推荐-江苏省西亭高级中学高三数学综合测试卷(3) 精品
江苏省西亭高级中学高三数学专项训练44
专项训练44一、填空题：1.复数512i+的共轭复数为_______________ . 2.不等式(12)0x x ->的解集是_____________ .3.已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为_________ . 4.已知正六边形123456PP P P P P ，若12PP a =，16PP b =，则56P P =________(用,a b 表示). 5.已知2lg(2)y x x a =+-的定义域为R ，那么a 的取值范围是___________ .6.若235x y z==，且,,x y z 都是正数，则2,3,5x y z 从小到大依次排列为___________ .7.在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则a b c ++的值为___________ . 8.在空间，关于角和距离，有下列命题： （1）平面的斜线与平面所成的角，是斜线与平面内所有直线所成角的最小角；（2）二面角的平面角是过棱上任意一点在两个面内分别引射线所成的角；（3）两条异面直线间的距离是指分别位于这两条直线上的两点间距离的最小值；（4）分别位于两个平行平面内的两条直线间的距离等于这两个平面间的距离. 其中正确命题的序号为__________ . 9.已知关于x 的方程2(1lg )10x x a m a +++=（0,1a a >≠）有解，则m 的取值范围是_ _ .10.已知非负实数,x y 满足24030x y x y +-≤⎧⎨+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为________ . 11.规定一种运算：,,a a b a b b a b≤⎧⊗=⎨>⎩，例如：1⊗2＝1，3⊗2＝2，则函数()s i n c o s f x x x =⊗的值域为_____________ . 12.曲线1y x=和2y x =，在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是_____ .13.在棱长为2的正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是''A B 和AB 的中点，则异面直线'A F 与CE 所成角的正切值为_________ .14.在圆225x y x +=内，过点53(,)22有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为n a ，若公差11,63d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么n 的取值集合为______________ . 二、解答题：15．如图，等腰梯形ABCD 的三边,,AB BC CD 分别与函数2122y x =-+，[]2,2x ∈-的图象切于点,,P Q R .求梯形ABCD 面积的最小值。
江苏省西亭高级中学高三数学专项训练18-20
专题训练18一、填空题（本大题共14分，每小题5分，共70分）1.已知集合{}21log ,1,(),12x A y y x x B y y x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂等于_________ 2.若三条直线2380,10,0x y x y x ky ++=--=+=相交于一点，则k 的值为_________ 3.盒子中有5个小球，其中3个红球，2个白球，从盒子中任意取出两个球，则一个是白球、另一个是红球的概率为_________ 4.在等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若816100,392S S ==，则24S =___________5.若函数sin 2cos 2y a x x =-的图像关于直线78x π=对称，那么a 的值是______________6.从盛满20升纯酒精的容器中倒出1升，然后用水填满，再倒1升混合溶液，有用水填满，这样继续进行，如果倒第k 次(1)k ≥时共倒出纯酒精x 升，倒第k +1次时倒出纯酒精()f x ，则函数()f x 表达式是________________________7.设曲线32y x x =-上在横坐标为－１的点处的切线为l ,，则点(3,2)到l 的距离是__________ 8.已知(2,1),(3,2)P Q -和直线l ：20ax y ++=，若线段PQ 与直线l 恒相交，则实数a 的取值范围是_____________9.若直线1:210l x my ++=与直线2:31l y x =-平行，则m =______ 10.若1,01a b ><<，且log (21)1b x a->，则实数x 的范围是_________11.已知正数x ,y 满足x +2y =1,则12x y+的最小值为____________ 12.已知函数212log (35)y x ax =-+在[)1,-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围为_________13.对于非零实数a ,b ，以下四个命题都成立：22221(1)0;(2)()2;(3),;(4,.a a b a ab b aa b a b a ab a b +≠+=++==±==若则）若则 那么，对于非零复数a ,b ，仍然成立的命题的所有序号是__________14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=><的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是___________ 二、解答题：15.已知几何体的三视图（单位：cm ）．（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；（Ⅲ）设异面直线1AQ 、PD 所成角为θ，求c o s θ．16. 有一种商品，A 、B 两地均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时，单位距离的运费A 地是B 地的3倍.已知A 、B 两地的距离是10km ，顾客购买这种商品选择A 地或B 地的标准是：包括运费在内的总费用比较便宜.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.俯视图正视图侧视图1A 1A 1B 11D 1D专题训练19一、填空题（本大题共14分，每小题5分，共70分）1.已知i 为虚数单位，则2212211i i i i +-⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭_______________2.若α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=_____________ 3.1a >，函数()log a f x x =在区间[a ,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a =________ 4.曲线3()2f x x x =-在点0P 处的切线平行于直线y ＝x －１,则点0P 的坐标为________ 5.sin 50°(1°)=____________6.下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm ）， 它的体积为__________3cm 7.在ΔABC 中，若sincos22C A C+=,则ΔABC 的形状是_______ 8.在数列{}n a 中，13a =，且21n n a a +=（n 为正整数），则数列{}n a 的通项公式n a =_______9.已知函数分别由下表给出，则((1))f g 的值为_______;满足(())(())f g x g f x >的x 的值是________10.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体情况如下表，为了检验主修统计专业是否与性别有关，根据表中的数据，得到2250(1320107) 4.8423272030χ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为23.841χ≥，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性为____________11.阅读下边的程序框，在如下图的程序图中，输出结果是____ 12.如图，已知命题：“若矩形ABCD 的对角线BD 与边AB 和BC 所成角分别为,αβ，则22coscos 1αβ+=”，若把它推广到长方体1111ABCD A BC D -俯视图侧视图中，试写出相应命题的形式13.设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点。
江苏省南通市通州区西亭高级中学2020届高三下学期考前热身最后一练数学试题(wd无答案)
江苏省南通市通州区西亭高级中学2020届高三下学期考前热身最后一练数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合，则=____.(★★) 2. 已知复数（为虚数单位）的实部为零，则复数的模为____.(★) 3. 已知一组数据的平均数为5，则该组数据的标准差是____.(★) 4. 在今年的“抗疫”战斗中，某医疗组现有3名医生和2名护士，需派遣其中两名医护人员去执行任务，则“至少有一名医生”的概率为____.(★★★) 5. 某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图.执行此程序框图，输出 a的值为 ____ .(★★★) 6. 在一次大学校园双选招聘会上，某公司计划招收名女生，名男生，若满足约束条件，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为____.(★★) 7. 已知函数的图象关于点对称，则当的绝对值取最小时，的值为____.(★★★) 8. 如图，三棱锥中，点分别为棱的中点，如果三棱锥的体积为8，则几何体的体积为____.(★★★) 9. 已知定义在实数集上的函数，则不等式的解集是____（结果用区间表示）.(★★) 10. 已知等差数列中，，则____.(★★★) 11. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，当取得最小值时，双曲线的离心率为____.(★★★) 12. 在平面直角坐标系中，动圆截轴所得的弦长恒为．若过原点作圆的一条切线，切点为，则点到直线距离的最大值为____．(★★★★) 13. 已知函数，（ e＝2.71828…是自然对数的底数），若存在，使得成立，则实数的取值范围是____. (★★★) 14. 已知锐角三角形 ABC中， BC=3，于 H，若，则的取值范围是____.二、解答题(★★★) 15. 如图，在直四棱柱中，四边形为矩形，是的中点，是上以点，且满足.（1）求证：；（2）求证：平面.(★★★) 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积 S.(★★★) 17. 如图是一块空地 OABC，其中 AB， BC， OC是直线段，曲线段 OA是抛物线的一部分，且点 O是该抛物线的顶点， OC所在的直线是该抛物线的对称轴.经测量： O， A， B三点在一条直线上， OC＝4，，，（单位：百米）.开发商计划利用这块空地建造一个矩形游泳池，矩形顶点都在空地的边界上，其中点 D， E在直线段 OC 上，设 GD＝ x（百米），矩形草坪的面积为 f( x)（百米）2.（1）求 f( x)的解析式；（2）当 x为多少时，矩形草坪 DEFG的面积最大？(★★★★) 18. 已知点是椭圆的左焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆 E上.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，设椭圆的左顶点为 A，记直线 PA， QA的斜率分别为.①求的值；②过 P作垂直于 PA的直线 l交 x轴于点 M.则 A， P， M， Q四点是否共圆？若共圆，求出该圆的方程；若不共圆，请说明理由.(★★★★) 19. 已知正项数列的前 n项和是，满足（为常数）（1）记，证明：数列是等差数列；（2）若，成等比数列，①求数列的通项公式；②设，其中，且对任意的正整数 k，仍在数列中，求 q的所有值.(★★★★) 20. 已知函数，，其中 e＝2.71828…是自然对数的底数.（1）当时，①若曲线在处的切线恰好是直线，求 c的值；②若，方程有正实数根，求 c的取值范围.（2）当时，不等式对于任意恒成立，当 c取得最大值时，求实数 a的最小值.(★★) 21. 已知矩阵，若点经过变换后得到点，求矩阵的特征值.(★★★) 22. 已知直线 l的参数方程为（ t为参数），点 P（1，3）在直线 l上.（1）求 m的值；（2）以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C：与直线 l交于点 A， B，求线段 AB的长.(★★★) 23. 已知不等式的解集为.（1）求，的值；（2）若，，，求的最小值.(★★★) 24. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形为正方形，，，.（1）求异面直线 BC， DF所成角的大小；（2）求二面角的余弦值.(★★★★) 25. 当时，集合 A＝{1，2，3，…， n}，取集合 A中 m个不同元素的排列分别表示为 M 1， M 2， M 3，…， M A(－1， M A(，其中 A( n)表示取集合 A中 m个不同元素的排列的个数.设 p i为排列 M i中的最大元素， q i为排列 M i中的最小元素，1≤ i≤ A( n)，记 P＝ p 1＋ p 2＋…＋ p A(－1＋ p A(， Q＝ q 1＋ q 2＋…＋ q A(－1＋ q A(（1）当 m=2， n＝3时，分别求 A(3)， P， Q；（2）对任意的，求 P与 Q的等式关系.。
江苏省西亭高级中学高三数学专项训练13-17
专题训练13 导数及其应用一、填空题1、已知函数12)(2-=x x f 图像上一点)1,1(及邻近点（1＋△x ，1＋△y ），则=∆∆x y。
