沈阳市2015届数学模拟试卷(理科)(解析版)
2015年高考数学模拟改编卷(新课标卷Ⅱ)理科数学试题
2015年高考数学模拟改编卷（新课标卷Ⅱ）理科数学第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（原创）已知集合{}|||1,M y y x x R ==-∈，{}2|log (1)N x y x ==-，则M N =（ ）A ．()1,1-B ．(,1)-∞C ．[]1,2-D ．[1,1)-2．（改编）设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ） A ．5B ．3C ．2D ．63．（2015·江南十校高三二诊）下列结论正确的是（ ）A ．若直线//l 平面α,直线//l 平面β,则//αβB ．若直线l ⊥平面α,直线l ⊥平面β,则//αβC ．若两条直线12,l l 与平面α所成的角相等,则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点,A B 到平面α的距离相等,则//l α 4．根据如图所示的流程图，则输出的结果i 的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．95．（原创）设抛物线21y x =-+的顶点为A ，与x 轴正半轴交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一粒豆子，则点P 落在阴影部分的概率为（ ） A ．B ．13C ．14D ．236．（改编）已知角α的终边经过点(),6P x -,且3tan 5α=-,则x 的值为（ ） A ．15B ．10C ．12D ．87．（2015·辽宁沈阳高三一模）抛物线()240y axa =≠的焦点坐标是（）A ．()0,aB ．(),0aC ．10,16a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,016a ⎛⎫⎪⎝⎭8．（原创）木球越来越成为人们喜爱的体育项目，现有一块木料表示的几何体的三视图如图所示（其中侧视图为边长为2的等边三角形），将该木料刨削、打磨、着色等工序加工成合格的木球，则能得到的最大木球的半径等于（ ）3俯视图侧视图正视图A B C ．2D 9．（2015·安徽江南十校高三二模·6）已知点(2,0)A -,点(,)M x y 为平面区域220240330x yx y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩上的一个动点,则||AM 的最小值是（ ） A ．5 B ．3C ．D ．510．（2015·辽宁盘锦高三3月调研）在△ABC 中，,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==为BC 的三等分点，则AE AF ⋅=（ ）A ．89B ．109C ．259D ．26911． （2015·湖北武昌高三一模）若62)(xb ax +的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．（改编）若定义在R 上的函数()f x 满足()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式3()1x f x e>+（e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2015年辽宁理科数学高考试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） （1） 已知集合{2,1,0,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<,则 A∩B=（ ）。
（A ）｛-1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛0，1，2｝ （2）若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-,则a =（ ）。
（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2（3）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是（ ）。
（A ） 逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著； （B ） 2007 年我国治理二氧化硫排放显现（C ） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（4）等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ）。
（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 （5）设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(log 12)f f -+=（ ）。
（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 （6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如 右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比 值为（ ）。
（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）15（7）过三点(1,3),(4,2),(1,7)A B C -的圆交y 轴于,M N 两点，则||MN =（ ）。
（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）10 （8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名 著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序 框图，若输入,a b 分别为 14,18，则输出的a =（ ）。
沈阳二中2015届高三数学上学期期中试题理科含答案新人教A版
沈阳二中2015届高三数学上学期期中试题（理科含答案新人教A 版）说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第I 卷（60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．若复数(21a -)＋(1a -)i(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝ ( ) A ．±1 B ．－1 C ．0 D ．12. 已知集合2{|}M x x x =>，4{|,}2xN y y x M ==∈，则MN = ( )A ．{x ｜0＜x ＜12} B.{x ｜12＜x ＜1} C.{x ｜0＜x ＜1} D.{x ｜1＜x ＜2} 3. 下列有关命题的说法正确的是 ( ) A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件. C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++<”．4. 已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则=++1081311a a a a （ ）A. 27B.3C.1-或3D.1或275. 函数)(x f 的定义域为]1,0(，则函数)2(lg 2xx f +的定义域为 ( ) A ．]4,5[- B ．)2,5[-- C ． ]4,1[]2,5[ -- D ．]4,1()2,5[ -- 6. 已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x ( ) A ．332-B ．332±C ．1-D ．1±7. 已知x ，y 满足记目标函数2z x y =+的最小值为1，最大值为7，则,b c的值分别为 （ ）A. -1，-2B. -2，-1C. 1，2D. 1，-28．已知等比数列{}n a 满足n a ＞0，n ＝1,2，…，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当n ≥1时，2122221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+＝ （ ）A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)29.已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且函数f (x )＝1＋2sin 2x sin 2x 的最小值为b ，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜x ＜π28x 2－6bx ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ≤π4，则不等式g (x )≤1的解集为 ( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，π2 10. 如图，长方形ABCD 的长2AD x =，宽(1)AB x x =≥，线段MN 的长度为1，端点N M ,在长方形ABCD 的四边上滑动，当N M ,沿长方形的四边滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 的周长与G 围成的面积数值的差为y ，则函数()y f x =的图象大致为 （ ）11．若曲线f (x ，y )＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f (x ，y )＝0的“自公切线”．下列方程：①x 2－y 2＝1；②y ＝x 2－|x |；③y ＝3sin x ＋4cos x ；④|x |＋1＝4－y2对应的曲线中存在“自公切线”的有 ( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④12.函数()32f x x ax bx c =+++，在定义域[]2,2x ∈-上表示的曲线过原点，且在1x =±处的切线斜率均为1-.有以下命题：①()f x 是奇函数；②若()[],f x s t 在内递减，则t s -的最大值为4；③()f x 的最大值为M ，最小值为m ，则=0M m +；④若对[]()2,2x k f x '∀∈-≤，恒成立，则k 的最大值为2.其中正确命题的个数为 （ ） A. 1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.13.. 若函数()f x 在R 上可导，()()321f x x x f '=+，则()20f x dx =⎰ .14. 若0,0,x y ≥≥且21x y +=，则223x y +的最小值为 . 15. 若数列{}n a 是等差数列，对于)(121n n a a a nb +++=，则数列{}n b 也是等差数列。
辽宁省沈阳市2015届高三教学质量监测(一)数学(理)试题
2015年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)数 学(理科)命题：沈阳市第四中学 孙玉才 沈阳市第二十中学 金行宝沈阳市第九中学 付一博 沈阳市第一二0中学 潘 戈 沈阳市回民中学 庞红全 沈阳市第二十八中学 陶 慧 主审：沈阳市教育研究院 王恩宾本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.3. 考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设复数z 满足(1)2i z i -=，则z 的共轭复数z =A ．i +-1B ．i --1C ．i +1D ．i -12．若全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，M ＝{1，4}，N ＝{2，3}，则集合{5，6}等于A ．M ∪NB ．M∩NC ．3. “x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．抛物线()240y axa =≠的焦点坐标是A. ()0,aB. (),0aC. 10,16a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,016a ⎛⎫⎪⎝⎭5. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n =()M ()N D ． ()M ()NA. 5B. 6C. 7D. 86. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是 A. 433cm B. 833cm C. 33cm D. 43cm7. 已知实数,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为A.3B.32 C.32- D. 3- 8. 若执行右面的程序框图，则输出的k 值是A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 由曲线2,y x y x ==围成的封闭图形的面积为A ．16 B ．13 C ．23D ．1 10. 在△ABC 中，,2,1,,AB AC AB AC AB ACEF +=-==为BC 的三等分点，则AE AF ⋅=A.89 B.109C.259D. 269 11. 函数1y x=-的图象按向量(1,0)a =平移之后得到的函数图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的橫坐标之和等于A. 2B. 4C. 6D. 8 12. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式3()1x f x e>+(e 为自然对数的底数)的解集为 A ．()0,+∞ B ．()(),03,-∞+∞ C ．()(),00,-∞+∞ D ．()3,+∞112222侧视图俯视图主视图31n n =+开始 n =3，k =0 n 为偶数n =8输出k 结束k =k +1 是否是否2nn =第Ⅱ卷 (共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.)13. 若双曲线E 的标准方程是2214x y -=，则双曲线E 的渐近线方程是 . 14. 