-第六章实数知识点复习
人教版七年级下册第六章实数知识点
人教版七年级下册第六章实数知识点
实数是数学中最基本的概念之一，是指可以用数字表示的所有数。
实数由有理数和无理数两部分组成。
有理数是可以表示成两个整数之比的数，包括整数、分数、小数等，而无理数则不能表示成有理数的形式，如圆周率π、自然对数的底数e等。
在七年级数学下册第六章中，我们将学习实数的相关知识，包括实数的分类、实数的运算、实数的比较等。
一、实数的分类
1.有理数：有理数包括正整数、负整数、零、正分数、负分数和整数。
2.无理数：无理数是不能表示成有理数的形式的数，它们包括无限不循环小数和根号下无理数等。
二、实数的运算
1.加法：实数的加法满足交换律、结合律和分配律。
2.减法：实数的减法可以转化成加法，即a-b=a+(-b)。
3.乘法：实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
4.除法：实数的除法可以转化成乘法，即a÷b=a×(1/b)，其中b≠0。
5.乘方：实数的乘方表示数的自我乘积，即a的n次幂表示为an。
三、实数的比较
1.正数比较大小：正数比较大小时，数值越大的数越大。
2.负数比较大小：负数比较大小时，数值越小的数越大。
3.正数和负数比较大小：正数比负数大。
4.零和正数、负数比较大小：零比负数大，比正数小。
5.一般实数比较大小：需要将实数转化成同一种形式再比较大小。
以上就是七年级数学下册第六章实数知识点的简单介绍，希望对大家有所帮助。
在学习实数时，我们需要多做练习，多思考，才能真正掌握实数的相关知识。
第六章 实数知识点-+典型题含答案
第六章 实数知识点-+典型题含答案一、选择题1．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则7×6！的值为( )A ．42！B ．7！C ．6！D ．6×7！2．下列结论正确的是（ ）A ．无限小数都是无理数B ．无理数都是无限小数C ．带根号的数都是无理数D ．实数包括正实数、负实数3．将不大于实数a 的最大整数记为[]a ，则33⎡⎤-=⎣⎦（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．04．让我们轻松一下，做一个数字游戏．第一步：取一个自然数n 1＝5，计算n 12+1得a 1；第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2；第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，计算n 32+1得a 3；……依此类推，则a 2018的值为（ ）A ．26B ．65C ．122D ．1235．下列说法正确的是（ ）A ．14是0.5的平方根 B ．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C ．27的平方根是7 D ．负数有一个平方根6．如图，数轴上O 、A 、B 、C 四点，若数轴上有一点M ，点M 所表示的数为m ，且5m m c -=-，则关于M 点的位置，下列叙述正确的是（ ）A ．在A 点左侧B ．在线段AC 上 C ．在线段OC 上D ．在线段OB 上7．有下列说法：①在1和22,3一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②④ D ．②8．2a+b b-4=0，则a +b 的值为( ) A ．﹣2 B ．﹣1C ．0D ．2 9．若a 、b 为实数，且满足|a －2|2b -0，则b －a 的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不对10．7和6- ）A ．76-B ．67-C ．76+D ．(76)-+二、填空题11．若()221210a b c -+++-=，则a b c ++=__________．12．规定运算：()a b a b *=-，其中b a 、为实数，则(154)15*+=____13．一个数的立方等于它本身，这个数是__．14．已知72m =-，则m 的相反数是________．15．27的立方根为 ． 16．实a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2a b b a ++-=___________.17．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求31ab c d -+＝_____．18．对于任意有理数a ，b ，定义新运算：a ⊗b =a 2﹣2b +1，则2⊗(﹣6)=____．19．下列说法： ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________20．0.050.55507.071≈≈≈≈，按此规500_____________三、解答题21．观察下列各式﹣1×12＝﹣1+12 ﹣1123⨯＝﹣11+23﹣1134⨯＝﹣11+34 （1）根据以上规律可得：﹣1145⨯＝ ；11-1n n +＝ （n ≥1的正整数）． （2）用以上规律计算：（﹣1×12）+（﹣1123⨯）+（﹣1134⨯）+…+（﹣1120152016⨯）. 22．2是无理数，而无理是无限不循环小数，因2212的小数部分，事2的整数部分是1，将这个数减去其整数部2的小数部分，又例如：∵232273<<，即273<<7的整数部分为2，小数部分为)72。
人教版初一数学第六章实数知识点总结全面整理