2、一木块沿一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 的函数关系为281t s =，则t =2时，此木块在水平方向的瞬时速度为. 3、下列命题中，正确的是（1）若0)(0='x f ，则)(0x f 为函数)(x f 的极值；（2）若)(0x f 为函数)(x f 的极值点，则)(0x f '必存在，且0)(0='x f ；（3）若0x 在附近的左侧0)(0>'x f ，右侧0)(0<'x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值； （4）若函数)(x f 有极大值)(1x f 和极小值)(2x f ，则)()(21x f x f >。
4、函数x x x y cos sin -=的导数为。
5、曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是。
6、若2>a ，则方程013123=+-ax x 在区间)2,0(上恰好有个根。
7、函数)0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是。
8、设函数)0)(3sin()(πϕϕ<<+=x x f ，如果)()(x f x f '+为偶函数，则ϕ=。
9、曲线ax ax x y C 22:23+-=上任一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么实数a 的取值X 围是.10、设nn n n x a x a x a x a a x f +++++=--112210)( ，则=')0(f .11、设向量)1,(),,1(x b x a ==，b a ,夹角的余弦值为)(x f ，则)(x f 的单调递增区间是. 12、曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是. 13、若函数14)(2+=x xx f 在区间)1,(+m m 上是单调递增函数，则实数m 的取值X 围为. 14、设R y x ∈,，满足3,2≤≤y x ，且3=+y x ，则334y x z +=的最大值是.二、解答题15、已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值X 围。
江苏省南通市西亭高级中学2020届高三数学下学期学情调研试题含解析
江苏省南通市西亭高级中学2020届高三数学下学期学情调研试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{2,5},{3,5}A B ==，则A B =____________.【答案】{}2,3,5 【解析】 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】由集合的并集，知A B ={}2,3,5.故答案为：{}2,3,5【点睛】本题考查集合的并集运算，属于容易题.2.若复数122,2z i z a i =+=-（i 为虚数单位），且12z z 为实数，则实数a =______________.【答案】4 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则，求出12z z ，由虚部为零，即可求解. 【详解】1212,22,(42)2z i i z a i z a a z =+=-=++-,12z z 为实数，4a =.故答案为:4.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的分类，属于基础题. 3.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ．【答案】9 【解析】:试题分析：由题意可得，a 是在不断变大的，b 是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出a="9;" 考点：算法的流程图的计算4.若曲线(1)xy ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________.【答案】2- 【解析】 【分析】求出y '，并由0|1x y ='=-，建立a 的方程，即可求解. 【详解】,((1)1)xxy y ax e ax a e '=+=++，011,2x y a a ='=+=-∴=-.故答案为:-2.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.5.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________. 【答案】14【解析】 【分析】采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为14. 故答案为：14【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 6.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+≤<关于直线6x π=-对称，则()0f =______．【答案】12【解析】 【分析】根据对称轴方程,2x k k Z ππ=+∈，得到ϕ的表示，根据条件中的ϕ的范围结合k 的取值即可求出ϕ的值，最后可计算()0f 的值. 【详解】因为正弦函数的对称轴为,2x k k Z ππ=+∈，所以2,62k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭， 所以5,6k k Z πϕπ=+∈，又因为[)0,ϕπ∈，所以56πϕ=，此时0k =， 所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()510sin 62f π==. 故答案为12. 【点睛】已知正弦（或余弦）型函数的对称轴，求解函数中参数的方法：（1）根据对称轴方程，再利用给定的参数范围去求解参数值；（2）根据对称轴对应的是函数的最值，并利用参数范围求解参数值.7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264,,S S S 成等差数列，则246a a a +的值为__________． 【答案】2. 【解析】分析：利用264,,S S S 成等差数列求出1q =-，由()222144462112a q a a q a a q q+++===可得结果.详解：设{}n a 的首项1a ，公比为q ，1q =时，264,,S S S 成等差数列，不合题意； 1q ≠时，264,,S S S 成等差数列，()()()6241112111111a q a q a q qq q---∴=+---，解得1q =-，()222144462112a q a a q a a q q+++∴===，故答案为2. 点睛：本题主要考查等比数列的基本性质、等比数列的求和公式，意在考查函数与方程思想、计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.8.已知△ABC 的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC 最大内角的余弦值等于________． 【答案】1124- 【解析】 【分析】不妨设ABC ∆的三边a ，b ，c 上对应的高的长度分别为2，3，4，由三角形的面积公式可得234a b c ==，设234a b c x ===，可得2x a =，3x b =，4xc =，可得A 为三角形的最大角，由余弦定理即可计算得解．【详解】解：由题意，不妨设ABC ∆的三边a ，b ，c 上对应的高的长度分别为2，3，4， 由三角形的面积公式可得：111234222a b c ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，解得：234a b c ==，设234a b c x ===， 则2x a =，3x b =，4xc =，可得a 为三角形最大边，A 为三角形的最大角， 由余弦定理可得：222222()()()11342cos 224234x x xb c a A x x bc +-+-===-⨯⨯．故答案为：1124-． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 【答案】3:2 【解析】试题分析：设球的直径为2R ，则2212:(222):43:2.S S R R R R πππ=+⋅=考点：球的表面积10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆222:O x y b +=,若C 上存在点P ,使得过点P引圆O 的两条切线,切点分别为,A B ,满足60APB ∠=︒,则椭圆C 的离心率的取值范围是 .【答案】[2【解析】【详解】试题分析：连接OP ，30OPB ∴∠=，OB b = ， 2OP b ∴= ，2b a ∴≤，22244a c a ∴-≤，e ∴≥． 考点：求椭圆离心率范围点评：求离心率问题关键是找到关于,,a b c 的齐次方程或不等式．11.在斜三角形ABC 中，6AC AB =，D 是BC 中点，E 在边AB 上，2AE BE =，AD 与CE 交与点O .若AB AC AO EC λ⋅=⋅，则λ=_____. 【答案】152【解析】 【分析】作出图形，利用AB 、AC 表示向量AO 、EC ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得实数λ的值.【详解】如下图所示，过点D 作//DF CE 交AB 于点F ，则点F 为BE 的中点，2AE BE =，F 为BE 的中点，所以24AE BE EF ==，45AE AF ∴=， //CE DF ，45AO AE AD AF ∴==，()()44125525AO AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+， 23EC AC AE AC AB =-=-，所以，()()()2221232325315AO EC AB AC AC AB AC AB AB AC ⋅=+⋅-=-+⋅222223215315AB AB AB AC AB AC ⎛⎫=⨯-+⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 由215AB AC AO EC AB AC λλ⋅=⋅=⋅，解得152λ=. 故答案为：152. 【点睛】本题考查利用平面数量积求参数值，考查平面向量数量积运算律的应用，属于中等题.12.已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为______. 【答案】19【解析】 【分析】将不等式两边同乘以31a b+，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】∵0a >，0b >，且31126a b a b++≤+∴()23131126a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()31361863631126312156b a b a a b a b a a b b ab a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()313131126156276a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当6a b=时取等号. 令()310t t a b+=>，原不等式转化为2276t t +≤，解得9t ≥. ∴1113139ab a b t a b ==≤++故答案为：19.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 13.设函数()()21f x x a x a x x a =---++（0a <）．若存在[]011x ∈-，，使0()0f x ≤， 则a 的取值范围是____．【答案】[2]- 【解析】【分析】存在[]01,1x ∈-, 使()00f x ≤，等价于()[]min 0,1,1f x x ≤∈-，化简()f x 的解析式，判断()f x 的单调性，讨论()f x 的单调区间与区间[]1,1-的关系，求出()f x 在[]1,1-上的最小值，令最小值小于或等于零解出a 即可. 【详解】存在[]01,1x ∈-, 使()00f x ≤，()[]min 0,1,1f x x ∴≤∈-，当x a ≤时,()()()2221221f x x a a x x a ax a a =--+++=-++,()f x ∴在(],a -∞上单调递减；当0a x <<时,()()2222212221f x x a x a x ax a a =-+++=--++，()f x ∴在,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当0x ≥时，()()22221221f x x a x a ax a a =-+++=-+++，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，(1) 若12a≤-，即2a ≤-时，()f x 在[]1,1-上单调递增, ()()2min 1430f x f a a ∴=-=++≤,解得31,32a a -≤≤-∴-≤≤-；(2)若102a -<<，即20a -<<时，()f x 在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()2min 21022a af x f a ⎛⎫∴==++≤ ⎪⎝⎭，解得2222a a -≤≤-<≤-+，综上，a 的取值范围是3,2⎡--+⎣，故答案为3,2⎡--⎣.【点睛】本题主要考查不等式有解问题以及利用导数研究函数的单调性、求函数最值，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为()a f x ≤有解（max ()a f x ≤即可）或转化为()a f x ≥有解（min ()a f x ≥即可）.14.已知圆22 : 4O x y +=，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，()2,2A ，若2240AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为___________. 【答案】22 【解析】 【分析】取PQ 的中点为M ，由2240AP AQ +=可得2216AM OM -=，可得M 在20x y ++=上，当OM 最小时，弦PQ 的长才最大. 【详解】设M为PQ 的中点，()22222(2)AP AQ AM PQ +=+，即222222AP AQ AM MQ +=+，即()2224022AM OQ OM=+-，22204AMOM =+-，2216AM OM -=.