广东省丰顺县黄金中学高二数学下学期第一次质检试题 文 新人教版
广东省高二下学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．47231316【答案】B【分析】利用条件概率公式，结合古典概型计算即可. 【详解】法一：设第一次取得次品为事件A ，第二次取得正品为事件B ，则，()()111343111767C C C 23,C C 7C 7P AB P A ====所以. ()()()272733P AB P BA P A ==⨯=∣法二：在第一次拿出一件次品后还有6件，其中4件正品，2件次品， 故第二次拿出正品的概率为. 4263P ==故选：B.2．下列各式正确的是（ ） A ． B ．C ．D ． ππsin cos 88'⎛⎫= ⎪⎝⎭(cos )sin x x '=()5615xx --'=1(ln 2)x x'=【答案】D【分析】利用初等函数求导公式判断，，，用复合函数求导公式判断.A B C D 【详解】对于项：常值函数求导，，所以错； A πsin 08'⎛⎫= ⎪⎝⎭A 对于项：余弦函数求导，，所以错； B (cos )sin x x '=-B 对于项：幂函数求导，，所以错；C ()565x x --'=-C 对于项：复合函数求导，，令，，，，D ()ln 2f x x =2t x =()ln g t t =2t '=1()g t t'=所以，所以正确； 11()22f x x x'=⋅=D 故选：.D 3．已知随机变量X 的分布列为X 0 2 4P13m 726m -则（ ） ()E X =A ． B ．1 C ．D ．124353【答案】D【分析】根据分布列的性质及期望公式即得.【详解】由题可知，，解得，172136m m ++-=12m =则．1115()0243263E X =⨯+⨯+⨯=故选：D.4．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ） A ．0.92 B ．0.93C ．0.94D ．0.95【答案】B【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解.【详解】从某地市场上购买一个电子产品，设买到的电子产品是甲厂产品为事件, A 设买到的电子产品是乙厂产品为事件,则由题可知B ()()6040P A P B =%,=%,从甲厂电子产品中购买一个，设买到的电子产品是合格产品事件,从乙厂电子产品中购买一个，C 设买到的电子产品是合格产品事件,则由题可知D ()()9590P C P D =%,=%,由题意可知互相独立，故从该地市场上买到一个合格产品的概率是,,,A B C D .()()()()()()60%95%40%90%0.93P AC P BD P A P C P B P D +=+=⨯+⨯=故选：B.5．已知函数，则的极小值为（ ）()224ln 3f x x x x =--+()f x A ．2 B ． C ． D ．23ln 2-ln 23-34ln 2-【答案】D【分析】利用导数法求函数的极值的步骤及函数的极小值的定义即可求解. 【详解】函数的定义域为，()f x ()0,∞+因为()224ln 3f x x x x =--+所以， ()()()212422x x f x x x x +-'=--=令，则，解得或（舍），()0f x '=()()2120x x x +-=2x ==1x -x()0,2 2()2,+∞()f x '－＋()f x 单调递减 极小值 单调递增由此表可知，当时，的取得极小值为. 2x =()f x ()2444ln 2334ln 2f =--+=-故选：D.6．函数的图象可能是（ ）()2sin 2xy x x -=-⋅A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性，结合函数值，以及函数的变化趋向，即可判断选项. 【详解】函数的定义域为，满足，R ()()()2sin 2xf x x x f x ---=-+⋅=-所以函数是奇函数，故排除B ， 设，()()2sin ,0g x x x x =->，所以在上单调递增，， ()2cos 0g x x '=->()g x ()0,∞+()()00g x g >=，所以当时，，故排除D ；20x->0x >()02sin 2xy x x -=⋅>-当时，，故排除A. x →+∞12022x x x xy -→=→故选：C7．甲乙等5位同学去三个兴趣小组，每个小组至少安排1位同学，每个同学只能去一个小组，则不同方案有（ ）种A ．100B ．120C ．150D ．180【答案】C【分析】先将5人分为三组，每组的人数可能为1,1,3或者1,2,2，对应的可能情况分别为种和1015种，再将其分配到三个兴趣小组，进而根据排列知识求解即可. 【详解】先把5人分为三组，每组的人数可能为1,1,3或者1,2,2，当每组的人数为1,1,3时，共有种情况， 11354322C C C 10A =当每组的人数为1,2,2时，共有种情况， 12254222C C C 15A =所以把5人分为三组共有种情况，101525+=再将三组人员分配到三个兴趣小组，有种.3325150A =故选：C8．已知a ，b ，c 均为负实数，且，，，则（ ）． 1ln 23a a +=+1ln 34b b +=+12e 1c c -=-A ． B ． b a c <<c b a <<C ． D ．a b c <<a c b <<【答案】A【分析】对变形，构造，则，，，求,,a b c ()()ln 1f x x x =-+()()2f a f =()()3f b f =()()1f c f =导得到函数单调性，数形结合得到. b a c <<【详解】由，得，于是． 1ln 23a a +=+()2ln 3ln 1a a =-++()ln 12ln 3a a -+=-同理由，可得． 1ln34b b +=+()ln 13ln 4b b -+=-对于，可得，12e 1c c -=-112e c c -+=两边同时取对数得，于是．()ln 1ln 21c c +=+-()ln 11ln 2c c -+=-构造函数，则，，． ()()ln 1f x x x =-+()()2f a f =()()3f b f =()()1f c f =因为， ()()11xf x x x '=>-+所以当时，，在内单调递减， 10x -<<()0f x '<()f x ()1,0-当时，，在内单调递增， 0x >()0f x ¢>()f x ()0,∞+所以，()()()123f f f <<又，，， a<00b <0c <如图所示，故．b ac <<故选：A【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中变形得到，()ln 12ln 3a a -+=-，及，从而达到构造出适当函数的目的.()ln 13ln 4b b -+=-()ln 11ln 2c c -+=-二、多选题9．随机变量服从两点分布，若，则下列结论正确的有（ ） X ()104P X ==A ． B ． ()314P X ==()316D X =C ．D ． ()3212E X +=()3214D X +=【答案】ABD【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出． 【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以，X ()104P X ==()314P X ==故，因此，，()()3313,44416E X D X ==⨯=()()3521212142E X E X +=+=⨯+=，所以正确的是ABD ． ()()332144164D X D X +==⨯=故选：ABD ．10．在的展开式中，下列结论正确的是（ ）9x ⎛⎝A ．第4项和第5项的二项式系数相等 B ．奇数项的二项式系数和为256 C ．常数项为84 D ．有理项有4项【答案】BC【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.【详解】的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的9x ⎛⎝二项式系数相等，故A 错误；由已知可得二项式系数之和为，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相92等，所以奇数项的二项式系数和为，故B 正确；82256=展开式的通项为，令，解得．139922199C C (1),09,N rr r r rr T x x x r r ---+⎛⎫=-=-≤≤∈ ⎪⎝⎭3902r -=6r =故常数项为，故C 正确；6399C C 84==有理项中x 的指数为整数，故，2，4，6，8，故有理项有5项，故D 错误， 0r =故选：BC ．11．甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事1A 2A 3A 件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）A ．事件B 与事件相互独立 B ． ()1,2,3i A i =()1845P A B =C ．D ． ()13P B =()2631P A B =【答案】BD【分析】本题主要考察条件概率与全概率公式，对学生基础知识的考察比较广泛。
高二数学下学期第一次限时训练试题 文 试题
卜人入州八九几市潮王学校富阳场口二零二零—二零二壹高二数学下学期第一次限时训练试题文一、选择题：〔本大题一一共10小题，每一小题4分，总分值是40分〕{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，那么A B ⋂=〔〕A.{0}xx > B.{1}x x > C.{12}x x << D.{02}x x <<2.以下函数中，既是偶函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为〔〕A ．1y x -=B ．2log y x =C ．||y x =D ．2y x =-2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且16122=a a ，那么=92log a 〔〕A ．4B.5C.6D.7 4．“1-=a〞是“直线062=+-y x a 与直线09)3(4=+--y a x 互相垂直〞的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为〔〕A ．4πB ．3πC ．2πD ．32π6.在ABC ∆中,向量)72cos ,18(cos 00=AB ,)27cos 2,63cos 2(00=AC ,那么BAC ∠cos 的值是()A ．0B ．21C ．22D ．237．中心在原点的双曲线，一个焦点为(0F1，那么双曲线的方程是〔〕A ．2212x y -=B ．2212y x -=C．221x =D．221y -= 8．假设函数)2sin(3ϕ+=x y 的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,34π中心对称，那么ϕ的可能值为〔〕A.6π B.4π C.3π D.2π9．三棱锥P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，设M 是底面△ABC 内一点，定义()()p n m M f ,,=，其中p n m ,,分别是三棱锥M-PAB ，三棱锥M-PBC ，三棱锥M-PCA 的体积。
高二数学下学期第一次质量检测试题 理A 试题
卜人入州八九几市潮王学校龙翔高级二零二零—二零二壹高二数学下学期第一次质量检测试题理教A一选择题〔40分〕1向量(,1,2)a x =-，(3,,4)b x =-，a b ⊥，那么x =()A ．8B ．4C ．2D ．0 2设集合S ＝{x |3＜x ≤6}，T ＝{x |x 2－4x －5≤0}，那么S ∪T ＝A ．[－1，6]B ．(3，5]C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，3]∪(5，＋∞)3a 是实数，假设(1)(3)i ai +-是纯虚数，那么=a〔〕 A ．－1B ．1 C ．－3D ．34向量0a =或者0b =是0a b •=的〔〕A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要件5设1z i =+〔i 是虚数单位〕，那么22z z+=〔〕A 1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +6p 是“甲降落在指定范围〞,qA ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∨⌝D ．p q ∨7在空间直角坐标系Oxyz 中,A(3,3,0),B(0,0,1),点P 〔a ,1,c 〕在直线AB 上，那么〔〕 A 11,3a c ==B 21,3a c ==C 12,3a c ==D 22,3a c == 8设函数()x f x xe =，那么〔〕A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点9椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的上焦点为F ，左、右顶点分别为12,B B ，下顶点为A ，直线2AB 与直线1B F 交于点P ，假设22AP AB =，那么椭圆的离心率为()第17题图A ．21B.31C ．41D.3210设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的选项是〔〕 二填空题〔28分〕11复数的21Z i =-的一共轭复数是____________________ 12．假设向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(－2,1,1)，a ，b 夹角的余弦值为，那么λ＝________. 13假设某几何体的三视图(单位：cm)如下列图，那么该几何体的体积等于________14空间直角坐标系中，A (1,0,2)，B (,2,1)t -,那么线段AB 长度的最小值是___________15函数x y ln =+3在点1=x 处的切线方程为__________16假设从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，那么不同的取法一共有__________17．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE ．假设M 为线段A 1C 的中点，那么在△ADE ．①|BM |是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；④一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE ．俯视图 5 3 4 3(第13题图)三解答题〔11+12+11+12+12=58分〕20x x m ++=有一个正根和一个负根244(2)10x m x +-+=无实数根假设P 或者Q 为真，P 且Q 为假，务实数m 的范围19如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，且E 为PB 的中点 AC 与BD 交于点M(1)求证：//ME PD〔2〕当2PD AB =，求AE 与平面PBD 所成的角的的正切值.20设函数3()2f x x x =-（1） 求函数的单调区间（2） 假设过点〔1，a 〕可作三条直线与曲线()y f x =相切，求a 范围21如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值22设椭圆2222x yb+=1〔b>0〕的右焦点为F，(1,0)F(1)求b的值〔2〕过点(2,0)-作直线L与椭圆交于A、B两点，线段AB中点为M，，求直线L方程。
