第5讲-用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程教师寄语：学如逆水行舟，不进则退课前案：1、如果0=ab ，那么a 、b 应在什么范围内取值？2、分解因式：()=---22x x x ()=-+2512x=--1032x x3、 解方程：032=-x x学习目标：1．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法；2．会用分解因式法（提公因式法、公式法）解简单的数字系数的一元二次方程 学习导航：分解因式法是解特殊的一元二次方程的特殊方法。
思考：032=-x x这个方程有没有另外的解法？比较一下，哪种解法最为简便？课中案：探究新知：当一元二次方程的一边为0，而另一边容易分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
自我尝试：解下列方程：（1）x x 452= （2）)2(2-=-x x x回思：1、可以用分解因式法解的一元二次方程的特点：等号一边为 ，另一边可以 。
2、在上述两题中，都用到了哪种分解因式的方法？ ，最容易犯什么错误？巩固新知：课本97页随堂练习1、2（请将答案写在学案上）自我尝试：你能用因式分解法解方程042=-x ， 025)1(2=-+x 吗？巩固新知：解方程：1、05)13(2=-+x 2、22)32()2(+=-x x回思：上面各题用到了哪种分解因式的方法？ 易犯什么错误？课后案：拓展延伸：你会解下列方程吗？1、()()042=-+x x2、01032=--x x3、()()513=-+x x回思：你用到了哪种解方程的方法？易犯什么错误？小测试：用合适的方法解下列方程。
1、0232=+-x x2、()522=-y3、()()3432+=+y y4、()9322=+-t t回顾反思：1、本节课所学的知识点是：2、本节课哪些收获与体会？。
用因式分解法解一元二次方程教案教学设计
强化新知，培养解题能力
5、想一想：
（1）x2-4=0
（2）(x+1)2-25=0
思考：这两题运用了哪种因式分解法？
引导学生分析
解答
熟悉用公式分解因式解一元二次方程
6、补充例题
用因式分解法解下列方程
（1）x2+x-2=0；
（2）2x2-3x-2=0；
巩固练习
用因式分解法解一元二次方程
教学难点
多项式的因式分解
教与学策略
采用“导、探”式教学，使学生运用探究、合作交流等方法参与发现问题、解决问题的过程。
前准备（教具、活动准备等）
导学案和课本
教学过程
教学步骤
教师活动
学生活动
设计意图
创设情景
导入新课
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
思考：除用配方法、公式法外，能否找到更简单的方法？
P61习题7.11 1（2）（4）
2
拓展与延伸
（1）已知（x+y）（x+y-1）=6,求x+y
（2）当K取什么实数时，方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个不相等的正数根
（3）一个直角三角形两条直角边相差7cm ,面积是30cm2，求斜边长
学生讨用哪种因式分解法解方程后解答
学生解答
课题
用因式分解法解一元二次方程
课型
新授课
第一课时
教学目标
知识与技能
使学生会用因式分解法解一元二次方程
过程与方法
使学生经历观察、实验、猜想、证明等教学过程，发展学生的推理能力，培养学生的创新意识和创新
一元二次方程解法因式分解法
一元二次方程解法因式分解法一、一元二次方程因式分解法的基础概念一元二次方程呢，就是那种长得像ax²+bx + c = 0（a≠0）的方程。
那因式分解法解一元二次方程是啥意思呢？就是把这个方程左边的式子分解成两个一次因式相乘的形式，就像（mx + p）（nx+q）=0这样，然后让这两个因式分别等于0，就可以求出方程的解啦。
比如说方程x² - 5x + 6 = 0，我们可以把它分解成（x - 2）（x - 3）=0，这样x - 2 = 0或者x - 3 = 0，就能得到x = 2或者x = 3啦。
二、常见的因式分解方法1. 提公因式法这是最基本的一种。
如果方程中有公因式，就先把公因式提出来。
比如说方程3x² - 6x = 0，这里面3x就是公因式，提出来就变成3x（x - 2）=0，然后3x = 0或者x - 2 = 0，解得x = 0或者x = 2。
2. 公式法对于一些特殊的二次三项式，我们可以用公式来分解。
像完全平方公式（a± b）²=a²±2ab + b²。
例如方程x²+ 4x + 4 = 0，它就可以写成（x + 2）²=0，那x就只能是- 2啦。
还有平方差公式a² - b²=（a + b）（a - b），像方程9x² - 16 = 0，就可以分解成（3x + 4）（3x - 4）=0，解得x = 4/3或者x = - 4/3。
3. 十字相乘法这个方法可有趣啦。
比如说方程x²+3x - 10 = 0，我们要把二次项系数1分解成1×1，把常数项- 10分解成- 2×5，然后交叉相乘再相加，1×5+1×（- 2）=3，正好等于一次项系数。
所以这个方程就可以分解成（x - 2）（x + 5）=0，解得x = 2或者x = - 5。
