自的特长来进行生产，那么现在比过去每个月能最多能多生产多少个热狗？浓度与经济问题提高十字交叉法进阶1.小高买来蛋白质含量分别为15%的牛肉和10%的火腿肠，为小狗搭配蛋白质含量为12%的食物．他通过图中的十字交叉法算出一个比2:3，请问：这个比是下列哪种量的比？5.阳光小学六年级有甲、乙两个班，某次考试，甲班的平均分是90分，乙班平均分是85分，而两个班合在一起的平均分是87分．赵老师用十字交叉法算了一下，得到了一个比2:3，请问：这个比是下列哪种量的比？10.阳光小学六年级有甲、乙两个班，甲班的男生人数是女生的6/7，乙班的男生人数是女生的5/4，而两个班加起来男女生总人数相同．乐乐用十字交叉法算了一下，得到了一个比7:4，请问：这个比是下列哪种量的比？分阶段销售商品1.文东商店花1000元进了500个笔记本，按30%的利润率定价．当售出这批笔记本的80%后，为了尽早销完，商店把剩下的笔记本半价出售．那么销售完后商店实际获得的利润是多少元？5、文东商店花1000元进了500个笔记本，按30%的利润率定价．当售出这批笔记本的90%后，为了尽早销完，商店把剩下的笔记本半价出售．那么销售完后商店实际获得的利润率是_10.水果店进了一批水果，希望卖出之后得到50%的利润．当售出六成数量的水果时，由于天气原因水果无法保存，于是商店决定打折处理，最终只得到了所期望利润的40%．请问：商店打折处理时打了几折？______%．余数问题综合提高求余综合提高1.除以9的余数是多少？5.除以99的余数是多少？9.10111213…939495除以11的余数是多少？10.除以7的余数是多少？物不知数综合提高1.一个三位数除以5余3，除以6余2，除以7余1，那么这个三位数最小是多少？5.一个数除以5余2，除以7余3，除以9余4，那么这个数最小是多少？10.一个三位数除以5余2，除以7余5，除以11余4，那么这个三位数最小是多少？分数计算综合提高分数数表1.将真分数按照图中数表方式排列开，那么第7行第2列的分数是？5.将真分数按照图中数表方式排列开，那么分数7/9在第行第列．10.将真分数按照图中数表方式排列开，那么位于不超过10行，10列的所有真分数之和是多少？曲线形问题综合提高旋转体问题进阶1.将如下平面图形沿所示轴线旋转一周后得到的立体图形将是______．4.将正六边形ABCDEF按下图所示方式旋转一周，得到的立体图形可以看成________．10.如下图，平行四边形ABCD由两个等大的等腰直角三角形——ΔABC和ΔACD拼成，它俩的直角边长度为6厘米．现在将平行四边形ABCD绕AC轴旋转一周，请问这样得到的几何体的体积是多少立方厘米？（π取3）抽屉原理二最不利原则确保整除性1.从1至30这30个自然数中取若干个数，使其中任意两个数的差都不是7的倍数，则最多能取多少个数？5.从1至40这40个自然数中取若干个数，使其中任意两个数的和都不是7的倍数，则最多能取多少个数？10.至少取出多少个正整数，才能保证其中一定有两个正整数的和或差是100的倍数？变速行程问题中途变速的行程问题1.喜羊羊乘飞船从地球村到火星村．如果将速度提高五分之一，就可比预定时间提前半小时赶到．那么喜羊羊从地球村到火星村原来需要多少小时7.喜羊羊乘飞船从地球村到火星村．如果将速度提高五分之一，就可比预定时间提前半小时赶到；如果先按原速度行驶720万千米，再将速度提高三分之一，也可以比预定时间提前半小时到．请问地球村与火星村之间的路程是多少万千米？10.一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，就可比预定时间提前20分钟赶到；如果先按原速度行驶72千米，再将车速提高三分之一，就可比预定时间提前30分钟赶到．问：这支解放军部队一共需要行多少千米？。
六年级数学下册培优A体系(下)第9讲__抽象概括(二)
目录第9讲 抽象概括（二）【讲义】 课时1：分解质因数 .............................................................................................【练习】 课时1：分解质因数 .............................................................................................【讲义】 课时2：因数倍数 ................................................................................................【练习】 课时2：因数倍数 ................................................................................................【讲义】 课时3：短除模型 ................................................................................................