设(),M x y ，则()2222(2)(2)16x y x y-+--+=，得20x y ++=.所以min 22OM ==，max 22PQ =.故答案为：22【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，DE ⊥PA .（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE .【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解. 【解析】 【分析】（1）设PD 的中点为H ，连接,AH HF ,利用三角形中位线定理、矩形的性质、平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）利用相似三角形的判定定理和性质定理，结合线面垂直的判定定理和性质、面面垂直的判定定理进行证明即可.【详解】（1）设PD 的中点为H ，连接,AH HF ,因为F 是PC 的中点，所以有1//,2HF DC HF DC =,又因为四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形, E 是AB 的中点,所以有 1//,2AE DC AE DC =，因此有//,HF AE HF AE =,所以四边形AEFH 是平行四边形，因此有//EF AH ,AH ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ； （2）在矩形ABCD 中，设,AC DE 交于点M ，因为E 是AB 的中点,所以22AE =， 因为22AE DA AD CD ==，所以Rt DAE ∆∽Rt ADC ∆，因此ADE ACD ∠=∠，而 90ADE CDE ︒∠+∠=，所以90ACD CDE AC DE ︒∠+∠=⇒⊥，而DE ⊥PA ， ,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC ，而DE ⊂平面PDE ，因此平面PAC ⊥平面PDE .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了平行四边形的判定和性质，考查了矩形的性质，考查了相似三角形的判定和性质，考查了推理论证能力.16.已知函数2()132sin ()4f x x x π=+--，（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间．（2）若方程()0f x m -=在区间[,]4ππ上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）T π=；7[,]()1212k k k Z ππππ++∈. （2）(2,1]-. 【解析】分析：（1）首先利用余弦倍角公式对2sin ()4x π-进行降次升角，之后借助于诱导公式以及辅助角公式，将函数解析式化简为()2sin(2)3f x x π=+，借助于正弦曲线的性质，利用整体角思维求得结果；（2）研究函数在给定区间上的性质，求得对应的结果. 详解：（1）()213cos22sin 4f x x x π⎛⎫=+--⎪⎝⎭3cos2cos 23cos2sin22x x x x π⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴22T ππ== 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ∴()f x 的单调递减区间为：()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）即()y f x =在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象与直线y m =有两个不同的交点．由（1）知：()f x 在7,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调减，在7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调增， ∴()min 7212f x f π⎛⎫==-⎪⎝⎭，14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3f π= ∴当21m -<≤时，()y f x =在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象与直线y m =有两个不同的交点，即方程()0f x m -=在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上两个不同的实数解． ∴m 的取值范围为(]2,1-．点睛：该题考查的是有关三角函数的综合题，涉及到的知识点有余弦的倍角公式，诱导公式，辅助角公式，将函数解析式，之后利用整体角思维求得结果，关于第二问，注意应用整体角思维，研究对应区间上的函数图像的走向，从而求得结果.17.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，且过点(1，32)，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 在椭圆上，且满足(0)OA OB tOP t +=＞.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若t =，求直线AB 的方程. 【答案】(1) 22143x y +=；(2) 1)y x =-.【解析】 【分析】（1）3(1,)2代入椭圆方程，结合,,a b c 关系，即可求出椭圆标准方程；（2）设直线l 方程，与椭圆联立，利用韦达定理，得出,A B 两点的坐标关系，进而求出P 点坐标，代入椭圆方程，即可求出直线l 方程. 【详解】(1)由题意可知，c =1，且221914a b += 又因为222a b c =+， 解得2a =，b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(2)若直线AB 的斜率不存在，则易得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴()22,0OA OB OP +==，得P (0)， 显然点P 不在椭圆上，舍去；因此设直线l 的方程为(1)y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴2122834k x x k +=+， 则由()12122,(2)2OA OB x x k x x OP +=++-=得()1212,2(2)P x x x x ++- 將P 点坐示代入椭圆C 的方程，得22212123()4(2)6x x k x x +++-=(*)；将2122834k x x k +=+代入等式(*)得234k = ∴32k =±因此所求直线AB 的方程为3(1)y x =±-. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆与直线的位置关系，,用设而不求的方法解决有关相交弦的问题，属于中档题.18.如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD 是边长为2a 的正方形，周围是四个全等的弓形.已知O 为正方形的中心，G 为AD 的中点，点P 在直线OG 上，弧AD 是以P 为圆心、PA 为半径的圆的一部分，OG 的延长线交弧AD 于点H .设弧AD 的长为l ，3()44APH θθππ∠=∈,,.（1）求l 关于θ的函数关系式； （2）定义比值OPl为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美.证明：当角θ满足：tan()4θθπ=-时，招贴画最优美.【答案】（1）2sin a l θθ=，π3π(,)44θ∈；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）分类ππ(,)42θ∈时，点P 在线段OG 上，当π3π(,)24θ∈时，点P 在线段GH 上，当 π2θ=时，AP a =.求出半径AP 后可得弦长；（2）由（1）的分类讨论求得sin cos 2OP l θθθ-=.3(,)44ππθ∈，令sin cos ()2f θθθθ-=，用导数的知识求它的最大值即可得．【详解】解：（1）当ππ(,)42θ∈时，点P 在线段OG 上，sin aAP θ=；当π3π(,)24θ∈时，点P 线段GH 上，sin(π)sin a a AP θθ==-；当 π2θ=时，AP a =. 综上所述，sin a AP θ=，π3π(,)44θ∈.所以，弧AD 的长22sin a l AP θθθ=⋅=，故所求函数关系式为2sin a l θθ=，π3π(,)44θ∈. （2）当ππ(,)42θ∈时，cos tan sin a a OP OG PG a a θθθ=-=-=-；当π3π(,)24θ∈时，cos tan(π)tan sin a a a OP OG GH a a a θθθθ=+=+=-=--；当 π2θ=时，OP a =.所以，cos sin a OP a θθ=-，π3π(,)44θ∈.从而，sin cos 2OP l θθθ-=. 记sin cos ()2f θθθθ-=，π3π(,)44θ∈. 则2(cos sin )(sin cos )()2f θθθθθθθ+--'=.令()0f θ'=，得(cos sin )sin cos θθθθθ+=-. 因为π3π(,)44θ∈，所以cos sin 0θθ+≠，从而sin cos cos sin θθθθθ-=+， 显然π2θ≠，所以sin cos tan 1πtan()cos sin tan 14θθθθθθθθ--===-++. 记满足πtan()4θθ=-的0θθ=，下面证明0θ是函数()f θ的极值点.设()(cos sin )(sin cos )g θθθθθθ=+--，π3π(,)44θ∈.则()g θ'(cos sin )0θθθ-<在π3π(,)44θ∈上恒成立， 从而()g θ在π3π(,)44θ∈上单调递减，所以，当0π(,)4θθ∈时，()0g θ>，即()0f θ'>，()f θ在0π(,)4θ上单调递增；当03π(,)4θθ∈时，()0g θ<，即()0f θ'<，()f θ在03π(,)4θ上单调递减. 故 ()f θ在0θθ=处取得极大值，也是最大值.所以，当θ满足πtan()4θθ=-时，函数()f θ即OP l取得最大值，此时招贴画最优美.【点睛】本题考查三角函数的应用，考查导数的实际应用，用导数求函数的最值．解题关键用分类讨论的方法求出弦的半径和OP ．19.设函数()3()()f x x t m x t =---，其中t ，R m ∈.（1）若9m =，求()f x 的极值；（2）若曲线()y f x =与直线()y x t =---m 的取值范围.【答案】（1）极大值为-（2）()7,+∞ 【解析】 【分析】（1）把9m =代入()f x 后求导，判断()f x 的单调性，进而可以求得极值；（2）将公共点转化为零点问题，构造函数()()31g x x m x =+-+，求导判断()g x 的单调性，结合零点定理即可求出m 的取值范围.【详解】（1）当9m =时，()()()39f x x t x t =---，()()(2393f x x t x t x t '=--=-+-，令0fx，解得x t =+x t =当x 变化时，fx ，()f x 的变化情况如下表；x+∴()y f x =的极大值为(((39f t =-=，极小值为((3f t +=-=-（2）由题意，曲线()y f x =与直线()y x t =---可转化为()()0f x x t +-+=令u x t =-，可得()310u m u +-+=；设函数()()31g x x m x =+-+，即函数y g x 有三个不同的零点；()()231g x x m '=+-，当1m 时，0g x 恒成立，此时()g x 在R 上单调递增，不合题意当1m 时，令0g x，解得1x =2x = 0g x ，解得1x x <，或2x x >， 0g x，解得12x x x <<，∴()g x 在()1,x -∞和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，∴()g x 的极大值为())321109m g x g ⎛-==+> ⎝；极小值为())32219m g x g --==+若()20g x ≥，由()g x 的单调性可知，函数()g x 至多有两个零点，不合题意；若()20g x <，即()321m ->7m >2x >，0g=>，1x -<，((610g m -=--从而由零点定理知，()y g x ∴=在区间()1x -，()12,x x ，(2x 内各有一个零点，符合题意；∴m 的取值范围是()7,+∞.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，构造函数和零点定理的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.20.已知数列｛n a ｝的首项a 1＝2，前n 项和为n S ，且数列｛n S n ｝是以12为公差的等差数列· （1）求数列｛n a ｝的通项公式；（2）设2nn n b a =，*n N ∈，数列｛n b ｝的前n 项和为n T ，①求证：数列｛nT n｝为等比数列， ②若存在整数m ，n (m ＞n ＞1)，使得()()m m n n T m S T n S λλ+=+，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ的所有可能值．【答案】（1）1n a n =+；（2）①见证明；②当n =2，m =4时，λ=-2，当n =2，m =3时，λ=-1. 【解析】 【分析】（1）先求解等差数列{}nS n的通项公式，再根据1(2)n n n S S a n --=≥求解{}n a 的通项公式；（2）①采用错位相减法先求n T ，再根据11(0)n n T n c c T n++=≠，证明{}n T n 为等比数列；②将所给的等式变形，然后得到对应的等量关系，接着分析此等量关系（借助数列的单调性）在什么时候满足即m n λ、、取什么值时能满足要求. 