高二数学下学期第一次质量检测试题含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校HY 二零二零—二零二壹高二数学下学期第一次质量检测试题〔含解析〕本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．一共150分，答题时间是120分钟． 本卷须知： 12．每一小题在选出答案以后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．在在考试完毕之后以后将答题卡交回．第I 卷〔选择题一共60分〕一、单项选择题．本大题一一共8小题，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1.i 是虚数单位，复数12iz i-=，那么z 的虚部为〔〕 A.i - B.1C.iD.1-【答案】D 【解析】 【分析】 由题得2zi =--即得z 的虚部.【详解】由题得12(12)221i i i i zi i i i --+====--⨯-， 所以z 的虚部为1-. 应选：D.【点睛】此题主要考察复数的除法运算和虚部的概念，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度. 2.以下求导运算正确的选项是〔〕A.sin cos 66ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭ B.()333log x x e '=C.()xxe e--'=-D.22sin cos x x x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】 【分析】根据根本初等函数的导数公式和导数的运算法那么，逐项求解，即可得到答案. 【详解】根据根本初等函数的导数公式和导数的运算法那么，可得：A 中，sin 06π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以不正确； B 中，()33ln 3x x'=，所以不正确；C 中，()()xxx e x ee ---'⋅-'==-，所以是正确的；D 中，222222()sin (sin )2sin cos sin sin sin x x x x x x x x x x x x '''⎛⎫-+== ⎪⎝⎭，所以不正确. 应选：C.【点睛】此题主要考察了导数的运算，其中解答中熟记根本初等函数的导数公式和导数的运算法那么是解答的关键，意在考察运算与求解才能. 3.随机变量()22X N σ~，，假设()10.32P X <=，那么()23P X <<=〔〕A. 0.32B.0.68【答案】C 【解析】【分析】 由随机变量()22X N σ~，，得到正态分布曲线关于2x =对称，结合对称性，即可求解.【详解】由题意，随机变量()22X N σ~，，可得2μ=，即正态分布曲线关于2x =对称，根据正态分布曲线的对称性，可得()12(1)120.32230.1822P X P X -<-⨯<<===.应选：C.【点睛】此题主要考察了正态分布的概率的计算，其中解答中熟记正态分布的性质，以及合理应用正态分布曲线的对称性是解答的关键，着重考察推理与运算才能. 4.设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如下列图，那么导函数()f x '的图象可能是〔〕A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 先根据函数()f x 的图像判断单调性，从而得到导函数的政府情况，最后可得答案.【详解】解：原函数的单调性是：当0x <时，单调递增，当0x >时，单调性变化依次为增、减、增，故当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()f x '的符号变化依次为“+、-、+〞.应选：C.【点睛】此题主要考察函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于根底题.5.2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节〞．这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅．小明随机抽取出两个粽子，假设小明取到的两个粽子为同一种馅，那么这两个粽子都为腊肉馅的概率为〔〕 A.17B.13C.37D.310【答案】B 【解析】 【分析】 设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅〞，事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅〞，计算P〔A 〕、()P AB 的值，从而求得(|)P B A 的值．【详解】由题意，设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅〞，事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅〞，那么P 〔A 〕22342737C C C +==，23271()7C P AB C ==， ()1(|)()3P AB P B A P A ∴==． 应选B ．【点睛】此题主要考察古典概型和条件概率的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和计算才能. 6.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，那么直线1B M与平面11A D M 所成角的正弦值是〔〕A.5B.25C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.【详解】建立如下列图的空间直角坐标系， 那么1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2A D M B11(1,0,0)=-A D ，11(0,1,)2=-D M ，11(1,0,)2=MB设平面11A D M 的法向量为(,,)m x y z =那么1110=01002x A D m y z D M m -=⎧⎧⋅⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎪⎩令1y =可得2z =，所以(0,1,2)=m 设直线1B M 与平面11A D M 所成角为θ， 应选：B【点睛】此题考察了空间中的角——线面角的求法，考察了空间想象才能和数学运算技能，属于一般题目. 7.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得附表：参照附表，得到的正确结论是〔〕A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关〞C.在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关〞D.在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关〞 【答案】A 【解析】 【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由HY 性检验的意义可知选A8.定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<〔其中()f x '是()f x 的导函数，假设()()0.30.333af =⋅，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么a ，b ，c 的大小关系是〔〕A.c a b >>B.a c b >>C.a b c >>D.c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()=F x xf x ，可知函数为偶函数且在()0+∞，上单调递增，a ，b ，c 可转化为()0+∞，的三个数的函数值，比较三个数的大小，利用函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】()()=F x xf x ，那么()'()()'0=+<F x f x xf x ，当(),0x ∈-∞，()F x 单调递减又因为()f x 为R 上奇函数，所以()F x 为偶函数， 当()0+x ∈∞，，()F x 单调递增. 其中，0.30.51332<<<，0log 3log 1πππ<<=所以c a b >> 应选：A【点睛】此题考察了不等关系与不等式、函数的奇偶性以及函数的单调性等根本知识，考察了分析问题的才能和运算求解的才能，属于中档题.二、多项选择题．在每一小题给出的四个选项里面，有多项是符合题目要求的． 9.〕A.回归直线一定过样本点()11x y ，中的某个点B.残差的平方和越小，回归方程的拟合效果越好C.假设1z ，2z C ∈，且22120z z +=，那么120z z ==D.复数sin 2cos2z i =+在复平面内对应的点位于第四象限【答案】BD 【解析】 【分析】根据回归直线的性质及回归分析判断AB ，根据复数的运算及复数的几何意义判断CD ； 【详解】解：对于A ，回归直线一定过样本中心但不一定过()11,x y ，故A 错误；对于B ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B 正确； 对于C ，1z ，2z C ∈，且22120z z +=，显然当11z i =+，21z i =-时22120z z +=，故C 错误；对于D ，复数sin 2cos2zi =+在复平面内对应的点为()sin 2,cos2，因为22ππ<<，所以sin20>，cos20<，故点()sin 2,cos2位于第四象限，即D 正确；应选：BD【点睛】此题考察回归分析及复数的运算与复数的几何意义，属于根底题. 10.关于空间向量，以下说法正确的选项是〔〕A.空间中的三个向量，假设有两个向量一共线，那么这三个向量一定一共面B.假设对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，那么P ，A ，B ，C 四点一共面 C.设{},,a b c 是空间中的一组基底，那么{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底D.假设0a b ⋅<，那么,a b是钝角【答案】ABC 【解析】 【分析】根据一共线向量的概念，可断定A 是正确的；根据空间向量的根本定理，可断定B 是正确的；根据空间基底的概念，可断定C 正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可断定D 不正确.【详解】对于A 中，根据一共线向量的概念，可知空间中的三个向量，假设有两个向量一共线，那么这三个向量一定一共面，所以是正确的； 对于B 中，假设对空间中任意一点O ，有111632OPOA OB OC =++，根据空间向量的根本定理，可得,,,P A B C 四点一定一共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，那么向量,,a b c 不一共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不一共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，假设0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2a b ππ∈，所以不正确应选：ABC.【点睛】此题主要考察了空间的向量的一共线定理、一共面定理的应用，基底的概念与断定，以及向量的夹角的应用，着重考察了分析问题和解答问题的才能. 11.A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，那么以下说法正确的有〔〕 A.假设A 、B 两人站在一起有24种方法 B.假设A 、B 不相邻一共有72种方法 C.假设A 在B 左边有60种排法D.假设A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A 利用捆绑法求解；对于B 利用插空法求解；对于C 利用倍分法求解；对于D 利用特殊元素优先法求解 【详解】解：对于A ，先将A,B 排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一一共4个元素进展全排列，由分步原理可知一共有242448A A =种，所以A 不正确；对于B ，先将A,B 之外的3人全排列，产生4个空，再将A,B 两元素插空，所以一共有323472A A =种，所以B 正确；对于C ，5人全排列，而其中A 在B 的左边和A 在B 的右边是等可能的，所以A 在B 的左边的排法有551602A =种，所以以C 正确；对于D ，对A 分两种情况：一是假设A 站在最右边，那么剩下的4人全排列有44A 种，另一个是A 不在最左边也不在最右边，那么A 从中间的3个位置中任选1个，然后B 从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知一共有4113433378A A A A +=种，所以D 正确， 应选：BCD【点睛】此题考察排列、组合的应用，利用了捆绑法、插空法、倍分法，特殊元素优先法等，属于中档题. 12.函数3()x f x e x =⋅，那么以下结论正确的选项是〔〕A.3x =-是()f x 的极大值点B.方程()1f x =-有实数解C.函数()y f x =有且只有一个零点D.存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】 函数求导2)(3)(x f x e x x '=+,利用单调性，得到函数图象，由图象可得答案.【详解】23)(()x f x x x e =+'，令2(3)0()x f x e x x +'>=解得3x >-所以3()x f x e x =⋅在(,3)-∞-单减，在(3+)-∞，单增，且(0)0f =作出函数图象，那么 ()f x 在3x =-获得极小值，无极大值，故A 错误;因为极小值3(3)271f e --=-<-，方程()1f x =-有实数解，故B 正确；因为0x <时，()0f x <，因为0x >时，()0f x >，只有(0)0f =，故C 正确；由图象可得正确.(也可由3x kxe x =⋅，得0x =或者2x k e x =，令2()x h x e x =，求导()(2)0x h x e x x '=+<，那么20x -<<，故2()x h x e x =在(2,0)-上单减，在(,2)-∞-和(0,+)∞上单增，由图知存在实数k ，使得2x k e x =有三个实根，故存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解)应选：BCD【点睛】此题考察了函数的图象、函数的单调性和函数的零点问题以及导数的应用问题，还考察了分类讨论、数形结合和转化与化归的数学思想.第二卷二、填空题．把答案写在答题纸上．13.甲、乙两人各进展一次射击，假设两人击中目的的概率分别是和，且射击结果互相HY ，那么甲、乙至多一人击中目的的概率为______． 【答案】 【解析】由题意可得：两人是否击中目的是互相HY 的， 因为两人击中目的的概率分别是和0.7， 所以两人都击中目的的概率为：0.6×0.7=0.42， 所以甲、乙至多一人击中目的的概率为：1−0.42=0.58. 故答案为0.58. 14.设离散型随机变量X的概率分布如下，假设随机变量Y 满足21Y X =-，，那么()E Y =______()D Y =______． 【答案】(1).53(2).209【解析】 【分析】由分布列的性质，列出方程求得12p =，进而得到45(),()39E X D X ==，再结合21Y X =-，进而求得(),()E Y D Y ，得到答案.【详解】由离散型随机变量的分布列的性质，可得11163p ++=，解得12p =， 所以22211144141415()012,()(0)(1)(2)63233633329E X D X =⨯+⨯+⨯==-⨯+-⨯+-⨯=，又因为21YX =-，所以45()2()12133E Y E X =-=⨯-=，2520()2()499D Y D X =⨯=⨯=. 故答案为：53;209. 【点睛】此题主要考察了离散型随机变量的分布列的性质，以及数学期望与方差的计算，其中解答中熟记分布列的期望与方差的计算公式是解答的关键，着重考察推理与运算才能.15.疫情期间，某科室要从6名男医生、5名女医生中选派三人去支援，要求至少有男女医生各一名，那么不同的选法有______种． 【答案】135 【解析】 【分析】根据题意分两类进展分析：1男2女和2男1女，然后由分类计数原可得. 【详解】解：根据题意分两类进展分析： 〔1〕1男2女，有126560C C =种选法；〔2〕2男1女，有216575C C =种选法，那么不同的选取方法有6075135+=种， 故答案为：135【点睛】此题考察了分类计数原理，关键是分类，属于根底题.16.函数f (x )=1a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭-2lnx (a ∈R )，g (x )=a x -，假设至少存在一个0[1,]x e ∈，使得f (x 0)>g (x 0)成立，那么实数a 的范围为_______. 【答案】()0,∞+【解析】【详解】由题意得不等式1()2ln a a x x x x -->-在[1，e ]上有解,即min 2ln ()x a x> 令min 22ln 22ln ,[1,]0,1,0,0x xy x e y x y a x x-=∈∴=≥==∴'∴>. 故答案为：()0,∞+【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是别离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上详细的函数，通过对详细函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 三．解答题．要求写出主要的证明、解答过程． 17.〔1〕在()1nx +的展开式中，假设第3项与第6项系数相等，求n ．〔2〕n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，那么求展开式中的有理项．【答案】〔1〕7；〔2〕12,28x x .【解析】 【分析】 〔1〕根据二项式()1nx +的通项公式，结合组合数的性质进展求解即可；〔2〕根据二项式n⎛⎝展开式奇数项的二项式系数之和公式，结合二项式n⎛⎝的通项公式进展求解即可.【详解】〔1〕二项式()1nx +的通项公式为：11r n r r rr r n n T C x C x -+=⋅⋅=⋅，因为第3项与第6项系数相等，所以25527nn C C n n =⇒=-⇒=；〔2〕因为n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，所以有135128nn n C C C +++⋅⋅⋅=，即12128n -=，解得8n =，而二项式8⎛⎝的通项公式为：(721186188rrrr rr T C C x --+=⋅⋅=⋅，当7211(08,)r r r N -≤≤∈是6的倍数时，即0,6r =时，二项式8⎛⎝展开式中第一项和第7项时，是有理项，分别为：012128C x x ⋅=，6828C x x ⋅=，所以展开式中的有理项为：12,28xx .【点睛】此题考察了二项式通项公式的应用，考察了二项式展开式的有理项问题，考察了二项式展开式二项式系数和的性质，考察了数学运算才能. 18.函数32()5f x x ax bx =+++.〔1〕假设曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为3，且23x =时()y f x =有极值，求函数()f x 的解析式；〔2〕在〔1〕的条件下，求函数()f x 在[4,1]-上的最大值和最小值. 【答案】〔1〕a=2,b=-4〔2〕最大值13，最小值-11 【解析】 【详解】 【分析】 试题分析：(1)由题意求解关于实数a ,b 的方程组可得函数的解析式为()32245f x x x x =+-+；(2)由题意对函数求导，结合导函数研究原函数的单调性，据此可得函数()f x 在[]4,1-上的最大值是13，最小值是-11.试题解析：(1)由f'(1)=3,f'()=0得a =2,b =-4，经检验，符合题意，所以函数的解析式为()32245f x x x x =+-+.(2)由f (x )=x 3+2x 2-4x +5得f'(x )=(x +2)(3x -2)，f'(x )=0得x 1=-2,x 2= 变化情况如表：x -4 (-4,-2) -2 (-2,) (,1) 1f'(x ) + 0 - 0 + f (x )递增 极大值 递减 极小值 递增 函数值-11134所以f (x )在[-4，1]上的最大值13，最小值-11点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 19.