【练习】 课时3：短除模型 ................................................................................................【练习】 加油站：抽象概括（二） .....................................................................................【答案】 参考答案：本单元试题参考答案 . (2)7121518202224（）.【讲义】六年级|数学|培优A 体系(下)|第9讲抽象概括(二)课时1:分解质因数-答案·分解质因数应用探索1最小的小朋友7岁76练一练125·练习铺垫·末位连续0的个所报数为5、10、15、…、100这些5的倍数的战士可以吃到包子；所报数为25、50、75、100的战士可以吃到2个包子。
云南省文山壮族苗族自治州数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
云南省文山壮族苗族自治州数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）找规律，填一填．（1） 6________－________6＝9（2） 8________－________8＝63（3） 7________－________7＝272. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。
已知最上层有4根，最下层有20根。
（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分）四个同学参加网上棋类比赛，每两个人都要赛一场．规定如下：胜者得分，负者不得分，平局得分．比赛结果如下：两名同学并列第一名，两名同学并列第三名．已知比赛中有平局，那么第一名同学得多少分？4. （5分）买一双高级女皮鞋要214元5角6分钱，请问买一只要多少钱？5. （10分）四对夫妇坐在一起闲谈．四个女人中，吃了个梨，吃了个，吃了个，吃了个；四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是妻子的倍，丙吃的是妻子的倍，丁吃的是妻子的倍．四对夫妇共吃了个梨．问：丙的妻子是谁？6. （5分） 8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友的名字．开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字．7. （5分）四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分．比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？8. （10分）猴子每分钟能掰一个玉米，在果园里，一只猴子5分钟能掰几个玉米?9. （5分）传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二、三说假话；女人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话．有一天，一个人到说谎国去旅游，他在那里认识了一男一女．男人说：“昨天我说的是假话”，女人说：“昨天也是我说假话的日子”．这下，那个外来的游人可发愁了，到底今天星期几呢？请同学们根据他们说的话，判断一下今天是星期几呢？10. （2分） 9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。
高斯小学奥数六年级下册含答案第05讲_抽屉原理
第五讲 抽屉原理二本讲知识点汇总：一、 最不利原则：为了保证．．能完成一件事情，需要考虑在最倒霉（最不利）的情况下，如何能达到目标．二、 抽屉原理：形式1：把个苹果放到n 个抽屉中，一定有2个苹果放在一个抽屉里； 形式2：把个苹果放到n 个抽屉中，一定有个苹果放在一个抽屉里．例1． 中国奥运代表团的173名运动员到超市买饮料，已知超市有可乐、雪碧、芬达、橙汁、味全和矿泉水6种饮料，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？ 「分析」本题的“抽屉”是饮料的选法，“苹果”是173名运动员．练习1、中国奥运代表团的83名运动员到超市买饮料．超市有可乐、雪碧、芬达和橙汁，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？例2． 国庆嘉年华共有5项游艺活动，每个学生至多参加2项，至少参加1项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有4个人参加的活动完全相同？「分析」本题的“抽屉”是参加活动的方法．练习2、高思运动会共有4个项目，每个学生至多参加3项，至少参加1项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有5个人参加的活动完全相同？