人教版初一数学第六章实数知识点总结全面整理单选题1、下列命题是真命题的是（）A．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0B．如果一个数的平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0C．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数定是0D．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数定是0答案：B解析：根据平方、平方根、算术平方根、立方根的定义，思考特殊值，即可求出答案.解：A、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0或1，故A是假命题；B、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；C、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0或1，故C是假命题；D、如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是0、1、-1，故D是假命题.故选：B．小提示：此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．2、已知a，b分别是6﹣√5的整数部分和小数部分，则( )A．a＝2，b=3−√5B．a＝3，b=3−√5C．a＝4，b=2−√5D．a＝6，b=3−√5答案：B解析：先求出√5范围，再两边都乘以﹣1，再两边都加上6，即可求出a、b．∵2＜√5＜3，∴﹣3＜﹣√5＜﹣2，∴3＜6﹣√5＜4，∴a＝3，b＝6﹣√5﹣3＝3﹣√5；故选B．小提示：本题考查了估算无理数的大小和有理数的混合运算的应用，关键是根据学生的计算能力进行解答．3、估计√5+√2×√10的值应在（）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间答案：B解析：化简原式等于3√5，因为3√5=√45，所以√36<√45<√49，即可求解；解：√5+√2×√10=√5+2√5=3√5，∵3√5=√45，6<√45<7，故选B．小提示：本题考查估算无理数的大小；能够将给定的无理数锁定在相邻的两个整数之间是解题的关键．4、下列四个实数中，是无理数的为（）A．0B．2C．−2D．√37答案：D解析：根据无理数的定义“也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比”即可．由无理数的定义得：四个实数中，只有√3是无理数故选：D．小提示：本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键．5、25的平方根是（）A．5B．-5C．±5D．±√5答案：C解析：如果一个数x的平方等于a，那么x是a是平方根，根据此定义即可解题．解：∵（±5）2＝25∴25的平方根±5．故选C．小提示：本题主要考查了平方根定义，关键是注意一个正数有两个平方根．6、下列说法：①数轴上的任意一点都表示一个有理数；②若a、b互为相反数，则a+b=0；③多项式xy2−xy+24是四次三项式；④几个有理数相乘，如果负因数有奇数个，则积为负数，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：C解析：数轴上的点可以表示无理数，所以①错误；若a,b互为相反数则a+b=0，则②正确；24是常数项，所以③错误；根据有理数的乘法法则可判断④正确．数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以①错误；若a,b互为相反数则a+b=0，则②正确；24是常数项，xy2−xy+24是三次三项式，故③错误；根据有理数的乘法法则可判断④正确.故正确的有②④，共2个故选C小提示：本题考查了实数与数轴、相反数、多项式、有理数的乘法，熟记概念是解题的关键．7、√3−1的相反数是（）A．1+√3B．1−√3C．−1+√3D．−1−√3答案：B解析：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，实数的性质求解即可√3−1的相反数是1−√3，故选B小提示：本题考查了实数的性质，相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．8、估计√7+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间答案：B解析：直接利用2＜√7＜3，进而得出答案．解：∵2＜√7＜3，∴3＜√7+1＜4，故选B．小提示：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√7的取值范围是解题关键．填空题9、下列说法中,正确的有____个.①5是25的算术平方根;②-9的算术平方根是-3;③(-7)2的算术平方根是±7;④0是0的算术平方根;⑤0.01是0.1的算术平方根;⑥0.1是0.01的算术平方根.答案：3解析：根据算术平方根的定义对各个说法进行甄别即可得解.①5是25的算术平方根，此说法正确；②-9没有算术平方根是，故此说法错误；③(-7)2的算术平方根是7，故此说法错误；④0是0的算术平方根;故此说法正确；⑤应为0. 1是0. 01的算术平方根，故原说法错误；⑥0.1是0.01的算术平方根.，正确.故答案为3.10、绝对值小于√10的整数有______个．答案：7解析：分析：根据绝对值的意义可知所要填写的整数的取值范围是-√10至√10之间.详解：设这个数为x,则|x|<√10∴-√10<x<√10.∴绝对值小于√10的所有整数有0，±1，±2，±3.点睛：本题考查了估计有理数的大小.先确定好整数的范围再确定具体整数，准确估计出√10的大小是解题的关键.11、若√73的整数部分是a，小数部分是b，则2a−b=__．答案：24−√73．解析：先确定出√73的范围，即可推出a、b的值，把a、b的值代入求出即可．解：∵8<√73<9，∴a=8，b=√73−8，∴2a−b=2×8−(√73−8)=24−√73．所以答案是：24−√73．小提示：考查了估算无理数的大，解此题的关键是确定√73的范围8<√73<9，得出a,b的值．12、如果一个数的平方根是a+6和2a﹣15，则这个数为________．答案：81解析：解：∵一个数的两个平方根是a+6和2a−15，∴(a+6)+(2a-15)=0,∴a=3,即这个数的两个平方根是9和－9，∴这个数是81；故答案是81．