数列{}n a 是等比数列，若22a =，514a =，则12231n n a a a a a a ++++= . 15.若直线:l 1(0,0)x ya b a b+=>>经过点()1,2，则直线l 在x 轴和y 轴的截距之和的最小值是 .16. 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若BC ⊥AC ，∠A =3π，AC =4，M为AA 1中点，点P 为BM 中点，Q 在线段CA 1上，且A 1Q =3QC ，则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值 .三、解答题：（满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.） 17．（本小题满分12分）已知函数()2sin sin()6f x x x π=+.（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（II ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.QPMC 1A 1B 1BA C18. (本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是SD 上的点，且()01DE a λλ=<≤.（I ）求证：对任意的(]0,1λ∈，都有AC ⊥BE ；（II ）若二面角C-BE-A 的大小为120，求实数λ的值.19．(本小题满分12分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖. 甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张. 每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响. 若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖.（I ）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；（II ）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望.DABCS E20. (本小题满分12分)如图所示，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，其中12e =，焦距为2，过点M （4，0）的直线l 与椭圆C 交于点A 、B ，点B 在AM之间. 又点A ，B 的中点横坐标为47，且AM MB λ=.（1）求椭圆C 的标准方程 ； （II ）求实数λ的值.21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x a x =(0a >)，e 为自然对数的底数.（I ）过点()()2,2A f 的切线斜率为2，求实数a 的值； （II ）当0x >时，求证：1()(1)f x a x≥-；（III ）在区间(1,)e 上10x aae e x -<恒成立，求实数a 的取值范围.yxABM O请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题．．．卡选答区域指定位置答题．．．．．．．．．．．，并用．．2B ．．铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．．．．．．．．．．．．．．．．．.注意所做题目的．．．．．．．题号必须与所涂题目的题号一致．．．．．．．．．．．．．．. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的两个点，CE AB ⊥于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF FG =．（I ）求证：C 是劣弧BD 的中点；（II ）求证：BF FG =．23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 经过点P （1，2），倾斜角6πα=.（I ）写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程；（II ）设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求||||PA PB ⋅的值.24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式f (x )>0；（II ）若f (x )+43-x >m 对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．FG E CO A B D2015年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 12y x =±14. 32(14)3n -- 15. 322+ 16. 23913 三、解答题：本大题共70分. 17.解：（I ）311cos 21()2sin (sin cos )3sin 22222x f x x x x x -=+=+ …………2分 3sin(2)32x π=-+. …………4分函数()f x 的最小正周期为T =π. …………6分因为222,232k x k πππππ-+≤-≤+解得51212k x k ππππ-+≤≤+，Z ∈k ， 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 参考答案 BDBCDBAABBDA所以函数()f x 的单调递增区间是5[,],1212k k k ππππ-++∈Z . …………8分 23()0,,2II ,,sin(2),1233332x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈-∈--∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………10分3()0,12f x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦. …………12分18.（I ）证明：如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D E a λ，()(),,0,,,AC a a BE a a a λ=-=--， …………3分∴0AC BE ∙=对任意(]0,1λ∈都成立，即AC ⊥BE 恒成立. …………5分(II)解： 设平面ABE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，∵()()0,,0,,0,AB a AE a a λ==-，∴11111111000000n AB y y ax az x z n AE λλ⎧∙===⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=-=∙=⎩⎩⎪⎩，取11z =，则1x λ=，()()1111,,,0,1n x y z λ==. …………7分设平面BCE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，∵()(),0,0,0,,BC a CE a a λ=-=-，∴22222222000000n BC x x ay az y z n CE λλ⎧∙===⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=-=∙=⎩⎩⎪⎩，取21z =，则2y λ=，()()2222,,0,,1n x y z λ==， …………9分 ∵二面角C -AE -D 的大小为120，∴(]121221211cos ,,0,1112n n n n n n λλλ∙===∈⇒=+，∴1λ=为所求. …………12分10. 解：（I ）设谋节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票。
东北三省四市教研联合体2015届高考数学一模试卷理(含解析)
东北三省四市教研联合体2 015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|2x+1≤1}，则M∩（∁R N）=（）A．（3，+∞）B．（﹣2，﹣1] C．（﹣1，3）D．[﹣1，3）2．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面所对应的点位于的象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列四个命题中真命题的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题④命题p；∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．20 B．30 C．40 D．505．（5分）将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为a，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递增，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称6．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．57．（5分）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．12+B．6+C．12+2πD．6+4π8．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆（a＞b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为（）A．﹣1 B．﹣1 C．D．9．（5分）已知∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，若PA=AB=BC=1，则四面体PABC的外接球（顶点都在球面上）的表面积为（）A．πB．πC．2πD．3π10．（5分）在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（）A．B．C．D．11．（5分）设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°12．（5分）已知数列{a n}中，a n＞0，a1=1，a n+2=，a100=a96，则a2014+a3=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）设随机变量x服从正态分布N（1，4），若P（x＞a+1）=P（x＜2a﹣5），则a=．14．（5分）设a=2xdx，则（ax﹣）6的展开式中常数项为．15．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1，梯形所在平面内一点P满足，则=．16．（5分）已知函数f（x）=x（e x﹣e﹣x）﹣（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=，tan（A+）=﹣．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若b﹣c=，求△ABC的面积．18．（12分）2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达3.32亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．网购金额（元）频数频率（0，500] 5 0.05（500，1000] x p（1000，1500] 15 0.15（1500，2000] 25 0.25（2000，2500] 30 0.3（2500，3000] y q合计100 1.00（Ⅰ）确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．①请将列联表补充完整；网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20合计100②并据此列联表判断，是否有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？参考数据：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为等边三角形，底面ABCD 为棱形且∠DAB=．（Ⅰ）求证：PB⊥AD；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值．20．（12分）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）在抛物线上是否存在不与原点重合的点P，使得过点P的直线交抛物线于另一点Q，满足PF⊥QF，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直？并请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；（Ⅲ）求证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1=2lnn!（n≥2，n∈N*）（n!=1×2×3×…×n）．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（一）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交Ad的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．（二）选修4-4：坐标系与参数方程23．设函数f（x）=|x+2|+|2x﹣4|，g（x）=a+x．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）画出函数y=f（x）的图象，根据图象求使f（x）≥g（x）恒成立的实数a的取值范围．三、选修4-5：不等式选讲24．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点A（0，﹣），F1、F2是圆锥曲线C的左、右焦点．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|•|F1N|．东北三省四市教研联合体2015届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|2x+1≤1}，则M∩（∁R N）=（）A．