1m + 1m n ⨯+ 1n +例3．从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是50？「分析」思考一下：哪两个数的和是50？练习3、从1到35这35个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和为34？例4．从1到100这100个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和是7的倍数？如果要保证是6的倍数呢？「分析」两个数的和是7的倍数，这两个数除以7的余数要符合什么条件哪？练习4、从1至99这99个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是5的倍数，至少要取多少个？例5．至少取出多少个正整数，才能保证其中一定有两个整数的和或差是100的倍数？「分析」从余数角度思考一下：什么样的两个数的和或差是100？例6．在边长为2的正六边形中，放入50个点，任意三点不共线，请证明：一定能从中选出三个点，以它们为顶点的三角形面积不大于1．「分析」通过把正六边形均分，来构造“抽屉”．四大发明之印刷术印刷术是中国古代的四大发明之一，是中国古代汉族劳动人民经过长期实践和研究才发明的．活字印刷的方法是先制成单字的阳文反文字模，然后按照稿件把单字排列在字盘内涂墨印刷．自从汉朝发明纸以后，书写材料比起过去用的甲骨、简牍、金石和缣帛要轻便、经济多了，但是抄写书籍还是非常费工的，远远不能适应社会的需要．至迟到东汉末年的熹平年间（公元172~178年），出现了摹印和拓印石碑的方法．大约在公元600年前后的隋朝，人们从刻印章中得到启发，在人类历史上最早发明了雕版印刷术．雕版印刷是在一定厚度的平滑的木板上，粘贴上抄写工整的书稿，薄而近乎透明的稿纸正面和木板相贴，字就成了反体，笔划清晰可辨．雕刻工人用刻刀把版面没有字迹的部分削去，就成了字体凸出的阳文，和字体凹入的碑石阴文截然不同．印刷的时候，在凸起的字体上涂上墨汁，然后把纸覆在它的上面，轻轻拂拭纸背，字迹就留在纸上了．到了宋朝，雕版印刷事业发展到全盛时期．雕版印刷对文化的传播起了重大作用，但是也存在明显缺点：第一，刻版费时费工费料；第二，大批书版存放不便；第三，有错字不容易更正．北宋平民发明家毕昇总结了历代雕版印刷的丰富的实践经验，经过反复试验，在宋仁宗庆历年间（公元1041~1048）制成了胶泥活字，实行排版印刷，完成了印刷史上一项重大的革命．毕昇的方法是这样的：用胶泥做成一个个规格一致的毛坯，在一端刻上反体单字，字划突起的高度象铜钱边缘的厚度一样，用火烧硬，成为单个的胶泥活字．为了适应排版的需要，一般常用字都备有几个甚至几十个，以备同一版内重复的时候使用．遇到不常用的冷僻字，如果事前没有准备，可以随制随用．为便于拣字，把胶泥活字按韵分类放在木格子里，贴上纸条标明．排字的时候，用一块带框的铁板作底托，上面敷一层用松脂、蜡和纸灰混合制成的药剂，然后把需要的胶泥活字拣出来一个个排进框内．排满一框就成为一版，再用火烘烤，等药剂稍微熔化，用一块平板把字面压平，药剂冷却凝固后，就成为版型．印刷的时候，只要在版型上刷上墨，覆上纸，加一定的压力就行了．为了可以连续印刷，就用两块铁板，一版加刷，另一版排字，两版交替使用．印完以后，用火把药剂烤化，用手轻轻一抖，活字就可以从铁板上脱落下来，再按韵放回原来木格里，以备下次再用．毕昇还试验过木活字印刷，由于木料纹理疏密不匀，刻制困难，木活字沾水后变形，以及和药剂粘在一起不容易分开等原因，所以毕昇没有采用．毕昇的胶泥活字版印书方法，如果只印二三本，不算省事，如果印成百上千份，工作效率就极其可观了，不仅能够节约大量的人力物力，而且可以大大提高印刷的速度和质量，比雕版印刷要优越得多．现代的凸版铅印，虽然在设备和技术条件上是宋朝毕昇的活字印刷术所无法比拟的，但是基本原理和方法是完全相同的．活字印刷术的发明，为人类文化做出了重大贡献．这中间，中国的平民发明家毕昇的功绩是不可磨灭的．可是关于毕昇的生平事迹，我们却一无所知，幸亏毕昇创造活字印刷术的事迹，比较完整地记录在北宋著名科学家沈括的名著《梦溪笔谈》里．但是除开西夏文字的几本推测为活字印刷的佛经外，中原地区无发现活字印刷的中文印刷品！作业1. （1）一个班有37个人，那么至少有多少人是同一星座的？（2）一副扑克牌，共54张，那么至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同？2. 动物王国举行运动会，共有101位运动员，有短跑、跳高、跳远、10米跳台、3米跳板五个项目，每位运动员最多选三个项目，最少选一个项目．那么至少有多少位运动员所选的项目都相同？3. 1至70这70个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于6？4. 1至40这40个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不是4的倍数？5. 