运筹学笔记

运筹学笔记 第1章§4 单纯形法的计算步骤 1.单纯形表⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤+----=0,,6015315232..2min 321321321321x x x x x x x x x t s x x x Z 标准化方程组⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=++-++---=0,,,,6015315232..002min 543215321432154321x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Z对于min 问题，当所有检验数σj ≥0时达到最优(对于max 问题则相反)解得 TX )0,0,0,3/35,25(=3145min -=Z2.人工变量法（大M 法）（人工变量法中如有最优值，则人工变量k y 必为0） 引入辅助模型 目标函数【若是求max ，则目标函数化为m n n My My x c x c z x m ---++=......a 111 （其中M 表示充分大的正数，),...,1(m i y i =为人工变量）若是求min ，则目标函数化为m n n My My x c x c z +++++=......m in 111约束条件为添加人工变量后的约束】 【例6】 用单纯形法求线性规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+≥-+-≤+++-=0,,93124..3max 3213232132131x x x x x x x x x x x t s x x z解：引入辅助模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+--+-=+++--+-=0,,,,,93124..3max 2143212321532143212131y y x x x x y x x y x x x x x x x x t s My My x x z⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=100013001101120001111A ，取基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001B ，基变量214,,y y x①人工变量在迭代中一旦出基不可能再进基，所以某人工变量k y 出基后，k y 列系数可以不参与计算。

解得辅助模型的最优解T x )0,0,0,0,23,25,0(*=所以原问题的最优解为Tx ),0,0,23,25,0(*=②当辅助问题的最优解中存在某人工变量0>i y ，则原问题无可行解。

第2章§2 原问题与对偶问题原问题（LP1） 对偶问题（LP2）()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0..max 21321213231222121112121x x b b b x x a a a a a a t s x x c c z ()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0..min 32121321322221312111321321y y y c c y y y a a a a a a t s y y y b b b w1.弱对偶性.存在原问题、对偶问题的可行解),...,1(,),...,1(m i y n j x i j == 则有∑∑==≤mi ii nj jj y b x c 112.最优性（4.强对偶性，又称对偶定理）（可逆）如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有最优解，且有∑∑===mi iin j jj y b xc 11ˆˆ3.无界性.5.互补松弛型如果 ,0ˆ>i y则.ˆ1i nj jij b xa =∑=如果,ˆ1i nj jij b xa <∑= 则.0ˆ=i yP78 2.4 已知线性规划问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤+≤+++++=0,,,966283..42max 4321321432214214321x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z 要求：（a ）写出其对偶问题；（b ）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解. 解：原问题的对偶问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+++≥+++++=0,,,114322..9668min 4321314343214214321y y y y y y y y y y y y y y y t s y y y y w 原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，由对偶问题的互补松弛性可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++=++14322434321421y y y y y y y y y 将)0,4,2,2(*=X 代入原问题知原问题的第4个约束为严格不等式，即9321<++x x x由互补松弛性得0*4=y所以⎪⎩⎪⎨⎧==++=+14322332121y y y y y y解得0,1,53,54*4*3*2*1====y y y y 即对偶问题的最优解为T *0),1,53,54( =y第3章§2 表上作业法 步骤：1.求初始基可行解（初始调用方案），常用方法有最小元素法和Vogel 法；2.求非基变量的检验数，判断是否达到最优。