在如下列图的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD//QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===．〔1〕求证：//QB 平面PDC ； 〔2〕求二面角C PB Q --的大小． 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕56π. 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理，可以建立以DA ，DC ，DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向空间直角坐标系.〔1〕根据线面平行的断定定理，结合空间向量的数量积运算进展证明即可； 〔2〕根据空间向量夹角公式，结合二面角的性质进展求解即可.【详解】∵平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，PD ⊂平面ADPQ ，PD AD ⊥，∴直线PD ⊥平面ABCD ．由题意，以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，那么可得：()0,0,0D，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()2,0,0A ，()2,0,1Q ，()002P ,,．〔1〕因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，又因为2PDA π∠=，所以PD AD ⊥，而,,PD DC D PD DC =⊂平面PDC ，所以AD ⊥平面PDC ，因此()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量，又()0,2,1QB =-，∴0QB AD ⋅=，即QB AD ⊥，又∵直线QB ⊄平面PDC ，∴//QB 平面PDC ； 〔2〕设()1111,,n x y z =为平面PBC 的法向量，∵()2,2,2PB =-，()0,2,2PC =-那么110n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩．不妨设11z =，可得()10,1,1n =．设()2222,,n x y z =为平面PBQ 的法向量，又∵()2,2,2PB =-，()2,0,1PQ =-，那么220n PQ n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩．不妨设22z =，可得()21,1,2n =．∴1212212cos ,0n n n n n n ⋅===⋅ 又二面角C PB Q --为钝二面角， ∴二面角C PB Q --的大小为56π． 【点睛】此题考察了用空间向量证明线面平行、面面垂直的性质定理、线面平行的断定定理、线面垂直的断定定理，以及利用空间向量求解二面角大小问题，考察了推理论证才能和数学运算才能.年春节期间，某服装超举办了一次有奖促销活动，消费每超过800元〔含800元〕，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全一样的小球〔其中红球3个，黑球7个〕的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规那么为：假设摸到3个红球，享受免单优惠；假设摸出2个红球那么打6折，假设摸出1个红球，那么打7折；假设没摸出红球，那么不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全一样的小球〔其中红球3个，黑球7个〕的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.〔1〕假设两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； 〔2〕假设某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】〔1〕114400〔2〕顾客选择第一种抽奖方案更合算.【解析】 【分析】〔1〕选择方案一可以免单，但需要摸出三个红球，利用古典概型求出摸出三个红球的概率，再利用两个互相HY 事件同时发生的概率应该是两事件的概率乘积可求得两位顾客均享受免单优惠的概率；〔2〕分别写出两种方案下付款金额的分布列，再求出期望值，利用期望值的大小，进展合理选择．【详解】解：〔1〕选择方案一假设享受到免单优惠，那么需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，那么()333101120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=.〔2〕假设选择方案一，设付款金额为X元，那么X可能的取值为0，600，700，1000.()3331010120C P X C ===，()2137310760040C C P X C ===，()12373102170040C C P X C ===，()373107100024C P X C ===，故X的分布列为，所以()06007001000120404024EX =⨯+⨯+⨯+⨯7646=〔元〕. 假设选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，那么1000200ZY =-，由可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=，所以()()1000200E Z E Y =-=()1000200820E Y -=〔元〕.因为()()EX E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.【点睛】此题考察了古典概率的计算，并运用期望来选择合理方案，解题关键是可以纯熟运用公式进展求解，并能计算正确，此题较为根底.年12月以来，持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺()2019,19CoronaVirusDisease COVID -，简称“新冠肺炎〞右图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间是变化的散点图． 为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y 与时间是变量t 的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据〔时间是变量1的值依次1，2，…，10〕建立模型y c dt =+和1.5t y a b =+⋅．〔1〕根据散点图判断，y c dt =+和1.5t y a b =+⋅哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间是变量t 的回归方程类型？〔给出判断即可，不必说明理由〕 〔2〕根据〔1〕的判断结果及附表中数据，建立y 关于x 的回归方程；〔3〕以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据〔2〕的结果答复以下问题：当1月25日至1月27日这3天的误差〔模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值〕都小于那么认为模型可靠，请判断〔2〕的回归方程是否可靠？ 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋅⋅⋅，其回归直线v a u β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211nnii i i i i nniii i uu v vu v nuvuuunuβ====---==--∑∑∑∑，v u αβ=+参考数据：其中 1.5it i ω=，101110i i ωω==∑．【答案】〔1〕 1.5t y a b =+⋅适宜；〔2〕10201.5t y =+⋅；〔3〕回归方程可靠. 【解析】 【分析】〔1〕直接由散点图得结论； 〔2〕设 1.5t ω=，那么y a b ω=+，，求出b 与a 的值，那么可得回归方程； 〔3〕在〔2〕中求得的回归方程中，分别取11,12,13t =求得y ，再比较误差与的大小得结论.【详解】〔1〕根据散点图可知： 1.5t y a b =+⋅适宜作为累计确诊人数y 与时间是变量t 的回归方程类型；〔2〕设 1.5t ω=，那么y a b ω=+，()()()1010111010222211101547001019390207640101910iii ii i i i i i y y y yb ωωωωωωωω====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑， 390201910a y b ω=-=-⨯=，∴10201.5t y =+⋅；〔3〕11t=时，2010y =，201019750.11975-<，当12t =时，3010y =，301027440.12744-<，当13t=时，4510y =，451045150.14515-<，所以〔2〕的回归方程可靠.【点睛】此题考察回归方程的求法，考察数学转化思想方法，考察计算才能，属于中档题. 22.函数，()2ln ,f x ax x a R =-∈.〔1〕讨论函数()f x的单调性；〔2〕假设函数()f x 有2个不同的零点，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕当0a ≤时()f x 在()0,∞+上单调递减，当0a >时，()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，()f x 在⎛ ⎝上单调递减.〔2〕10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】〔1〕分0,0a a ≤>两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间.〔2〕根据〔1〕可知0a >且()min 0f x f =<，后者可得实数a 的取值范围为102a e <<，再根据()10f a =>，111ln 0f a aa ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭结合零点存在定理可知当102a e <<时函数确有两个不同的零点.【详解】〔1〕解：因为()()120f x ax x x '=->， ①当0a ≤时，总有()0f x '<， 所以()f x 在()0,∞+上单调递减.②当0a >时，令120ax x ->，解得x >故x >()0f x '>，所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. 同理120ax x -<时，有()0f x '<，所以()f x在⎛ ⎝上单调递减. 〔2〕由〔1〕知当0a ≤时，()f x 单调递减， 所以函数()f x 至多有一个零点，不符合条件，由〔1〕知当0a >时，()2min 1ln 2f x f a ==-=11ln 22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()min 0f x <当时，解得12a e <，从而102a e<<. 又10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有11a<<，因为()10f a =>，111ln f a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令()ln ,2g t t t t e =->，那么()10t g t t -'=>， 所以()g t 在()2,e +∞为增函数，故()()2ln 20g t e e >->， 所以10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，根据零点存在定理可知：()f x 在1⎛ ⎝内有一个零点，在1a ⎫⎪⎪⎭，内有一个零点， 故当函数()f x 有2个零点时，a 的取值范围为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．取点时要根据函数值容易计算、与极值点有明确的大小关系这两个原那么，讨论所取点的函数值的正负时，可构建新函数，通过导数讨论函数的最值的正负来判断.。
高二数学下学期第一次素质检测试题 理
卜人入州八九几市潮王学校正阳高中二零二零—二零二壹下期二年级第一次素质检测数学试题〔理〕选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题只有一项为哪一项哪一项正确的〕1．{}RbbixxA ∈==,，ia=，以下正确的选项是〔〕.A.a A⊆B.{}a A∈C.a A∉ D.a A∈2．假设抛物线的焦点坐标为(2,0)，那么抛物线的HY方程是〔〕．A.xy42=B.yx42=C.xy82=D.yx82=3．执行右面的框图，假设输出结果为2，那么输入的实数x的值是〔〕A．32B．14C．22D．4 1,x>那么0 x>〕A．假设1x>，那么0x≤B．假设1x≤，那么0x≤C．假设1x≤，那么0x>D．假设1x<，那么0x<5．数列{}na是等差数列，且1472a a aπ++=，那么)tan(62aa+的值是〔〕A．3B．33C．3-D．33-6．lnm,,是直线，βα,是两个不同的平面，下面说法正确的选项是〔〕.A.假设m∥α，m∥β，那么βα//B.假设,m mαβ⊥⊂，那么αβ⊥C.假设,,,m n m nαα⊂⊄是异面直线，那么n与α相交D.假设，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα那么α⊥l7．口袋里有红球3个，白球2个，黑球1个，形状完全一样，从口袋中任取2个球，事件A 为“取到的2个球颜色一样〞，事件B 为“取到的2个数均为红色〞，那么(|)P B A 等于〔〕. A.151 B ．43C ．51 D.41 8．假设函数1,0,)1()(≠>-+=-a a a k a x f x x 在R上既是奇函数，也是增函数，那么)(log )(k x x g a +=的图像是〔〕9．函数)(x f 的定义域为R ，且满足2)1(=f ，1)(<'x f ，那么不等式1)(+<x x f 的解集为〔〕. A.),1(+∞ B.)1,(-∞ C.)1,1(- D. )1,(--∞),1(+∞10．点()y x P ,的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤0333y x y x ，设42--=y x z 那么z 的最大值为〔〕.A.1B.2C.7D.1111．)1,0(),0,1(B A ，点C 单位圆上的一点，且满足OB y OA x OC +=，那么y x +λ最大值小于2，那么λ的范围为〔〕.A.)3,0(B.)0,3(-C.]3,3(-D.)3,3(-12．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>满足3a b ≤，假设离心率为e ，那么221e e +的最小值为〔〕. A ．2 B ．67C ．32D ．23二.填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13．⎰=60cos πxdx a ，那么8)(x a x +的展开式中的常数项是.14．右图中的三个直角三角形是一个的几何体的三视图，高4=h，那么体积为_____.15．抛物线方程为x y 42=，焦点坐标为F ，点P 在抛物上且4=PF ，圆的方程为1)2(22=++y x ，过点P 作圆的切线，那么切线长为.16．函数20134321)(2013432x x x x x x f ++-+-+= ,20134321)(2013432x x x x x x g -++-+-= ,设函数)14()5()(+⋅+=x g x f x F ，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，那么-b a 的最小值为.三、解答题.〔要求有必要的文字表达及推理过程〕17．〔本小题总分值是10分〕设函数1cos sin 3)(-+=x x x f ωω)0(>ω，且满足相邻两个最大值间的间隔为π；〔1〕求ω 〔2〕假设)(x f y =的图像向右平移a )0(>a 个单位，图像再向上挪动一个单位得到)(x g y =的图像，且)(x g y =为奇函数，求a 的最小值.18．〔本小题12分〕正项数列{}n a 的首项21=a ，点),(1n n a a P +在曲线122=-y x 上. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设n n n a a b +=+11，}{n b 的前n 项和为n T ，证明：2->n T .19．〔本小题总分值ξ；乙射击2次，记乙的分数为η.规定：假设ηξ>，那么甲获胜；假设ηξ<，那么乙获胜. 〔1〕ξ的分布列和期望值；〔2〕求出甲获胜的概率；20．〔本小题总分值是12分〕如图，三棱柱111C B A ABC -的侧棱⊥1AA 底面ABC ， 90=∠ACB ，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点，1=AC ，2=BC ，41=AA .〔1〕当E 是棱1CC 中点时，求证：//CF 平面1AEB ；〔2〕在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角B EB A --1，假设存在，求CE 的长，假设不存在，请说明理由. 21．〔本小题总分值是12分〕椭圆C 的方程为11822=+m y x 〔0>m 〕离心率为310=e ；〔1〕求m 的值； 〔2〕假设椭圆的的焦点在x 轴时，21,F F 为椭圆的左右焦点，N M ,是直线5=x 上的两个动点，且N F M F 21⊥，那么以MN 为直径的圆是否过定点？请说明理由．22．〔本小题总分值是12分〕函数x e x f xsin )(= 〔1〕求函数)(x f 的增区间；〔2〕对于任意的]2,4[ππ∈x ，总有x ax x f 2sin )(≥成立，求a 的取值范围.。
广东省肇庆市高二数学下学期教学质量评估试题 文 新人教A版
1试卷类型：A肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第二学期统一检测试题高二数学(文科)本试卷共4页，20小题，满分150分。