在半径为1的圆内，画13个点，其中任意3点不共线．请证明：一定存在3个点，以它们为顶点的三角形面积小于6．第五讲抽屉原理二例7．答案：12．解答：共有2615C=种不同的选择方式，而17315118÷=L，所以至少有12个人买的饮料完全相同．例8．答案：46．解答：共有215515C C+=种参加方法，所以至少153146⨯+=人．例9．答案：27．解答：可构造出26个组数：（1，49）、（2，48）、…、（24，26）、（25）、（50）．所以至少要取27个数才能保证取到一组和为50的数．例10．答案：46，37．解答：由题意可知，如果取出的数没有两个数的和是7的倍数，则：除以7余1的数与除以7余6的数不能共存，除以7余2的数与除以7余5的数不能共存，除以7余3的数与除以7余4的数不能共存．而除以7余0的数只能取1个，且1001472=⨯L，所以最不利的情况是取尽余1、余2、余3和一个余0的数，共45个数，所以至少选出46个数才可满足要求．同理至少选出37个数才能保证是6的倍数．（注意此时除以6余3和余0的数都只能选1个）例11．答案：52．解答：可构造出51个组数：（1，8）、（2，9）…（7，14）；（15，22）、（16，23）…（21，28）；……（85，92）、（86，93）…（91，98）；（99）、（100）．每组数中的两数的差为7．只取出每个数组中较小的数显然不能满足要求，所以至少要取出52个数，这时由抽屉原理知必定能取到某一个数组的两个数．例12．解答：先将正六边形分割成6个边长为2的正三角形，再将每个三角形等分成4个边长为1的正三角形，这样就把正六边形分割成24个边长为1的正三角形，则由抽屉原理知，必有3点在一个等边三角形中，以它们为顶点的三角形面积显然不大于1．（边长是1的等边三角形面积小于1）练习1、答案：14．简答：共有246C=种不同的选择方式，而836135=⨯+，所以至少有14个人买的饮料完全相同．练习2、答案：57．简答：共有32144414C C C++=种参加方法，所以至少144157⨯+=人．练习3、答案：20．简答：可构造出19个组数：（1，33）、（2，32）、…、（16，18）、（17）、（34）、（35）．所以至少要取20个数才能保证取到一组和为34的数．练习4、答案：42．简答：1~99这99个数中除以5余1的有20个，余2的有20个，余3的有20个，余4的有20个，余0的有19个，选出余1和余2的数，再选一个余0的数，再任选一个数一定符合题意，20201142+++=个．作业6. 答案：（1）4个；（2）23张．简答：（1）抽屉原理；（2）最不利原则．7. 答案：5位．简答：首先运动员的项目有12355525C C C ++=种可能，根据抽屉原理，至少有5位运动员的项目相同．8. 答案：36个．简答：每12个数中最多取出6个．9. 答案：12个．简答：将1~40按照除以4的余数分为四组：A 组：{1，5，…，37}；B 组：{2，6，…，38}；C 组：{3，7，…，39}；D 组：{4，8，…，40}．首先，B 、D 组最多取一个．取了A 组就不能取C 组． 所以最多能取12个．10. 证明：将半径为1的圆六等分，分为六个扇形，每个扇形的面积是6π．根据抽屉原理，至少有三个点在同一部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即6π．。
小学四年级奥数 第29讲：构造与论证之奇偶分析(二)
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【例5】 (★★★★) 如下图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在每 一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
【例6】 (★★★★) 在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操作”：每 次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到 黑板上剩下一个数为止。问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？
【例3】 (★★★★) 设标有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一 个开关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。小华从灯A 开始顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关。他一共拉 了999下开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？
【例4】 (★★★★★) 桌上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992其中的一枚。 能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一 面都朝上？