【详解】（1）因为12a =，所以121S = 所以1132(1)222n S n n n =+-=+ 即21322n S n n ==+当2n ≥时，2211311(1)(1)12222n S n n n -=-+-=+-∴11(2)n n n a S S n n -=-=+≥当n=1时，12a =，符合上述通项，所以1()n a n n N *=+∈ (2）①因为1()n a n n N *=+∈，所以2(1)nn b n =+ 所以23222324...2(1)nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅+ 则23412222324...2(1)n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅+两式相减，可整理得12n n T n +=⋅∴+12n nT n =，+12+1n n T n n T ⋅=，且141T = 所以数列n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列. ②由①可知，12n n T n +=⋅，且由（1）知21322n S n n ==+，代入()()m m n n T m S T n S λλ+=+可得21121322213222m n m m m m n n n n λλ++⎛⎫++ ⎪⋅⎝⎭=⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭整理得22232232m n m m n n λλ++=++即：22323222n m n n m m λλ++++=，设2322n nn n c λ++=，则m n c c = 则222111(1)3(1)23224222n n n n n n n n n n n c c λλλ+++++++++---+-=-= 因为2λ≥-，所以当3n ≥时，2112402n n n n n c c λ++---+-=＜，即1n n c c +＜ 因为1m n ＞＞，且245143160288c c λλλ+++-=-=≥ 所以2(5)n c c n ≥＞所以24c c =或23c c =，即n=2，m =4或3 当n =2，m =4时，λ=-2， 当n =2，m =3时，λ=-1.【点睛】（1）错位相减法求和：能使用错位相减法的数列的通项公式必须满足:（等差数列）⨯（等比数列）的形式；（2）对于数列中探究等式成立的条件的问题解决方法：先将等式化简，得到一个容易直接证明或者可利用函数或数列性质分析的式子，对此进行分析，然后得出对应结论.21.已知矩阵1031⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量18β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.求向量α，使得2A αβ=. 【答案】12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由矩阵乘法求出2A ，设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由已知等式得出,x y 的方程组，可解得,x y ，得向量α．【详解】解：因为1031⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以2101010313161⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则2αβ=⇔A 1061⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=18⎡⎤⎢⎥⎣⎦⇔168x x y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦所以1,68x x y =⎧⎨+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，所以12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，掌握矩阵乘法法则是解题基础．22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=-.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度. 【答案】（1）22220x y x y +--=；（2【解析】 【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线参数方程化为普通方程，曲线C 是圆，因此由垂径定理计算弦长，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长． 【详解】（1）因为22cos()4πρθ=-，所以()22cos cos sin sin 2cos sin 44ππρθθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭即()22cos sin ρρθρθ=+.因为222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，所以222()x y x y +=+，所以曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=（2）因为直线l 的参数方程为3112x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以333(3)3x y t t -=-+=-，所以l 的直角坐标方程为330x y -+=所以圆心()1,1到直线l 的距离()21331213d -+==+，所以21222274AB d =-=-=，所以线段AB 的长度为7 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化．考查圆的弦长问题．求圆弦长，一般用几何方法，即求出圆心到弦所在直线距离（弦心距），由勾股定理计算弦长．23.如图，在三棱锥P -ABC 中，AC ⊥BC ，且，AC =BC =2，D ，E 分别为AB ，PB 中点，PD ⊥平面ABC ，PD =3.(1)求直线CE 与直线PA 夹角的余弦值； (2)求直线PC 与平面DEC 夹角的正弦值. 【答案】209；(2)3211.【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，求出,CE PA 夹角，即可得结果；（2）求出平面DEC 的法向量，其PC 与法向量夹角的余弦的绝对值，即为所求角的正弦值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C (0，0，0)，A(2，0，0)，D (1，1，0)，E (12，32，32)，P (1，1，3)， ()1331,1,3,,,222PA CE ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭设直线CE 与直线PA 夹角为θ，则2cos 1PA CEPA CEθ⋅==⋅整理得cos θ=； ∴直线CE 与直线PA 夹角的余弦值19；(2)设直线PC 与平面DEC 夹角为0θ， 设平面DEC 的法向量为(,,)m x y z =， 因为()1,1,0CD =，133,,222CE ⎛⎫=⎪⎝⎭所以有01330222x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 取1x =，解得1y =-，23z =， 即面DEC 的一个法向量为2(1,1,)3m =-，()1,1,3CP =，()022222211232sin 112113113CP m CP mθ⋅-+∴===⋅⎛⎫++⋅+-+ ⎪⎝⎭.∴直线PC 与平面DEC 夹角的正弦值为3211.【点睛】本题考查用空间向量法求空间角，注意空间角与空间向量角之间的关系，属于中档题.24.设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ．（1）当4n =时，求集合312,,,nC A A A 中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A 3(1,2,,)n i C =中最小元素与最大元素之和，求32018132018C ii mC=∑的值．【答案】（1）30；（2）2019. 【解析】 【分析】（1）当n=4时，因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有23C 个，从而得到结果；（2）分类讨论明确最小元素的子集与最大元素的子集个数，从而得到31nC i i m =∑，进而得到结果.【详解】（1）因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有23C 个， 于是所求元素之和为()23123430C +++⨯=；（2）集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个；以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个． ∴31nC i i m =∑ 312nC m m m =+++ ()()2221221nn n C C C --=++++()()222312331n n n C C C C --=+++++ ()()222312441n n n C C C C --=+++++()31n n C ==+，3131nC ii nm n C=∴=+∑．32018132018201812019C i i mC=∴=+=∑．【点睛】本题考查了子集的概念，组合的概念及性质，分类讨论的思想方法，考查推理、计算能力．两题中得出含有相关数字出现的次数是关键．。
江苏省西亭高级中学高三数学模拟试题(10.26)
江苏省西亭高级中学2009届高三数学模拟试题 文科08.9班级________ 姓名__________ 学号_______一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合A =},1|{2Z x x y x ∈-=,},12|{A x x y y B ∈-==,则B A = .2.命题“0,x ∀>都有sin 1x ≥-”的否定：___________________.3. 幂函数()f x的图象经过点，则()f x 的解析式是 . 4.已知βα,、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ； ②若βα//,l l ⊥，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若γαβα//,⊥，则βγ⊥。
其中正确命题的序号是 .5.若条件41:≤+x p ,条件65:2-<x x q ,则p ⌝是q ⌝的 条件.(充分性和必要性都要作出判断)6.如图是利用斜二测画法画出的ABO ∆的直观图,已知''B O =4,且ABO ∆的面积为16,过'A 作'''x C A ⊥轴,则''C A 的长为 .7.若函数)10(1≠>-+=a a b a y x且的图象经过第二、三、四象限，则一定有 ．8.已知函数=-'-'+=)31(,)31(2)(2f x f x x f 则 .9.已知函数)(x f 在R 上是增函数,)1,3(),1,0(B A -是其图象上的两点,则1)1(<+x f 的解集是 .10.一个几何体的三视图如图所示，其中，主视图中 △ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为 .11.已知函数3()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -=_____．12.已知{1,0,()1,0,x f x x ≥=-<则不等式2)(≤+x x xf 的解集是 .13.某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：左视图主视图俯视图CBA①如一次购物不超过200元，不给予折扣；②如一次购物超过200元不超过500元，按标价给予九折（即标价的90%）优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的剩余部分给予八五折优惠。
江苏省南通市通州区西亭高级中学2020届高三下学期考前热身最后一练数学试卷及答案解析
江苏省南通市通州区西亭高级中学2020届高三下学期考前热身最后一练数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题（题型注释）3},{0,1,3}B <=，则AB =____. 2.已知复数1a i z i+=+（i 为虚数单位）的实部为零，则复数z 的模为____. 3.已知一组数据4,6,3,7,a 的平均数为5，则该组数据的标准差是____.4.在今年的“抗疫”战斗中，某医疗组现有3名医生和2名护士，需派遣其中两名医护人员去执行任务，则“至少有一名医生”的概率为____.5.某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图.执行此程序框图，输出a 的值为____.6.在一次大学校园双选招聘会上，某公司计划招收x 名女生，y 名男生，若,x y 满足约束条件2525x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为____.7.已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+的图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则当ϕ的绝对值取最小时，4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为____. 8.如图，三棱锥P ABC -中，点,,,,D E F M N 分别为棱,,,,PC PA PB BA BC 的中点，如果三棱锥P ABC -的体积为8，则几何体NMB DEF -的体积为____.9.已知定义在实数集R 上的函数()3cos x f x x =+，则不等式()()22f x f x ->的解集是____（结果用区间表示）.10.已知等差数列{}n a 中，241018a a a ++=，则684a a -=____.11.已知双曲线2222: 1 (0,0)x y C a b a b-=>>的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，当4取得最小值时，双曲线C 的离心率为____.12.在平面直角坐标系xOy 中，动圆222:(4)()C x y b r -+-=截x轴所得的弦长恒为．若过原点O 作圆C 的一条切线，切点为A ，则点A 到直线120x y +-=距离的最大值为____．13.