用因式分解法解一元二次方程教案教学设计
用因式分解法解一元二次方程教案教学设计1000字教学目标：1. 能用因式分解法解决一元二次方程2. 能够理解一元二次方程的本质3. 能够独立思考解决问题教学重点：1. 掌握因式分解法解一元二次方程的方法2. 较好地理解一元二次方程的本质教学难点：1. 同时掌握多种解一元二次方程的方法2. 教师要引导学生理解并掌握一元二次方程的本质教学准备：1. 课件2. 白板、白板笔3. 学生课本教学过程：一、导入教师询问学生知不知道一元二次方程，用一些例子进行引入，例如求 x2 +5x +6=0 的解。
二、知识点讲解1. 一元二次方程的本质：一元二次方程的解就是方程所对应的一元二次函数的根，即在坐标系中与 x 轴交点的横坐标。
2. 解一元二次方程的方法：因式分解法：对一元二次方程进行因式分解，然后根据乘积为零的基本原则，得到零时的两个因数，即为解的两个值。
3. 方法具体演示步骤：①把一元二次方程变形为零等式。
②利用第一步的知识，用差积公式或配方法将一元二次方程进行因式分解。
③根据乘积为零的基本原则，得到两个因数中的任意一个为零时，方程成立的解。
三、实际操作教师现场通过几个例子讲解：x2 -3x +2=0，x2 +2x +1=0，x2 -13x +30=0。
四、课堂练习教师通过给学生几个练习题，让学生在课堂上实际操作和练习。
五、课堂讨论教师提供一些扩展问题，让学生进行讨论，如何用因式分解法解 x2 -10x +25=0。
六、作业布置布置作业：请将以下一元二次方程用因式分解法解。
x2 -7x +6=0，x2 -12x +36=0，x2 -4x -12=0。
七、课堂小结教师再次强调因式分解法解一元二次方程的方法，以及一元二次方程的本质。
教学反思1. 本堂课到了一定的效果，学生对因式分解法解一元二次方程有了一定的了解，掌握的比较熟练。
2. 但是有些学生对于理解一元二次方程的本质还需要再进行深化和加强练习。
3. 下一步计划通过抽象代数的组合方式再次强化学生对一元二次方程本质的理解。
(005)初中一元二次方程解法总结及因式分解技巧详述
同坡教育一元二次方程解法总结及因式分解技巧详述（No. 005）学习目的：学习本文档后，完全掌握一元二次方程的解法，从此能快速解出方程，节省大量考试时间。
内容介绍：本文档共7页。
内容有：直接开根法（第1页），配方法的运算逻辑（第1-2页），因式分解法的基本原理（第2-3页），因式分解法的技巧（第3-5页），一元二次方程的解题原则（第6页），练习题及答案（第6-7页）。
一元二次方程通用形式为ax2+bx+c=0（a≠0），本文档不讨论方程有无实数根的判断问题，所有方程均满足Δ=b2-4ac > 0，即方程有解。
1. 三种解法一元二次方程主要有三种解法：1.1 直接开根法(公式法)本方法是万能法,所有一元二次方程都可通过此公式解出。
缺点是运算繁琐，费时。
1.2. 配方法通过配方将ax2+bx+c=0（a≠0）变形为的形式。
同坡教育公式硬记容易记错，也不需要死记。
理解整个配方法的运算逻辑即可，逻辑为：按a2+2ab+b2 = (a+b)2的思路构筑一个含x的平方式，具体步骤如下：ax2+bx+c=0先方程各项全部除以a,得, 再x项系数裂开成”2∙”的形式，得。
再加一个，同时减一个,前面三项即可构筑成一个平方，得，把常数移到等号右边，得：, 再开方，得：，即可解出x。
如例1：解方程：x2+4x-1=0原式x2+2·2 x-1=0 x2+2·2 x+ 4 -4 -1 =0, 下画线部分配成（x+2）2, （x+2）2- 5=0 （x+2）2= 5x+2=x = -21.3. 因式分解法因式分解法要求a,b,c全部为整数时，用此法可快速解出方程。
1.3.1 因式分解法的原理对方程ax2+bx+c=0，如a可裂成整数a1, a2,使a=a1∙ a2 ，c可裂成整数c1, c2,使c=c1∙ c2 ，放入十字法中，如，若a1x∙c2 + a2 x ∙c1= bx，则原方程可化为同坡教育(a1x+ c1)( a2x+ c2)=0 a1x+ c1=0, a2x+ c2=0,从而得出两个根。
因式分解法解一元二次方程口诀是什么
因式分解法解一元二次方程口诀是什么想要了解一元二次方程用因式分解法怎么解的小伙伴，赶紧来瞧瞧吧！下面由小编为你精心准备了“因式分解法解一元二次方程口诀是什么”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！因式分解法解一元二次方程口诀是什么一移，二分，三转化，四再求根容易得。
步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
拓展阅读：因式分解法的四种方法是什么因式分解法的四种方法有提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法。
1、如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab的逆运算来进行因式分解。
