导数的应用

第1页 共7页浅谈导数的应用导数是研究函数的工具，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。

试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。

解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。

本文举例说明导数在函数问题中的应用，供参考选用。

一、研究曲线的切线问题根据函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线的斜率，即：()()0'0|'x x k fx f x ===，所以切线方程为()()()000'y f x f x x x -=-。

例1：（文）设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为 ；112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，（理）设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ；2- （理）设曲线11x y x +=-过点(3)，-2处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ；练习：1、（理）曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（2e ）（文）曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（19） 2、（理）已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为（3） （文）已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（1）二、研究函数的单调性函数()f x 在(,)a b 内可导，若()'0f x >在(,)x a b ∈成立，则()f x 在(,)a b 上递增； 若()'0f x <在(,)x a b ∈成立，则()f x 在(,)a b 上递减。

若()f x 在(,)a b 上递增，则()0f x '≥对(,)x a b ∈恒成立，()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0。

若()f x 在(,)a b 上递减，则()0f x '≤对(,)x a b ∈恒成立，()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0。

例2：（文）已知函数32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数．（Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．解：（Ⅰ）因为函数()()2g x f x =-为奇函数，所以，对任意的x ∈R ，()()g x g x -=-，即()2()2f x f x --=-+．又32()3f x x ax bx c =+++所以32323232x ax bx c x ax bx c -+-+-=----+．所以22a a c c =-⎧⎨-=-+⎩，．解得02a c ==，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得3()32f x x bx =++．所以2()33(0)f x x b b '=+≠． 当0b <时，由()0f x '=得x =x 变化时，()f x '的变化情况如下表：第2页 共7页所以，当0b <时，函数()f x在(-∞上单调递增，在(上单调递减，在)+∞上单调递增．当0b >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增． （理）已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间．解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--． 令()0f x '=，得1x b =-．当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：在(1)+∞，上单调递减． 当2b >时，函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)b -+∞，上单调递减．当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减．练习：3、（文）已知函数32()1fx x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．（Ⅰ）()f x 在⎛-∞ ⎝⎭递增，⎝⎭递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增 （Ⅱ）74a ≥（理）设函数2()(0),f x ax bx c a =++≠曲线y =f (x )通过点（0，2a +3），且在点（-1，f （-1））处的切线垂直于y 轴.（Ⅰ）用a 分别表示b 和c ；（Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数g (x )=-f (x )e -x的单调区间.解：(Ⅰ)因为2(),()2.f x ax bx c f x ax b '=++=+所以又因为曲线()y f x =通过点（0，2a +3）, 故(0)23,(0),2 3.f a f c c a =+==+而从而又曲线()y f x =在（-1，f (-1)）处的切线垂直于y 轴，故(1)0,f '-= 即-2a +b =0,因此b=2a .(Ⅱ)由(Ⅰ)得2392(23)4(),44bc a a a =+=+-故当34a =-时，bc 取得最小值-94. 此时有33,.22b c =-=从而233333(),(),42222f x x x f x x '=--+=-- 2333()()(),422xx g x f x c x x e --=-=+-所以23()(()()(4).4x xg x f x f x e x e --''=-=--令()0g x '=，解得122, 2.x x =-=当(,2),()0,()(,2)x g x g x x '∈-∞-<∈-∞-时故在上为减函数； 当(2,2)()0,()(2,).x g x g x x '∈->∈+∞时，故在上为减函数第3页 共7页当(2,)()0()(2,)x g x g x x '∈+∞<∈+∞时，，故在上为减函数.由此可见，函数()g x 的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）. 4、（文）设函数，已知是奇函数。

（Ⅰ）求、的值。

（Ⅱ）求的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）∵，∴.从而＝ 是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知， 和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在在。

（理）已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。

（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。

解：（Ⅰ）因为()'2101a f x x x =+-+ 所以()'361004af =+-= 因此16a = （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()()216ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞ ()()2'2431x x f x x-+=+当()()1,13,x ∈-+∞时，()'0f x > 当()1,3x ∈时，()'0f x <所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞ ()f x 的单调减区间是()1,3（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =-因此()()21616101616ln291f f =-⨯>-= ()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<因此，b 的取值范围为()32ln221,16ln29--。

三、研究函数的极值、最值如果函数f(x)在x 0处连续，且在x 0两侧异号，那么x 0就是函数f(x)的极值点。

1、一般地，当函数f(x)在x 0处连续时，判断f(x 0)是极大（小）值的方法是： （1）如果在x 0附近左侧＞0，右侧＜0，那么f(x 0)是极大值点； （2）如果在x 0附近左侧＜0，右侧＞0，那么f(x 0)是极小值点； 2、函数f(x)在［a ，b ］上最大值与最小值的求法： （1）求出f(x)在（a ，b ）内的极值；（2）将各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

例3：（文）已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点()1,6--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y轴对称.(Ⅰ)求m 、n 的值及函数()y f x =的单调区间；(Ⅱ)若a ＞0，求函数()y f x =在区间()1,1a a -+内的极值.()32()f x x bx cx x R =++∈()()()g x f x f x '=-b c ()g x ()32f x x bx cx =++()232f x x bx c '=++322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++32(3)(2)x b x c b x c +-+--(0)0g =0c =3b =3()6g x x x =-2()36g x x '=-(,-∞)+∞()g x (()g x ()g x x =()g x x =-)(x f ')(x f ')(x f ')(x f ')(x f '第4页 共7页解：（1）由函数f (x )图象过点（－1，－6），得m -n =-3, ……①由f (x )=x 3+mx 2+nx -2，得f ′（x ）=3x 2+2mx +n ,则g (x )=f ′(x )+6x =3x 2+(2m +6)x +n ; 而g (x )图象关于y 轴对称，所以－3262⨯+m ＝0，所以m =-3,代入①得n =0. 于是f ′(x )＝3x 2-6x =3x (x -2).由f ′(x )>得x>2或x <0,故f (x )的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）； 由f ′(x )<0得0<x <2,故f (x )的单调递减区间是（0，2）. (Ⅱ)由（Ⅰ）得f ′(x )＝3x (x -2),令f ′(x )＝0得x =0或x=2.当0<a <1时，f (x )在（a -1,a +1）内有极大值f (O )=-2,无极小值； 当a =1时，f (x )在（a -1,a +1）内无极值；当1<a <3时，f (x )在（a -1,a +1）内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在（a -1,a +1）内无极值.综上得：当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值， 当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值； 当a=1或a ≥3时，f (x )无极值. （理）已知函数21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-．（Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围．解：（Ⅰ）222222()2(1)2()()()k x c x kx kx x ckf x x c x c +-+--+'==++，由题意知()0f c '-=， 即得220c k c ck --=，（*）0c ≠，0k ∴≠．由()0f x '=得220kx x ck --+=，由韦达定理知另一个极值点为1x =（或2x c k=-）．（Ⅱ）由（*）式得21k c =-，即21c k=+．当1c >时，0k >；当01c <<时，2k <-． （i ）当0k >时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是减函数，在(1)c -，内是增函数．1(1)012k k M f c +∴===>+，221()02(2)kc k m f c c c k -+-=-==<++，由2122(2)k k M m k -=++≥及0k >，解得k（ii ）当2k <-时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数．2()02(2)k M f c k -∴=-=>+，(1)02k m f ==< 22(1)1112(2)22k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立．综上可知，所求k 的取值范围为(2)[2)-∞-+∞，，．练习：5、（文）设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。