考试用时120分钟 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班别、座位号、考号 填写在答题卷上密封线内相对应的位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点P 的极坐标为)3,2(π，则点P 的直角坐标为A.（1，3）B.（1，-3）C.（3，1）D.（3，-1） 2. 计算=+2)1(iA. 2B. -2C. 2iD. -2i 3. 一物体作直线运动，其运动方程为t t t s 2)(2+-=，则t =1时其速度为A. 4B. -1C. 1D. 0 4. 若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数x =A. -1B. 1C. -1或1D. 05. 曲线⎩⎨⎧-=+=34,12t y t x （t 为参数）与x 轴交点的直角坐标是A.（1，4）B.（1，-3）C.（1625，0）D.（1625±，0） 6. 设函数x ex f x3)(2+=（R x ∈），则)(x fA. 有最大值B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数 7. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，应该先2A. 假设三内角都不大于60︒B. 假设三内角都大于60︒C. 假设三内角至多有一个大于60︒D. 假设三内角至多有两个大于60︒ 8. 若函数x x a x f sin cos )(+=在4π=x 处取得极值，则a 的值等于A. 3-B.3C. -1D. 1 9. 复数ii+-11与i 31-在复平面上所对应的向量分别是，，O 为原点，则这两个向量的夹角∠AOB = A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 10. 已知数列{n a }的通项公式2)1(1+=n a n ，记)1()1)(1)(1()(321n a a a a n f ----=Λ，通过计算)1(f ，)2(f ，)3(f ，)4(f 的值，猜想)(n f 的值为A.2)1(12+-n n B. )1(2++n n n C. 12++n n D. )1(22++n n 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11. i 是虚数单位，则=+-21ii▲ . 12. 若直线l 经过点M （1，5），且倾斜角为32π，则直线l 的参数方程为 ▲ . 13. 圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆的极坐标方程是 ▲ .14. 观察下列等式：1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第五个等式应为 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出证明过程或演算步骤.315．（本小题满分12分）某地有两所中学，为了检验两校初中毕业生的语文水平，从甲、乙两校九年级学生中各随机抽取20%的学生（即占各自九年级学生总数的20%）进行语文测验. 甲校32人，有21人及格；乙校24人，有15人及格.（1）试根据以上数据完成下列2⨯2列联表；（2）判断两所中学初中毕业生的语文水平有无显著差别？))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K++++-=.16．（本小题满分12分）某产品的广告费用支出x 与销售额y 之间有如下的对应数据：（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为10时销售收入y 的值.附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式∑∑∑∑====-⋅-=---=ni ini ii ni ini i ixn xyx n yx x xy y x xb 1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-=，其中x ，y 表示样本均值.17．（本小题满分14分）4已知函数x x x x f --=23)(. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）求曲线)(x f y =在点P （-1，f （-1））处的切线方程.18．（本小题满分14分）已知复数1z 满足：i z i 34)21(1+=+，i z z n n 221+=-+（*N n ∈）.（1）求复数1z ；（2）求满足13||≤n z 的最大正整数n .19．（本小题满分14分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S -=2（*N n ∈）.（1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值； （2）猜想n a 的表达式，并加以证明.20．（本小题满分14分）已知x x a x f ln )(+=， xxx g ln )(=，(]e x ,0∈，其中e 是无理数且e =2.71828…，R a ∈.（1）若a =1，求)(x f 的单调区间与极值； （2）求证：在（1）的条件下，21)()(+>x g x f ； （3）是否存在实数a ，使)(x f 的最小值是-1？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.2012—2013学年第二学期统一检测题 高二数学（文科）参考答案及评分标准5一、选择题二、填空题11. 1-i 12. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=,235,211t y t x （t 为参数）（其它正确答案同样给分）13. )4cos(2πθρ-= （其它正确答案同样给分） 14. 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81三、解答题15．（本小题满分12分） 解： （6分）（2）058.020362432)1511921(56))()()(()(22≈⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d c b a d b c a bc ad n k . （10分） 因为455.0058.0<≈k ，所以两所中学初中毕业生的语文水平无显著差别. （12分）16．（本小题满分12分） 解：（1）5586542=++++=x ， （1分）5057050604030=++++=y ， （2分）∑==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=511380708506605404302i ii yx ， （3分）∑==++++=512145643625164i ix， （4分）65.65514550551380ˆ21221=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==ni ini ii x n xyx n yx b， （6分） 5.1755.650ˆˆ=⨯-=-=x b y a， （8分） 所以回归直线方程为5.175.6ˆ+=x y. （9分） （2）x =10时，预报y 的值为y=6.5⨯10+17.5=82.5. （12分）17．（本小题满分14分） 解：（1）函数)(x f 的定义域为（-∞，+∞）. （1分）)1)(31(3123)(2-+=--='x x x x x f . （4分）当)31,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，此时)(x f 单调递增； （5分）当)1,31(-∈x 时，0)(<'x f ，此时)(x f 单调递减； （6分）当),1(+∞∈x 时，0)(>'x f ，此时)(x f 单调递增. （7分） 所以函数)(x f 的单调增区间为)31,(--∞与),1(+∞，单调减区间为)1,31(-. （9分） （2）因为11)1()1()1(23-=+---=-f ， （10分）41)1(2)1(3)1(2=--⨯--⨯=-'f ， （12分）所以所求切线方程为)1(41+=+x y ，即34+=x y . （14分） 18．（本小题满分14分）解：（1）设),(1R b a bi a z ∈+=，则bi a z -=1. （1分） 因为i bi a i 34))(21(+=-+，所以i i b a b a 34)2()2(+=-++. （3分）于是⎩⎨⎧=-=+,32,42b a b a 解得⎩⎨⎧==.1,2b a （5分）故i z +=21. （6分）7（2）由i z z n n 221+=-+（*N n ∈）得：i z z 2212+=-，i z z 2223+=-，┅，i z z n n 221+=--（2≥n ） （7分）累加得i n n z z n )1(2)1(21-+-=-，i n n z n )12(2-+=（2≥n ）. （9分）因为i i z )112(1221-⨯+⨯=+=，所以i n n z n )12(2-+=（*N n ∈）. （10分）故148)12(4||222+-=-+=n n n n z n （11分）令13||≤n z ，即1691482≤+-n n ，解得5433711<+≤≤n ， （13分） 因此n 的最大正整数取值是4. （14分） 19．（本小题满分14分）解：（1）因为n n a n S -=2，n n a a a S +++=Λ21，*N n ∈ （1分）所以，当1=n 时，有112a a -=，解得012121-==a ； （2分） 当2=n 时，有22122a a a -⨯=+，解得1221223-==a ； （3分）当3=n 时，有332132a a a a -⨯=++，解得2321247-==a ； （4分）当4=n 时，有4432142a a a a a -⨯=+++，解得34212815-==a . （5分）（2）猜想1212--=n n a （*N n ∈） （9分）由n n a n S -=2（*N n ∈），得11)1(2----=n n a n S （2≥n ）， （10分）两式相减，得12-+-=n n n a a a ，即1211+=-n n a a （2≥n ）. （11分） 两边减2，得)2(2121-=--n n a a ， （12分） 所以{2-n a }是以-1为首项，21为公比的等比数列，故1)21(12-⨯-=-n n a ， （13分）即1212--=n n a （*N n ∈）. （14分）820．（本小题满分14分） 解：（1）当a =1时，x x x f ln 1)(+=，21)(xx x f -='，(]e x ,0∈ （1分） 令01)(2=-='xx x f ，得x =1. 当)1,0(∈x 时，0)(<'x f ，此时)(x f 单调递减； （2分） 当),1(e x ∈时，0)(>'x f ，此时)(x f 单调递增. （3分） 所以)(x f 的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，e ），)(x f 的极小值为1)1(=f . （4分） （2）由（1）知)(x f 在(]e ,0上的最小值为1. （5分） 令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，(]e x ,0∈，所以2ln 1)(xxx h -='. （6分） 当),0(e x ∈时，0)(>'x h ，)(x h 在(]e ,0上单调递增， （7分）所以min max )(12121211)()(x f e e h x h ==+<+==. 故在（1）的条件下，21)()(+>x g x f . （8分）（3）假设存在实数a ，使x xax f ln )(+=（(]e x ,0∈）有最小值-1.因为221)(xax x x a x f -=+-='， （9分） ①当0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f 在(]e ,0上单调递增，此时)(x f 无最小值； （10分） ②当e a <<0时，当),0(a x ∈时，0)(<'x f ，故)(x f 在（0，a ）单调递减；当),(e a x ∈时，0)(>'x f ，故)(x f 在（a ，e ）单调递增； （11分）所以1ln )()(min -=+==a a a a f x f ，得21ea =，满足条件； （12分） ③当e a ≥时，因为e x <<0，所以0)(<'x f ，故)(x f 在(]e ,0上单调递减.1ln )()(min -=+==e e ae f x f ，得e a 2-=（舍去）； （13分） 综上，存在实数21e a =，使得)(xf 在(]e ,0上的最小值为-1. （14分）。
2024-2025学年广东省第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷一及答案
2025年广东第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}N 213A x x =∈-≤-≤的真子集的个数是（ ）A ．64B ．63C ．32D ．312．已知实数0,0a b >>，满足24a b +=，则1212a b +++的最小值是（ ）A ．14B ．12C ．1D ．23．把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移π15个单位长度，可以得到函数y ＝（）的图象A ． sin 3xB ． sin 2xC ． 2sin 2xD ． 2sin 3x4．已知直线a 、b 与平面α、β，下列命题正确的是（ ）A ．若//a b ，b α⊂，则//a αB ．若//a α，b α⊂，则//a bC ．若a α⊥，b α⊂，则a b⊥r rD ．若αβ⊥，a α⊂，则a β⊥5．）已知一组数据为：1，1，2，4，5，3，3，2，3，2，则这组数据（ ）A ．中位数为2B ．众数为2C ．70百分位数为3D ．平均数为36．已知函数()23,2,2x x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩，若()()03f f =-，实数a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．直线2y =与函数cos y x =的图象的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数个8．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）设平面向量()1,2m =- ，()2,1n =，则m n -= （ ）AB C D ．9．若从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和是3的倍数的概率为（ ）A ．518B ．49C ．13D ．3410．若12233,0.4,2log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．b c a<<11．柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件A =“取出的鞋不成双”，事件B =“取出的鞋都是一只脚的”，事件C =“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.则有（ ）A ．A B⊆B ．B 与C 相互独立C ．()()P B C P A +=D ．A 与C 互斥12．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a ，b 为常数，且b a <），若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.13．已知复数z 满足()2i 43i z +=-，则||z = .14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，()2log 21f x x =-，则()()20f f -+= .15．长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为2，1，1，那么这个球的表面积是 ．16．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，且终边经过点(1,2)P ，则tan α=．17．已知函数()22f x mx nx m n =+++是偶函数，其定义域为[]1,22m n +-+，则m n +=18．有一批产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，现用按比例分层随机抽样的方法从这批产品中抽出16件进行质量分析，则抽取的一等品有 件.三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.19．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，7a =，3c =且sin 3sin 5C B =.(1)求边b 的长；(2)求角A 大小及ABC V 的面积.20．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7设甲、乙两名运动员射击平均环数分别记为x 和y ，方差分别记为21s 和22s .(1)求x ，y ，21s ，22s ；(2)如果你是教练，你如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？21．某手作特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量x 万份与年促销投入费用m 万元满足41kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按84xx+元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出.(1)将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该店家的促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？22．