【例7】 (★★★★★) 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚。下面我们对 这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色 棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去。这样的操作，实际 上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子 是___颜色(填“黑”或者“白”)。
构造与论证之奇偶分析(二)
二、奇偶构造 【例1】 (★★★) 桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否 经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？
【例2】 (★★★) 桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问 能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？
苏教版六年级下册数学抽屉原理(课件)
6个抽屉，7个苹果，抽屉原理
至少有2个苹果要放进一个抽屉中，也就是说，至少 有两个人挑选的颜色完全一样。
【例6】木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7 个，若蒙眼去摸， （1）为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少 要取出多少个球？ （2）为保证取出的球中有三种颜色的球，则最少要取 出多少个球？
取出6×3=18（只），同一只手的
再取出不利的6只同一只手的，18+6=24只，有一双颜 色相同的手套了。 最后任意取一只，都能配成一双24+1=25（只）
答：至少要取25只才能达到要求。
【例5】芹芹、大齐和胡胡到费叔叔家玩。费叔叔拿出 许多巧克力来招待他们，他们一数共有19块巧克力， 如果把这些巧克力分给他们三人，试说明一定有人至 少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块。
分析：构造抽屉 19÷3=6（块）······1（块）
6+1=7（块）
所以一定有人拿到7块巧克力，不能保证一定有人 拿到8块。
【练习5】在一只口袋中有红色，黄色，蓝色球若干个， 小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口 袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选择，总有两个 小朋友取出的两个球的颜色完全一样，你能说明这是 为什么吗？ 分析：构造抽屉
（一）列举法：3只苹果放在2个抽屉里，共有4种 不同的放法，见下表：
（二）反证法：如果命题的结论不成立，这就是说，每 个抽屉里至多放1只苹果。于是，2个抽屉里至多共有2 只苹果。而已知有3只苹果放在2个抽屉里，这样与假设 相矛盾。所以，命题得到证明。
以上所证明的数学原理叫“鸽笼原理”，也叫 “抽屉原理”。 基本的抽屉原理认为： （1）如果把x+1个物体放到x个抽屉里，那么至少有一 个抽屉里有不止一个这种物体； （2）把 xm+1个物体放到m个抽屉里，那么肯定有一 个抽屉里至少有x+1个物体。通俗地，可以这样说：“东 西多，抽屉少，那么至少有两个东西放在同一个抽屉 里。”
【精品】北师大版小学六年级数学下册全册奥数知识点讲解试题附答案(全套共14套)
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第1课《列方程解应用题》试题附答案
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第2课《关于取整计算》试题附答案
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六年级奥数下册：第二讲关于取整计算习题解答
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小学六年级下册数学奥数知识点讲解第4课《奇妙的方格表》试题附答案
答案
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六年级奥数下册：第五讲巧求面积习题解答
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第6课《最大与最小问题》试题附答案
答案。
高斯小学奥数四年级下册含答案第16讲_奇偶性分析