已知函数3235 (12)22()11 (2)22x x x f x x x e ⎧-++≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，（e ＝2.71828…是自然对数的底数）()ln 2g x x mx =+-，若存在[]12,1,x x e ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是____.14.已知锐角三角形ABC 中，BC =3，AH BC ⊥于H，若2244AB AC AH CA AH AB -=⋅+⋅，则sin sin sin A B C 的取值范围是____.二、解答题（题型注释）15.如图，在直四棱柱1111A B C D -中，四边形ABCD 为矩形，E 是BC 的中点，F 是1D C 上以点，且满足12D F FC =.（1）求证：1AD D C ⊥；（2）求证：1//D A 平面DEF .16.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(54)cos 4cos a c B b C -=. （1）求cos B 的值；（2）若π4C =，6b =，求ABC 的面积S . 17.如图是一块空地OABC ，其中AB ，BC ，OC 是直线段，曲线段OA 是抛物线的一部分，且点O 是该抛物线的顶点，OC 所在的直线是该抛物线的对称轴.经测量：O ，A ，B 三点在一条直线上，OC ＝4，BC =BA =，（单位：百米）4OCB π∠=.开发商计划利用这块空地建造一个矩形游泳池DEFG ，矩形顶点都在空地的边界上，其中点D ，E 在直线段OC 上，设GD ＝x （百米），矩形草坪DEFG 的面积为f (x )（百米）2.（1）求f (x )的解析式；（2）当x 为多少时，矩形草坪DEFG 的面积最大？18.已知点F 是椭圆:E ()222210x y a b a b+=>>的左焦点，椭圆E 的离心率为12，点3(1,)2-在椭圆E 上. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 的直线交椭圆E 于,P Q 两点，设椭圆E 的左顶点为A ，记直线P A ，QA 的斜率分别为12,k k .①求12k k ⋅的值；②过P 作垂直于P A 的直线l 交x 轴于点M .则A ，P ，M ，Q 四点是否共圆？若共圆，求出该圆的方程；若不共圆，请说明理由.19.已知正项数列{}n a 的前n 项和是n S *()n N ∈，满足1(1)(1)()n n n a a r S n +++=+（r 为常数）（1）记2n n n b a a +=-，证明：数列{}n b 是等差数列；（2）若6r =，()235,,31a S a +成等比数列，①求数列{}n a 的通项公式；②设131()n n a n nc q --=，其中1(0,)2q ∈，且对任意的正整数k ，12k k k c c c ++--仍在数列{}n c 中，求q 的所有值.20.已知函数*()()k x f x x e k =∈N ，(),(,g x cx m c m =+∈R)，其中e ＝2.71828…是自然对数的底数.（1）当1k =时，①若曲线()y f x =在1x =处的切线恰好是直线()y g x =，求c 的值；②若m e =-，方程()()f x g x =有正实数根，求c 的取值范围.（2）当2,1k m ==-时，不等式2()()f x e ax bx g x -≥+≥对于任意[1,)x ∈+∞恒成立，当c 取得最大值时，求实数a 的最小值.21.已知矩阵 1 2 a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若点(1,1)-经过变换M T 后得到点(1,1)-，求矩阵M 的特征值.22.已知直线l的参数方程为222x t y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点P （1，3）在直线l 上. （1）求m 的值； （2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：2ρ=与直线l 交于点A ，B ，求线段AB 的长.23.已知不等式25x x x +-<+的解集为(),m n .（1）求m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=. 24.如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF DF ⊥，AF =，45DFE CEF ︒∠=∠=.（1）求异面直线BC ，DF 所成角的大小；（2）求二面角D BE C --的余弦值.25.当,*n mm n ≥∈N ，时，集合A ＝{1，2，3，…，n }，取集合A 中m 个不同元素的排列分别表示为M 1，M 2，M 3，…，M A (n )－1，M A (n )，其中A (n )表示取集合A 中m 个不同元素的排列的个数.设p i 为排列M i 中的最大元素，q i 为排列M i 中的最小元素，1≤i ≤A (n )，记P ＝p 1＋p 2＋…＋p A (n )－1＋p A (n )，Q ＝q 1＋q 2＋…＋q A (n )－1＋q A (n ).（1）当m =2，n ＝3时，分别求A (3)，P ，Q ；（2）对任意的*m N ∈，求P 与Q 的等式关系.参考答案1.{1}；【解析】1.根据交集的定义计算．由题意{1}A B ⋂=．故答案为：{1}．2.1【解析】2.利用除法运算将复数标准化结合已知得到a ，再利用复数模的计算公式计算即可. ()(1)1(1)1(1)(1)2a i a i i a a i z i i i ++-++-===++-，由题意102a +=，解得1a =-， 所以z i ，1z =.故答案为：1；【解析】3.利用平均数得到a 值，进而计算得到该组数据的方差，再得到标准差数据4,6,3,7,a 的平均数为5，则463755a ++++=，得5a = 所以该组数据的方差为()()()()()2222221456535755525s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦4.910；【解析】4.可用列举法写出所有基本事件，得出事件“至少有一名医生”含有的基本事件，然后计算概率．把医生和护士编号，医生：,,A B C ，护士：,a b ，任选2人的基本事件有：,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab 共10个，其中事件“至少有一名医生”含有：,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb 共9个基本事件，所以概率为910P =． 故答案为：910． 5.23；【解析】5. 根据程序框图依次计算得到答案.根据程序框图：0,1a n ==，8a =，221a Z -∉；2,13n a ==，221a Z -∉；3n =，18a =，221a Z -∉；4n =，23a =，221a -∈Z ，结束. 故答案为：23.6.10；【解析】6.根据题意，作出可行域，转化为线性规划问题，求x+y 的最大值.由题,x y 满足约束条件2525x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，该公司计划在本次校招所招收人数为z x y =+，作出可行域如图阴影部分，满足题意的点即可行域内横纵坐标均为整数的点.其中()()()3,1,5,3,5,5A B C ，y x z =-+，当直线经过C 点时取得最大，即10z =，此时女生5名，男生5名.故答案为：10.【解析】7.由已知条件可得出关于ϕ的表达式，根据ϕ最小求得ϕ的值，然后代值计算可求得4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 由于函数()()2sin 2f x x ϕ=+的图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，()212k k Z πϕπ∴⨯+=∈， ()6k k Z πϕπ∴=-∈，当0k =时，ϕ最小，此时6πϕ=-，因此，2sin 2sin 4263f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8.3；【解析】8. 先根据几何关系得18P ABC P DEF V V --=，根据三棱柱NMB DEF -与三棱锥P DEF -等底等高，故3NMB DEF P DEF V V --=，即可解决.解：因为点,,,,D E F M N 分别为棱,,,,PC PA PB BA BC 的中点，所以4ABC DEF S S = ，三棱锥P ABC -的高是三棱锥P DEF -的2倍， 所以188P ABC P DEF V V --==，又因为三棱锥P ABC -的体积为8，所以1P DEF V -= 又因为三棱柱NMB DEF -与三棱锥P DEF -等底等高，故33NMB DEF P DEF V V --==.故答案为：3. 9.22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；【解析】9.根据函数的单调性，奇偶性解不等式即可.解：()()()3cos 3cos x x f x x x f x --=+-=+=，所以函数为偶函数，当0x >，()3cos 3cos x x f x x x =+=+，()'3ln3sin 0xf x x =->， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增，由偶函数得()f x 在(),0-∞上单调递减，所以由()()22f x f x ->得22x x ->，解得22,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ 故答案为：22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭10.18【解析】10.由通项公式把已知和待求式都用1a 和d 表示后可得．由题意241011113931318a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=，∴6811144(5)(7)31318a a a d a d a d -=+-+=+=．故答案为：18．；【解析】11.先根据两个曲线的准线重合得2a c =，在根据基本不等式得22a c ==，再利用离心率公式求解即可.解：抛物线24y x =的准线方程为1x =-， 双曲线2222: 1 (0,0)x y C a b a b -=>>的准线方程为2a x c=±， 所以，2=1a c，即2a c =， 42444c c c c +==+≥，当且仅当42c c ==时等号成立.所以22a c ==，解得a =所以双曲线的离心率为c e a ===.12.【解析】12.先根据截x轴所得弦长恒为,r b 的关系，再由切点列勾股定理可得点00(,)A x y 在228x y +=的圆上，从而最大距离为圆心到直线的距离加半径.解：因为动圆222:(4)()C x y b r -+-=截x轴所得的弦长恒为所以228r b =+设()00,A x y ，由已知条件得，22220016b r x y +=++ 所以22008x y +=，即点()00,A x y 在228x y +=的圆上 所以点A 到直线120x y +-=距离的最大值为d r +=+=故答案为：13.3[,5]2e；【解析】13. 本题先求()f x 的值域，再根据题意建立不等式参变分离，最后构建新函数求最值解决存在性问题求参变量.当12x ≤<时，()f x =323522x x -++，则2()333(1)0f x x x x x '=-+=--<， 即()f x 在[1,2)递减，得1()(,3]2f x ∈，当2x e ≤≤时，11()22f x x =-在[2,]e 递增，则11()[,]22e f x -∈， 综合得()f x 的值域为1[,3]2.由题若存在[]12,1,x x e ∈，使得12()()f x g x =成立， 则1ln 232x mx ≤+-≤，在[1,e]x ∈有解， 即5ln 5ln 2x x m x x--≤≤在在[1,e]x ∈有解， 令()u x =5ln 2x x -，()v x =5ln x x -，[1,e]x ∈，则27ln 2()0x u x x -'=<，()u x 在[1,]e 递减，()u x 的最小值3()2a u e e==， 又2ln 6()0x v x x-'=<，()v x 在[1,]e 递减，()v x 的最大值(1)5b v ==， 则m ∈3[,5]2e. 故答案为：3[,5]2e14.(0,2【解析】14.由向量的数量积的运算结合条件2244AB AC AH CA AH AB -=⋅+⋅可得出4BA BH CA CH ⋅=⋅，进而得到2BH CH =，从而有tan 2tan C B =，在三角形中可得sin 3sin sin 2tan A B C B=，再根据三角形ABC 为锐角三角形，得出tan B 的范围,得出答案.由2244AB AC AH CA AH AB -=⋅+⋅得2244AB AH AB AH CA AC -⋅=⋅+，()()4AB AB AH CA AH AC ⋅-=⋅-4AB HB CA CH ⋅=⋅,即4BA BH CA CH ⋅=⋅所以cos 4cos BH BA B CH CA C ⋅⋅=⋅⋅,即224BH CH =所以2BH CH =，又BC =3，所以21BH CH ==，所以tan ,tan 21AH AH B C AH ===,则tan 2tan C B =()2sin sin sin cos sin cos tan tan 3tan 3sin sin sin sin sin sin tan tan 2tan 2tan B C A B C C B B C B B C B C B C B C B B+++=====又在锐角三角形ABC 中，()2tan tan 3tan tan tan 01tan tan 12tan B CBA B C B C B +=-+=-=->-- 解得tan 2B >，从而sin 30,sin sin 2tan 2A B C B ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：(0,215.（1）证明见解析.（2）证明见解析【解析】15.