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形E ，F 分别为PC ，BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA PD ==（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求三棱锥C PBD 的体积.2025年广东第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）集合{}N 213A x x =∈-≤-≤的真子集的个数是（ ）A ．64B ．63C ．32D ．31【答案】D【分析】首先利用列举法表示集合A ，再根据含有n 个元素的集合的真子集有21n -个计算可得.【详解】由213x -≤-≤，解得14x -≤≤，即{}{}{}N 213N 140,1,2,3,4A x x x x =∈-≤-≤=∈-≤≤=，所以集合A 的真子集有52131-=个.故选：D2．（24-25高一上·重庆·期中）已知实数0,0a b >>，满足24a b +=，则1212a b +++的最小值是（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】由已知条件构造出所求代数式分母有关的等式，由基本不等式的巧用“1”求得最小值.【详解】由24a b +=，得()()1229a b +++=，设1m a =+，24n b =+，则9m n +=，()121414114121249m n a b a b m n m n ⎛⎫+=+=+=++ ⎪++++⎝⎭141145199n m m n ⎛⎛⎫=+++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当4n mm n=，即2n m =，2a =，1b =时取等号.故选：C.3．（2023高三·全国·专题练习）把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移π15个单位长度，可以得到函数y ＝（ ）的图象A ． sin 3xB ． sin 2xC ． 2sin 2xD ． 2sin 3x【答案】D【分析】根据函数的平移法则即可求解.【详解】因为ππ2sin 3(2sin 3155y x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦，所以把π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin 3y x =的图象故选：D.4．（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）已知直线a 、b 与平面α、β，下列命题正确的是（ ）A ．若//a b ，b α⊂，则//a αB ．若//a α，b α⊂，则//a bC ．若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥r rD ．若αβ⊥，a α⊂，则a β⊥【答案】C【分析】由线面位置关系的判定，分析选项中结论是否正确.【详解】A 选项，缺条件a α⊄，结论不成立；B 选项，直线b 与直线a 可能平行可能异面，结论不成立；C 选项，由直线与平面垂直的定义可知，结论正确D 选项，直线a 可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，不一定满足垂直，结论不成立.故选：C5．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知一组数据为：1，1，2，4，5，3，3，2，3，2，则这组数据（ ）A ．中位数为2B ．众数为2C ．70百分位数为3D ．平均数为3【答案】C【分析】根据数据的样本的数字特征值的概念分别判断各选项.【详解】将数据从小到大排列为：1，1，2，2，2，3，3，3，4，5，共10个数，中位数为23522+=，A 选项错误，出现最多的是2和3，均出现3次，故众数为2和3，B 选项错误，1070%7⨯=，故70分位数为3332+=，C 选项正确，平均数为112223334513105+++++++++=，D 选项错误；故选：C.6．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知函数()23,2,2x x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩，若()()03f f =-，实数a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】计算出()03f =，从而得到()()093f f a =-，得到方程，求出答案.【详解】()03f =，()()()03933f f f a ==-=-，解得4a =.故选：D7．（21-22高一上·全国·课后作业）直线2y =与函数cos y x =的图象的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数个【答案】A【分析】利用余弦函数的有界性可得结论.【详解】因为1cos 1x -≤≤，故直线2y =与函数cos y x =的图象没有公共点，故选：A.8．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）设平面向量()1,2m =- ，()2,1n = ，则m n -= （ ）AB C D ．【答案】B【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量模的坐标表示计算得解.【详解】由()1,2m =- ，()2,1n =，得()3,1m n -=- ，所以m = 故选：B9．（2024·江苏盐城·一模）若从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和是3的倍数的概率为（ ）A ．518B ．49C ．13D ．34【答案】C【分析】先求出基本事件总数29C 36n ==，再求出这2个数的和为3的倍数包含的基本事件个数12m =，由此能求出这2个数的和为3的倍数的概率.【详解】解：从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，基本事件总数29C 36n ==，这2个数的和为3的倍数包含的基本事件为()1,2，()1,5，()1,8，()2,4，()2,7，()3,6，()3,9，()4,5，()4,8，()5,7，()6,9，()7,8，共12个，即12m =，则这2个数的和是3的倍数的概率是121363m p n ===.故选：C.10．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）若12233,0.4,2log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a<<【答案】D【分析】根据指数、对数函数的单调性可得1,01a c b >><<，即可求解.【详解】102313a =>=，即1a >，200.40.161b <==<，即01b <<，3332log 2log 41log 3c ==>=，即1c >，又4>，所以123333log log 42log 2=>=，即a c >，所以b c a <<.故选：D11．（24-25高二上·四川绵阳·期中）柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件A =“取出的鞋不成双”，事件B =“取出的鞋都是一只脚的”，事件C =“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.则有（ ）A ．AB ⊆B ．B 与C 相互独立C ．()()P B C P A +=D ．A 与C 互斥【答案】C【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可.【详解】记三双不同的鞋为：白1，白2，红1，红2，黑1，黑2，从中随机取出2只共有：白1白2，白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，白2黑2，红1红2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，黑1黑2，共15种情况，事件A 包含：白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，白2黑2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，12个基本事假，事件B 包含：白1红1，白1黑1，白2红2，白2黑2，红1黑1，红2黑2，6个基本事件，事件C 包含：白1红2，白1黑2，白2红1，白2黑1，红1黑2，红2黑1， 6个基本事件，事件BC 包含：0个基本事件显然：B A ⊆，A 错误；()62155P B ==，()62155P C ==，()0P BC =，()()()P BC P B P C ≠，B 错误；对于C ：由列举可知B C A +=，所以()()P B C P A +=，正确；对于D ，由列举可知A 与C 不互斥，故错误.故选：C12．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数()()()f x x a x b =--（其中a ，b 为常数，且b a <），若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由图可得101b a <-<<<，计算出()0g 并结合指数函数性质即可得解.【详解】由图可得101b a <-<<<，则有()0010g a b b =+=+<，且该函数为单调递减函数，故B 、C 、D 错误，A 正确.故选：A.二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.13．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知复数z 满足()2i 43i z +=-，则||z = .【分析】先根据复数的代数形式的除法求复数z ，再根据复数模的概念求z .【详解】由题意：43i 2i z -=+()()()()43i 2i 2i 2i --=+-510i12i 5-==-.所以z ==14．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，()2log 21f x x =-，则()()20f f -+= .【答案】1-【分析】根据函数的奇偶性，结合解析式，代入即可.【详解】由()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-，得()00f =，()()()222log 411f f -=-=--=-，所以()()20f f -+=1-故答案为：1-15．（22-23高一下·福建宁德·期中）长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为2，1，1，那么这个球的表面积是 ．【答案】6π【分析】先求出长方体对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积即可.【详解】由题意，长方体的对角线的长度即外接球的直径，为2==r 故这个球的表面积是()224ππ26πS r r ===.故答案为：6π16．（24-25高二上·上海·期中）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，且终边经过点(1,2)P ，则tan α= ．【答案】2【分析】根据三角函数的定义及终边上的点求函数值.【详解】根据正切函数的定义知：2tan 21y x α===.故答案为：217．（22-23高一上·云南保山·期中）已知函数()22f x mx nx m n =+++是偶函数，其定义域为[]1,22m n +-+，则m n +=【答案】3-【分析】根据定义域关于原点对称可得1220m n +-+=，根据()()f x f x -=可求n ，从而可求m 与m n +.【详解】因为函数()22f x mx nx m n =+++是定义域为[]1,22m n +-+的偶函数，所以1220m n +-+=①，且()()f x f x -=，即2222mx nx m n mx nx m n -++=+++，解得0n =,代入①，可得3m =-，所以3m n +=-.故答案为:3-.18．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）有一批产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，现用按比例分层随机抽样的方法从这批产品中抽出16件进行质量分析，则抽取的一等品有 件.【答案】4【分析】按抽取比例计算即可.【详解】抽取的一等品的件数为1610410255⨯=++.故答案为：4三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.19．（22-23高一下·北京·期中）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，7a =，3c =且sin 3sin 5C B =.(1)求边b 的长；(2)求角A 大小及ABC V 的面积.【答案】(1)5(2)120A =︒【分析】（1）根据正弦定理即可求解，（2）根据余弦定理求解角度，即可由面积公式求解.【详解】（1）由正弦定理sin sin b cB c =，得sin 355sin 3c B b C ⨯===（2）由余弦定理()222259491cos ,0,π22532b c a A A bc +-+-===-∈⨯⨯，所以120A =︒11sin 5322S bc A ==⨯⨯=20．（24-25高二上·吉林·开学考试）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7设甲、乙两名运动员射击平均环数分别记为x 和y ，方差分别记为21s 和22s .(1)求x ，y ，21s ，22s ；(2)如果你是教练，你如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？【答案】(1)7；7；4；1.2(2)答案见解析【分析】（1）根据平均数和方差公式计算即可；（2）由（1）的结论，平均数一样，则通过方差判断其稳定性即可得结果.【详解】（1）78795491074710x +++++++++==，9578768677710y +++++++++==，()()()()()()()()()()2222222222211[778777975747971077747]10S =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-4=，()()()()()()()()()()2222222222221[97577787776787677777]10S =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-1.2=.（2）由（1）知，甲乙射击的平均成绩一样，但乙比甲射击的成绩更稳定，所以选择乙.21．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）某手作特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量x 万份与年促销投入费用m 万元满足41kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按84xx+元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出.(1)将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该店家的促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)()41201y m m m =--≥+(2)促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元.【分析】（1）由已知求得2k =，结合每件产品的销售价格，可得出利润y ；（2）利用基本不等式求解最大利润即可．【详解】（1）由已知得，当0m =时，2x =，则24k =-，得2k =，故241x m =-+. 故每件产品的销售价格为841.5xx+⨯，故利润()()8441.584421201x y x x m x m m m x m +=⨯⨯-+-=+-=--≥+.（2）因为当0m ≥时，10m +>，所以41311391y m m ⎛⎫=-++≤-= ⎪+⎝⎭， 当且仅当411m m =++，即1m =时等号成立.即促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元.22．（22-23高二下·陕西西安·期末）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形E ，F 分别为PC ，BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA PD ==（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求三棱锥C PBD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）112【解析】（1）连接AC ，则F 是AC 的中点，即//EF PA ，根据线面平行的判定定理，证明即可.（2）取AD 的中点M ，连接PM ，则PM 为三棱锥P BCD -的高，在Rt PAM ∆中，12PM =，根据111332C PBD P BCD BCD V V S PM BC CD PM --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，求解即可.【详解】（1）连接AC ，则F 是AC 的中点.因为E 为PC 的中点所以在CPA ∆中，//EF PA又因为且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD 所以//EF 平面PAD .（2）取AD 的中点M ，连接PM ，则1122AM AD ==∵PA PD ==∴PM AD⊥又 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PM ⊂平面PAD ∴PM ⊥平面ABCD .