2021版新高考数学：全称量词与存在量词含答案

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教学资料范本 2 / 13

第三节 全称量词与存在量词 [考点要求] 1.通过已知的数学实例、理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地

对含有一个量词的命题进行否定．

(对应学生用书第6页) 1．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ 2.全称命题和特称命题 3 / 13

名称 形式 全称命题 特称命题

结构 对M中的任意一个x、有p(x)成立 存在M中的一个x0、使p(x0)成立 简记 ∀x∈M、p(x) ∃x0∈M、p(x0) 否定 ∃x0∈M、¬p(x0) ∀x∈M、¬p(x) [常用结论] 含一个量词的命题的否定的规律是“改量词、否结论”．

一、思考辨析(正确的打“√”、错误的打“×”) (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( ) (2)全称量词的含义是“任意性”、存在量词的含义是“存在性”．( ) (3)全称命题一定含有全称量词、特称命题一定含有存在量词．( ) (4)∃x0∈M、p(x0)与∀x∈M、非p(x)的真假性相反．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编 1．下列命题中全称命题的个数是( ) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的等差数列也是等比数列； ③三角形的内角和是180°. A．0 B．1 C．2 D．3 4 / 13

[答案] C 2．下列命题中的假命题是( ) A．∀x∈R、2x－1＞0 B．∀x∈N*、(x－1)2＞0 C．∃x∈R、lg x＜1 D．∃x∈R、tan x＝2 B [对于B、当x＝1时、(x－1)2＝0、故B项是假命题．] 3．命题：“∃x0∈R、x20－ax0＋1＜0”的否定为________． ∀x∈R、x2－ax＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题、所以命题“∃x0

∈R、x20－ax0＋1＜0”的否定是“∀x∈R、x2－ax＋1≥0”．]

4．若命题“∀x∈R、ax2－ax－2≤0”是真命题、则实数a的取值范围是________． [－8、0] [当a＝0时、不等式显然成立． 当a≠0时、

依题意知a＜0，Δ＝a2＋8a≤0， 解得－8≤a＜0. 综上可知－8≤a≤0.]

(对应学生用书第7页) 考点1 全称命题、特称命题 5 / 13

(1)全称命题与特称命题的否定 ①改写量词：确定命题所含量词的类型、省去量词的要结合命题的含义加上量词、再对量词进行改写． ②否定结论：对原命题的结论进行否定． (2)全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二

全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假

全称命题、特称命题的否定 6 / 13

(1)(20xx·西安模拟)命题“∀x＞0、xx－1＞0”的否定是( )

A．∃x＜0、xx－1≤0 B．∃x＞0、0≤x≤1 C．∀x＞0、xx－1≤0 D．∀x＜0、0≤x≤1 (2)已知命题p：∃m∈R、f(x)＝2x－mx是增函数、则¬p为( ) A．∃m∈R、f(x)＝2x－mx是减函数 B．∀m∈R、f(x)＝2x－mx是减函数 C．∃m∈R、f(x)＝2x－mx不是增函数 D．∀m∈R、f(x)＝2x－mx不是增函数

(1)B (2)D [(1)因为xx－1＞0、 所以x＜0或x＞1、 所以xx－1＞0的否定是0≤x≤1、 所以命题的否定是∃x＞0、0≤x≤1、故选B. (2)由特称命题的否定可得¬p为“∀m∈R、f(x)＝2x－mx不是增函数”．] 7 / 13

全(特)称命题的否定方法：∀x∈M、p(x)∃x0∈M、¬p(x0)、简记：改量词、否结论．

全称命题、特称命题的真假判断 8 / 13 (1)下列命题中的假命题是( ) A．∀x∈R、x2≥0 B．∀x∈R、2x－1＞0 C．∃x0∈R、lg x0＜1 D．∃x0∈R、sin x0＋cos x0＝2 (2)下列四个命题：

p1：∃x0∈(0、＋∞)、12x0＜13x0； p2：∃x0∈(0、1)、log12x0＞log13x0；

p3：∀x∈(0、＋∞)、12x＞log12x； p4：∀x∈0，13、12x＜log13x. 其中的真命题是( ) A．p1、p3 B．p1、p4 C．p2、p3 D．p2、p4 (1)D (2)D [(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立、所以B

