辽宁师范大学计算机与信息技术学院

辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
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《数字图像处理的信号基础》
连续时间傅里叶变换(CTFT)
能量密度谱

一个有限能量的连续时间复信号的总能量等于
将其中的
e = xt t = )d ( x a 蝌
?
+ ?
2
? ?
* xtxtd t ) ) ( ( a a
x (t)
* a
用逆CTFT代换,则有
a
之外为0,即
b

理想带限信号是不可能产生的 . 实际中只能保证带限信号在其频率范 围之外的能量足够小 根据绝大部分能量集中的频率段分类:
低通:
ì ï 1 , ï X j W =í ) a( ï , ï î00bFra biblioteka
,
称为信号的带宽
高通:
带通:
0 0 0
p L
p
W
p
H
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绝对可和序列必定是能量有限的
能量有限序列不一定是绝对可和的 例:
2 + ? ? ì ï 1 / n( n ³1 ) 骣 1 p 1 ï ÷ ç x n ,邋 , [ ]í ÷ ç ÷ 6 ç ï 桫 0 n < 1 n n ) ( n = 1 n = 1 ï î
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,求其CTFT. -a t ì ï e t³ 0 ) ( ï x t =í ,a>0 a() ï 0 ( t<0 ) ï î 由于 ,它的傅里叶变换为 + ? ? 1 -a t x td t = e d t = < ? ) ( a 蝌 -? 0 a

例1:令
X j W =蝌 e e d t= ) ( a
举例:求
骣 1 W 1 1 ÷ ç = g a r c t a n = g p = ÷ ç ÷ ç 桫 2 p a a 2 p a 2 a -?
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+ ?
《数字图像处理的信号基础》
连续时间傅里叶变换(CTFT)
带限连续时间信号

理想带限信号在有限频率范围
0
+ ?
-a t -j W t
? -a j ) t ( +W 0
e
d t
- ja r c t a n W / a ( ) 2 2 = 1 a +j W = e a + W ) (
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《数字图像处理的信号基础》
连续时间傅里叶变换(CTFT)
连续时间信号的傅里叶变换定义
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《数字图像处理的信号基础》
离散时间傅里叶变换(DTFT)
正变换

序列x[n]的DTFT
: X (的定义如下 e jw )
X( e

jw
)= å
n
+?
n xne [ ] - jw
例:计算指数序列
j w
n =- ?
xn =am n( a< 1 [] [] )
示例
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《数字图像处理的信号基础》
离散时间傅里叶变换(DTFT)
收敛条件

DTFT 是一个无限求和的级数,可能收敛也可能不收敛 只要
n= - ?
å
+?
x[n] < + ?
j w
,则有
+ ? -j w n ?

n = -? n-? x[n]的DTFT收敛的充分条件是序列绝对可和
X e) =邋 x n e [ ] (
?
x n ? [ ]+
一致收敛

若
k ? ?
,则级数一致收敛
j w j w l i m Xe = X e ( ) ( ) ,其DTFT的无穷级数对所有 k 对于一个绝对可和的序列
都是一致收敛的
w
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《数字图像处理的信号基础》

根据傅里叶变换的定义,有

-? 自相关函数与能量密度谱构成一个傅里叶变换对
-j W l S W = r l e d W ) ( () x x x ò x
+ ?
当
时,
互能量密度谱 l= 0
1 +? r 0= ò S W d W ) x x() x x( ? 2 p
+ ?
1? jl W rl = ftft l d t = F j W F j W e d W ) ) ) ( ( ( ()() x y 1 2 1 2 蝌 ? ? 2 p
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《数字图像处理的信号基础》
离散时间傅里叶变换(DTFT)
收敛条件

2 p w w c 1 1 j w c 由于 å hn = H e d w = d w = [ ] ( ) L P L P 蝌 p w c 2 p 2 p p n = ? 是能量有限的,但不是绝对可和的 h L P [n ] 2 + ?
()
()
( )
例 :设
jw
,求其逆DTFT
ì ï 0＃ w w c) ï1 ( e )=í n≠H 0时 ,( L P ï w ?p ) ï c< w ï î0 ( c 1 p 1 w jw jw n jw n h n = H e e d w = e d w [ ] ( ) L P L P 蝌 p w 2 p 2 p c jw n - jw n c c 骣 s i n w n ) ( 1 e e c ÷ n=0时, ÷ = ç = ç ÷ ç 2 pç j n j n ÷ p n 桫 c 1p 1w w j w h 0 = H e d w = d w = [ ] 蝌 ( ) L P L P p w c 2 p 2 p p
轾 1 ? * 在绝对可积的情况 -j W t 犏 e = xt Xj W e d W d t ) ( () x 蝌 a a ? ? 下,交换积分次序 犏 2 p 臌 ? ? 1 + 轾 * -j W t = 蝌 Xj W xte d t d W ) ) ( ( 犏 a a ? 犏 2 p-? 臌 ? 2 1+ 1 ? * =蝌 X j WW X j d W = X j W d W () () () a a a ? 2 p 2 p?
积分范围也可以是[0,2π]
基本性质

极坐标形式:
直角坐标形式:
X ( e jw )
j qw () Xe = Xe e ( ) ( ) 称为幅度谱, 称为相位谱 j w j w
,其中
qw =a r g Xe () ( jw)
{
}
q (w )
j w j w j w X e = Xe + j Xe ( ) ( ) ( ) r e i m
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《数字图像处理的信号基础》
离散时间傅里叶变换(DTFT)
JPEG中的吉布斯现象
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《数字图像处理的信号基础》
离散时间傅里叶变换(DTFT)
基于小波的视频编码中的吉布斯现象
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例2:计算理想冲激函数
的 d (CTFT. t)
+ ? -?

例3:计算移位冲激函数
-j W t (抽样性质) D j W = d te d t= 1 ) ( () ò
x t =d t- t0) ( a()
+ ?
的CTFT.
-j W t -j W t 0 Xj W = d t t e d t = e ) ) ( ( a 0 ò ?
X a ( j W)
qa (W)
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《数字图像处理的信号基础》
连续时间傅里叶变换(CTFT)
连续时间信号的傅里叶变换定义

CTFT存在的条件(狄利克雷Dirichlet条件)
在任何一个有限的区间内 ,信号具有有限个不连续点,且极值数目有
限
信号绝对可积
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《数字图像处理的信号基础》
连续时间傅里叶变换(CTFT)
能量密度谱与自相关序列

1 令 r () l = f t f t l d t = ) () ( x x 蝌
+ ? -? ? 1 + j W l = ò S W e d W ) ( x x -? 2 p
? ?
2 p
j w l F w F w e d w ) ) ( (
CTFT通常也称为傅里叶谱.
xa(t)可由其CTFT通过逆变换得到,即
? 1 + j W t x t = X j W e d W ) () ( a a ò 其中, 表示连续时间的角频率变量 , 量纲为弧度 . 2 p -? W? R 由于
j q W ( ) a X j W = X j W e q W = a r g X j W ) () () ( () { } ( ) a a, a a 称为幅度谱 称为相位谱

令
h L P [n ]
的DTFT只在均方收敛意义下达到
j w k
s i n w n )- jw ( c n H e = e ( ) å n L P , k p = - k 的邻域存在波纹 在 n ,并与求和项无关