一般的运输问题求极小值，当所有检验数0≥ij λ时达到最优。

（求检验数方法：1.闭合回路法，2.位势法） 2-1 Vogel 法 步骤：从运价表上分别找出每行与每列的最小的两个元素之差再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和供应数量.当产地或销地中有一方数量上供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列，再重复上述步骤.一般当产销地的数量不多时，Vogel 法给出的初始方案有时就是最优方案，所以Vogel 法有时就用作求运输问题最优方案的近似解.表3-142-21.闭合回路法.运输问题中的闭回路是指调运方案中由一个空格和若干个有数字格的水平和垂直连线包围成的封闭回路.求某非基变量的检验数：以该非基变量为起点，其他基变量为顶点，找一个闭合回路（唯一的）由起点开始，分别在顶点上交替标上代数符号“+”、“－”，用这些符号分别乘以相应格的运价，其代数和就是该非基变量的检验数.表3-15对应(A 3，B 1)的检验数为（7-1+2-3+10-5）=10*设产地m 个，销地n 个，则最优方案的基变量个数必为m+n-1个.2.位势法.令0u 1=，在基变量处根据ij j C v =+i u (运价)求出各i u ，j v 的值，然后在非基变量处根据)(j i ij ij v u C +-=λ求各基变量的检验数.表3-2110)1-4(731=+-=λ当所有检验数0≥ij λ时得到最优调运方案，否则需要调整运量. 3.调整运量（有检验数0< ij λ时）[1]确定进基变量，若}0|min{<=ij ij LK λλλ，则LK x 进基. [2]确定出基变量，在进基变量LK x 的闭合回路中，以标有“－”的最小运量作为调整量θ，θ对应的基变量出基.[3]调整运量，在进基变量LK x 闭合回路中，标有“＋”的运量加上调整量θ，标有“－”的运量减去调整量θ，出基变量处运量留空，其他地方运量不变. 例3)06(913=+-=λ，1)10(241=+-=λ，0)8-2(622=+-=λ，8)1-2(724=+-=λ，1)54(0131=+-=λ，5)64(5133=+-=λ.所有检验数0≥ij λ，运输调运方案最优.§2 产销不平衡的运输问题及其应用产大于销，用最小元素法. P102表3-36产量=7+25+26=58，销量=10+10+20+15=55 该运输问题产销不平衡. 给该运输问题添加库存变量取0u 1=5)30(811=+-=λ，3)10(412=+-=λ，1)10(214=+-=λ，0)00(015=+-=λ， 5)13(922=+-=λ，2)13(724=+-=λ，1)12(433=+-=λ，1)3-2(035=-=λ.所有检验数0≥ij λ，问题达到最优.第4章§1 整数规划与分配问题1.整数规划：1）纯整数规划：要求全部变量取整数.2）混合整数规划：要求部分变量取整数.3）0-1规划：全部变量取0，1.（枚举法）2.整数规划的特点1）如果松弛问题的最优解是整数解，则松弛问题的最优解也是原整数规划的最优解.2）如果松弛问题的最优解不是整数解，则松弛问题最优解与原整数规划最优解无关.整数规划如 对应的松弛问题⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤++=Z x x x x x x x x t x x z 2121212121,,0,5.45.01432..s 23max ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,5.45.01432..s 23max 21212121x x x x x x t x x z 3.逻辑变量（0-1变量、二进制变量）1）m 个约束条件中只有k 个起作用设m 个约束条件可表示为：∑∑==⋯=≥≤n j n j i j ij i j ij m i b x a b x a11),,1()（或定义⎩⎨⎧=个约束起作用，假定第个约束不起作用，假定第i i y i 01 又M 为任意大的正数，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+⋯++-≥+≤∑∑==km y y y My b x a My b x a m nj i n j i j ij i i j ij 2111)（或 2）约束条件的右端项可能是r 个值（r b b b ,,,21⋯）中的某一个，即r 211b b b x an j j ij 或或或⋯≤∑=定义⎩⎨⎧=，否则，假定约束右端项为01i i b y 上述约束条件可表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+⋯++≤∑∑==12111r ni i r i i j ij y y y y b x a 3）两组条件中满足其中一组若⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+≤++=0,43106..2max 2121212121x x x x x x x x t s x x z 或 引入0-1变量，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=+≤--≥++≤++=10,,0,143106..2max 2121212122112121或y y x x y y x x My x x My x x t s x x z §2 分配问题与匈牙利法2-2 匈牙利法匈牙利法：1）问题为求极小值 2）人数和工作数相等 3）效率矩阵非负匈牙利法的计算步骤：第一步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行中减去，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡591100532410011578041142min9131541116141381441579102第二步：再找出效率矩阵每列的最小元素，再分别从各列中减去，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡54110003245011528005005911005324100115780min 第三步：覆盖零元素的最少直线数为n 时（工作数），寻找独立零元素，写出最优解，否则需要第四步的矩阵变换第四步：1）从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小值k ；2）对矩阵的每行，当该行有直线覆盖时，令0=i u ，无直线覆盖的，令k u i =；3）对矩阵中有直线覆盖的列，令k v j -=，对无直线覆盖的列0=j v ；4）从原矩阵的每个元素ij a 中分别减去i u 和j v ，得到一个新矩阵.。