因式分解是中学代数课程的一种重要的恒等变形，不仅在后面的分式通分、约分时有着直接的应用，而且在解方程以及将三角函数式变形时，也经常用到它，一开始学习因式分解，往往遇到一些困难，一是拿到题目不知道用什么方法去分解；二是不知道分解到哪一步才算是结束.要想学好因式分解，必须掌握和注意以下几点：一、了解选择因式分解方法的思路。
首先，对任何一个多项式，都应当考虑提取公因式；然后，以多项式的项数为线索、考虑分解方法.如果多项式是二项、三项的采用公式法，或化为x2+（a+b）x+ab的形式，四项以上的采用分组分解法。
(完整版)-解一元二次方程因式分解法
（3）利用十字相乘法：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 解：(x 1)(x 7) 0
1 1
x 1 0或x 7 0
1 7
x1 1, x2 7
1.解下列方程
(1)x2 x 0
解: x(x 1) 0. x1 0, x2 1.
(3)3x2 6x 3
解: x2 2x1 0 (x 1)2 0.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
学习是件很愉快的事
淘金者
• 你能用分解因式法解下列方程吗？
1. x2-4=0;
2. (x+1)2-25=0.
解： (x+2)(x-2)=0,
解： [(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0.
∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法?
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为:
方程x2右+2边x－化8为=零0 左边分(解x－成两2)个(x一+次4)因=0式 的乘积 至少有一个x一－次2因=式0或为零x得+4到=两0个一元一次方程
两个一元∴一x次1=方2程,x的2解=-就4 是原方程的解
例题欣赏 ☞
(1)x(x-2)+x-2=0;
解：x(x 2) x 2 0,
例3 解下列方程:
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 ,
1.2《一元二次方程的解法—因式分解法》讲学稿
§1.2一元二次方程的解法⑸——因式分解法班级________姓名__________一.学习目标：1．能用因式分解法解一元二次方程；2．体会用因式分解实行降次化归的思想方法．二．学习重点：掌握因式分解法解一元二次方程．学习难点：准确快速将等式左边因式分解．三．教学过程Ⅰ．知识准备①若ab＝0，则；若(x－5) (x＋1)＝0，则x＝．②因式分解的定义：将一个多项式化为几个的形式．有哪些方法？③将下列各式因式分解．⑴2x2－x；⑵x2－9y2；⑶9a2－24ab＋16b2；⑷x2－5x＋6．Ⅱ．活动探究：阅读下列材料：我们研究方程x2－5x＋6＝0的解法：解：∵原方程化为(x－2)(x－3)＝0∴(x－2)＝0或(x－3)＝0∴x1＝2，x2＝3当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分因式解的方法求解．这种用因式分解解一元二次方程的方法称为“因式分解法”．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为______________；④令每个因式分别为0,得到两个___________；⑤解这两个____________________，它们的解就是原方程的解.【新知探究】因式分解法关键在于“分”，如何分？例：用“因式分解法”解下列方程．Ⅰ．⑴x2＝－4x；⑵(x＋2)2＝－4(x＋2)；⑶4x(2x－1)＝3(2x－1)．Ⅱ．⑴x2－9＝0；⑵(x＋2)2－9＝0；⑶(2x－1)2－x2＝0．Ⅲ．⑴x2＋8x＋15＝0；⑵x2＋x－6＝0；⑶y(y＋10)＝24．Ⅳ．阅读材料，解答问题：材料:为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程可化为y2− 5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±2；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x ＝±5，∴原方程的解为x1＝_____，x2＝_____，x3＝_____，x4＝_____，问题：⑴填空，在解原方程得到①的过程中利用___________法达到了降次的目的，体现了_____________•的数学思想；⑵利用上述方法解方程①x4－x2－6＝0．【课内反馈】。
《因式分解法解一元二次方程》教学设计
学生回答
巩固所学内容
七、教学评价设计（说明针对教学目标的达标检测内容和方法）
根据新课程标准的评价理念，在教学过程中，不仅注重学生的参与意识和学生对待学习的态度是否积极，而且注重引导学生尝试从不同角度分析和解决问题
八、板书设计
书设计
复习回顾新课讲解例题解析学生板演小结作业
九、课后反思
1，大部分学生能熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法；
四、教学重点及难点（确定教学重点和难点，并简要说明强化重点和突破难点的策略）
教学重点：因式分解法解一些一元二次方程.