小提示：根据平方根的定义（如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，如果x2=a，那么x叫做a的平方根）可知，一个正数如果有平方根，那么必定有两个，且它们互为相反数，所以令两个根相加等于0，即可求出．13、将下列各数填入相应的括号里：−|−0.7|,−(−9),−512,0,8,−2,π2,23,−1.121121112…,−0.1·5·．整数集合{ …}；负分数集合{ …}；无理数集合{ …}．答案：见解析．解析：先化简，后根据整数包括正整数，0，负整数；负分数，无理数的定义去判断解答即可．∵-|-0.7|=-0.7，是负分数，-（-9）=9，是整数，−512是负分数，0是整数，8是整数，-2是整数，π2是无理数，23是正分数，−1.121121112…是无限不循环小数，是无理数，−0.1·5·是无限循环小数，是有理数，是负分数，∴整数集合{ -（-9），0，8， -2 …}；负分数集合{ -|-0.7|， −512 ， −0.1·5· …}；无理数集合{ π2 ， −1.121121112……}．所以答案是：-（-9），0，8， -2 ；-|-0.7|， −512 ， −0.1·5·；π2 ， −1.121121112……．小提示：本题考查了有理数，无理数，熟练掌握各数的定义，特征，并合理化简判断是解题的关键．解答题14、【阅读材料】∵√4＜√5＜√9，即2＜√5＜3，∴1＜√5−1＜2，∴√5−1的整数部分为1，∴√5−1的小数部分为√5−2【解决问题】（1）填空：√91的小数部分是 ；（2）已知a 是√21−4的整数部分，b 是√21−4的小数部分，求代数式（﹣a ）3+（b +4）2的值．答案：（1）√91−9；（2）21．解析：（1）由于81＜91＜100，可求√91的整数部分，进一步得出√91的小数部分；（2）先求出√21−4的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可．（1）∵81＜91＜100，∴9＜√91＜10，∴√91的整数部分是9，∴√91的小数部分是√91−9；（2）∵16＜21＜25，∴4＜√21＜5，∵a 是√21−4的整数部分，b 是√21−4的小数部分，∴a =4﹣4=0，b =√21−4，∴（﹣a ）3+（b +4）2=0+21=21． 小提示：本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法和无理数整数部分和小数部分的表示方法是解题关键．15、如果2b ＝n ，那么称b 为n 的布谷数，记为b ＝g （n ），如g （8）＝g （23）＝3．（1）根据布谷数的定义填空：g （2）＝ ，g （32）＝ ．（2）布谷数有如下运算性质：若m ，n 为正数，则g （mn ）＝g （m ）+g （n ），g （m n ）＝g （m ）﹣g （n ）．根据运算性质填空：若g （7）＝2.807．则g （14）＝ ，g （74）＝ ．（3）下表中与数x 对应的布谷数g （x ）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a ，b 的代数式表示）．答案：（1）1，5；（2）3.807，0.807；（3）g （316）和g （6）错误，见解析，g （316）＝2a ﹣b ﹣4，g （6）＝1+2a ﹣b解析：（1）根据新定义得出答案即可；（2）根据新定义得出答案即可；（3）根据题意得出错误选项，进而得出正确答案．（1）g（2）＝g（21）＝1，g（32）＝g（25）＝5，所以答案是：1；5；（2）∵g（7）＝2.807，g（2）＝1，∴g（14）＝g（7）+g（2）＝3.807，g（7）＝g（7）﹣g（4），4∵g（4）＝g（22）＝2，∴g（7）＝2.807﹣2＝0.807，4所以答案是：3.807；0.807；）＝g（3）﹣4，（3）g（316g（2）＝1﹣g（3），3g（6）＝g（2）+g（3）＝1+g（3），g（9）＝2g（3），g（27）＝3g（3），从表中数据得到g（3）＝2a﹣b，∴g（3）和g（6）错误，16∴g（3）＝2a﹣b﹣4，g（6）＝1+2a﹣b．16。
成都四川师范大学附属实验学校七年级数学下册第六单元《实数》知识点复习
一、选择题1．观察下列各等式：231-+=-5-6+7+8=4-10-l1-12+13+14+15=9-17-18-19-20+21+22+23+24=16……根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ）A ．-130B ．-131C ．-132D ．-1332．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简33a b a b ++-+的结果为（ ）A ．2a -B ．22b a -C ．0D ．2b 3．已知122=，224=，328=，4216=，5232=，……，根据这一规律，20192的个位数字是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．64．下列命题中，①81的平方根是9；②16的平方根是±2；③−0.003没有立方根；④−64的立方根为±4；⑤5，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．下列说法正确的是（ ） A ．2的平方根是2B ．（﹣4）2的算术平方根是4C ．近似数35万精确到个位D ．无理数21的整数部分是56．如图，直径为1个单位长度的圆从A 点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B ，则点B 表示的数是（ ）A ．1π-B ．21π-C ．2πD ．21π+ 7．481的值（ ）A ．在7和8之间B ．在6和7之间C ．在5和6之间D ．在4和5之间 8．下列命题中真命题的个数（ ）①无理数包括正无理数、零和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③和为180°的两个角互为邻补角；④49的算术平方根是7；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行．A．4 B．