（3，+∞）B．（﹣2，﹣1] C．（﹣1，3）D．[﹣1，3）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出N中不等式的解集确定出N，进而求出N的补集，找出M与N补集的交集即可．解答：解：由N中不等式变形得：2x+1≤1=20，即x+1≤0，解得：x≤﹣1，即N=（﹣∞，﹣1]，∴∁R N=（﹣1，+∞），∵M=（﹣2，3），∴M∩（∁R N）=（﹣1，3），故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面所对应的点位于的象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解答：解：复数===i+1在复平面所对应的点（1，1）位于第一象限．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义等基础知识，属于基础题．3．（5分）下列四个命题中真命题的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题④命题p；∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．A．0 B．1 C．2 D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；推理和证明．分析：对四个，命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：①由x=1，则12﹣3×1+2=0，即x2﹣3x+2=0成立，反之，由x2﹣3x+2=0，得：x=1，或x=2．所以，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故正确；②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”，正确；③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，故不正确；④命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，正确，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0错误，因为x2+x+1=＞0恒成立，p∨q为真，故正确．故选：D．点评：此题注重对基础知识的考查，特别是四种命题之间的真假关系，复合命题的真假关系，特称命题与全称命题的真假及否定，是学生易错点，属中档题．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．20 B．30 C．40 D．50考点：程序框图．专题：常规题型；算法和程序框图．分析：根据程序框图，列出每次执行循环体后的S，i，T的值，当满足条件T＞S时，退出循环体，输出T的值．解答：解：根据程序框图，第一次执行循环体后S=7，i=3，T=3；第二次执行循环体后S=13，i=6，T=9；第三次执行循环体后S=19，i=9，T=18；第四次执行循环体后S=25，i=12，T=30；满足条件T＞S，退出循环体，输出T=30．故选B．点评：本题通过程序框图考查了算法的三种结构，解决题目的关键是正确列出每次执行循环体后得到的S，i，T的值．5．（5分）将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为a，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递增，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论．解答：解：将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=cos2（x﹣）=sin2x 的图象，故当x∈（0，）时，2x∈（0，），故函数g（x）在（0，）上单调递增，为奇函数，故选：B．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象性质，属于基础题．6．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．5考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质和对数的运算可得S=lga1a2…a10=lg105，化简可得．解答：解：∵等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，∴a1a10=a2a9=…=a4a7=10，∴数列{lga n}的前10项和S=lga1+lga2+…+lga10=lga1a2…a10=lg105=5故选：D点评：本题考查等比数列的性质和求和公式，涉及对数的运算，属基础题．7．（5分）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．12+B．6+C．12+2πD．6+4π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由俯视图为扇形及正视及侧视图为矩形知，该几何体由圆柱切割而成，故分矩形及曲面求侧面积．解答：解：该几何体的侧面积由矩形的面积及曲面面积构成，其中矩形的面积为2×3×2=12，曲面的面积为×2×3=2π，故其侧面积S=12+2π，故选C．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．8．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆（a＞b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为（）A．﹣1 B．﹣1 C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，由AF⊥x轴，可得=c，分别代入椭圆与抛物线标准方程可得：A，即A（c，2c）．代入椭圆的方程可得：=1，又b2=a2﹣c2，利用离心率计算公式即可得出．解答：解：如图所示，∵AF⊥x轴，∴=c，把x=代入抛物线方程可得：y2=，解得y=p．∴A，即A（c，2c）．代入椭圆的方程可得：=1，又b2=a2﹣c2，∴=1，化为e4﹣6e2+1=0，0＜e＜1．解得e2=3﹣2，∴﹣1．故选：B．点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）已知∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，若PA=AB=BC=1，则四面体PABC的外接球（顶点都在球面上）的表面积为（）A．πB．πC．2πD．3π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：取PC的中点O，连结OA、OB．由线面垂直的判定与性质，证出BC⊥PB且PA⊥AC，得到△PAC与△PBC是具有公共斜边的直角三角形，从而得出OA=OB=OC=OP=PC，所以P、A、B、C四点在以O为球心的球面上．根据题中的数据，利用勾股定理算出PC长，进而得到球半径R=，利用球的表面积公式加以计算，可得答案．解答：解：取PC的中点O，连结OA、OB∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∵PB⊂平面PAC，∴BC⊥PB，∵OB是Rt△PBC的斜边上的中线，OB=PC．同理可得：Rt△PAC中，OA=PC，∴OA=OB=OC=OP=PC，可得P、A、B、C四点在以O为球心的球面上．Rt△ABC中，AB=BC=1，可得AC=，Rt△PAC中，PA=1，可得PC=．∴球O的半径R=PC=，可得球O的表面积为S=4πR2=3π．故选：D．点评：本题给出特殊的三棱锥，由它的外接球的表面积．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．10．（5分）在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中y的系数必为负，最小值应在左上方边界AC上取到，即x+ay=0应与直线AC平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可．解答：解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故x+ay=0应与直线AC平行，∵k AC==，∴﹣=，∴a=﹣3，则=表示点P（﹣3，0）与可行域内的点Q（x，y）连线的斜率，由图得，当Q（x，y）=C（4，2）时，其取得最大值，最大值是=．故选A．点评：本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，利用最优解的特征，判断出最优解的位置求参数，属于中档题．11．（5分）设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°考点：余弦定理；平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据三角形重心的性质得到，可得．由已知向量等式移项化简，可得=，根据平面向量基本定理得到，从而可得a=b=c，最后根据余弦定理加以计算，可得角A的大小．解答：解：∵G是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移项化简，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===，∵A为三角形的内角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故选：D点评：本题给出三角形中的向量等式，求角A的大小，着重考查了三角形重心的性质、平面向量基本定理和利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．12．（5分）已知数列{a n}中，a n＞0，a1=1，a n+2=，a100=a96，则a2014+a3=（）A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由数列递推式求出a3，结合a100=a96求得a96，然后由a n+2=可得a2014=a96，则答案可求．解答：解：∵a1=1，a n+2=，∴，由a100=a96，得，即，解得（a n＞0）．∴．则a2014+a3=．故选：C．点评：本题考查了数列递推式，解答此题的关键是对数列规律性的发现，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）设随机变量x服从正态分布N（1，4），若P（x＞a+1）=P（x＜2a﹣5），则a=2．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=1对称，得到两个概率相等的区间关于x=1对称，得到关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（1，4），P（x＞a+1）=P（x＜2a﹣5），∴2a﹣5+a+1=2，∴3a=6，∴a=2，故答案为：2．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线关于x=1对称，是一个基础题．14．（5分）设a=2xdx，则（ax﹣）6的展开式中常数项为﹣540．考点：二项式系数的性质；定积分．专题：二项式定理．分析：求定积分得到a的值，在（ax﹣）6的二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解答：解：a=2xdx=x2=4﹣1=3，则（ax﹣）6=（3x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•36﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r=0，求得 r=3，可得（ax﹣）6的展开式中常数项为﹣•33=﹣540，故答案为：﹣540．点评：本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1，梯形所在平面内一点P满足，则=﹣1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建立坐标系，得到A，B，C，D的坐标，由得到P的坐标，再由向量的数量积运算解答．解答：解：如图在坐标系中，A（0，2），B（0，0），C（2，0），D（1，2），所以=（0，2），=（2，0），由，得到=（1，1），所以=（1，﹣1）（0，1）=﹣1；故答案为：﹣1．点评：本题考查了向量数量积的坐标运算；关键是距离坐标系，利用坐标法解答本题．16．（5分）已知函数f（x）=x（e x﹣e﹣x）﹣（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为（，1）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：根据条件构造函数g（x），利用函数的奇偶性和单调性的性质解不等式即可解答：解：构造函数g（x）=x2（e x+e﹣x），则g（x）=x（e x﹣e﹣x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）单调递增，则由f（x）＞0，得x（e x﹣e﹣x）＞（2x﹣1）（e2x﹣1+e1﹣2x），即g（x）＞g（2x﹣1），∴不等式等价为g（|x|）＞g（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，即x2＞（2x﹣1）2，∴3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，故答案为：（，1）．点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=，tan（A+）=﹣．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若b﹣c=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由题意和内角和定理求出A的范围，再求出A+的范围，结合条件求出角A，由内角和定理即可求出角C；（2）根据正弦定理求出的值，代入b﹣c=，求出b、c的值，利用两角和的正弦公式求出sinA的值，再代入三角形的面积公式求解．