教学难点：能够正确选择因式和活动设计等）
本节课我主要采用启发式、类比法、探究式的教学方法。教学中力求体现“类比---探究-----归纳”的模式。有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。由于学生配平方的能力有限，所以，本节课借助多媒体辅助教学，指导学生通过观察与演示，总结因式分解规律，从而突破难点。
二、学情分析（说明学生学习本内容可能遇到的知识和能力困难）
任何一个教学过程都是以传授知识、培养能力和激发兴趣为目的的。这就要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发。分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。当他们在解决实际问题时，发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的配方法问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方公式、二次根式，用配方法公式法后，这就为我们继续研究用因式分解法解一元二次方程奠定了基础。
教师巡视引导
学生回答：因式分解法的概念
特别提示:
（1）用因式分解法解一元二次方程的条件是:方程左边易于____,而右边等于______;
因式分解法求解一元二次方程
自学指导二
认真看课本P14例3，看懂例题的解题过程。 时间：3分钟
归纳
1. 因式分解法：
将一元二次方程先因式分解化为 两个一次因式的乘积等 于 0 的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降
次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。
2.用因式分解法的一般步骤：
（1）移项：将方程右边化为 0
x=0 或 x-2=0 。
求解
x1= 0 ，x2= 2 。
x²-2x=0 x(x-2)=0
4.(1)因式分解法是解一元二次方程的基本方 法之一，具备什么特点的一元二次方程能用 因式分解法来解呢？
左边x-2=0 。 （2）用因式分解法的依据是什么？
若a ·b = 0，那么 a = 0 或 b= 0 x1= 0 ，x2= 2 。
学习目标
1.理解如何用因式分解法解一元二次方程，并 能灵活应用；
2.理解解一元二次方程的思路就是降次.
自学指导一
认真看课时练P10左侧学习任务一， 并用心填写1----3题， 时间：4分钟
学习过程 1.有理数乘法：
如果a ·b = 0，那么 a = 0 或 b= 0 。
2.因式分解：
x²+2x =
；
（2）化积：将方程左边分解为 两个一次因式 的乘积；
（3）转化：令这两个一次式分别等于0，得到两 个 一元一次方程 ；
（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是
一元二次方程的 解 。
检测题一
课本第14页第1 (1)（3）（5）
要求：仿照例题 书写规范 字体工整
时间：6分钟独立完成.
检测题二
x(x+2）
x²-4 =
(x+2)(x-2)
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新概念-九年级-数学
2.4用因式分解法求解一元二次方程
概念检测
（1）
把方程的一边变成 ，另一边变成 的乘积来求解，这种解一元二次方程的方
法叫
。
（2）主要包括“提公因式”和“十字相乘”
（3）如果0ba，那么a= 或b= ，
随堂检测
1. 用因式分解法解下列方程：
（1）0)4)(2(xx （2）)12(3)12(4xxx （3）63)2(xxx
（4）
0)75)(14(xx
（5）)32(4)32(2xx (6)9)3(222xx
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数。
3.解方程（x-3）（x-1）= 3
2.4用因式分解法求解一元二次方程（家庭作业）
新概念-九年级-数学
1. 一元二次方程0)5)(3(xx的两根分别为（ ）
A.3，-5 B.-3，-5 C.-3，5 D.3，5
2. 小华在解一元二次方程02xx时，只得出一个解x=1，则被漏掉的一个解是（ ）
A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=0
3.一元二次方程5)5)(6(xxx的解是（ ）
A.x=5 B.x=5或x=6 C.x=7 D.x=5或x=7
4.下列方程中适合用因式分解法解的是（ ）
A.0)1(9)32(22xx B.)2(22xxx C.0442xx D.xx4142
5.解方程)15(3)15(22xx的最适合的是（ ）
A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法
6.方程xx2的根是 。
7.一元二次方程01262xx的解是 。
8.方程)1(2)1(3xxx的根是 。
9.关于x的一元二次方程06)1(22kkxxk的一个根是0，则k的值是 。
10.用因式分解法解下列一元二次方程：
(1))3(5)3(2xx （2）22)1(4)1(9xx
（3）45)45(xxx （4）22)32()2(xx
11.解下列方程：
（1）12)3)(2(xx （2）)(3)(522xxxx
12. 用24cm长的铁丝：
（1）能不能折成一个面积是482cm的矩形？
（2）能不能折成一个面积是322cm的矩形？若能，求出各边长；若不能，请说明理由。