在Rt PAM ∆中，12PM ===∴11111111133232212C PBD P BCD BCD V V S PM BC CD PM --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查线面平行的判定定理，以及求三棱锥体积，属于中档题.2025年广东第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01·参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678910答案D C D C C D A B C D 题号1112 答案CA二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.1314．1-15．6π16．217．3-18．4三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.19．(1)5(2)120A =︒【分析】（1）根据正弦定理即可求解，（2）根据余弦定理求解角度，即可由面积公式求解.【详解】（1）由正弦定理sin sin b cB c =，得sin 355sin 3c B b C ⨯===（2）由余弦定理()222259491cos ,0,π22532b c a A A bc +-+-===-∈⨯⨯，所以120A =︒11sin 5322S bc A ==⨯⨯=20．(1)7；7；4；1.2(2)答案见解析【分析】（1）根据平均数和方差公式计算即可；（2）由（1）的结论，平均数一样，则通过方差判断其稳定性即可得结果.【详解】（1）78795491074710x +++++++++==，9578768677710y +++++++++==，()()()()()()()()()()2222222222211[778777975747971077747]10S =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-4=，()()()()()()()()()()2222222222221[97577787776787677777]10S =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-1.2=.（2）由（1）知，甲乙射击的平均成绩一样，但乙比甲射击的成绩更稳定，所以选择乙.21．(1)()41201y m m m =--≥+(2)促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元.【分析】（1）由已知求得2k =，结合每件产品的销售价格，可得出利润y ；（2）利用基本不等式求解最大利润即可．【详解】（1）由已知得，当0m =时，2x =，则24k =-，得2k =，故241x m =-+. 故每件产品的销售价格为841.5xx+⨯，故利润()()8441.584421201x y x x m x m m m x m +=⨯⨯-+-=+-=--≥+.（2）因为当0m ≥时，10m +>，所以41311391y m m ⎛⎫=-++≤-= ⎪+⎝⎭， 当且仅当411m m =++，即1m =时等号成立.即促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元.22．（1）证明见解析（2）112【解析】（1）连接AC ，则F 是AC 的中点，即//EF PA ，根据线面平行的判定定理，证明即可.（2）取AD 的中点M ，连接PM ，则PM 为三棱锥P BCD -的高，在Rt PAM ∆中，12PM =，根据111332C PBD P BCD BCD V V S PM BC CD PM --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，求解即可.【详解】（1）连接AC ，则F 是AC 的中点.因为E 为PC 的中点所以在CPA ∆中，//EF PA又因为且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD 所以//EF 平面PAD .（2）取AD 的中点M ，连接PM ，则1122AM AD ==∵PA PD ==∴PM AD⊥又 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PM ⊂平面PAD ∴PM ⊥平面ABCD .在Rt PAM ∆中，12PM ===∴11111111133232212C PBD P BCD BCD V V S PM BC CD PM --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查线面平行的判定定理，以及求三棱锥体积，属于中档题.。
高二数学下学期期末教学质量检测试题文含解析试题
2021—2021 学年普通高中高二下期期末教学质量检测制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学(文科)第一卷一、选择题:本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共6 0分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合A={-1.1.3}，B={x|-3<x≤2,x∈N},那么集合A∪B中元素的个数为〔〕A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】∵集合∴集合∵集合∴∴中元素的个数为5应选C.2. 复数在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】∵复数∴复数在复平面内对应的点在第四象限应选D.3. 假设x =()，y=log5 2.z=，那么A. x<y<zB. z<x<yC. z<y<xD. y<z<x【答案】D【解析】∵，，∴应选D.4. 有甲、乙、丙、丁四位同学竟选班长,其中只有一位中选。
有人走访了四位同学。
甲说:“是乙或者丙中选〞，乙说:“甲、丙都未中选〞，丙说:“我中选了〞，丁说:“是乙中选了〞.假设四位同学的话只有两句是对的，那么中选的同学是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C【解析】试题分析：这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的〞，假设某一个人说的是真话，假如与条件不符，说明假设不成立，假如与条件相符，那么假设成立的方法解决问题．解：假设甲是获奖的歌手，那么都说假话，不合题意．，假设乙是获奖的歌手，那么甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．，假设丁是获奖的歌手，那么甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．，故获奖的歌手是丙，故先C考点：合情推理点评：本小题情境通俗易懂，主要考察逻辑思维和推理才能，难度不大5. 把一枚硬币连续抛两次。
记“第一次出现正面〞为事件A.“第二次出现正面〞为事件B.那么P(B|A)等于A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知此题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是.∴应选A.6. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现.当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限通近圆的面积。
广东省高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） e ax y =()01，210x y ++=a A ． B ． C ． D ．1234【答案】B【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直()f x 0x =线垂直建立等式关系，解之即可． 【详解】'e e ax ax y y a =∴=Q 曲线在点处的切线方程是，即 ∴e ax y =()01，()10y a x -=-10ax y -+=因为直线与直线垂直10ax y -+=210x y ++=，即2．112a ∴-=-=a 故选：B2．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ） y 2A ． B ． C ． D ．24x y =22x y =24y x =22y x =【答案】A【分析】直接由焦点位置及焦点到准线的距离写出标准方程即可.【详解】由焦点在轴的正半轴上知抛物线开口向上，又焦点到准线的距离为，故抛物线的标准y 2方程是. 24x y =故选：A.3．书架上有20本内容互不相同的书，其中6本数学书，4本语文书，10本英语书，从书架上任取两本书，则取出的两本书不同学科的方案数为（ ） A ．144种 B ．124种 C ．100种 D ．84种【答案】B【分析】分类考虑，可能是数学和语文学科，可能是数学和英语学科也可能是语文和英语学科，根据分类加法原理求得答案.【详解】由题意可得，若是数学和语文学科，则有种不同方案，1164C C 24=若是数学和英语学科，则有种不同方案，11610C C 60=若是英语和语文学科，则有种不同方案，11104C C 40=故根据分类加法原理可得共有种不同学科的方案数，246040124++=故选：B4．某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ ） A ．216种 B ．240种 C ．288种 D ．384种【答案】D【分析】根据题中，甲和乙都没有得到冠军，说明甲和乙的排名都不是第一名，乙当然不会是最差的，说明乙不是最后一名，由此对甲乙的名次进行分析计算即可． 【详解】解：由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性， 乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性， 所以6人的名次排列情况可能有种． 4444384A ⨯⨯=故选：D ．5．已知向量5，，1，，，若平面ABC ，则x 的值是(1AB →=，2)-(3BC →=，2)DE →(),3,6x =-//DE （ ） A ． B ．2C ．3D ．51-【答案】D【分析】设平面的法向量为，，，则，由平面，可得ABC (n x →=y )z ·0·0n AB n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ //DE ABC 0n DE →→=A ，解出即可得出．【详解】解：设平面的法向量为，，，ABC (n x →=y )z 则，即，令x =6，得，，．·0·0n AB n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 520320x y z x y z +-=⎧⎨++=⎩(6n →=4-7)-平面，//DE ABC ，解得．∴63(4)6(7)0n DE x →→=-⨯-+⨯-=A 5x =故选：D6．在等比数列中，是函数的极值点，则 {}n a 37,a a 321()4913f x x x x =++-5a =A ． B ．C ．D ．4-3-34【答案】B 【详解】∵， ()3214913f x x x x =++-∴由可知，()2890f x x x =++='379a a ⋅=378a a +=-∵ 等比数列中且3527a a a =⋅30a <∴，故选B.53a =-7．设，若函数，有大于零的极值点，则 a R ∈3ax y e x =+x R ∈A ． B ．C ．D ．3a >-3a <-13a >-13a <-【答案】B【详解】试题分析：设，则，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点． 3ax y e x =+()3ax f x ae =+'即有正根，当有成立时，显然有， ()30ax f x ae =+='()30ax f x ae =+='a<0此时．由，得参数a 的范围为．故选B ． 13ln()x a a=-0x >3a <-【解析】利用导数研究函数的极值．8．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是3ln ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩()(1)y f x a x =--a （ ）A ．B ．C ．D ．3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭33,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭(0,1)【答案】C【分析】画出函数的图象,①当直线与曲线相切于点时,,推出直线()1y a x =-ln y x =()1,01a =与函数的图象恰有3个交点时的范围;②当直线与曲线相切()1y a x =-()f x a ()1y a x =-31y x =-时,设切点为,通过,求出,或,,然后判断求解()300,1x x -()3002113a x x a x ⎧-=-⎨=-⎩01x =3a =-012x =-34a =-a 的范围.【详解】函数的图象如图所示, 3ln ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩①当直线与曲线相切于点时, ,()1y a x =-ln y x =()1,01a =故当或时,直线与函数的图象恰有一个交点, 0a =1a ≥()1y a x =-()f x 当时,直线与函数的图象恰有两个交点, 01a <<()1y a x =-()f x ②当直线与曲线相切时, ()1y a x =-31y x =-设切点为,则, ()300,1x x -()30020113a x x a x ⎧-=-⎨=-⎩,解得,或,，()23000311x x x \--=-01x =3a =-012x =-34a =-当时,直线与函数的图象恰有一个交点, 304a -<<()1y a x =-()f x 当或时,直线与函数的图象恰有两个交点,34a =-3a ≤-()1y a x =-()f x 当时,直线与函数的图象恰有三个交点,334a -<<-()1y a x =-()f x 综上的取值范围是.a 33,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭故选：C.【点睛】本题考查分段函数图像的画法，以及利用函数图象研究函数的零点问题，属于中档题.二、多选题9．已知函数，若，为的两个不同的极值点，则实数a 的取值可能是()32f x x ax ax =++1x 2x ()f x （ ）． A ． B ．C ．3D ．41-12【答案】AD【分析】求导，根据导函数的零点数确定参数a.【详解】 ，()'232f x x ax a =++因为有两个不同的极值点，所以，解得或； ()f x 24120a a ∆=->a<03a >故选：AD.10．设等差数列中，，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列，{}n a 1=3a 5d =-{}n b 则（ ） A ． B ．C ．D ．17b =227b =-347b =-20228087b a =【答案】BCD【分析】先利用等差数列的通项公式求出，再由题意逐一判断即可 58n a n =-+【详解】因为，，1=3a 5d =-所以，()()()1131558n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+数列中序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，， {}n a 所以故A 错误，BC 正确； 13273117,27,47,b a b a b a ==-==-==-设数列中的第项是数列中的第项， {}n a m {}n b k 则，()34141m k k =+-=-所以当时，，故，所以D 正确， 2022k =4202218087m =⨯-=20228087b a =故选：BCD11．已知在棱长为的正方体中，点，，分别是，，的中点，11111ABCD A B C D -E F H AB 11A D 1BC 下列结论中正确的是（ ）A ．平面B ．平面11//D C CHD 1AC ⊥1BDAC ．三棱锥的体积为D ．直线与所成的角为11D BA C -56EF 1BC 30︒【答案】ABD【分析】利用线面平行的判定推理判断A；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断B ；计算三棱锥的体积判断C ；利用空间向量求夹角判断D 作答. 【详解】如图所示，1依题意，，平面，平面，则平面，A 正确； 11//C D CD 11C D ⊄CHDCD ⊂CHD 11//D C CHD 建立如图所示的空间直角坐标系，2由，得，则，，， 1AB =11(1,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)A B A C ()11,1,1AC =- ()1,1,0DB =()11,0,1DA = 因此，，则，， 11100AC DB ⋅=-++=111010AC DA ⋅=-++= 1AC BD ⊥ 11AC DA ⊥ 即是平面的一个法向量，所以平面，B 正确；1AC u u u r1BDA 1AC ⊥1BDA 三棱锥的体积为，C 错误；11D BA C -11111114D BA C ABCD A B C D A ABD V V V ---=-11114111323=-⨯⨯⨯⨯⨯=由B 选项知，，，即，，1(1,,0)2E 1(,0,1)2F 11(,,1)22EF =--()11,0,1BC =- 于是，， 111cos ||,||EF BC EF BC EF BC ⋅〈〉==1,30EF BC 〈〉= 所以直线与所成的角为，D 正确．EF 1BC 30︒12．已知椭圆分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上2212:1,,259x y C F F +=的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．离心率 B ．的周长为1545e =12F PF △C ．若，则的面积为9 D ．