解答：解：（1）由题意知，B=，则0＜A＜，∴＜A+＜π，∵tan（A+）=﹣，∴A+=，则A=，…（2分）∴C=π﹣A﹣B=…（4分）（2）由正弦定理得，则==，①…（6分）∵b﹣c=，②，由①②得，b=、c=（8分）∵sinA=sin（B+C）==…（10分）∴S△ABC===…（12分）点评：本题考查正弦定理，两角和的正弦公式，以及三角形的面积公式，注意角的范围确定，属于中档题．18．（12分）2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达3.32亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．网购金额（元）频数频率（0，500] 5 0.05（500，1000] x p（1000，1500] 15 0.15（1500，2000] 25 0.25（2000，2500] 30 0.3（2500，3000] y q合计100 1.00（Ⅰ）确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．①请将列联表补充完整；网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20合计100②并据此列联表判断，是否有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？参考数据：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）考点：独立性检验．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）求出网购金额在2000元以上的人数，可得x，y的值，由此能求出x，y，p，q 的值，并补全频率分布直方图．（2）由数据可得列联表，利用公式，可得结论．解答：解：（1）因为网购金额在2000元以上的频率为0.4，所以网购金额在2000元以上的人数为100×0.4=40所以30+y=40，所以y=10，…（1分）x=15，…（2分）所以p=0.15，q=0.1…（4分）所以频率分布直方图如右图…（5分）（2）由题设列联表如下网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35 5 40购物金额在2000元以下40 20 60合计75 25 100…（7分）所以K2=≈5.56＞5.024…（10分）所以据此列联表判断，有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关．…（12分）点评：本题考查频率分布直方图，考查独立性检验的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为等边三角形，底面ABCD 为棱形且∠DAB=．（Ⅰ）求证：PB⊥AD；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取AD中点O，连结PO，BO，由等边三角形性质得PO⊥AD，由菱形性质得BO⊥AD，从而AD⊥平面POB，由此能证明PB⊥AD．（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2，求出平面PAB的法向量和平面PCD的法向量，由此利用向量法能求出平面PAB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：取AD上点O，连结PO，BO，∵侧面PAD为等边三角形，∴PO⊥AD，∵底面ABCD为棱形且∠DAB=，∴BO⊥AD，又PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴PB⊥AD．（Ⅱ）解：∵四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，又OA⊥OB，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2，则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），=（1，0，﹣），=（0，），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，），=（﹣2，），=（﹣1，0，﹣），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（﹣3，﹣，），设平面PAB与平面PCD所成的角（锐角）为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=||=．平面PAB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值为．点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线线垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．20．（12分）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）在抛物线上是否存在不与原点重合的点P，使得过点P的直线交抛物线于另一点Q，满足PF⊥QF，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直？并请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设抛物线的方程为x2=2py，由抛物线的定义和已知条件可得p的方程，解p 可得；（Ⅱ）设P（x1，y1），x1≠0，Q（x2，y2），由切线和垂直关系以及韦达定理可得y1的方程，解y1进而可得x1，可得符合题意的点P．解答：解：（Ⅰ）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），设A（x A，y A），B（x B，y B），由抛物线定义可知y A+y B+p=8，又AB中点到x轴的距离为3，∴y A+y B=6，∴p=2，∴抛物线的标准方程是x2=4y；（Ⅱ）设P（x1，y1），x1≠0，Q（x2，y2），则x2=4y在P处的切线方程是y=x﹣y1，直线PQ：y=﹣x+2+y1代入x2=4y得x2+x﹣4（2+y1）=0，由韦达定理可得x1+x2=，x1x2=﹣8﹣4y1，∴x2=﹣x1，y2=+y1+4，而=y12﹣2y1﹣﹣7=0，整理可得y13﹣2y12﹣7y1﹣4=0，（y1＞0），分解因式可得（y1+1）2（y1﹣4）=0，解得y1=4，故存在点P（±4，4）满足题意．点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，涉及抛物线的标准方程和韦达定理的应用，属中档题．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；（Ⅲ）求证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1=2lnn!（n≥2，n∈N*）（n!=1×2×3×…×n）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题；函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求导f′（x）=（x＞0），从而判断函数的单调性；（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，从而求导F′（x）=，再由导数的正负讨论确定函数的单调性，从而求函数的最大值，从而化恒成立问题为最值问题即可；（Ⅲ）令a=﹣1，此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，从而可得f（1）=﹣2，且f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，从而可得﹣lnx+x﹣1＞0，即lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，从而可得若n≥2，n∈N*，则有ln（+1）＜＜=﹣，从而化ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）为ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）＜1（n≥2，n∈N*）；从而证明．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=（x＞0），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，单调减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1]；（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，则F′（x）=，若﹣a≤e，即a≥﹣e，F（x）在[e，e2]上是增函数，F（x）max=F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，a≤，无解．若e＜﹣a≤e2，即﹣e2≤a＜﹣e，F（x）在[e，﹣a]上是减函数；在[﹣a，e2]上是增函数，F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1．F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，即a≤，∴﹣e2≤a≤．若﹣a＞e2，即a＜﹣e2，F（x）在[e，e2]上是减函数，F（x）max=F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1，∴a＜﹣e2，综上所述，a≤．（Ⅲ）证明：令a=﹣1，此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，∵n≥2，n∈N*，则有ln（+1）＜＜=﹣，要证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*），只需证ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）＜1（n≥2，n∈N*）；ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）＜（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣＜1；所以原不等式成立．点评：本题考查了导数的综合应用，放缩法证明不等式，裂项求和法等的应用，同时考查了恒成立问题及分类讨论的数学思想应用，属于难题．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（一）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交Ad的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．考点：相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）由BE是⊙O的切线，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，从而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．（2）先证明△BDE∽△ABE，可得，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，从而可得，即可得解．解答：解：（1）因为BE是⊙O的切线，所以∠EBD=∠BAD…（2分）又因为∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…（4分）所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（5分）（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以，…（7分）又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…（8分）所以，…（9分）所以AE•DC=AB•BE…（10分）点评：本题主要考查了相似三角形的判定，与圆有关的比例线段的应用，解题时要认真审题，注意圆的切线的性质的灵活运用，属于中档题．（二）选修4-4：坐标系与参数方程23．设函数f（x）=|x+2|+|2x﹣4|，g（x）=a+x．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）画出函数y=f（x）的图象，根据图象求使f（x）≥g（x）恒成立的实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；指数函数的图像变换．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，化简函数f（x）的解析式，分类讨论求得不等式f（x）≥g（x）的解集．（2）画出函数f（x）的图象，数形结合求得f（x）的最小值为f（2）=4，由题意可得f（2）≥g（2），由此求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=3时，函数f（x）=|x+2|+|2x﹣4|=，不等式即f（x）≥x+3．∴①或②或③．解①求得x＜﹣2，解②求得﹣2≤x≤，解③求得x≥，综上可得，不等式的解集为（﹣∞，]∪[，+∞）．（2）根据f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，如图所示：数形结合求得f（x）的最小值为f（2）=4，由于g（x）=a+x结合由题意可得f（2）≥g（2），即4≥a+2，求得a≤2．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．三、选修4-5：不等式选讲24．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点A（0，﹣），F1、F2是圆锥曲线C的左、右焦点．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|•|F1N|．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用cos2θ+sin2θ=1可得曲线C的普通方程，即可得出焦点坐标，得到直线l 的点斜式方程，化为极坐标方程即可；（2）直线的参数方程是（为参数），代入椭圆方程得5t2﹣4t﹣12=0，利用参数的意义即可得出．解答：解：（1）圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），∴普通方程为C：=1，A（0，﹣），F1（﹣1，0），F2（1，0），=，直线l的方程为y=（x+1），∴直线l极坐标方程为：，化为=．（2）直线的参数方程是（为参数），代入椭圆方程得5t2﹣4t﹣12=0，∴．∴|F1M|•|F1N|=．点评：本题考查了直线的直角坐标方程化为极坐标、椭圆的参数方程化为普通方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2015年辽宁省沈阳市中考数学试题及解析