（1）由1AD DD ⊥、AD DC ⊥推出AD ⊥平面11DCC D ，由1D C ⊂平面11DCC D 即可推出1AD D C ⊥；（2）连接AC ，交DE 于点G ，连接FG ，由2AG ADGC EC==、12D F FC =可推出1D FAG GC FC=，则1//D A FG ，得证. （1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ， 由AD ⊂平面ABCD 得1AD DD ⊥，因为四边形ABCD 是矩形，所以AD DC ⊥， 又1D DDC D =，1D D ⊂平面11DCC D ，DC ⊂平面11DCC D所以AD ⊥平面11DCC D ，又1D C ⊂平面11DCC D ，所以1AD D C ⊥； （2）连接AC ，交DE 于点G ，连接FG ， 因为四边形ABCD 是矩形，且E 是BC 的中点，所以2AG ADGC EC==， 因为12D F FC =，所以1D FAG GC FC=，所以1//D A FG ， 又1D A ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以1//D A 平面DEF .16.（1）cos 45B =；（2）21.【解析】16.（1）由正弦定理化边为角，然后结合两角和的正弦公式和诱导公式可得cos B ； （2）由正弦定理求得c ，由诱导公式和两角和的正弦公式求得sin A ，再由三角形面积公式得结论．解：（1）因为，(54)cos 4cos a c B b C -=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得 (5sin 4sin )cos 4sin cos A C B B C -=，所以，5sin cos 4(sin cos sin cos )4sin(B C)A B B C C B =+=+ 因为，在ABC 中，180A B C ++= 所以，sin()sin(180)sin B C A A +=-= 所以，5sin cos 4sin A B A =， 又(0,),sinA 0A π∈≠，所以cos 45B =（2）因为，在ABC 中，cos 45B =，所以3sinB 5==由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==得sin sin b c C B=⋅= 因为，在ABC 中，180A B C ++=所以，sin sin(180)sin()sin cos cos sin 10A ABC B C B C =-=+=+=所以，ABC 的面积S 1sin 212bc A ==．17.（1）3224,01()24,12x x x x f x x x x ⎧--+<≤=⎨-+<<⎩；（2）x =【解析】17.（1）由题意先根据已知条件建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，然后将C 点坐标给出来，代入方程求出p 的值，然后分两段表示出()f x 的表达式．（2）按照分段函数求最值的方法，在两段上分别求出其最大值，然后取其中的较大者，注意前一段利用导数研究单调性后求最值．后一段是二次函数的最值问题． 解：以O 为坐标原点，OC 所在的直线是x 轴，建立平面直角坐标系xOy由于OC ＝4，BC =4OCB π∠=所以点C 的坐标为（4，0）点B 的坐标为（2，2）BA =A 的坐标为（1，1）由于抛物线的顶点为点O 对称轴是直线OC ，可设抛物线方程为y 2=mx ， 将点A 的坐标代入得m =100，所以抛物线方程为y 2=x ， 直线CB 的方程是y =4-x ，直线AB 的方程是y =x（1）因为设DG =x ，所以当0<x <1时，点G 的坐标为2(,)x x ，点F 的坐标为(4)-x,x 所以矩形DEFG 的面积S =232(4)4x x x x x x --=--+； 当1<x <2时G 的坐标为(,)x x所以矩形DEFG 的面积S =2(4)24x x x x x --=-+所以矩形DEFG 的面积S =3224,01()24,12x x x x f x x x x ⎧--+<≤=⎨-+<<⎩（2）当0<x <1时，'2()324f x x x =--+令'2()3240f x x x =--+=得1x <所以，当0x <<'()0f x >1x <<时，'()0f x <所以，当x =DEFG 的面积取得最大值； 当1<x <2时，22()242(1)2f x x x x =-+=--+ 所以，函数f (x )在区间（1，2）单调递减 当1x =时，矩形DEFG 的面积取得最大值又(1)f f >综上，当x =DEFG 的面积取得最大值 答（1）矩形DEFG 的面积S =3224,01()24,12x x x x f x x x x ⎧--+<≤=⎨-+<<⎩；（2）当x =DEFG 的面积取得最大值.18.（1）22143x y +=；（2）①94-；②存在；满足条件的圆的方程为223169()864x y ++=.【解析】18.（1）由条件列式，利用待定系数法求椭圆方程；（2）①设直线PQ 方程，并与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，表示12k k ⋅的值；②要A ，P ，M ，Q 四点共圆，则必有QM QA ⊥，分别利用直线PM ，QM 求得点M 的坐标，建立等式，再代入点,P Q 的坐标，求得1k 和2k ，以及点M 的坐标，并根据坐标求圆的方程.解：（1）由椭圆的离心率为12，得2234b a =又椭圆经过点3(1,)2-，所以221914a b +=， 解得224,3a b ==，所以椭圆E 的方程为22143x y +=（2）①证明：由于直线PQ 的斜率不为零，故设直线PQ 的方程为x =my -1代入22143x y +=，得（3m 2+4）y 2-6my -9=0所以12122269,3434m y y y y m m -+=⋅=++ 设点P Q ，的坐标分别为1122(,)(,)x y x y ，所以121212121222(1)(1)y y y y k k x x my my ⋅=⋅=++++=2229996344m m n -=--+++ ②因为PM PA ⊥，所以PM 的直线方程为1111()y y x x k -=-- 令0y =，得M 的坐标为111,0)k y x +（ 要A ，P ，M ，Q 四点共圆，则必有QM QA ⊥所以QM 的直线方程为2221()y y x x k -=-- 令0y =，得M 的坐标为222,0)k y x +（ 所以222111k y x k y x +=+由方程组22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得22268431243kx k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以21121112168431243k x k k y k ⎧-=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，22222222268431243k x k k y k ⎧-=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩从而22222211222222111268126843434343k k k k k k k k --+=+++++即2221334343k k =++ 所以120k k +=，由①知1233-22k k ==， 此时M 的坐标为（54，0）， 所以，满足条件的圆的方程为223169()864x y ++=. 19.（1）证明见解析；（2）①31n a n =-；②q1-.【解析】19.（1）将题中所给的式子进行变形，得到121(1)()(1)n n n n a a a r a ++++-=+，即2n n n b a a r +=-=，得到10n n b b +-=，从而得到数列{}n b 是等差数列，得证；（2）①根据条件可以求得数列{}n a 是以2为首项，3为公差的等差数列，从而得到其通项公式；②根据定义，结合题意，分情况讨论得到结果. （1）当1n =时，121(1)(1)(1)a a r S ，故21a r ；当n 取为1n +时，121(1)(1)(1)n n n a a r S n +++++=++， 所以1211(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n a a a a r a ++++++-++=+， 即121(1)()(1)n n n n a a a r a ++++-=+，又0n a >，所以2n n n b a a r +=-=所以10n n b b +-=所以，数列{}n b 是等差数列；（2）①因为6r =，所以25a =因为()235,,31a S a +成等比数列，所以213a a -= 由（1）可知数列{}n a 是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以，数列{}n a 的通项公式是31n a n =- ②1131()nn a n n nc qq ---==，因为对任意的正整数k ，12k k k c c c ++--仍在数列{}n c 中，所以123c c c --仍在数列{}n c 中，21231m c c c q q q --=--=， 当0m =时，q 无解；当1m =时，得1q =；当2()m m N ≥∈时，21mq q q --=，即21mq q q ++=（*），令2()m f q q q q =++，则()f q 为关于q 的单调递增函数，因为102q <<， 所以2222111111()1222222mmf q q q q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++<++≤++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以（*）无解，所以q 1，进一步得，当1q =时，对任意的正整数k ，2121(1)k k k k k k c c c c q q c q c +++--=--==仍在数列{}n c 中，所以q 1.20.（1）①2c e =；②[2,)e ∞+；（2）a 的最小值为1.【解析】20.（1）①求导计算(1)2f e '=，()1f e =，得到切线方程；②记()x e h x e c x=+-，求导得到函数单调区间，讨论2c e <，2c e =，2c e >三种情况，计算得到答案.（2）确定()1f x e cx -≥-在[1,)+∞上恒成立，令1()xe x xe xϕ-=-，求导得到函数单调性，计算最值得到1c =，取1x =计算得到=-b a ，代入计算得到1a x≥，得到1a ≥，再代入1a =验证得到答案.（1）当1k =时，()xf x xe =，所以()(1)x f x x e '=+.①所以(1)2f e '=，()1f e =，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是2y ex e =-，因为曲线()y f x =在1x =处的切线恰好是直线()y g x =所以2c e =.②当m e =-，由题意，得方程x xe cx e =-有正实数根，即方程0x ee c x+-=有正实数根，记()x eh x e c x =+-，2()x e h x e x'=-，当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>；所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数，所以min ()(1)2h x h e c ==-. 若2c e <，则()(1)20h x h e c ≥=->，不合题意； 若2c e =，由①知适合；若2c e >，则(1)20h e c =-<，又11(ln )0ln ln h c c c c c=+-=>，所以(1)(ln )0h h c ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1,ln )(0,)c ⊆+∞上必有零点. 综上，c 的取值范围为[2,)e ∞+.（2）要不等式2()1f x e ax bx cx -≥+≥-在[1,)+∞上恒成立， 首先必须()1f x e cx -≥-在[1,)+∞上恒成立，所以21x x e e c x-+≤， 令1()xe x xe x ϕ-=-，则21()(1)0xe x x e xϕ-'=++>， 1()x e x xe xϕ-=-在[1,)+∞上单调递增，()()min 11x ϕϕ==，1c ≤，故c 的最大值为1. 又(1)0,00f e a b -=≥+≥，所以=-b a ，所以2-1ax ax x ≥-在[1,)+∞上恒成立， 故1a x≥，所以a 的最小值为1， 当a =1时，记222()()xh x f x e x x x e x x e =--+=-+-，则2()(2)21x h x x x e x '=+-+，而2()(42)2720x h x x x e e ''=++-≥->， 所以2()(2)21x h x x x e x '=+-+在[1,)+∞单调递增，而(1)310h e '=->， 从而22()xh x x e x x e =-+-在[1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h ≥=， 所以不等式2()f x e ax bx x c -≥+≥+在[1,)+∞上恒成立. 21.矩阵M 的特征值为1,3λλ=-=.【解析】21.由题意可得1 1112 121a a b b --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求解易得,a b 的值，则 1 2 2 1M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由矩阵M 的特征多项式2()(1)40f λλ=--=，求出特征值即可.解：因为1 1112 121a a b b --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以21a b =⎧⎨=⎩， 矩阵M 的特征多项式为2()(1)4f λλ=--， 令()0f λ=， 解得1,3λλ=-=，所以矩阵M 的特征值为1,3λλ=-=. 22.（1）4m =；（2）AB =【解析】22.（1）将点代入直线的参数方程解得答案.（2）将参数方程和极坐标方程化为普通方程，计算圆心到直线的距离，再利用勾股定理解得答案.（1）因为点P （1，3）在直线l上，则1223m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得4m =.（2）将直线l的参数方程为24x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩化为普通方程是2y x =+， 将曲线C 的极坐标方程2ρ=化为直角坐标方程是224x y +=，则圆心到直线l的距离为d ==AB ==23.（1）1m =-，7n =；（21【解析】23.