⾼斯⼩学奥数四年级下册含答案第16讲_奇偶性分析第⼗六讲奇偶性分析⼀个整数要么是奇数，要么是偶数，⼆者必居其⼀，这个属性叫做这个数的奇偶性．利⽤奇数与偶数的分类及其特殊性质，可以“简捷”地求解⼀些与整数有关的问题，我们把这种通过分析整数的奇偶性来解决问题的⽅法称为“奇偶分析法”．在正式开始本讲的学习之前，我们⾸先需要较熟练的掌握以下结论，有助于我们更好的去思考问题：⼀、加减法性质+=奇奇偶，+=奇偶奇，+=偶偶偶-=奇奇偶，-=奇偶奇，-=偶奇奇，-=偶偶偶1、相邻2个⾃然数⼀定是⼀个是奇数、⼀个是偶数，其和⼀定是奇数．2、通过观察可以看出，⼀个数加偶数不会改变奇偶性，所以和的奇偶性是由奇数的个数决定的．奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数；任意个偶数的和是偶数．3、可看出两个数的和与差奇偶性相同．⼀些数相加减，最后的结果的奇偶性也是由奇数的个数决定的，即“奇数个奇数的和差是奇数，偶数个奇数的和差是偶数；任意个偶数的和差是偶数”．⼆、乘除法性质=奇奇奇，?=奇偶偶，?=偶偶偶当乘数都是奇数时，乘积是奇数（反过来，如果若⼲个整数的乘积是奇数，那么其中的每⼀个乘数都是奇数）；只要乘数⾥出现⾄少1个偶数，那么乘积就是偶数（反过来，如果若⼲个整数的乘积是偶数，那么其中⾄少有⼀个乘数是偶数．）——所以乘积的奇偶性是由是否存在偶数决定的．÷奇偶（除不尽），÷=奇奇奇（在能除尽时），÷=偶奇偶（在能除尽时），÷偶偶（结果不确定，可奇、可偶）（在能除尽时）在做除法时不⼀定能除尽，所以我们讨论的都是除尽的情况，主要注意“”的情况不确定，其余的在五年级学完分解质因数后同学们会有更深刻的理解．÷偶偶例题1（1）12342012+++++L 的和是奇数还是偶数？（2）在1、2、3、…、2013的每⼀个数前，添上加号或减号，请问：能否找到⼀种添法，使得算式结果为0？「分析」加减法结果的奇偶性取决于算式中奇数的个数，你能计算出算式中有多少个奇数吗？练习1123456789201120122013-++-++-+++-+L 的结果是奇数还是偶数？例题2（1）12233499100?+?+?++?L 的结果是奇数还是偶数？（2）133599101?+?++?L 的结果是奇数还是偶数？「分析」（1）中每个乘积是奇数还是偶数？（2）中乘积都是奇数，那么到底是多少个奇数相加呢？练习213355720112013?+?+?++?L 的结果是奇数还是偶数？构造论证是⼀类很有意思的问题，它或者要求你设计⼀种巧妙的处理问题的⽅案，或者希望你帮忙说明⼀些事情的道理．事实上，设计⽅案就是构造．在所有的问题中，如果能够构造出⼀种合适的⽅案，那问题就解决了，但如果不能构造出，那就需要说明为什么不能构造，⽽这个叙述的过程就叫做论证．论证的⽅法有很多，今天主要是利⽤奇偶性分析来说明问题．例题3⼀次宴会上，客⼈们相互握⼿，每两⼈之间都握⼀次⼿，请问：所有⼈握⼿次数之和是奇数还是偶数？握过奇数次⼿的⼈数是奇数还是偶数？「分析」⼤家好好思考⼀下：所有⼈握⼿次数之和是否等于总的握⼿次数呢？⾼思杯⾜球赛施⾏单循环赛，赛制规定：每场⽐赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．⽐赛结束后，所有队的得分总和是奇数还是偶数？接下来我们看构造论证模块中⼀类⾮常经典的翻硬币问题．例题4桌上放有5枚硬币，第⼀次翻动1枚，第⼆次翻动2枚，第三次翻动3枚，第四次翻动4枚，第五次翻动5枚．能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币都翻过来？如果桌上有6枚硬币，按类似的⽅法翻动6次，能否使得所有的硬币都翻过来？「分析」要想让⼀枚硬币翻过来，我们需要翻动⼏次？要想让5枚硬币都翻过来，那么我们要翻动的总次数应该是什么样的？练习4桌上放有6枚正⾯朝下的硬币，第⼀次翻动其中的5枚，第⼆次翻动其中的4枚，第三次翻动其中的3枚，第四次翻动2枚，第五次翻动1枚．请问：能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币正⾯都朝上？在构造论证中的“证明不可能”即“论证”环节，往往会⽤到“反证法”，即先假设“可以”，再进过推理得出⽭盾，说明“假设不成⽴”．例题5（1）有2013个⾃然数的和是偶数，那么它们的乘积是奇数还是偶数？（2）有2012个⾃然数的和是奇数，那么它们的乘积是奇数还是偶数？「分析」（1）2013个数的和是偶数，那么关于这些加数，你能得出什么结论呢？（2）2012个什么样的⾃然数的和会是奇数呢？在1~15中选出10个数填⼊右下图的圆圈中，每两个有线相连的圆圈中的数相加，请问：这14个和能否恰好是5~18？「分析」数阵图中我们学习过了重数分析法，即把所有的和加起来，看每个数加了⼏次，然后再列算式进⾏分析．对本题我们不妨也试着⽤类似的⽅法试⼀下吧！课堂内外数论急先锋——神秘的奇偶数奇偶数有很多特别的性质，让我们来总结⼀下吧：（1）运算性质：在加减法运算中，出现偶数不改变奇偶，⽽每出现⼀个奇数就改变⼀次奇偶；乘法运算中，乘数中⼀旦出现偶数，结果就是偶数，否则结果就是奇数．（2）两个⾃然数的和与差同奇偶．（3）任意相邻的两个⾃然数必是⼀奇⼀偶，并且这两个数互质．（4）差为2n的两个奇数互质．