2015年辽宁省沈阳市中考数学试卷一.选择题（每小题3分，共24分，只有一个答案是正确的）1．（3分）（2015•沈阳）比0大的数是（）C．﹣0.5 D．1A．﹣2 B．﹣2．（3分）（2015•沈阳）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）（2015•沈阳）下列事件为必然事件的是（）A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B．明天一定会下雨C．抛出的篮球会下落D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数4．（3分）（2015•沈阳）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B=40°，∠AED=60°，则∠A的度数是（）A．100°B．90°C．80°D．70°5．（3分）（2015•沈阳）下列计算结果正确的是（）A．a4•a2=a8B．（a5）2=a7C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．（ab）2=a2b2 6．（3分）（2015•沈阳）一组数据2、3、4、4、5、5、5的中位数和众数分别是（）A．3.5，5 B．4，4 C．4，5 D．4.5，47．（3分）（2015•沈阳）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形8．（3分）（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．二.填空题（每小题4分，共32分）9．（4分）（2015•沈阳）分解因式：ma2﹣mb2=．10．（4分）（2015•沈阳）不等式组的解集是．11．（4分）（2015•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm 为半径作⊙A，当AB=cm时，BC与⊙A相切．12．（4分）（2015•沈阳）某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数为602cm，若甲跳远成绩的方差为S甲2=65.84，乙跳远成绩的方差为S乙2=285.21，则成绩比较稳定的是．（填“甲”或“乙”）13．（4分）（2015•沈阳）在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球是黑球的概率为，那么袋中的黑球有个．14．（4分）（2015•沈阳）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB：DE=．15．（4分）（2015•沈阳）如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要s能把小水杯注满．16．（4分）（2015•沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=．三.解答题17．（8分）（2015•沈阳）计算：+|﹣2|﹣（）﹣2+（tan60°﹣1）0．18．（8分）（2015•沈阳）如图，点E为矩形ABCD外一点，AE=DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：（1）△EAB≌△EDC；（2）∠EFG=∠EGF．19．（10分）（2015•沈阳）我国是世界上严重缺失的国家之一，全国总用水量逐年上升，全国总用水量可分为农业用水量、工业用水量和生活用水量三部分．为了合理利用水资源，我国连续多年对水资源的利用情况进行跟踪调查，将所得数据进行处理，绘制了2008年全国总用水量分布情况扇形统计图和2004﹣2008年全国生活用水量折线统计图的一部分如下：（1）2007年全国生活用水量比2004年增加了16%，则2004年全国生活用水量为亿m3，2008年全国生活用水量比2004年增加了20%，则2008年全国生活用水量为亿m3；（2）根据以上信息，请直接在答题卡上补全折线统计图；（3）根据以上信息2008年全国总水量为亿；（4）我国2008年水资源总量约为2.75×104亿m3，根据国外的经验，一个国家当年的全国总用水量超过这个国家年水资源总量的20%，就有可能发生“水危机”．依据这个标准，2008年我国是否属于可能发生“水危机”的行列？并说明理由．20．（10分）（2015•沈阳）高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具，其平均速度是普通铁路列车平均速度的3倍，同样行驶690km，高速铁路列车比普通铁路列车少运行了4.6h，求高速铁路列车的平均速度．21．（10分）（2015•沈阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．（1）求∠OCA的度数；（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）22．（10分）（2015•沈阳）如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．（1）填空：n的值为，k的值为；（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；（3）考察反比函数y=的图象，当y≥﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．23．（12分）（2015•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式；（3）当m=35时，请直接写出t的值；（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．24．（12分）（2015•沈阳）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．（1）当点H与点C重合时．①填空：点E到CD的距离是；②求证：△BCE≌△GCF；③求△CEF的面积；（2）当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF 的面积．25．（14分）（2015•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），点C的坐标为（，），点D 的坐标为（，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R 不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．2015年辽宁省沈阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，共24分，只有一个答案是正确的）1．（3分）（2015•沈阳）比0大的数是（）C．﹣0.5 D．1A．﹣2 B．﹣考点：有理数大小比较．分析：正实数都大于0，负实数都小于0，据此判断即可．解答：解：A、B、C都是负数，故A 、B、C 错误；D、1是正数，故D正确；故选D ．点评：本题考查了有理数比较大小，正数大于0是解题关键．2．（3分）（2015•沈阳）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．解答：解：从左面看易得第一层有4个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选A．点评：本题考查了三视图的知识．注意左视图是指从物体的左边看物体．3．（3分）（2015•沈阳）下列事件为必然事件的是（）A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B．明天一定会下雨C．抛出的篮球会下落D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数考点：随机事件．分析：根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．解答：解：A、经过某一有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，故本选项错误；B、明天可能是晴天，也可能是雨天，属于不确定性事件中的可能性事件，故本选项错误；C、在操场上抛出的篮球会下落，是必然事件，故本选项正确；D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数为不确定事件，即随机事件，故本选项错误；故选：C．点评：本题考查的是事件的分类，即事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，熟知以上知识是解答此题的关键．4．（3分）（2015•沈阳）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B=40°，∠AED=60°，则∠A的度数是（）A．100°B．90°C．80°D．70°考点：平行线的性质；三角形内角和定理．分析：先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．解答：解：∵DE∥BC，∠AED=40°，∴∠C=∠AED=60°，∵∠B=40°，∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣40°﹣60°=80°．点评：本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．5．（3分）（2015•沈阳）下列计算结果正确的是（）A．a4•a2=a8B．（a5）2=a7C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．（ab）2=a2b2考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；完全平方公式．分析：运用同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式运算即可．解答：解：A．a4•a2=a6，故A错误；B．（a5）2=a10，故B错误；C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C错误；D．（ab）2=a2b2，故D正确，故选D．点评：本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．6．（3分）（2015•沈阳）一组数据2、3、4、4、5、5、5的中位数和众数分别是（）A．3.5，5 B．4，4 C．4，5 D．4.5，4考点：众数；中位数．分析：先把数据按大小排列，然后根据中位数和众数的定义可得到答案．解答：解：数据按从小到大排列：2、3、4、4、5、5、5，中位数是4；数据5出现3次，次数最多，所以众数是5．故选C．点评：本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．7．（3分）（2015•沈阳）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形考点：中点四边形．专题：计算题．分析：菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH 为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．解答：解：菱形，理由为：如图所示，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，且EF=HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵EH=BD，AC=BD，∴EF=EH，则四边形EFGH为菱形，故选B点评：此题考查了中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．8．（3分）（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象．分析：根据二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．解答：解：二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标．二.填空题（每小题4分，共32分）9．（4分）（2015•沈阳）分解因式：ma2﹣mb2=m（a+b）（a﹣b）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：应先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：ma2﹣mb2，=m（a2﹣b2），=m（a+b）（a﹣b）．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解．10．（4分）（2015•沈阳）不等式组的解集是﹣2≤x＜3．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：，由①得：x＜3，由②得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，故答案为：﹣2≤x＜3点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（4分）（2015•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm 为半径作⊙A，当AB=6cm时，BC与⊙A相切．考点：切线的判定．分析：当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．解答：解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC，∠B=30°，∴AD=AB，即AB=2AD．又∵BC与⊙A相切，∴AD就是圆A的半径，∴AD=3cm，则AB=2AD=6cm．故答案是：6．点评：本题考查了切线的判定．此题利用了切线的定义和含30度角的直角三角形的性质得到AB的长度的．12．