3 C．2 D．19．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第（n﹣2）个数是（）（用含n的代数式表示）A．21n-B．22n-C．23n-D．24n-10．在1.414，3-，213，5π，23-中，无理数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 11．估计30的值在哪两个整数之间（）A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 12．下列各数中是无理数的是（）A．227B．1.2012001 C．2πD．8113．已知下列结论：①在数轴上不能表示无理数2；②无理数是无限小数；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的结论是（）A．① ③B．②③C．③④D．②④14．按照下图所示的操作步骤，若输出y的值为22，则输入的值x为（）A．3 B．-3 C．±3 D．±915．已知|x|＝2，y2＝9，且xy＜0，则x+y的值为（）A．1或﹣1 B．-5或5 C．11或7 D．-11或﹣7二、填空题16．小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9．问题：（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时，；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，．（2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]；（3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．17．()10116353cos302-⎛⎫+-+--︒ ⎪⎝⎭18．计算： （1）238127(5)÷---；（2）03(0)8|32|π--+-（3）解方程：4x 2﹣9＝0．19．以下几种说法：①正数、负数和零统称为有理数；②近似数1.70所表示的准确数a 的范围是1.695 1.705a <；③16的平方根是4±；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的说法有：_____．（请填写序号）20．一个正方体的木块的体积是3343cm ，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是________．21．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，如[4]＝4，[3]＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对82进行如下操作：82−−−→第一次[82]＝9−−−→第二次[9]＝3−−−→第三次[3]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的正整数是__．22．把下列各数填入相应的集合里：﹣3，|﹣5|，+（13-），﹣3.14，0，﹣1.2121121112…，﹣（﹣2.5），34，﹣|45-|，3π 正数集合：{_____________…}；整数集合：{_____________…}；负分数集合：{_____________…}；无理数集合：{_____________…}．23．一个正数的两个平方根分别为27a -与34a -+，则这个正数为_______． 24．计算：（1）﹣12＋327-﹣（﹣2）×9（2）3（3＋1）＋|3﹣2|25．观察下面一列数：－1，2，－3，4，－5，6，－7……，将这列数排成下图形式．按照此规律排下去，那么第_________行从坐标数第_________个数是－2019．262(2)-的平方根是 _______ ；38a 的立方根是 __________．三、解答题27．计算下列各题（1）﹣2；（2）﹣（结果保留2位有效数字）． 28．求下列各式中的x 的值（1）21(1)82x +=；（2）3(21)270x -+= 29．解方程： （1）2810x -=；（2）38(1)27x +=．30．计算：（12（2）22(2)8x -=。
第六章 实数知识点-+典型题及答案
第六章 实数知识点-+典型题及答案一、选择题1．下列说法中正确的是（ ） A ．4的算术平方根是±2 B ．平方根等于本身的数有0、1 C ．﹣27的立方根是﹣3 D ．﹣a 一定没有平方根2．已知x 、y （y ﹣3）2＝0．若axy ﹣3x ＝y ，则实数a 的值是（ ） A ．14B ．﹣14C ．74D ．﹣743．2，估计它的值( ) A ．小于1 B ．大于1 C ．等于1 D ．小于0 4．下列选项中的计算，不正确的是( )A 2=±B 2=-C ．3=±D 4=5．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．2-与12-B ．|C D 6．下列说法中，正确的个数是（ ）．（1）64-的立方根是4-；（2）49的算术平方根是7±；（3）2；（4是7的平方根． A ．1B ．2C ．3D ．47．下列各数中3.14，0.1010010001…，﹣17，2π有理数的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．4的平方根是（ ）A ．±16B ．2C ．﹣2D ．±29．下列实数中，..1π073，，，无理数的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．若a 、b 为实数，且满足|a －2|0，则b －a 的值为( ) A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不对二、填空题11．[x )表示小于x 的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：①[385-)= 8-；②[x )–x 有最大值是0；③[x ) –x 有最小值是-1；④x 1-≤[x )<x ，其中正确的是__________ （填编号）．