全国各地九年级数学中考试题压轴题精选(共两讲)

“他山之石可以攻玉” 【编者的话】 新课改后的中考数学压轴题已从传统的考察知识点多、难度大、复杂程度高的综合题型，逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等。但纵观全国各省、市的中考数学试题，它的压轴题均是借鉴于上年各地的中考试题演变而来。所以，研究上年各地的中考试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向。只的这样，学生能力得以的培养，解题方法、技巧得以掌握，学生才能顺利地解答未来中考的压轴题。

2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座一 几何与函数问题 【知识纵横】 客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。 【典型例题】

【例1】（上海市）已知24ABAD，，90DAB，ADBC∥（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点． （1）设BEx，ABM△的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；

（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以AND，，为顶点的三角形与BME△相似，求 线段BE的长．

【思路点拨】（1）取AB中点H，联结MH；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。 B A D M E C B

A D C 备用图 【例2】（山东青岛）已知：如图（1），在RtACB△中，90C，4cmAC，3cmBC，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为(s)t（02t），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQBC∥？ （2）设AQP△的面积为y（2cm），求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB△的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由； （4）如图（2），连接PC，并把PQC△沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

图（1） 图（2） 【思路点拨】（1）设BP为t，则AQ = 2t，证△APQ ∽△ABC；（2）过点P作PH⊥AC于H． （3）构建方程模型，求t；（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP ′ C是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值。

【例3】（山东德州）如图（1）,在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．

（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ （3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

A B C M N D O A

B C M N P O

A

B C M N

P O

A Q C P B A Q

C

P B

P 图（1） 图（2） 图（3） 【思路点拨】（1）证△AMN ∽ △ABC；（2）设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，先求出OD（用x的代数式表示），再过M点作MQ⊥BC 于Q，证△BMQ∽△BCA；（3）先找到图形娈化的分界点，x＝2。然后 分两种情况讨论求y的最大值： ① 当0＜x≤2时， ② 当2＜x＜4时。

【学力训练】 1、（山东威海） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F． （1）求梯形ABCD的面积； （2）求四边形MEFN面积的最大值． （3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

2、（浙江温州市）如图，在RtABC△中，90A，6AB，8AC，DE，分别是边ABAC，的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA∥交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQx，QRy． （1）求点D到BC的距离DH的长； （2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P，使PQR△为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

3、（湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG． （2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和 △CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求 MB

DCE

F

Gx

A

C D

A B E F

N M

A B C D E R P

H Q 出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何 值时,y有最大值，最大值是多少？

4、（浙江台州）如图，在矩形ABCD中，9AB，33AD，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQBD∥，交CD边于Q点，再把PQC△沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，PQR△与矩形ABCD重叠部分的面积为y． （1）求CQP的度数； （2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？ （3）①求y与x之间的函数关系式；

②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？

几何与函数问题的参考答案 【典型例题】 【例1】（上海市）（1）取AB中点H，联结MH，

M为DE的中点，MHBE∥，1()2MHBEAD．

又ABBE，MHAB． 12ABMSABMH△，得12(0)2yxx；

（2）由已知得22(4)2DEx． 以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切， 1122MHABDE，即2211(4)2(4)222xx．

解得43x，即线段BE的长为43；

D Q C

B P R A B A D C （备用图1） B A

D C

（备用图2） （3）由已知，以AND，，为顶点的三角形与BME△相似， 又易证得DAMEBM． 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADNBEM；②ADBBME． ①当ADNBEM时，ADBE∥，ADNDBE．DBEBEM． DBDE，易得2BEAD．得8BE；

②当ADBBME时，ADBE∥，ADBDBE． DBEBME．又BEDMEB，BEDMEB△∽△．

DEBEBEEM，即2BEEMDE，得2222212(4)2(4)2xxx．

解得12x，210x（舍去）．即线段BE的长为2． 综上所述，所求线段BE的长为8或2． 【例2】（山东青岛）（1）在Rt△ABC中，522ACBCAB， 由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t， 若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC， ∴ACAQABAP，∴5542tt，∴710t． （2）过点P作PH⊥AC于H． ∵△APH ∽△ABC， ∴BCPHABAP，∴3PH55t，∴tPH533， ∴ttttPHAQy353)533(221212． （3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ． ∴)24(32)5(tttt， 解得：1t．

若PQ把△ABC面积平分，则ABCAPQSS21， 即－253t＋3t=3． ∵ t=1代入上面方程不成立， ∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分． （4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N， 若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC． ∵PM⊥AC于M，∴QM=CM． ∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．

图① B A Q P

C H

P ′ B A Q

P C 图② M

N