（1）按0x <，02x ≤≤，2x >进行分类讨论，求出不等式25x x x +-<+的解集，即可得m ，n 的值； （2）由（1）得71x y +==即可求出最小值. （1）原不等式可化为025x x x x <⎧⎨-+-<+⎩或0225x x x x ≤≤⎧⎨+-<+⎩或225x x x x >⎧⎨+-<+⎩， 解得10x -<<或02x ≤≤或27x <<，∴17x -<<， ∴原不等式的解集为()1,7-，故1m =-，7n =；（2）由（1）得710x y +-=，即()710,0x y x y +=>>，==1≥=. 当且仅当771y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即x =，y =时取等号，1. 24.（1）2π；（2.【解析】24.易证AF ⊥平面DCEF ，在平面DCEF 内作DO EF ⊥，垂足为点O ，在平面ABEF 内作//Oy AF ，则Oy ⊥平面DCEF ，以O 为坐标原点，OF 所在的直线为x 轴，直线Oy 为y 轴，OD 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系（如图所示）,求出,BC DF 的夹角，则（1）可求，求平面DBE 的法向量为1(,,)n x y z =和平面CBE 的法向量为2(,,)i n j k =的夹角，则（2）可求.解：因为四边形ABEF 为正方形，AF DF ⊥， 所以AF ⊥平面DCEF ， 又45DFE CEF ︒∠=∠=所以，在平面DCEF 内作DO EF ⊥，垂足为点O ， 在平面ABEF 内作//Oy AF ，则Oy ⊥平面DCEF ，以O 为坐标原点，OF 所在的直线为x 轴，直线Oy 为y 轴，OD 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系（如图所示）.设OF =a，因为AF =，所以,4,2DF AF a CD a ===，（1）点D 的坐标为(0,0,)D a ，点F 的坐标为(,0,0)F a ，点B 的坐标为(3,4,0)B a a - 点C 的坐标为(2,0,)C a a -.则(,4,),(,0,)BC a a a DF a a =-=-，设向量,BC DF 的夹角为θ， 则cos 0||||BC DF BC DF θ⋅==⋅ 所以异面直线BC ，DF 所成角为2π. （2）点E 的坐标为(3,0,0)E a -，(,4,)BC a a a =-(0,4,0),(3,0,)BE a DE a a =-=--设平面DBE 的法向量为1(,,)n x y z =，由1100n DE n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得3040x z y +=⎧⎨=⎩，取1x =得平面DBE 的一个法向量为1(1,0,3)n =-， 设平面CBE 的法向量为2(,,)i n j k =，由2200n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得4040i j k j -+=⎧⎨=⎩，取1i =得平面DBE 的一个法向量为2(1,0,1)n =-，设两个法向量12,n n 的夹角为β则12122cos 5n n n n β⋅==⋅ 由于二面角D BE C --为锐二面角，所以二面角D BE C --. 25.（1）A (3)＝6，P =16，Q ＝8；（2）P ＝mQ .【解析】25.（1）当m =2，n ＝3时，分析题意，可求得A (3)的值，分别写出对应的排列，得到P ，Q 的值；（2）对任意的*m N ∈，分析其对应的数据，找到其关系，从而得到结果.（1）当m =2，n ＝3时，A （3）＝23A ＝6，6个排列分别为1，2；2，1；1，3；3，1；2，3；3，2.则P =16，Q ＝8.（2）显然m ≤p i ≤n ，p i ∈*N ，并且以m 为最大元素的取法有11m m C --个，以m +1为最大元素的取法有1m m C -个，以m +2为最大元素的取法有11m m C -+，，以k (m ≤k <n )为最大元素的取法共有11m k C --，， 以n 为最大元素的取法有11m n C --个，P ＝p 1＋p 2＋＋p A (n )－1＋p A (n )＝1111111[(1)(2)]A m m m m m m m m n m mC m C m C nC -----+-++++++① 因为11m m k k kC mC --=(k ＝m ，m +1，，n )，所以P ＝m 12()m m m m m m m m n m C C C C A ++++++＝1112()A m m m m m m m m n m m C C C C ++++++++ ＝122()A m m m m m m n m m C C C ++++++＝11m m n m mC A ++.显然1≤q i ≤n －m +1，q i ∈*N ，以1为最小元素的取法有11m n C --个，以2为最小元素的取法有12m n C --个，以3为最小元素的取法有13m n C --个，，以k (1≤k ≤n －m +1)为最小元素的取法共有1m n k C --，，以n －m +1为最小元素的取法有11m m C --个.Q ＝q 1＋q 2＋＋q A (n )－1＋q A (n )，则Q ＝1111111[(1)(n )(n 1)]A m m m m m m m m n m n m C m C m C C -----+--++-+--++② ①＋②得P ＋Q ＝(n ＋1)11_11111()A m m m m m m m m n m C C C C ----+-++++＝(n ＋1)A m m n m C ＝(m +1)11A m n m m C ++，则Q ＝11m m n m C A ++，所以P ＝mQ .。
江苏省西亭高级中学2020-2021学年上学期高三第一次阶段检测数学试卷
江苏省西亭高级中学2020至2021（上）高三第一次阶段检测高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{230}A x x x =--≤，{1}B x x =>，则A B =（ ）A ．(1,3)B ．(1,3]C ．[1,)-+∞D ．(1,)+∞2．若命题“2000R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,3]- B ．(1,3)- C ．(,1][3,)-∞-+∞ D ．(,1)(3,)-∞-+∞3．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般的，声音的强度用2瓦/米（2/W m ）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用1010lg I L I =（单位：分贝，10L ≥，其中120110I -=⨯是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端）．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I 的取值范围是（ ）A ．7(,10)--∞B ．125[10,10)--C ．127[10,10)--D ．5(,10)--∞4．已知0a >，0b >，若不等式3103m a b a b--+≤恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．4 B ．16 C ．9 D ．35．函数(22)()2cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为（ ）A ．B． C ．D ．6．已知非零实数a ，x ，y 满足2211log log 0a a x y ++<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A ．221111x y <++ B ．y x x y x y +>+ C ．11()()11x y a a <++ D ．x y y x > 7．设0a >，0b >，且21a b +=，则12a a a b++（ ）A ．有最小值为4 B．有最小值为1 C ．有最小值为143D ．无最小值8．已知图象连续不断的函数()f x 的定义域为R ，()f x 是周期为2的奇函数，()y f x =在区间[1,1]-上恰有5个零点，则()f x 在区间[0,2020]上的零点个数为（ ）A ．5050B ．4041C ．4040D ．2020二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-”C ．设,R x y ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件D ．设,R a b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件10．已知3515a b ==，则,a b 可能满足的关系是（ ）A ．4a b +>B ．4ab >C ．22(1)(1)2a b -+->D ．228a b +<11．已知函数()f x 及其导函数()f x '，若存在0x 使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧点”．下列选项中有“巧点”的函数是（ ）A ．2()f x x =B ．()x f x e -=C ．()ln f x x =D ．()tan f x x =12．某同学在研究函数()f x =的性质时，受两点间距离公式的启发，将()f x变形为()f x =，则下列关于函数()f x 的描述正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[1,)+∞上单调递增B ．函数()f x 的图象是中心对称图形C ．函数()f x的值域是)+∞ D．方程(())1f f x =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若1a >，则不等式22123x x x a a ++-<的解集是__________．14．对于集合M ，定义函数1,,()1,,M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合,A B ，定义集合{()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-．已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,12}，则用列举法表示集合A B ∆的结果为__________．15．设函数1,0()2,0,x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________．16．已知函数22,,(),,x x a f x x x a ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若1a =，则不等式()1f x ≤的解集为_________；若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是_________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知集合{13}A x x =<<，集合{21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⊆，求实数m 的取值范围； （2）若A B =∅，求实数m 的取值范围．18．已知函数2()log f x x =，2()2log (2),R g x x a a =+∈．（1）求不等式21()()15f x f x +-≤≤的解集；（2）若19[,]44x ∀∈，(16)()f x g x ≥，求实数a 的取值范围．19．已知222log ()log log x y x y +=+．求（1）2x y +的最小值；（2）9411y x x y +--的最小值； （3）正数z 满足111x y z+=+，求z 的取值范围． （上述三问中，选择两问进行解答）20．设函数1()22x x f x =+． （1217()4f x ≤； （2）若关于x 的方程(2)()40f x af x ++=在(0,)+∞上有解，求实数a 的取值范围．21．已知曲线()(1)t f x x t x=+≥和点(1,0)P ，过点P 作曲线()y f x =的两条切线,PM PN ，切点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ．（1）求证：12,x x 是关于x 的方程220x tx t +-=的两根；（2）设()MN g t =，求函数()g t 的最值．22．已知函数()ln (R)f x mx x m =+∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1x f x xe -≤，求实数m 的取值范围．江苏省西亭高级中学2020至2021（上）高三第一次阶段检测高三数学（参考答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-4 BACB 5-8 CDBB二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．ABD 10．ABC 11．AC 12．ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(,2)(2,)-∞-+∞； 14．{1,6,10,12}；15．1(,)4-+∞； 16．（1）(,0]-∞；（2）(,2)(4,)-∞+∞． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）2m -≤； 5分（2）0m ≥． 10分18．（1）[1,4]；（2）1322a -<≤．19．（1）3+；（2）25；（3）4(1,]3z ∈． 20．（1）3[,2]2-； （2）3a <-．21．（1）证明略；（2）()g t =，当1t =时()g t 取最小值为22．（1）当0m ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0m <时，()f x 在1(0,)m -上单调递增，在1(,)m-+∞上单调递减． （2）1m ≤．。
江苏省通州市西亭高级中学高三数学期中考试卷 新课标 人教版