（4分）（2015•沈阳）某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数为602cm，若甲跳远成绩的方差为S甲2=65.84，乙跳远成绩的方差为S乙2=285.21，则成绩比较稳定的是甲．（填“甲”或“乙”）考点：方差．分析：根据方差的意义进行判断．解答：解：∵S甲2=65.84，S乙2=285.21，∴S甲2＜S乙2，∴甲的成绩比乙稳定．故答案为甲．点评：本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．13．（4分）（2015•沈阳）在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球是黑球的概率为，那么袋中的黑球有4个．考点：概率公式．分析：首先设袋中的黑球有x个，根据题意得：=，解此分式方程即可求得答案．解答：解：设袋中的黑球有x个，根据题意得：=，解得：x=4，经检验：x=4是原分式方程的解．即袋中的黑球有4个．故答案为：4．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（4分）（2015•沈阳）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB：DE=2：3．考点：位似变换．分析：由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质，即可得AB∥DE，即可求得△ABC的面积：△DEF面积=，得到AB：DE═2：3．解答：解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF面积=（）2=，∴AB：DE=2：3，故答案为：2：3．点评：此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．15．（4分）（2015•沈阳）如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要5s能把小水杯注满．考点：一次函数的应用．分析：一次函数的首先设解析式为：y=kx+b，然后利用待定系数法即可求得其解析式，再由y=11，即可求得答案．解答：解：设一次函数的首先设解析式为：y=kx+b，将（0，1），（2，5）代入得：，解得：，∴解析式为：y=2x+1，当y=11时，2x+1=11，解得：x=5，∴至少需要5s能把小水杯注满．故答案为：5．点评：此题考查了一次函数的实际应用问题．注意求得一次函数的解析式是关键．16．（4分）（2015•沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=2﹣3．考点：旋转的性质．分析：连接BH，由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL证明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，由三角函数求出AH，得出EH、FH，再求出KH=2FH，即可求出AK．解答：解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，∴AH=AB•tan∠ABH=×=1，∴EH=1，∴FH=﹣1，在Rt△FKH中，∠FKH=30°，∴KH=2FH=2（﹣1），∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；故答案为：2﹣3．点评：本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三.解答题17．（8分）（2015•沈阳）计算：+|﹣2|﹣（）﹣2+（tan60°﹣1）0．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：先算立方根，绝对值，负整数指数幂和0指数幂，再算加减，由此顺序计算即可．解答：解：原式=3+﹣2﹣9+1=﹣7．点评：此题考查实数的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．18．（8分）（2015•沈阳）如图，点E为矩形ABCD外一点，AE=DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：（1）△EAB≌△EDC；（2）∠EFG=∠EGF．考点：全等三角形的判定与性质；矩形的性质．专题：证明题．分析：（1）先由四边形ABCD是矩形，得出AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°．由EA=ED，得出∠EAD=∠EDA，根据等式的性质得到∠EAB=∠EDC．然后利用SAS即可证明△EAB≌△EDC；（2）由△EAB≌△EDC，得出∠AEF=∠DEG，根据三角形外角的性质得出∠EFG=∠EAF+∠AEF，∠EGF=∠EDG+∠DEG，即可证明∠EFG=∠EGF．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°．∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠EAB=∠EDC．在△EAB与△EDC中，，∴△EAB≌△EDC（SAS）；（2）∵△EAB≌△EDC，∴∠AEF=∠DEG，∵∠EFG=∠EAF+∠AEF，∠EGF=∠EDG+∠DEG，∴∠EFG=∠EGF．点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及等式的性质，证明出△EAB≌△EDC是解题的关键．19．（10分）（2015•沈阳）我国是世界上严重缺失的国家之一，全国总用水量逐年上升，全国总用水量可分为农业用水量、工业用水量和生活用水量三部分．为了合理利用水资源，我国连续多年对水资源的利用情况进行跟踪调查，将所得数据进行处理，绘制了2008年全国总用水量分布情况扇形统计图和2004﹣2008年全国生活用水量折线统计图的一部分如下：（1）2007年全国生活用水量比2004年增加了16%，则2004年全国生活用水量为625亿m3，2008年全国生活用水量比2004年增加了20%，则2008年全国生活用水量为750亿m3；（2）根据以上信息，请直接在答题卡上补全折线统计图；（3）根据以上信息2008年全国总水量为5000亿；（4）我国2008年水资源总量约为2.75×104亿m3，根据国外的经验，一个国家当年的全国总用水量超过这个国家年水资源总量的20%，就有可能发生“水危机”．依据这个标准，2008年我国是否属于可能发生“水危机”的行列？并说明理由．考点：折线统计图；扇形统计图．专题：计算题．分析：（1）设2004年全国生活用水量为x亿m3，利用增长率公式得到x•（1+16%）=725，解得x=625，然后计算用（1+20%）乘以2004的全国生活用水量得到2008年全国生活用水量；（2）补全折线统计图即可；（3）用2008年全国生活用水量除以2008年全国生活用水量所占的百分比即可得到2008年全国总水量；（4）通过计算得到2.75×104×20%=5500＞5000，根据题意可判断2008年我国不属于可能发生“水危机”的行列．解答：解：（1）设2004年全国生活用水量为x亿m3，根据题意得x•（1+16%）=725，解得x=625，即2004年全国生活用水量为625亿m3，则2008年全国生活用水量=625×（1+20%）=750（亿m3）；（2）如图：（3）2008年全国总水量=750÷15%=5000（亿）；（4）不属于．理由如下：2.75×104×20%=5500＞5000，所以2008年我国不属于可能发生“水危机”的行列．故答案为625，750，5000．点评：本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图．20．（10分）（2015•沈阳）高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具，其平均速度是普通铁路列车平均速度的3倍，同样行驶690km，高速铁路列车比普通铁路列车少运行了4.6h，求高速铁路列车的平均速度．考点：分式方程的应用．分析：设高速铁路列车的平均速度为xkm/h，根据高速铁路列车比普通铁路列车少运行了4.6h列出分式方程，解分式方程即可，注意检验．解答：解：设高速铁路列车的平均速度为xkm/h，根据题意，得：，去分母，得：690×3=690+4.6x，解这个方程，得：x=300，经检验，x=300是所列方程的解，因此高速铁路列车的平均速度为300km/h．点评：本题考查了分式方程的应用；根据时间关系列出分式方程时解决问题的关键，注意解分式方程必须检验．21．（10分）（2015•沈阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．（1）求∠OCA的度数；（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）考点：扇形面积的计算；圆内接四边形的性质；解直角三角形．分析：（1）根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D=180°，根据∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，从而求得∠D=60°，最后根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°；（2）首先根据∠COB=3∠AOB得到∠AOB=30°，从而得到∠COB为直角，然后利用S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC求解．解答：解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D=180°，∵∠ABC=2∠D，∴∠D+2∠D=180°，∴∠D=60°，∴∠AOC=2∠D=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°；（2）∵∠COB=3∠AOB，∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，∴∠AOB=30°，∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，在Rt△OCE中，OC=2，∴OE=OC•tan∠OCE=2•tan30°=2×=2，∴S△OEC=OE•OC=×2×2=2，∴S扇形OBC==3π，∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC=3π﹣2．点评：本题考查了扇形面积的计算，院内接四边形的性质，解直角三角形的知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差．22．（10分）（2015•沈阳）如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．（1）填空：n的值为3，k的值为12；（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；（3）考察反比函数y=的图象，当y≥﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．考点：反比例函数综合题．分析：（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x﹣3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数y=，得到k的值为8；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，0），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB=，根据AAS 可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标；（3）根据反比函数的性质即可得到当y≥﹣2时，自变量x的取值范围．解答：解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x﹣3，可得n=×4﹣3=3；把点A（4，3）代入反比例函数y=，可得3=，解得k=12．（2）∵一次函数y=x﹣3与x轴相交于点B，∴x﹣3=0，解得x=2，∴点B的坐标为（2，0），如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，∵A（4，3），B（2，0），∴OE=4，AE=3，OB=2，∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，在Rt△ABE中，AB===，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=，AB∥CD，∴∠ABE=∠DCF，∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，∴∠AEB=∠DFC=90°，在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴CF=BE=2，DF=AE=3，∴OF=OB+BC+CF=2++2=4+，∴点D的坐标为（4+，3）．（3）当y=﹣2时，﹣2=，解得x=﹣6．故当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣6或x＞0．故答案为：3，12．点评：本题考查了反比例函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，菱形的性质和全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，综合性较强，有一定的难度．23．（12分）（2015•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式；（3）当m=35时，请直接写出t的值；（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．考点：一次函数综合题．分析：（1）利用等腰三角形的性质以及勾股定理结合B点坐标得出A，C点坐标；（2）利用锐角三角函数关系结合（1）中所求得出PR，QP的长，进而求出即可；（3）利用（2）中所求，利用当0＜t＜30时，当30≤t≤60时，分别利用m与t的关系式求出即可；（4）利用相似三角形的性质，得出M点坐标即可．