直线与直线斜率乘积为定值 1290F PF ∠=︒12F PF △PA PB 925-【答案】ACD【分析】求出椭圆的离心率可以判断A ；根据椭圆的定义可判断B ；根据椭圆的定义和勾股定理可以求出三角形的面积，进而判断C ；设出点P 的坐标，得到斜率，进而结合点P 的坐标满足椭圆方程求出答案，进而判断D.【详解】由，可知， 221259x y +=5,3,4a b c ===对于A ：，故A 正确； 45ce a ==对于B ：记，则，的周长为12||,||PF m PF n ==10m n +=12F PF △，故B 错误；1212|||210818PF PF F F m n c ++=++=+=对于C ：， ，所以12||,||PF m PF n ==()()2222210118642m n mn m n m n m n +=⎧⎡⎤⇒=+-+=⎨⎣⎦+=⎩，故C 正确； 12192F PF S mn ==A 对于D ：设，则，，于是 ()()()(),5,5,0,5,0P x y x A B ≠±-221259x y +=,55PA PB y y k k x x ==+-，故D 正确.22229125955252525PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---故选：ACD.三、填空题13．若，，成等比数列，则__________． 14m +28m +m =【答案】2-【分析】利用等比中项的定义列方程，求出．m 【详解】，，成等比数列，或． 1 4m +28m +()2(4)1282m m m ∴+=⨯+∴=-，4m =-而当时，，不合题意．4m =-4280m m +=+=2m ∴=-14．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_____________．()322f x x ax =++[)1,+∞a 【答案】3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，然后利()322f x x ax =++[)1,+∞()0f x '≥[)1,+∞用分离参数法即可得出答案. 【详解】解：，()232f x x ax '=+因为函数在区间上单调递增， ()322f x x ax =++[)1,+∞所以在上恒成立，()2320f x x ax '=+≥[)1,+∞即在上恒成立，32a x ≥-[)1,+∞又在上递减，32y x =-[)1,+∞所以， max3322x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以的取值范围是.a 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭15．跳格游戏：如图所示，人从格外只能进入第1格：在格中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第6格可以有___________种办法．【答案】8【分析】分每次向前跳1格，仅有一次跳2格，有两次跳2格讨论求解. 【详解】每次向前跳1格，共跳5次，有唯一的跳法;仅有一次跳2格，其余每次向前跳1格，共跳4次，有4种的跳法; 有两次跳2格，其余每次向前跳1格，共跳3次，有3种的跳法. 则共有1 +4+3 = 8种. 故答案为：8.16．如图，现有一个圆锥形的铁质毛坯材料，底面半径为6，高为8.某工厂拟将此材料切割加工成一个圆柱形构件，并要求此材料的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为__________.【答案】1283π【分析】利用几何体的轴截面进行计算，结合导数求得圆柱形构件的最大体积. 【详解】画出圆锥及圆柱的轴截面如下图所示.其中，，四边形为矩形. 8,6AG GC GB ===AG BC ⊥HIDE 设圆柱的底面半径为，即， ()06x x <<GI GH x ==则，即. AG DICG IC =()844686633DI DI x x x =⇒=-=--所以圆柱的体积为，. ()()22332444886333V x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-=⨯-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭06x <<， ()()()()'22431244443V x x x x x x x πππ=-+=-⨯-=-⨯⨯-由于，所以在区间上，单调递增；区间上，06x <<()V x ()0,4()'0V x >()V x ()4,6()'0V x <()V x 单调递减.所以在处取得极大值也即是最大值为： ()V x 4x =. ()()()3244412824646496323333V ππππ=-+⨯=-+=⨯=故答案为：1283π【点睛】本小题主要考查圆锥的最大内接圆柱有关计算，考查利用导数求最值，属于中档题.四、解答题17．设集合M ={-3,-2,-1,0,1,2},P (a ,b )是坐标平面上的点,a ,b ∈M .求: (1)P 可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P 可以表示多少个第二象限的点? (3)P 可以表示多少个不在直线y =x 上的点? 【答案】（1）36；（2）6；（3）30【分析】（1）（2）（3）按照分步乘法原理即可.【详解】（1）分两步，第一步确定 ，有6种方法，第二步确定b 也有6种方法， a 根据分步乘法计数原理共有6×6＝36(个)不同的点；（2）分两步，第一步确定 ，有3种方法，第2步确定b ，有2种方法， a 根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2＝6(个)；（3）分两步，第一步确定 ，有6种方法，第二步确定b ，b 有5种方法 a 根据分步乘法计数原理不在直线y ＝x 上的点共有(个)． 6530⨯=18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，M 是P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PA AB =PD 的中点.（1）证明：平面；//PB ACM （2）求直线与平面所成角的正弦值.CD ACM【答案】（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，利用线面平BD AC N MN //MN PB 行的判定定理可证得结论成立；（2）设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间2PA AB ==A AB AD AP x y z 直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.CD ACM 【详解】（1）连接交于点，连接，BD AC N MN 因为四边形为正方形，且，为的中点，ABCD AC BD N ⋂=N ∴BD 又因为为的中点，，M PD //MN PB ∴平面，平面，平面；PB ⊄ ACM MN ⊂ACM //PB ∴ACM （2）设，底面，且四边形为正方形，2PA AB ==PA ⊥ ABCD ABCD 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所A AB AD AP x y z 示：则、、、，()0,0,0A ()2,2,0C ()0,2,0D ()0,1,1M ，，，()2,2,0AC = ()0,1,1AM = ()2,0,0DC = 设平面的法向量为，ACM (),,n x y z =由，令，可得，则， 2200n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩1y =-1x z ==()1,1,1n =- ，cos ,n DC n DC n DC⋅<>===⋅ 因此，直线与平面CD ACM 【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念； ③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅ AB αn αθ为斜线与平面所成的角）.AB α19．已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列{}n a 520S =3510,,a a a (1)求数列通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和．2n n n b a =+{}n b n n S 【答案】(1)35n a n =-(2) 12372222+=+--n n n n S【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得、，即可求出数列的通{}n a d 1a d 项公式；（2）由（1）可得，再利用分组求和法求和即可；(35)2n n b n =-+【详解】（1）解：设等差数列的公差为，{}n a d 由题意，得， ()()()123451211151020294a a a a a a d a d a d a d ++++=+=⎧⎪⎨++=+⎪⎩解得或， 140a d =⎧⎨=⎩123a d =-⎧⎨=⎩因为，所以．0d ≠23(1)35n a n n =-+-=-（2）解：当时，，35n a n =-(35)2n n b n =-+所以． ()1212212235372221222n n n n n S b b b n n n +--+-=+++=⋅+=+--- 20．已知函数，其中a 为常数． 2()3ln f x ax x x=--(1)当函数的图象在点处的切线的斜率为1时，求a 的值； ()f x 22(,(33f (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. ()f x 3[,3]2【答案】(1)；1a =(2).13ln 2-【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义计算作答.()f x （2）由（1）的结论，利用导数探讨函数在上的单调性，求出最小值作答. 3[,3]2【详解】（1）函数的定义域为，求导得， ()f x (0,)+∞223()f x a x x'=+-因函数的图象在点处的切线的斜率为1，则，解得， ()f x 22(,())33f 2()13f '=1a =所以a 的值是1.（2）由（1）得，，由得或， 2()3ln f x x x x=--2(1)(2)()x x f x x --'=()0f x '=2x =1x =因，则当时，，当时，， 3[,3]2∈x 322x <<()0f x '<23x <<()0f x '>因此函数在上单调递减，在上单调递增， ()f x 3[,2]2[2,3]min ()(2)13ln 2f x f ==-所以函数在上的最小值. ()f x 3[,3]213ln 2-21．已知椭圆，A ､B 分别为椭圆C 的右顶点､上顶点，F 为椭圆C 的右焦()2222:10x y C a b a b+=>>点，椭圆C 的离心率为，12ABF △(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 为椭圆C 上的动点（不是顶点），点P 与点M ，N 分别关于原点､y 轴对称，连接MN 与x 轴交于点E ，并延长PE 交椭圆C 于点Q ，则直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) 22143x y +=(2)是定值，定值为 32-【分析】（1）根据椭圆的离心率可得到a,b,c 的关系，再结合的面积可得到ABF △()a c b -=由此解得a,b ，可得答案.（2）设直线方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积，代入化简可得答案.【详解】（1）由题意得，则，. 12ca =2a c =b =的面积为ABF △()12a c b -=()a c b -=将，代入上式，得，则，2a c =b =1c =2a =b =故椭圆C 的标准方程为. 22143x y +=（2）由题意可知直线PQ 的斜率一定存在，设直线PQ 的方程为，设，，则，，，y kx m =+()11,P x y ()22,Q x y ()11,M x y --()11,N x y -()1,0E x -联立方程，得， 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2223484120k x kmx m +++-=∴， 122834km x x k +=-+∴， ()12122286223434km m y y k x x m k m k k ⎛⎫+=++=-+= ⎪++⎝⎭∴， ， 21212263348434MQ m y y k k km x x k k ++===-+-+112PE PQ y k k k x ===∵， 11112222MP PE y y k k k x x ====∴ 33242MP MQ k k k k ⋅=-⨯=-∴为定值. MP MQ k k ⋅32-【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系，综合考查了学生分析问题，解决问题以及计算方面的能力和综合素养，解答的关键是理清解决问题的思路，并能正确地进行计算. 22．已知函数.2()e x f x ax x =+-（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥x 3+1，求a 的取值范围.12【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调(),0x ∈-∞()()'0,f x f x <()0,x ∈+∞()()'0,f x f x >递增.（2） 27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.【详解】(1)当时，，，1a =()2e x f x x x =+-()e 21x f x x ='+-由于，故单调递增，注意到，故：()''e 20x f x =+>()'f x ()00f '=当时，单调递减，(),0x ∈-∞()()0,f x f x '<当时，单调递增.()0,x ∈+∞()()0,f x f x '>(2) [方法一]【最优解】：分离参数由得，，其中， ()3112f x x ≥+231e 12x ax x x +-+…0x ≥①.当x =0时，不等式为：，显然成立，符合题意；11≥②.当时，分离参数a 得，， 0x >321e 12x x x a x----…记，， ()321e 12x x x g x x ---=-()()2312e 12x x x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-令， ()()21e 102x h x x x x =---≥则，，()e 1x h x x ='--()''e 10x h x =-≥故单调递增，，()'h x ()()00h x h ''≥=故函数单调递增，，()h x ()()00h x h ≥=由可得：恒成立， ()0h x ≥21e 102x x x ---…故当时，，单调递增；()0,2x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减；()2,x ∈+∞()0g x '<()g x 因此，, ()()2max 7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦综上可得，实数a 的取值范围是. 27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭[方法二]：特值探路当时，恒成立． 0x ≥31()12f x x ≥+27e (2)54-⇒⇒f a ……只需证当时，恒成立． 274e a -≥31()12f x x ≥+当时，． 274e a -≥227e ()e e 4-=+-≥+x x f x ax x 2⋅-x x 只需证明⑤式成立． 2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x ⑤式， ()223e 74244e-+++⇔≤x x x x 令， ()223e 7424()(0)e-+++=≥x x x x h x x 则()()222313e 2e 92()e -+--=='x x x x h x ()()222213e 2e 9e ⎡⎤-----⎣⎦=x x x x ()2(2)2e 9e ⎡⎤--+-⎣⎦xx x x ， 所以当时，单调递减； 29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦x ()0,()h x h x <'当单调递增； 29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 当单调递减．(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 从而，即，⑤式成立．max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ()4h x ≤所以当时，恒成立． 274e a -≥31()12f x x ≥+综上． 274e a -≥[方法三]：指数集中当时，恒成立， 0x ≥31()12f x x ≥+323211e 1(1)e 122x x x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤…记， ()32(1(1)e 0)2x g x x ax x x -=-++≥()2231(1)e 22123xg x x ax x x ax -'=--+++--， ()()()2112342e 212e 22x x x x a x a x x a x --⎡⎤=--+++=----⎣⎦①.当即时，，则当时，，单调递增，又210a +≤12a ≤-()02g x x '=⇒=(0,2)x ∈()0g x '>()g x ，所以当时，，不合题意；()01g =(0,2)x ∈()1g x >②.若即时，则当时，，单调递减，当0212a <+<1122a -<<(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞()0g x '<()g x 时，，单调递增，又，(21,2)x a ∈+()0g x '>()g x ()01g =所以若满足，只需，即，所以当()1g x ≤()21g ≤()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒…27e 142a -⇒≤<时，成立；()1g x ≤③当即时，，又由②可知212a +≥12a ≥()32311(1)e (1)e 22x x g x x ax x x x --=++≤-++27e 142a -≤<时，成立，所以时，恒成立， ()1g x ≤0a =31()(1)e 21x g x x x -=+≤+所以时，满足题意. 12a ≥综上，. 27e 4a -…【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！。