江苏省通州市西亭高级中学高三数学期中考试卷 新课标人教版一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设函数y =M ，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =（ ）A ．MB ．NC ．[)0,+∞D ．∅2．设a 与b 是两个不共线的向量，且向量a b +与()2b a --共线，则= ( )A 0B 1-C 2-D 0.5-3．函数2|2sin 1|y x =-的最小正周期是（ ）A ．4π B ． 2πC ．πD ．2π 4．三个数,,a b c 成等比数列，若有1a b c ++=成立，则b 的取值范围是 ( )A ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)11,00,3⎛⎤-⎥⎝⎦5．在等比数列{}n a 中,若357911243a a a a a =,则2911a a 的值为 ( )A. 9B. 1C. 2D. 36.如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面五个点M （1，1），N （1，-2），P （2，1），Q （2，2），G （2，12）中，“好点”的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7.已知向量))(sin 2,cos 2(),1,1(),1,1(R c b a ∈=-==ααα，实数,m n 满足,ma nb c +=则22(3)m n -+的最大值为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．168．若数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 满足222()n n S n a n n n N +=⋅+-∈,则10010a a -等于( )A ．90-B ．180-C ．360-D ．400-9．若'(sin )cos x x =，'(cos )sin x x =-，设0()sin f x x =,'10()()f x f x =，'21()()f x f x =，…，'1()()n n f x f x +=，n N ∈，则2006()f x = （ ） A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x10．设R a ∈，若关于x 的不等式x a x sin cos ≥在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上恒成立，则实数a的范围是 （ ） A {}0 B [-1，0] C ]23,0[ D ]1,0[二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题卷的横线上）11．若向量b a 、的夹角为150，4,3==b a ，则=+b a 2 .12．若点(cos sin ,tan ) ([0,2])P ααααπ-∈在第一象限,则α的取值范围是 ． 13．已知函数()(1)(45)f x a x a =++-在区间[]0,2内的函数值有正有负，则实数a 的取值范围是 .⒕若实数x y 满足x 2+y 2=1,则(1-xy )(1+xy )的最小值为 。
江苏省西亭高级中学高三数学专项训练23
专项训练23一、填空题：1.已知集合{},,A a b c =，集合{}0,1B =，映射:f A B →满足()()()f a f b f c =，那么这样的映射:f A B →有 个.2.如图所示，在一个边长为a ,b (a >b >0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为 1 3 a 与 1 2b ，高为b ，向该矩形内随机投入一个点，则所投点落在梯形内部的概率为______ .3.已知可导函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，给出下列四个结论： ①1x =是()f x 的极小值点；②()f x 在(,1)-∞上单调递减；③()f x 在(1,)+∞上单调递增；④()f x 在(0,2)上单调递减，其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的编号）.4.若log 2,log 3a a m n ==，则2m n a +＝__________ .5.若m R ∈，3()m i +是纯虚数，则m 的值为________ .6.随机抽查某商场5月份中6天的营业额如下（单位：万元）：3.0，3.1，2.9，3.0，3.4，3.2，试估计这个商场5月份的营业额大约是_________ .7.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A （0,2）与点B （4,0）重合.若此时点C （7,3）与点D （m ,n ）重合，则m +n 的值为_________ .8.设2(1)(0,1)n f x x x x x -=+++≠，且f (x )中所有项的系数和为A n ，则A n 的值为_ . 9.定义符合条件30,x y x y a x y N ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪∈⎩的有序数对(,)x y 为“和谐格点”，则当3a =时，和谐格点的个数是________ .10.在△ABC 中，AD ⊥BC ，△ABD 的面积是△ADC 面积的2倍，若将AD 沿△ABD 翻折，使翻折后BD ⊥平面ACD ，则此时二面角B-AD-C 的大小为________ .11.过△ABC 的重心G 作一直线AB ，AC 分别交于点D,E. 若AD xAB =, AE yAC =，a0xy ≠，则11x y+的值为_________ . 12.定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：（1）2*2006＝1；（2）（2n+2）*2006＝3·[(2n)*2006].则2008*2006的值是_________ .13.已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若PF 1=e PF 2，则e 的值为_________ .14.实系数方程220x ax b ++=的两根为1x ，2x ，且12012x x <<<<，则21b a --的取值范围是_____________ .二、解答题：15．某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座“观景花坛”，造价为4200元／m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2,再在四个空角（如ΔDQH 等）上铺草坪，造价为80元/m 2。
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江苏省西亭高级中学高三数学综合测试卷（三） 一．选择题：(每题4分，共48分) 1. 数列18，15，12，…，21－3n…是 ( ) (A)公差为3的等差数列 (B)公比为3的等比数列 (C)公差为－3的等差数列 (D)公比为－3的等比数列 2. 已知A={x|x+1≥0},B={x|x2－2≥0} ,则A∩CRB为 ( )
(A){x|x≥－1} (B){x|x≥2}
(C){x|－1≤x≤2} (D){x|－1≤x<2} 3. 已知3sin()5，则 ( )
(A)3sin()5 (B)4s5co
(C)3tan4 (D)5sec4
4. 函数y=12 sin22x的最小正周期为 ( ) (A)4 (B)2 (C) (D) 2 5. 给出四个函数，①y=0.5x ②2yx ③y=x2+1 ④y=x0.5，其中在（0，＋∞）上为增函数
的个数是 ( ) (A) 1 (B)2 (C)3 (D)4 6. 下列计算中，结果正确的是 ( )
(A) 12329322 (B) 2133222 (C) 322333 (D) 2133222
7. 下列各图象表示的函数中，反函数不存在的是 ( )
8. cos[arcsin(－12)]的值是 ( ) (A) (B) (C) (D) y y y y
x x x x O O O O (A)32 (B)－32 (C)12 (D)－12 9. 复数i+i2+i3+i4的值等于 ( )
(A)i (B)－i (C)0 (D)－1 10. 集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，它的含有2个偶数、3个奇数的子集个数为（ ）
(A)59C (B)3524CC (C)2435CC (D)2435AA
11. 一个电路上并联着甲、乙两个电子元件，在某种异常状态下，甲发生故障的概率为0.85，乙发生故障的概率为0.74．假设这两个元件发生故障是相互独立的，则至少有一个元件发生故障的概率为 ( ) (A)0.961 (B)0.189 (C)1.59 (D)以上都不对 12. 圆x2+y2－4x+6y－3=0上到x轴距离等于1的点有 ( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二．填空题：(每题4分，共24分) 13. 已知函数f(x)=x2+bx+c的函数值小于0的充要条件是x(0,3)，则bc=____； 14. 如图是某一交流电路中电压U(v)随时间t(s)变化的函数图象，则此函数的表达式为_________________
15. 123a
xx
展开式中常数项为－220，则a=______;
16. 从含有8件正品和2件次品的10件产品中，任取2件，则取出的2件中至少有一件次品的概率是 ． 17. 设初中毕业生中男生的身高服从正态分布N(,σ2)=N（167，25）（单位：cm）．今年某市共有初中毕业生约12000人(男女生比例约为1:1)，如果他们将全部升入高一级学校学习，那么校服制作厂家要为他们制作约_______________套适合身高在162cm~172cm范围内男生穿的新校服．［附：若随机变量x~N(a,σ2),则P(x(a－σ,a+σ))=0.683，P(x(a－2σ,a+2σ))=0.956，P(x(a－3σ,a+3σ))=0.997．］ 18. 底面边长和侧棱长均为10的正四棱锥的体积为______________________． 三．解答题：(共78分)
19. (本题满分8分)已知A={x|x2+px+q≤0},B={x|x-3x+1 ≥0}，且AB=R，AB={x|3≤x≤4}． (1) (4分)写出数集A的区间表示； (2) (4分)求p、q的值.
20. (本题满分10分)如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售100件，现
U(v) O -0.18 0.17
t(s)
-30
30 采取提高售价，减少进货量的办法增加每天的利润。已知这种商品每件涨价1元，其销售数量就减少10件。 (1) (5分)试写出当天的利润y元关于单价x元/件的函数关系式y=f(x); (2) (5分)将售价定为多少时，赚得的利润最大？
21. (本题满分14分)数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和，对于nN+，总有an,Sn,an2
成等差数列。 (1) (4分)试写出数列{an}的前三项； (2) (10分)求数列{an}的通项公式．
22. (本题满分16分)(1)如图1：矩形ABCD的一边AB平面，E、F分别为C、D在平面内的射影．设矩形ABCD的面积为S，平面ABCD与的交角为．求证：四边形ABEF为
矩形且其面积为Scos;(6分) (2)一般地，如图2所示：如果一个平面图形M所在的平面与平面的交角为，M在平面内的正射影为M，则M与M的面积之间的关系为SM'=SMcos．这就是面积的射影定理．用此定理求解下列问题：设AA1B1B为圆柱的轴截面，C为底面圆周上一点，AA1=1，AB=4，∠BAC=60，求平面A1CB1与圆柱底面ABC所成的二面角．(10分)
M M' A A1 B1 B C A B C D
F E
图(1) 图(2)
图(3) 23. (本题满分14分)一辆汽车在雨中由东向西行驶，当车速为65km/h时，侧面车窗上雨滴留下的痕迹是从前向后的，与铅垂线成30角．当该车停下来时(方向不变)，雨滴在侧窗玻璃上留下的痕迹方向是从后向前的，与铅垂线成45的角．假设雨滴是由正东方向向正西方向斜线下落的，那么： (1) (8分)根据以上信息，请计算雨点下落速度的大小．(精确到0.001km/h) (2) (6分)在气象学上把在一定的时刻在单位体积的空间内雨点所占据的空间的比例系数，称为降雨强度系数，它是用来度量雨滴密度的量，通常用p来表示；把单位时间水平平面上的降下的雨水厚度称为降雨强度，用I来表示．设此时p=1.3910－6，请你计算出降雨强度I．(精确到1mm/h)
24. (本题满分16分)定义：在二次曲线方程220AxByC(其中A、B、C是常数且ABC0)
中，称比值AB为此二次曲线的斜心率，记为K，即K= AB
(1) (4分)求椭圆22221xyab的斜心率K；
(2) (10分)如图：点P1、P2、P均在椭圆22221xyab上，且P1P2经过椭圆中心O，设直线
(3) PP1、PP2的斜率分别为k1、k2．求证：k1k2即为此椭圆的斜心率K．
P1 P2 P x
y
O 模拟试卷(3)参考解答 一．选择题：C D A D C B C A C C A C
二．填空题：13.0 14.U=30sin(10t+0.3) 15.－1 16.17/45 17.4188 18.326a 三．解答题： 19. 解 (1)易解得：B=(－,－1)[3,+)．
又 AB=R，AB={x|3≤x≤4} A=[－1,4] (2)A={x|x2+px+q≤0}=[－1,4] 方程x2+px+q=0的两个实根为x1=－1,x2=4. p=－(x1+x2)=－3, q=x1x2=－4． 20. 解 (1)y=(x－8)[100－10(x－10)] (10≤x≤20) 整理得y=－10x2+280x－1600
(2)当28014210x(元/件)时赚得的利润最大，为
2max4(10)(1600)2803604(10)y
(元)．
答：将售价定为每件14元时，赚得的利润最大，为360元． 21. 解 (1) an,Sn,an2成等差数列2Sn=an+an2 当n=1时，S1=a1 2a1=a1+a12
,a1=0或a1=1
由题意，an>0 a1=0舍去． 当n=2时，2S2=a2+a22, S2=a1+a2=1+a2 2+2a2=a2+a22
an>0 a2=2 同理可得，a3=3．
(2)22nnn
aaS，21112nnnaaS，而1nnnSSa
22111()2nnnnnaaaaa 22110nnnnaaaa 即111()()()0nnnnnnaaaaaa 11()[1()]0nnnnaaaa an>0 an+an－1>0 an－an－1=1,即数列{an}为等差数列，公差为1，首项为1． an=n