正确；当0＜x＜10时、lg x＜1、所以C正确；因为sin x＋cos x＝2sin x＋π4、所以－2≤sin x＋cos x≤2、所以D错误． (2)对于p1、当x0∈(0、＋∞)时、总有12x0＞13x0成立、故p1是假命题；对于p2、当x0＝12时、有1＝log1212＝log1313＞log1312成立、故p2是真命题；对于p3、结 9 / 13

合指数函数y＝12x与对数函数y＝log12x在(0、＋∞)上的图象、可以判断p3是假命题；对于p4、结合指数函数y＝12x与对数函数y＝log13x在0，13上的图象可以判断p4是真命题．]

因为命题p与¬p的真假性相反、因此不管是全称命题、还是特称命题、当其真假不容易正面判断时、可先判断其否定的真假．

1.命题“∀n∈N*、f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( ) A．∀n∈N*、f(n)∉N*且f(n)＞n B．∀n∈N*、f(n)∉N*或f(n)＞n C．∃n0∈N*、f(n0)∉N*且f(n0)＞n0 10 / 13

D．∃n0∈N*、f(n0)∉N*或f(n0)＞n0 D [“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)＞n”、全称命题的否定为特称命题、故选D.] 2．下列命题中、真命题是( ) A．∀x∈R、x2－x－1＞0 B．∀α、β∈R、sin (α＋β)＜sin α＋sin β C．∃x∈R、x2－x＋1＝0 D．∃α、β∈R、sin (α＋β)＝cos α＋cos β

D [因为x2－x－1＝x－122－54≥－54、所以A是假命题．当α＝β＝0时、有sin (α＋β)＝sin α＋sin β、所以B是假命题．x2－x＋1＝x－122＋34≥34、所以C是假命题．当α＝β＝π2时、有sin (α＋β)＝cos α＋cos β、所以D是真命题、故选D.] 考点2 由命题的真假确定参数的取值范围

根据命题真假求参数的方法步骤 (1)根据题目条件、推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况). (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)根据每个命题的真假情况、求出参数的取值范围． 11 / 13

已知p：存在x0∈R、mx20＋1≤0、q：任意x∈R、x2＋mx＋1＞0、若p和q均为假命题、求实数m的取值范围． [解] 当p是假命题时、mx2＋1＞0恒成立、则有m≥0；当q是真命题时、

则有Δ＝m2－4＜0、－2＜m＜2.因此由p、q均为假命题得m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2. 所以实数m的取值范围为[2、＋∞). [母题探究] (变问法)在本例条件下、若p和q均为真、求实数m的取值范围． [解] 当p是真命题时、有m＜0； 当q是真命题时、有－2＜m＜2、

由m＜0，－2＜m＜2， 可得－2＜m＜0. 所以实数m的取值范围为(－2、0). 12 / 13

根据命题的真假求参数取值范围的策略 (1)全称命题可转化为恒成立问题、特称命题可转化为存在性问题． (2)含量词的命题中参数的取值范围、可根据命题的含义、转化为函数的最值解决．

已知f(x)＝ln (x2＋1)、g(x)＝

1

2x

－m、若对∀x1∈[0、3]、∃x2∈[1、2]、使得f(x1)≥g(x2)、则实数m的取值范围是( )

A．14，＋∞ B．12，＋∞ C．－∞，14 D．－∞，－12 A [当x∈[0、3]时、f(x)min＝f(0)＝0、 13 / 13

当x∈[1、2]时、g(x)min＝g(2)＝14－m、 由f(x)min≥g(x)min、得0≥14－m、 所以m≥14、故选A.]