解答：解：（1）如图1，过点A作AD⊥OB，垂足为D，过点C作CE⊥OB，垂足为E，∵OA=AB，∴OD=DB=OB，∵∠OAB=90°，∴AD=OB，∵点B的坐标为：（60，0），∴OB=60，∴OD=OB=×60=30，∴点A的坐标为：（30，30），∵直线l平行于y轴且当t=40时，直线l恰好过点C，∴OE=40，在Rt△OCE中，OC=50，由勾股定理得：CE===30，∴点C的坐标为：（40，﹣30）；（2）如图2，∵∠OAB=90°，OA=AB，∴∠AOB=45°，∵直线l平行于y轴，∴∠OPQ=90°，∴∠OQP=45°，∴OP=QP，∵点P的横坐标为t，∴OP=QP=t，在Rt△OCE中，OE=40，CE=30，∴tan∠EOC=，∴tan∠POR==，∴PR=OP•tan∠POR=t，∴QR=QP+PR=t+t=t，∴当0＜t＜30时，m关于t的函数关系式为：m=t；（3）由（2）得：当0＜t＜30时，m=35=t，解得：t=20；如图3，当30≤t≤60时，∵OP=t，则BP=QP=60﹣t，∵PR∥CE，∴△BPR∽△BEC，∴=，∴=，解得：PR=90﹣t，则m=60﹣t+90﹣t=35，解得：t=46，综上所述：t的值为20或46；（4）如图4，当∠PMB+∠POC=90°且△PMB的周长为60时，此时t=40，直线l恰好经过点C，则∠MBP=∠COP，故此时△BMP∽△OCP，则=，即=，解得：x=15，故M1（40，15），同理可得：M2（40，﹣15），综上所述：符合题意的点的坐标为：M1（40，15），M2（40，﹣15）．点评：此题主要考查了一次函数综合以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．24．（12分）（2015•沈阳）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．（1）当点H与点C重合时．①填空：点E到CD的距离是2；②求证：△BCE≌△GCF；③求△CEF的面积；（2）当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF 的面积．考点：四边形综合题．分析：（1）①解直角三角形即可；②根据平行四边形的性质和折叠的性质得出∠B=∠G，∠BCE=∠GCF，BC=GC，然后根据AAS即可证明；③过E点作EP⊥BC于P，设BP=m，则BE=2m，通过解直角三角形求得EP=m，然后根据折叠的性质和勾股定理求得EC，进而根据三角形的面积就可求得；（2）过E点作EQ⊥BC于Q，通过解直角三角形求得EP=n，根据折叠的性质和勾股定理求得EH，然后根据三角形相似对应边成比例求得MH，从而求得CM，然后根据三角形面积公式即可求得．解答：解：（1）如图1，①作CK⊥AB于K，∵∠B=60°，∴CK=BC•sin60°=4×=2，∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，∴点E到CD的距离是2，故答案为2；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCE=∠GCF，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（AAS）；③过E点作EP⊥BC于P，∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴EP=BE•sin60°=2m×=m，由折叠可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6﹣2m，∵BC=4，∴PC=4﹣m，在RT△ECP中，由勾股定理得（4﹣m）2+（m）2=（6﹣2m）2，解得m=，∴EC=6﹣2m=6﹣2×=，∵△BCE≌△GCF，∴CF=EC=，∴S△CEF=××2=；（2）①当H在BC的延长线上时，如图2，过E点作EQ⊥BC于Q，∵∠B=60°，∠EQB=90°，∴∠BEQ=30°，∴BE=2BQ，设BQ=n，则BE=2n，∴QE=BE•sin60°=2n×=n，由折叠可知，AE=HE，∵AB=6，∴AE=HE=6﹣2n，∵BC=4，CH=1，∴BH=5，∴QH=5﹣n，在RT△EHQ中，由勾股定理得（5﹣n）2+（n）2=（6﹣2n）2，解得n=，∴AE=HE=6﹣2n=，∵AB∥CD，∴△CMH∽△BEH，∴=，即=，∴MH=，∴EM=﹣=∴S△EMF=××2=．②如图3，当H在BC的延长线上时，过E点作EQ⊥BC于Q，∵∠B=60°，∠EQB=90°，∴∠BEQ=30°，∴BE=2BQ，设BQ=n，则BE=2n，∴QE=BE•sin60°=2n×=n，由折叠可知，AE=HE，∵AB=6，∴AE=HE=6﹣2n，∵BC=4，CH=1，∴BH=3∴QH=3﹣n在RT△EHQ中，由勾股定理得（3﹣n）2+（n）2=（6﹣2n）2，解得n=∴BE=2n=3，AE=HE=6﹣2n=3，∴BE=BH，∴∠B=60°，∴△BHE是等边三角形，∴∠BEH=60°，∵∠AEF=∠HEF，∴∠FEH=∠AEF=60°，∴EF∥BC，∴DF=CF=3，∵AB∥CD，∴△CMH∽△BEH，∴=，即=，∴CM=1∴EM=CF+CM=4∴S△EMF=×4×2=4．综上，△MEF的面积为或4．点评：本题是四边形综合题，考查了解直角三角形，平行四边形的性质，折叠的性质勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键．25．（14分）（2015•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣1，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R 不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．考点：二次函数综合题．分析：（1）令x=0，求得A（0，2），令y=0，求得B（﹣3，0），C（1，0），由y=﹣x2。
辽宁省沈阳市2015年省高二数学学业水平模拟考试(一)试题
2015年辽宁省沈阳市普通高中学生学业水平考试模拟卷〔一〕数 学1．考试采用书面答卷闭卷方式，考试时间90分钟，总分为100分； 2．本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部.第1卷一、选择题：本大题共12小题，每一小题3分，共36分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕假设集合}31|{≤≤-=x x A ，}2|{>=x x B ，如此=B A 〔 〕 A. }21|{≤≤-x x B. }21|{<≤-x x C. }32|{≤<x x D. }32|{≤≤x x 〔2〕假设54cos -=α，且α是第三象限角，如此=αtan 〔 〕 A. 43- B.43 C.34 D ．34-〔3〕函数)2(log )(23--=x x x f 的定义域为 〔〕A. }12|{-<>x x x 或B. }21|{<<-x xC. }12|{<<-x xD. }21|{-<>x x x 或 〔4〕数列}{n a 是等比数列，且1,8141-==a a ，如此}{n a 的公比q 为〔〕 A.2 B.2- C. 21 D.21-〔5〕一个正三棱柱〔底面是正三角形，高等于侧棱长〕 的三视图如下列图，这个正三棱柱的外表积是〔〕 A.8 B.24 C.43+24 D.83+24 〔6〕在某体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下:90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差 分别是〔 〕A.92,2B.92,2.8C.93,2D.93,2.8〔7〕向量)2,1(-=a ，)2,3(),1,(-=-=c m b ，假设c b a ⊥-)(，如此m 的值是〔 〕A.27B.35C.3D.3- 〔8〕ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，假设1=a ， 45=∠B ,2=∆ABC S 如此b 等于〔 〕 A.5B.25C.41D.52〔9〕正数b a ,满足1=ab ，如此b a 2+的最小值为〔 〕 A.2 B.22 C.23D.3 〔10〕设)(x f 是定义域为R 的奇函数，且当0>x 时，x x x f -=2)(，如此=-)2(f 〔 〕 A.2B.2- C.6D.6-〔11〕直线4+=x y 与圆22)3()(-+-y a x 8=相切，如此a 的值为〔 〕 A. 3 B.22 C.3或5- D. 3-或5 〔12〕执行如右程序框图，输出的结果为〔 〕A ．1B ．2C ．4D ．16第2卷二、填空题：本大题共4小题，每一小题3分，共12分.〔13〕点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤22x x y x y 表示的平面区域内，如此y x z +=的最大值为．〔14〕在边长为2的正方形面内随即取一点，取到的点到正方形中心的距离小于1的概率为． 〔15〕假设31)2sin()sin(=+++x x ππ，如此=x 2sin __． 〔16〕函数⎩⎨⎧>-≤=)1(,)1(,3)(x x x x f x ，假设2)(=x f ，如此=x __．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〔17〕〔本小题总分为10分〕函数2()2cos 2sin f x x x =+ 〔Ⅰ〕求()3f π的值；〔Ⅱ〕求()f x 的最大值和最小值〔18〕〔本小题总分为10分〕某地区有有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进展视力调查。
2015届东北三省三校高三3月第一次联合理科数学模拟考试(含答案)
2015届东北三省三校高三第一次联合模拟试题理科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合2{|30}A x x x =-->，{|1}B x x =<-，则A B = （ ）A ．{|31}x x -<<-B ．{|30}x x -<<C ．{|1}x x <-D ．{|0}x x > 2．命题“若1x >，则0x >”的否命题是A ．若1x >，则0x ≤B ．若1x ≤，则0x >C ．若1x ≤，则0x ≤D ．若1x <，则0x <3．已知11xyi i=-+，其中x ，y 是实数，i 是叙述单位，则x +yi 的共轭复数为（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 4．已知数列{}n a 是等差数列，且1232a a a π++=，则的值为A B ．C D ．5．与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点的双曲线的标准方程为A ．2213y x -=B ．2221y x -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=6．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少1名教师，则不同的分配方案种数为A ．12B ．36C ．72D ．1087．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是A ．5B ．6C ．7D ．88．若n 的展开式中第四项为常数项，则n =A ．4B ．5C ．6D ．79．已知sin()y A x k ωϕ=++函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为A ．4sin(4)6y x π=+ B ．2sin(2)23y x π=++ C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++10．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB = BC= ，AC = 2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为A ．1256πB ．8πC ．254πD ．2516π11．若点P 在抛物线24y x =上，则点P 到点A （2,3）的距离与点P 到抛物线焦点的距离之差A ．有最小值，但无最大值B ．有最大值，但无最小值C ．既无最小值，又无最大值D ．既有最小值，又有最大值12．已知ln ()ln 1xf x x x=-+，()f x 在0x x =处取得最大值，以下各式正确的序号为 ①00()f x x < ②00()f x x = ③00()f x x > ④01()2f x < ⑤01()2f x >A ．①④B ．②④C ．②⑤D ．③⑤第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题要求考生必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。
15年高考真题——理科数学(新课标II卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试新课标II 卷数学（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，()(){}|120B x x x =-+<，则AB =( )（A ）{}1,0- （B ）{}0,1 （C ）{}1,0,1- （D ）{}0,1,22．若a 为实数且()()224ai a i i +-=-，则a =( ) （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是（ ） （A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ）2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C ）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=( ) （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）845．设函数()()()()211log 2121x x x f x x -+-<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()()22log 12f f -+= ( )（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) （A ）1 （B ）17 （C ）16 （D ）157．过三()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交于y 轴于,M N 两点，则||MN =( ) （A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）108．右边程序抗土的算法思路源于我国古代数 学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =( ) （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）149．设,A B 是球O 的球面上两点，090AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) （A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=，将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()f x 的图像大致为（ ）11．已知,A B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为0120，则E 的离心率为( ) （A（B ）2 （C（D12．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) （A ）()(),10,1-∞-（B ）()()1,01,-+∞ （C ）()(),11,0-∞-- （D ）()()0,11,+∞二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