（5）从1开始，前n个奇数的和等于n2．（6）任意两个奇数的平⽅差是8的倍数．（7）偶数的平⽅⼀定是4的倍数，奇数的平⽅除以4和8都余1．（8）相邻两个偶数的最⼤公约数是2，相邻两个奇数的最⼤公约数是1．（9）相邻两个偶数的最⼩公倍数是两数乘积的⼀半，相邻两个奇数的最⼩公倍数是两数之积．（10）完全平⽅数有奇数个不同的约数，⾮完全平⽅数有偶数个不同的约数．哥德巴赫猜想：任意⼀个不⼩于4的偶数都可以拆成两个质数的和．例如：422=+，633=+，=+，14311=+，835=+，1257=+，1037=+，……16313=+，18513作业1. 算式7563454343388-+的结果是奇数还是偶数？2. 算式1234192021L的结果是奇数还是偶数？-+-++-+3. （1）能否在1、2、3、…、9、10的相邻两个数之间填⼊加号或减号（不能改变数的顺序），使得结果是25？（2）能否在1、2、3、…、9、10的相邻两个数之间填⼊加号或减号（不能改变数的顺序），使得结果是36？4. 请问是否存在两个⾃然数，它们的和⽐它们的差多5？若存在，请写出⼀组这样的数；若不存在，请说明理由．5．桌上放着七只杯⼦，有三只杯⼝朝上，四只杯⼝朝下，每个⼈任意将杯⼦翻动四次．请问：若⼲⼈翻动后，能否将七只杯⼦全变成杯⼝朝下？第⼗六讲奇偶性分析1. 例题1答案：（1）偶数；（2）不能详解：（1）和的奇偶性只取决于加数中奇数的个数．1~2012中共有1006个奇数，所以和是偶数．（2）不可能．1232013++++L ，1~2013中共有1007个奇数，所以和为奇数；根据“和差奇偶性相同”可得，1232013++++L 任意把⼀些加号变为减号，结果也⼀定是⼀个奇数，不可能是0．2. 例题2答案：（1）偶数；（2）偶数详解：（1）每个乘积都是偶数，所以和是偶数．（2）每个乘积都是奇数，和的奇偶性取决于加数中奇数的个数．1、3、5、…、99共有50个奇数，所以结果是偶数．3. 例题3答案：（1）偶数；（2）偶数详解：（1）每⼀次握⼿都是涉及两个⼈的，所以把所有⼈的握⼿次数相加时，每⼀次握⼿都是被计算了两次的，所以总和⼀定是偶数．（2）握⼿次数总和是偶数，所以加数中奇数的个数⼀定是偶数，即握过奇数次⼿的⼈数是偶数．4. 例题4答案：（1）可以；（2）不能详解：把硬币编号①②③④……（1）可以：第⼀次①、第⼆次②③、第三次①④⑤、第四次②③④⑤、第五次①②③④⑤．（2）不能：每⼀枚硬币要反过来，需要翻动奇数次，⼀共6枚，共需翻动6个奇数次，则翻动总次数是偶数；⽽12345621++++++=和为奇数，所以不能．5. 例题5答案：（1）偶数；（2）偶数详解：乘积的奇偶性取决于乘数中是否有偶数．（1）2013个数的和是偶数，那么这2013个数中⼀定有偶数（如果全是奇数，那么2013个奇数的和就⼀定是奇数了），所以它们的乘积⼀定是偶数．（2）2012个数的和是奇数，那么这2012个数中⼀定有偶数（如果全是奇数，那么2012个奇数的和就⼀定是偶数了），所以它们的乘积⼀定是偶数．6. 例题6答案：不能详解：反证法：假设恰好是5~18，则：把14个和相加，那么每⼀个圆圈中的数⼀定会出现偶数次（要么加了2次、要么加了4次），所以最后的结果应该是⼀个偶数．但是，5~18的和是奇数，所以⽭盾，不可能．7. 练习1答案：奇数简答：同例1（2）分析，1232013++++L 和为奇数，把其中任意加号变为减号，结果也⼀定是奇数．8. 练习2答案：偶数简答：每个乘积都是奇数，和的奇偶性取决于加数中奇数的个数．1、3、5、…、2011共有1006个奇数，所以结果是偶数．9. 练习3答案：偶数简答：每⼀场⽐赛，⽆论是分胜负还是平局，两个队的得分之和都是2分．⽽所有队的得分总和即为所有场⽐赛的得分和之总和，即使若⼲个2相加，总和是偶数．10. 练习4答案：不能简答：⼀共翻动了5432115++++=次，奇数次；⽽要使得⼀枚硬币翻过来，需要翻动奇数次，所以⼀共要翻动6个奇数次，总次数应该是偶数，与15⽭盾．11. 作业1答案：奇数简答：756345?乘积是偶数，4343是奇数，388是偶数，只有1个奇数，所以结果是奇数．12. 作业2答案：奇数简答：1~21中，奇数⼀共有11个，所以结果是奇数．13. 作业3答案：（1）可以，答案不唯⼀；（2）不能简答：1~10的和为55，和为奇数．根据“和、差奇偶性相同”，那么如果把⼀部分加号改为减号，那么结果应该仍是奇数，所以：（1）结果为25是可能的，可以是12345678910+++-++++-；（2）结果为36是不可能的．14.作业4答案：不存在简答：两个数的和与差奇偶性相同，所以两个⾃然数的“和-差”结果⼀定是偶数，不可能是5．15.作业5答案：不能简答：七只杯⼦，有三只⼝朝上、四只⼝朝下，⼝朝上的杯⼦要变成⼝朝下，需要翻动奇数次，⽽⼝朝上的杯⼦有奇数只，所以最后要将七只杯⼦全变成⼝朝下，那么⼀共需要翻动奇数次．但是每个⼈任意翻动四次，那么若⼲⼈翻动的总次数⼀定是偶数次，所以不可能．。