12．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：若449n =，则第201次“F”运算的结果是 ． 13．若实数a 、b 满足240a b ++-=，则ab=_____． 14．若已知x-1+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____． 15．观察下列算式：①246816⨯⨯⨯+＝2(28)⨯＋16＝16＋4＝20； ②4681016⨯⨯⨯+＝2(410)⨯＋16＝40＋4＝44；… 根据以上规律计算：3032343616⨯⨯⨯+＝__________ 16．若()221210a b c -+++-=，则a b c ++=__________． 17．写出一个大于3且小于4的无理数：___________． 18．27的立方根为 ．19．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a ，b ，都有*1a b b =+．例如89914*=+=，那么*(*16)m m =__________．20．如图，数轴上的点A 能与实数15,3,,22---对应的是_____________三、解答题21．2是无理数，而无理是无限不循环小数，因2212的小数部分，事2的整数部分是1，将这个数减去其整数部2的小数部分，又例如：∵232273<<，即273<<7的整数部分为2，小数部分为)72。
实数章节知识点总结
实数章节知识点总结一、实数的基本概念1. 实数的定义实数是所有有理数和无理数的集合，用R表示，即R={x|x是有理数或无理数}。
2. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
（1）有理数是可以表示为分数形式的数，包括正整数、负整数、零、分数等。
有理数的集合用Q表示，即Q={x|x=m/n，m和n为整数，且n≠0}。
（2）无理数是不能表示为分数形式的数，并且无限不循环小数。
无理数的集合用R-Q表示，即R-Q={x|x不是有理数}。
3. 实数的表示实数可以用小数、分数、根式等形式表示，例如：π，e，√2等就是无理数的例子。
二、实数的性质1. 有理数的性质（1）有理数的四则运算有理数的加减乘除运算仍然是有理数，即有理数集合对于加减乘除封闭。
（2）有理数的比较对于任意两个有理数a和b，有以下性质：① 若a>b，则a+c>b+c（c为任意有理数）② 若a>b且c>0，则ac>bc③ 若a>b且c<0，则ac<bc2. 实数的性质（1）实数集合的稠密性实数集合中的有理数和无理数是密集分布的，即任意两个实数之间都存在无限多的有理数和无理数。
（2）实数的有序性任意两个实数a和b，必属于下列三种关系中的一种：① a=b② a<b③ a>b（3）实数的加法封闭性和乘法封闭性任意两个实数的和、差、积仍然是实数。
三、实数的运算规则1. 实数的加法和减法（1）同号相加：两个正数相加，结果仍为正数；两个负数相加，结果仍为负数。
（2）异号相加：一个正数与一个负数相加，结果的绝对值为它们的差，符号取绝对值较大的数的符号。
2. 实数的乘法和除法（1）同号相乘：两个正数相乘，结果为正数；两个负数相乘，结果为正数。
（2）异号相乘：一个正数与一个负数相乘，结果为负数。
（3）除法：除数不为0时，实数的除法遵循乘法的性质。
3. 实数的乘方和开方实数的n次乘方和n次开方都有以下规律：（1）同号实数的n次乘方是正数，异号实数的n次乘方是负数。
《实数》知识点归纳
《实数》知识点归纳 一、实数的定义 实数是有理数和无理数的总称。有理数包括整数和分数，整数又包括正整数、零和负整数，分数包括正分数和负分数。无理数则是无限不循环小数，例如圆周率π、根号 2 等。
二、实数的分类 1、 按定义分类 实数可以分为有理数和无理数。 有理数：能表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。
无理数：不能表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。 2、 按性质分类 实数可以分为正实数、零和负实数。 正实数：大于零的实数，包括正有理数和正无理数。 零：既不是正数也不是负数的数。 负实数：小于零的实数，包括负有理数和负无理数。 三、实数的运算 1、 加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。
例如：3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋ （－5) ＝ －8，3 ＋ （－5) ＝ －2，5 ＋ （－5) ＝ 0，0 ＋ 3 ＝ 3
2、 减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 例如：5 3 ＝ 5 ＋ （－3) ＝ 2，3 5 ＝ 3 ＋ （－5) ＝ －2 3、 乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。
例如：3 × 5 ＝ 15，（－3) × （－5) ＝ 15，3 × （－5) ＝ －15，0 × 5 ＝ 0
4、 除法 除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不为 0 的数都得 0。
例如：6 ÷ 2 ＝ 6 × 1/2 ＝ 3，（－6) ÷ （－2) ＝ 3，6 ÷ （－2) ＝ －3，0 ÷ 5 ＝ 0 5、 乘方 求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 例如：2³ ＝ 2 × 2 × 2 ＝ 8，（－2)³ ＝ （－2) × （－2) × （－2) ＝ －8
七年级数学下册第六章实数知识点归纳总结(精华版)(带答案)