辽宁省沈阳市2015届高三四校联考数学(理)试题及答案
2014-2015学年度高三四校联考数学试题（理）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知全集R U =，{}{}034|,2|2>+-=<=x x x B x x A ，则)(B C A U ⋂等于{}31|.<≤x x A {}12|.<≤-x x B {}21|.<≤x x C {}32|.≤<-x x D2.设R b a ∈,，则“0>>b a ”是“ba 11<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.函数9ln )(3-+=x x x f 的零点所在的区间为( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 4．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若336=S S ，则69S S = A. 2 B.37C.38D. 3 5. 定义在R 上的函数)(x f 满足)()6(x f x f =+，当13-≤≤-x 时，2)2()(+-=x x f ，当31<≤-x 时，x x f =)(.则=+++)2012(...)2()1(f f f A ．335 B ．338 C ．1678 D ．20126.已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是 A.()1,2 B.(][),12,-∞+∞ C.[]1,2D.()(),12,-∞+∞7．已知函数1212)(+-=x x x f ，则不等式0)4()2(2<-+-x f x f 的解集为（ ）A .()1,6-B .()6,1-C.()2,3-D.()3,2-8. 已知函数⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2,0)sin()(πϕωϕωx x f 的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到 的函数为奇函数，则函数)(x f y =的图像 （ ）A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B.关于直线12π=x 对称 C.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,125π对称 D.关于直线125π=x 对称9.已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线斜率为3，数列})(1{n f 的前n 项和为n S ，则2014S 的值为 A.20132012B.20142013C.20152014D.2016201510.下列四个图中，函数11101++=x x n y 的图象可能是( )11.已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)21(21f a =，)2(2--=f b ，)21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ． b c a <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c <<12.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对),0(+∞∈∀x ，有)1()()2(f x f x f -=+，且当[]3,2∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1(log )(+-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点，则a 的取值范围是 ( ) A.)22,0(B.)33,0( C.)55,0( D.)66,0(二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为6，则ba 21+的最小值为______________ __. 14. 函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ． 15.在AOB ∆中，G 为AOB ∆的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且︒=∠60AOB .若6=⋅的最小值是____ ____．16. 对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()f x ''是函数()y f x =的导数()y f x '= 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现，函数()32331f x x x x =-++对称中心为 ．三．解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数22()3cos 2sin cos sin f x x x x x =++． （1）求()f x 的最大值，并求出此时x 的值； （2）写出()f x 的单调区间．18.（本小题满分12分）已知()()()23sin cos 02f x x x x ππωωωω⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为T π=.（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）在ABC ∆中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若有()2cos cos a c B b C -=，则求角B 的大小以及()f A 的取值范围.19.（本小题满分12分）数列{n a }的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{n b }满足140b S +=，91b a =． （1）求数列{n a }，{n b }的通项公式； （2）若()1(16)18n n n c b b =++，求数列{}n c 的前n 项和n W .20.（本小题满分12分）已知函数23)(bx ax x f +=的图象经过点)4,1(M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线09=+y x 垂直． （1）求实数b a ,的值；（2）若函数)(x f 在区间[]1,+m m 上单调递增，求m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=,且32a +是2a ,4a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =⋅,12n n S b b b =+++ ,求n S .22.（本小题满分12分）已知函数2()ln()f x x a x x =+-+,2()1(0)x g x x e x x =⋅-->,且()f x 点1x =处取得极值． （1）求实数a 的值； （2）若关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间[1,3]上有解，求b 的取值范围； （3）证明：()()g x f x ≥．答案（理）二．填空题：13.3348+ 14. 4 15. 2 16. (1 ,2)三． 解答题：17.（10分）解：（1）3(1cos2)1cos2()sin 222x xf x x +-=++sin 2cos 22x x =++)24x π=++所以()f x 的最大值为2,Z 8x k k ππ=+∈.………………………5分（2）由222242k x k πππππ-≤+≤+得388k x k ππππ-≤≤+；所以()f x 单调增区间为：3[,],Z 88k k k ππππ-+∈；由3222242k x k πππππ+≤+≤+得588k x k ππππ+≤≤+所以()f x 单调减区间为：5[,],Z 88k k k ππππ++∈。
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2015年东北三省四市2模数学理科
1．已知全集U=R，A={x||x|＜2}，B={x|x2﹣4x+3＞0}，则A∩（∁U B）等于（）A．{x|1≤x＜3} B．{x|﹣2≤x＜1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|﹣2＜x≤3}
2．设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．函数f（x）=lnx+x3﹣9的零点所在的区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
4．设等比数列{a n}的前n项和为S n ，若=3，则=（）A．2 B．
C．
D． 3
5．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）
A．335 B．338 C．1678 D．2012
6．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，+∞）上是增函数，则常数a的
取值范围是（）
A．（1，2）B．（﹣∞，1]∪[2，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
7．已知函数，则不等式f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0的解集为（）
A．（﹣1，6）B．（﹣6，1）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）
8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为
奇函数，则函数y=f（x）的图象（）
A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称9．已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2014的值为（）
A．
B．
C．
D．
10．）下列四个图中，函数y=的图象可能是（）
A．
B．
C．
D．
11．已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f （），b=﹣2f （﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）
A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）
13．设x，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则的最小值为．
14．f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=4．
15．在△AOB中，G为△AOB的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且∠AOB=60°．若•=6，则||的最小值是．
16．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心．”请你根据这一发现，函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1对称中心为．
17．已知f（x）=sin（π+ωx）sin （﹣ωx）﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．
（1）求f （）的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有（2a﹣c）cosB=bcosC，则求角B的大小以及f（A）的取值范围．
18．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：
学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院
人数 4 6 4 6
（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；
（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=AA1=3，BC=1，E1为A1B1中点．
（Ⅰ）证明：B1D∥平面AD1E1；
（Ⅱ）若AC⊥BD，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值．
20已知椭圆C ：+y2=1与直线l：y=kx+m相交于E、F两不同点，且直线l与圆O：x2+y2=相切于点W（O坐标原点）．
（Ⅰ）证明：OE⊥OF；（Ⅱ）设λ=，求实数λ的取值范围．
21．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2+x，g（x）=x•e x﹣x2﹣1（x＞0），且f（x）点x=1处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[1，3]上有解，求b的取值范围；
（Ⅲ）证明：g（x）≥f（x）．。