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在现实生活中，我们经常需要自己设计一些方案来解决问题，设计方案的过程就是构造．但仅仅构造出一种方案是不行的，我们还要对方案的可行性进行分析，严格的讨论方案的正确与否，有的时候还需考虑方案是否最优，这个过程就是论证．构造与论证经常是合在一起的，没有构造出方案，也就无从论证，但仅仅构造出方案也是不行的，我们还需要证明方案是正确的．
很多时候，构造论证问题都和最值问题结合在一起，这时我们就需要找到最优解．
分析 要破坏一个三角形，只需去掉三角形的一条边就可以了，但要求我们去掉的线段最少，那么我们就应该更多地去掉多个三角形的公共边，那么去掉多少个边才行呢？
练习
1. 如图33×的表格中，最少去掉多少条线段，才能使图中没有正方形？
很多问题中，不仅需要构造出方案，还需要讨论方案是否正确，有的时候还需要论证方案是否存在．下面我们来看这样的一道问题．
分析 （1）对于1~15的数来说，能凑成平方数的情况并不多．我们可以从这里入手分析．同学们尝试一下看能不能得到一种合适的方案．
线段．请问：这5
（2）注意到除了2以外，质数只能是奇数，那我们是不是能从奇偶性的分析入手呢？
练习
2.能否将1至12重新排列，使得任意相邻两数的和都是质数？如果能请写出一组，如果不能请说明理由．
构造论证的问题中，经常会用到很多其他的知识，例如数论的分析、抽屉原理、奇偶性分析等．
分析 我们从第一页开始考虑．如果第二篇故事是奇数页开头的，那么第一篇故事一定是偶数页的，如果第三篇故事是奇数页开头的，那么前两篇的和一定是偶数页的，而故事最多有几篇是奇数页开头的，就需要考虑前面几篇的和，最多有多少个是偶数．
练习
3. 一个数列有7项，
每相邻两项作差，发现所得的6个差里面有3个是1，3个是2．问：这个数列中最多有几个奇数，最少有几个奇数？
构造与论证中有一类操作问题，需要我们对已有的对象进行操作和变化，以期得到需要的结果，在解决这类问题的时候，一定要考虑问题是否可行，不要上来就开始操作．而在分析问题的可行性时，不变量经常是解决问题的关键．
页各不相同．如果从书的第一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？
分析 首先，同学们可以尝试着变化一下，看看能不能得到想要的结果，但在变化的过程中，能发现三个数有什么是没有变化的吗？怎么能说明是否能得到8、8、8呢？
练习
4. 黑板上写着9、18、27这三个数，老师现在请一些同学上黑板对这两个数进行操作，进行一次操作是指把两个数都进行如下变化：或者减2，或者加1．请问：能否经过若干次操作后得到11、12、13？能否经过若干次操作后得到8、8、8？
下面我们来看一下构造与论证中常用的方法——染色法．我们举个例子来说明：在一个55×的方格表（图1）中放入25枚棋子，每格1枚；接着将所有棋子都移动到相邻方格中，且仍然每格1枚，能否办到？答案是不能．如果用一般的方法来说明将会变得非常复杂，但如果我们将方格阵按照如图2的方式染色，那么将所有棋子都放入到相邻的位置中，一定是黑格的棋子进白格，白格的棋子进黑格，但是共有13个黑格，只有12个白格，黑格的棋子不可能全部转移，所以我们的要求是达不到的．
通过例子，同学们对于染色法有了初步的了解．但在实际的问题中，我们要根据题目的要求采用不同的染色方式，同学们一定要在做题的过程中积累不同的染色方法，这样才能做到有备无患．
黑板对这三个数进行操作，进行一次操作是指把三个数都进行如下变化：者减若干次操作后得到 2
1
分析 碰到这样的问题，我们首先要考虑的是能不能填出，而不是一上来就去试，这时就需要我们进行染色分析了．同学们可以先尝试一下黑白相间染色，论述一下是否成立？如果成立，那就需要找到一种合适的拼法．
练习
5. （1）
能否用12个如图1所示的“T 型”拼成一个68×的长方形？（2）能否用12个如图2所示的“L 型”拼成一个68×的长方形？（3）能否用8个如图1所示的“T 型”和4个如图2所示的“L 型”拼成一个68×的长方形？
棋盘？拼成一个图2
1
2
本讲知识点汇总
一、构造合理的方案．
二、
奇偶性的分析方法．
三、操作中的不变性．
四、
经典的染色问题．
作业
1.如图，平面上有9个点，他们之间连着16条线段，从而围出了
8个三角形．请问：至少要去掉多少条线段，才能使得其中没有以这9个
点为顶点的三角形？
2.能否将1~15排成一行，使得任意相邻两数之差都为质数？
3.（1）能否将1 ~ 7这7个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不大于12？（2）能否将1 ~ 7这7个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不大于12？
4.黑板上写着两个数9、99，现在老师请一些同学上黑板对这两个数进行操作是指把两个数都进行如下变化：或者减1，或者加3．请问：能否经过若干次操作后得到11、22？能否经过若干次操作后得到1、11？能否经过若干次操作后得到2、22？
5.（1）能否用若干个图2的“L型”
不重叠地拼出图1？（
2）能否用若干个图
3的“L型”不重叠地拼出图1？
第1题
1 2 3
第5题。