七年级数学下册第六章实数知识点归纳总结(精华版)单选题1、下列等式：①√116=18，②√(−2)33=−2，③√(−2)2=2，④√−83=−√83，⑤√16=±4，⑥−√4=−2；正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个答案：A分析：根据算术平方根定义及立方根定义解答．解：√116=14，故①错误； √(−2)33=−2，故②正确；√(−2)2=2，故③正确；√−83=−√83，故④正确； √16=4，故⑤错误；−√4=−2，故⑥正确；故选：A ．小提示：此题考查求一个数的算术平方根及立方根，正确掌握算术平方根定义及立方根定义是解题的关键．2、-2019的相反数是（ ）A ．2019B ．-2019C ．12019 D ．−12019答案：A分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．解：-2019的相反数是2019．故选：A ．小提示：本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义.3、如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y 为√3时，输入值x 为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为√2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①④D．①③答案：D分析：根据运算规则即可求解．解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；②输入值x为16时，√16=4，,√4=2，y=√2，故②说法正确；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：D．小提示：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．4、估计√6的值在（）A．4和5之间B．3和4之间C．2和3之间D．1和2之间答案：C分析：根据无理数的估算方法估算即可．∵√4<√6<√9∴2<√6<3故选：C ．小提示：本题主要考查了无理数的估算能力，要求掌握无理数的基本估算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．5、实数−23的倒数是（ ）A ．23B ．−23C ．123D ．−123答案：D分析：根据倒数的意义可直接进行求解．解：实数−23的倒数是−123； 故选D ．小提示：本题主要考查实数与倒数的意义，熟练掌握倒数的意义是解题的关键．6、对于数字-2+√5，下列说法中正确的是（ ）A ．它不能用数轴上的点表示出来B ．它比0小C ．它是一个无理数D ．它的相反数为2+√5答案：C分析：根据数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可．A ．数轴上的点和实数是一一对应的，故该说法错误，不符合题意；B ．−2+√5>0，故该说法错误，不符合题意；C ．−2+√5是一个无理数，故该说法正确，符合题意；D ．−2+√5的相反数为2−√5，故该说法错误，不符合题意；故选：C ．小提示：本题考查数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．7、定义a *b ＝3a ﹣b ，a ⊕b ＝b ﹣a 2，则下列结论正确的有（ ）个．①3*2＝7．②2⊕（﹣1）＝﹣5．③（13*25）⊕（72⊕14）＝﹣29125．④若a *b ＝b *a ，则a ＝b ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C分析：先按照定义书写出正确的式子再进行计算就可解决本题．①、3∗2＝3×3-2=7，故计算正确，符合题意；②、2⊕（−1）=（﹣1）-22=−5，故计算正确，符合题意；③、(13∗25)⊕(72⊕14)=(3×13−25)⊕[14−(72)2]=35⊕(−12)=(−12)−(35)2=−30925，故计算错误，不符合题意；④、a ∗b =3a −b ，b ∗a =3b −a ，∵a *b ＝b *a ，3a −b =3b −a ，解得：a =b ，故计算正确，符合题意．综上所述，正确的有：①②④，共3个．故选：C ．小提示：本题考查了按照定义运算的知识，严格按照定义书写出正确的式子，准确的计算是解决本题的关键．8、一般地，如果x n =a （n 为正整数，且n ＞1），那么x 叫做a 的n 次方根，下列结论中正确的是（ ）A ．16的4次方根是2B ．32的5次方根是±2C ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小D ．当n 为偶数时，2的n 次方根有n 个答案：C分析：根据新定义的意义计算判断即可．解：∵16的4次方根是±2，∴A选项的结论不正确；∵32的5次方根是2，∴B选项的结论不正确；∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，∴C选项的结论正确；∵当n为偶数时，2的n次方根有2个，∴D选项的结论不正确．故选：C．小提示：本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键．9、运算后结果正确的是（）A．2√3÷12=√3B．√43=2C．√8−2√2=0D．√2×√6=3√2答案：C分析：根据实数的运算法则即可求解；解：A.2√3÷12=4√3≠√3，故错误；B.√43≠2，故错误；C.√8−2√2=0，故正确；D.√2×√6=2√3≠3√2，故错误；故选：C．小提示：本题主要考查实数的计算，掌握实数计算的相关法则是解题的关键．10、已知|a−5|+√b−3=0，那么a−b=（）A．2B．3C．-2D．8答案：A分析：直接利用绝对值的性质以及算术平方根的性质得出a ，b 的值，进而求解即可．解：∵|a -5|+√b −3=0，∴a -5=0，b -3=0，解得：a =5，b =3，∴a -b =5-3=2，故选：A ．小提示：本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，正确得出a ，b 的值是解题关键．