高二数学下学期第一次质检考试试题
平阳二中2021-2021学年第二学期质检考试制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
高二数学一、选择题(本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．)1．向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，假设a 与b 一共线，那么〔 〕 A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12 C ．x ＝16，y ＝－32 D ．x ＝－16，y ＝232.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，那么以下向量中与M B 1相等的向量是〔 〕 A.－21a +21b +c B.21a +21b +c C.21a －21b +c D.－21a －21b +c 3．设1ln )(2+=x x f ，那么=)2('f 〔 〕A ．54 B ．52 C ．51 D ．534．假设a ，b 均为非零向量，那么a ·b ＝|a ||b |是a 与b 一共线的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5、对于实数c b a ,,有以下命题：〔 〕①假设b a >，那么bc ac >； ②假设22bc ac >，那么b a >； ③假设220b ab a b a >><<，则； ④假设0011<>>>b a ba b a ，，则，。
其中真命题的个数是A 、1B 、2C 、3 C 、4()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，那么导函数()y f x '=可能为〔 〕7．假设函数f (x )＝13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，那么f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为( )A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π48. △ABC 的三个顶点A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，那么BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3 C.647 D.6579 . 假设函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，那么实数k 的取值范围〔 〕 A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k10．二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，那么(1)'(0)f f 的最小值为〔 〕 A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二 填空题(本大题一一共6小题，每一小题4分，一共24分．)11．命题“假设m>0，那么x 2＋x －m=0有实根〞的逆否命题是__________．12．a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，那么实数x 的取值范围是________． 13．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为__________．14．函数f 〔x 〕＝x ＋2cos x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上的最大值为______;15．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，那么异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ．16．函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1.设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，那么a 的取值范围是________．三 解答题(本大题一一共4小题，一共46分．)17．〔本小题满分是10分〕如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ， PA=AB=2,60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点．〔1〕证明：AE PD ⊥；〔2〕求二面角E AF C --的余弦值．18.〔本小题满分是12分〕函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)假设f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)假设f (x )在x ＝1处获得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围．19．〔本小题满分是12分〕如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.M 是棱SB 的中点．PBECDFA(1)求证：AM ∥平面SCD ；(2)设点N 是直线CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值．20 〔本小题满分是12分〕函数f(x)＝(a －12)x 2＋lnx (a∈R)．(1)当a ＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)假设在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围．平阳二中2021学年第二学期质检考试(答案)高二数学一、选择题(本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．)CABAC DDBBC二填空题(本大题一一共6小题，每一小题4分，一共24分．)111．假设x2＋x－m=0无实根，那么 m≤0 12. x<－4. 13． 9514． 15． 16． 317．〔10分〕如图，四棱锥，底面为菱形，平面，PA=AB=2,，分别是的中点．〔1〕证明：；〔2〕求二面角的余弦值．17.〔1〕证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．因为为的中点，所以．又，因此．因为平面，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．(2)由〔1〕知两两垂直，以为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以，，所以．设平面的一法向量为，那么因此取，那么，因为，，，所以平面，故为平面的一法向量．又，所以．因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．18. (12分)函数f (x )＝x 3－21x 2＋bx ＋c .(1)假设f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)假设f (x )在x ＝1处获得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，因f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，那么f ′(x )≥0，即3x 2－x ＋b ≥0， ∴b ≥x －3x 2在(－∞，＋∞)恒成立．设g (x )＝x －3x 2，当x ＝61时，g (x )max ＝121，∴b ≥121.(2)由题意，知f ′(1)＝0，即3－1＋b ＝0，∴b ＝－2.x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，只需f (x )在[－1,2]上的最大值小于c 2即可．因f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，或者x ＝－32.∵f (1)＝－23＋c ，f (－32)＝2722＋c ，f (－1)＝21＋c ，f (2)＝2＋c ， ∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，∴2＋c ＜c 2，解得c ＞2，或者c ＜－1，所以c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．19．(12分)．如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.M 是棱SB 的中点．(1)求证：AM ∥平面SCD ；(2) 设点N 是直线CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值． 解：〔Ⅰ〕以点A 为原点建立如下图的空间直角坐标系，那么，，，，，.那么.设平面SCD 的法向量是那么即令，那么，于是.，.AM ∥平面SCD . …………………………………………………〔Ⅱ〕设，那么.又，面SAB 的法向量为，所以，..当，即时，.………………………………………………20 (12分)函数f(x)＝(a －21)x 2＋ln x(a ∈R)．(1)当a ＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)假设在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝21x 2＋ln x ，f ′(x )＝x ＋x 1＝x x2＋1.对于x ∈[1，e]有f ′(x )＞0， ∴f (x )在区间[1，e]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝1＋2e2，f (x )min ＝f (1)＝21. (2)令g (x )＝f (x )－2ax ＝(a －21)x 2－2ax ＋ln x ， 那么g (x )的定义域为(0，＋∞)．在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方等价于g (x )＜0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∵g ′(x )＝(2a －1)x －2a ＋x 1 ＝x 2a －1x2－2ax ＋1＝x 2a －1x －1]，①假设a ＞21，令g ′(x )＝0，得极值点x 1＝1，x 2＝2a －11， 当x 2＞x 1＝1，即21＜a ＜1时，在(x 2，＋∞)上有g ′(x )＞0，此时g (x )在区间(x 2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g (x )∈(g (x 2)，＋∞)，不符合题意； 当x 2≤x 1＝1，即a ≥1时，同理可知，g (x )在区间(1，＋∞)上，有g (x )∈(g (1)，＋∞)，也不符合题意；②假设a ≤21，那么有2a －1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g ′(x )＜0，从而g (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．要使g (x )＜0在此区间上恒成立，只需满足g (1)＝－a －21≤0⇒a ≥－21，制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
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黄金中学2012-2013学年高二下学期第一次质检数学（文）试题
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
参考公式：线性回归方程ybxa中系数计算公式121()()()niiiniixxyybxx，aybx，
其中x，y表示样本均值．
一. 选择题（每题5分，共50分）
1．复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在如下图所示的各图中，两个变量具有相关关系的是( )
A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(4) D．(2)(3)
3．在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数
列{bn}中，若bn>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( )
A．b4＋b8>b5＋b7 B．b4＋b8
A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解
5. 把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为（ ）
6. 设复数z满足条件,1z那么iz22的最大值是（ ）
A. 3 B. 32 C. 221 D. 4
7. 当213m时，复数32mii在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 如图1是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修
点某种配件各50件。在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、
54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行。那么要完成上述调整，最少的调动件次（n
件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（ ）
A. 18 B. 17 C. 16 D. 15
图1
9. 图2给出的是计算201614121的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条
件是（ ）A. 10i B. 10i C. 20i D. 20i
是
否
开始
s = 0
i = 1
i
s s
2
1
i = i+1
输出
s
结束
图2
10．一等差数列的前n项和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n的值为
( )
A．12 B．14 C．16 D．18
二. 填空题（每题5分，共20分）
11. 已知回归直线方程y^＝0.6x－0.71，则当x＝25时，y的估计值是________．
12. i是虚数单位，238i2i3i8i 。（用iab的形式表示，abR，）
13. 观察下列式子1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，……，则可归纳出_______
___
14. 定义某种运算，Sab的运算原理如图4：则式子5324_________。
图4
三. 解答题（共80分）
15.（12分）设复数z＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i，若z2＋a·z＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
16. （13分）已知数列1111,,,,1335572121nn
（1）求出1234,,,SSSS；（2）猜想前n项和nS并证明
17. （13分）某报对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，数据如
下表
看法
性别
赞同 反对 合计
男 198 217 415
女 476 107 585
合计 674 326 1000
根据表中数据，能否认为对这一问题的看法与性别有关？
18 （14分）求证3是无理数.
19 （14分）设。是实数，且是虚数，11121121zzzzz
（1）求 | z1| 的值以及z1的实部的取值范围；（2）若1111zz，求证：为纯虚数。
20.（14分）某城市理论预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如下表所示
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，求最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；
（3）据此估计2005年该城市人口总数。
年份200x（年） 0 1 2 3 4
人口数y（十）万 5 7 8 11 19
【文质一参考答案】
一. 选择题（每小题5分，共50分）
二. 填空题（每小题5分，共25分）
因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“男女同龄退休”这一问题的看法与性
别有关．
18. 证明：假设3是有理数，则不妨设3/mn（m,n为互质正整数），
从而：2(/)3mn，223mn，可见m是3的倍数.
设m=3p（p是正整数），则 22239nmp，可见n 也是3的倍数.
这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. ∴3/mn不可能，∴3是无理数.
19.解：（1）设)0,(1bRbabiaz，且，则
ibabbbaaabiabiazzz)()(112222112