填空题11、7是__________的算术平方根．答案：49分析：根据算术平方根的定义即可解答.解：因为√49=7，所以7是49的算术平方根.所以答案是：49小提示：本题主要考查的是算术平方根，属于基础题，要求学生认真读题，熟记概念.12、√−643的倒数是 ____，3﹣√10的绝对值是 ______．答案： ﹣14√10﹣3 分析：（1）先化简√−643再根据互为倒数的两个数积为1的概念进行求值即可.（2）根据若一个数小于0，那么它的绝对值为它的相反数，求出√3- 2的相反数即可.解：（1）化简√−643=√(−4)33=−4，又(−4)×(−14)=1， 所以答案是：−14.（2）√3- 2＜0，则它的绝对值即为它的的相反数−(√3−2) =2−√3 ，所以答案是：2−√3故答案为−14，2−√3小提示：本题考查立方根，互为倒数和绝对值的概念，务必清楚的是互为倒数的的两个数积1，负数的绝对值等于它的相反数，掌握倒数和求绝对值的相关概念是解题的关键.13、如果√15＝3.873，√1.5＝1.225，那么√15000＝___________．答案：122.5分析：根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动4个位数，则它的算术平方根就向左向右移动2个位数”可知答案．解：∵1.5×10000=15000，∴√15000＝100√1.5＝122.5，所以答案是：122.5．小提示：本题考查了算术平方根与被开方数的关系，关键在于知道它们之间有何关系．14、如图，A，B，C在数轴上对应的点分别为a，﹣1，√2，其中a＜﹣1，且AB＝BC，则|a|＝_____．答案：2+√2分析：先根据数轴上点的位置求出AB=BC=√2−(−1)=√2+1，即可得到−1−a=√2+1，由此求解即可．解：∵A，B，C在数轴上对应的点分别为a，﹣1，√2，∴BC=√2−(−1)=√2+1，∴AB=BC=√2−(−1)=√2+1，∴−1−a=√2+1，∴a=−2−√2，∴|a|=2+√2，所以答案是：2+√2．小提示：本题主要考查了实数与数轴，解题的关键在于能够根据题意求出AB=BC=√2−(−1)=√2+1．15、观察下面的变化规律：2 1×3=1−13,23×5=13−15,25×7=15−17,27×9=17−19，……根据上面的规律计算：2 1×3+23×5+25×7+⋯+22019×2021=__________．答案：20202021分析：本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．由题干信息可抽象出一般规律：2a•b =1a−1b（a,b均为奇数，且b=a+2）．故21×3+23×5+25×7+⋯+22019×2021=1−13+13−15+15−17+⋯+12019−12021=1+(13−13)+(15−15)+⋯+(1 2019−12019)−12021=1−12021=20202021．故答案：20202021．小提示：本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．解答题16、一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．答案：a和x的值分别为﹣1，25分析：根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∴4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∴x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．小提示：此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．17、已知长方形的长为72cm，宽为18cm，求与这个长方形面积相等的正方形的边长．答案：36cm分析：首先求出长方形面积，进而得出正方形的边长．因为长方形的长为72 cm，宽为18 cm，所以这个长方形面积为：72×18＝1296(cm2)，所以与这个长方形面积相等的正方形的边长为：√1296＝36(cm)，答：正方形的边长为36 cm.小提示：此题主要考查了算术平方根的定义以及矩形、正方形面积求法，正确开平方是解题关键．18、现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否在这块木板上截出两个面积是8dm2和18dm2的正方形木板？答案：能截出两个面积是8dm2和18dm2的正方形木板.分析：根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是2√2和3√2，显然只需比较两个正方形的边长的和与7.5的大小即可．∵两个面积是8dm2和18dm2的正方形木板的边长是2√2和3√2，√8+√18＝2√2+3√2=5√2；∵√2＜1.5，∴5√2＜1.5×5=7.5；答：能够在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．小提示：此题考查了算术平方根和估算无理数的大小，能够正确求得每个正方形的边长，然后再进行比较是本题的关键。
人教版七年级下册数学知识点归纳：第六章实数
人教版七年级下册数学知识点归纳第六章 实数6.1 平方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
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第六章知识点复习以及例题讲解
1、平方根
（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做
a的二次方根。
正的平方根用a来表示，（读做“根号a”）
对于正数a
负的平方根用 “a ”表示（读做“负根号a” ）
如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a”（a称为被开方数）。
（2）平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根.
（3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。
（5）a本身为非负数，即a≥0；a有意义的条件是a≥0。
（6）公式：⑴(a)2=a（a≥0）；
2、立方根
（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫
做三次方根)。
即X3=a,把X叫做a的立方根。数a的立方根用符号“
3
a
”表示，读作“三次根号
a”。
（2）立方根的性质：
正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方也是互为
逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.
3、规律总结
（1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其
本身的数是0和±1。
（2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；
任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
二、平方根、立方根例题。
例1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由
① （-3）2 ② 0 2 ③ -0.01 2
（2） 下列说法对不对？为什么？
① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根
③ 任何数都有平方根
④ 若 a＞0，a有两个平方根，它们互为相反数
例2、求下列各数的平方根：
(1) 9 (2) (3) 0.36 (4)
例3、设，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
举一反三：
【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27
立方根是__________. 3）___________， ___________，
___________.
【变式2】求下列各式中的
（1） （2） （3）
【例4、判断下列说法是否正确
（1）的算术平方根是-3； （2）的平方根是±15.
（3）当x=0或2时，
例5、求下例各式的值：
（1） （2） （3） （4）
1
4
16
9
3
27
36427 3
27
10
2
64-64-
3
三、实数知识复习。
1、实数的分类
无理数：无限不循环的小数称为无理数。
2、绝对值
(1)一个正数的绝对值是它本身，
一个负数的绝对值是它的相反数，
零的绝对值是零。
(2)一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。
（3）注意：
例6、当a<0时，化简 的结果是( )
A 0 B -1 C 1 D ½
例7、化简下列各式：
(1) |-1.4| (2) |π-3.142|
(3) |-|
分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还
是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
解：(1) ∵=1.414…＜1.4
∴|-1.4|=1.4-
(2) ∵π=3.14159…＜3.142
∴|π-3.142|=3.142-π
0000aaaaaa
00002aa
aaaaa
(3) ∵＜, ∴|-|=-
【变式1】化简：
3、有关实数的非负性
注意：(1)任何非负数的和仍是非负数；
(2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0.
例8、已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
解：∵(x-6)2++|y+2z|=0
且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
∴ 解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
4、实数比较大小的方法
1、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：
2≈___________ 3≈___________ 5≈___________ 6≈___________
7≈___________
a20
0a
0(0)aa
2、方法一：差值比较法
差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再
根据当a-b﹥0时，得到a﹥b。当a-b﹤0时，得到a﹤b。当a-b＝0，得到a=b。
3、方法二：商值比较法
商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商。
当ba＜1时，a＜b；当ba＞1时，a＞b；当ba=1时，a=b。来比较a与b的大小。
4、方法三：平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0
时，可由2a＞2b得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。
5、方法四：估算法
估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两
数中某部分的取值范围，再进行比较。
选择适当的方法比较下列数的大小。
（1）比较1-2与1-3的大小。 （2）比较8313与81的大小。
（3）比较27与33的大小 （4）当10x时，2x，x，x1的大小顺序是
______________。
（1）解 ∵（1-2）-（1-3）=23＞0 ， ∴1-2＞1-3。
（2）解：∵3＜13＜4 ∴13-3＜1 ∴8313＜81
（3）解：∵27=722•=28，33=332•=27。
又∵28＞27， ∴27＞33。
（4）解：取x=21，则：2x=41，x1=2。
∵41＜21＜2，∴2x＜x＜x1。